00 - Rappels mathéma..

Cours n°0 : Rappels mathématiques

Dans ce chapitre, nous allons étudier les outils nécessaires à la réalisation des différents calculs rencontrés en physique dans le cadre du concours. 1) Angles, trigonométrie et relations métriques dans le triangle 1.1) Angles et trigonométrie 1.1.1) Définitions Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle rectangle en 𝐴.

𝐶

𝛼 𝐴

𝐵

Fonction cosinus La fonction cosinus notée cos est définie à l’aide du triangle rectangle 𝐴𝐵𝐶 précédent par : cos 𝛼 =

𝑐𝑜𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝛼 𝐴𝐵 = ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡ℎé𝑛𝑢𝑠𝑒 𝐵𝐶

Fonction sinus La fonction sinus notée sin est définie à l’aide du triangle rectangle 𝐴𝐵𝐶 précédent par : sin 𝛼 =

𝑐𝑜𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝛼 𝐴𝐶 = ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡ℎé𝑛𝑢𝑠𝑒 𝐵𝐶

Fonction tangente La fonction cosinus notée tan est définie à l’aide du triangle rectangle 𝐴𝐵𝐶 précédent par : tan 𝛼 =

Dr A.Sicard

𝑐𝑜𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝛼 𝐴𝐶 sin 𝛼 = = 𝑐𝑜𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝛼 𝐴𝐵 cos 𝛼

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Cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré à l’origine du repère et muni d’un sens direct, le sens inverse des aiguilles d’une montre.

1 sin 𝛼

𝑀

𝑂

𝛼 cos 𝛼

Le point 𝑀 appartenant au cercle trigonométrique a pour coordonnées :

+

−1

1

cos 𝛼 𝑀( ) sin 𝛼

−1

Le cercle trigonométrique permet la définition des fonctions trigonométriques pour tous les réels positifs ou négatifs, et pas seulement pour les angles de mesure en radians comprise entre 0 et

𝜋 2

lorsqu’on utilise la définition géométrique. Tracé des fonctions cosinus et sinus 1

Fonction cosinus 𝜋

2𝜋

𝜋

2𝜋

−1

1 Fonction sinus

−1

Dr A.Sicard

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Coordonnées polaires

On munit le plan d’un repère orthonormal direct (𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗). On appelle coordonnées polaires d’un point 𝑀 du plan distinct de 𝑂, tout couple (𝑟, 𝜃) de réels tels que : 𝑟 = 𝑂𝑀 { ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑖⃗, 𝑂𝑀) = 𝜃 + 2𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ

𝑀

𝑦 𝑟 𝜃

𝑗⃗ 𝑂

𝑖⃗

𝑥

Relation entre coordonnées cartésiennes et polaires. Soit un point 𝑀 du plan distinct de 𝑂, de coordonnées cartésiennes (𝑥, 𝑦) et de coordonnées polaires (𝑟, 𝜃). On a les correspondances suivantes :

-

Sens coordonnées cartésiennes vers coordonnées polaires : 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥 𝑥 cos 𝜃 = = 𝑟 √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦 𝑦 sin 𝜃 = = 𝑟 √𝑥 2 + 𝑦 2 {

-

Sens coordonnées polaires vers coordonnées cartésiennes : {

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃

Conversions degrés/radians Les angles peuvent s’exprimer en degrés (°) ou en radians (𝑟𝑎𝑑). Soit 𝛼 un angle, on a : 𝛼(°) = 𝛼(𝑟𝑎𝑑) ×

180 𝜋

Un demi-cercle va correspondre à un angle de 180° et de 𝜋 radians.

!

Lors des différents calculs à la calculatrice, il faut toujours vérifier dans quel mode on se trouve (° ou radians). Dr A.Sicard

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Longueur d’arc

𝐵 𝑅

𝛼

̂ de rayon 𝑅 et La longueur 𝑙 de l’arc de cercle 𝐴𝐵 d’angle au centre 𝛼 est donnée par :

𝑙 𝐴

𝑙=𝑅𝛼

𝑂

Le périmètre 𝑝 d’un cercle (𝛼 = 2𝜋) est ainsi donné par : 𝑝 = 2𝜋𝑅 1.1.2) Valeurs remarquables des sinus et cosinus En trigonométrie, il est important de connaitre les valeurs des cosinus et sinus de certains angles fréquemment rencontrés. Ces valeurs sont répertoriées dans le tableau suivant : 𝒓𝒂𝒅

𝟎

𝒅𝒆𝒈 𝐬𝐢𝐧 𝜽

𝟎

𝜽

𝐜𝐨𝐬 𝜽

𝐭𝐚𝐧 𝜽 =

𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽

√0 =0 2 √4 =1 2 0

𝝅 𝟔 𝟑𝟎° √1 1 = 2 2 √3 2 1 √3

=

√3 3

𝝅 𝟒 𝟒𝟓° √2 2 √2 2

𝝅 𝟑 𝟔𝟎° √3 2 √1 1 = 2 2

𝝅 𝟐 𝟗𝟎° √4 =1 2 √0 =0 2

1

√3

∞

Remarque : pour se rappeler de ces valeurs plus facilement, on pourra remarquer la progression 0,1,2,3,4 sous les racines pour le sinus et 4,3,2,1,0 pour le cosinus. 1.1.3) Formules relatives aux angles associés

Périodicité Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2𝜋. 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 2𝜋) = cos 𝑥 sin(𝑥 + 2𝜋) = sin 𝑥

Dr A.Sicard

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Angles opposés 𝑐𝑜𝑠(−𝑥) = cos 𝑥 sin(−𝑥) = − sin 𝑥 Angles supplémentaires cos(𝜋 − 𝑥) = − cos 𝑥 sin(𝜋 − 𝑥) = sin 𝑥 Angles complémentaires 𝜋 cos ( − 𝑥) = sin 𝑥 2 𝜋 sin ( − 𝑥) = cos 𝑥 2 Angles de différence 𝜋 cos(𝑥 + 𝜋) = − cos 𝑥 sin(𝑥 + 𝜋) = − sin 𝑥

Les formules précédentes ne sont pas nécessairement à apprendre par cœur car elles peuvent être retrouvées sur le cercle trigonométrique. Formules élémentaires (très importantes à connaître) cos 2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1 1 + tan2 𝑥 =

1 cos 2 𝑥

Formules d’addition cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏 cos(𝑎 − 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏 sin(𝑎 + 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 + cos 𝑎 sin 𝑏 sin(𝑎 − 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 − cos 𝑎 sin 𝑏 Formules de duplication cos 2𝑎 = cos 2 𝑎 − sin2 𝑎 = 1 − 2 sin2 𝑎 = 2 cos2 𝑎 − 1 sin 2𝑎 = 2 sin 𝑎 cos 𝑎 Dr A.Sicard

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Linéarisation cos 2 𝑎 =

1 + cos 2𝑎 2

sin2 𝑎 =

1 − cos 2𝑎 2

1.1.4) Equations trigonométriques

𝑥 = 𝑎 + 2𝑘𝜋 cos 𝑥 = cos 𝑎 ⇒ { 𝑜𝑢 𝑥 = −𝑎 + 2𝑘 ′ 𝜋

𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 𝑒𝑡 𝑘 ′ 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℤ

𝑥 = 𝑎 + 2𝑘𝜋 sin 𝑥 = sin 𝑎 ⇒ { 𝑜𝑢 𝑥 = 𝜋 − 𝑎 + 2𝑘 ′ 𝜋

𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘 𝑒𝑡 𝑘 ′ 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℤ

1.2) Relations métriques dans le triangle 1.2.1) Théorème de Pythagore Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres cotés.

𝐶 𝑎 𝑏 𝐴

𝑐

𝐵

𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶 2 𝑜𝑢 𝑎2 = 𝑐 2 + 𝑏 2

Dr A.Sicard

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1.2.2) Théorème d’Al-Kashi Le théorème d’Al-Kashi est une généralisation du théorème de Pythagore. Il s’applique à un triangle quelconque. 𝐴 𝑐

𝑏

𝐵

𝑎

𝐶

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle quelconque, on note : ̂ , 𝐵̂ = 𝐶𝐵𝐴 ̂ , 𝐶̂ = 𝐵𝐶𝐴 ̂ 𝐵𝐶 = 𝑎 , 𝐴𝐶 = 𝑏 , 𝐴𝐵 = 𝑐 , 𝐴̂ = 𝐵𝐴𝐶 On a : 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴̂ Par la permutation : 𝑎 → 𝑏 , 𝑏 → 𝑐 , 𝑐 → 𝑎 , on obtient : 𝑏 2 = 𝑐 2 + 𝑎2 − 2𝑐𝑎 cos 𝐵̂ Par la permutation : 𝑏 → 𝑐 , 𝑐 → 𝑎 , 𝑎 → 𝑏 , on obtient : 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶̂ 1.2.3) Aire d’un triangle et formule des sinus Soit 𝑆 l’aire d’un triangle𝐴𝐵𝐶. 𝑆=

𝑏𝑎𝑠𝑒 × ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 2

On peut montrer que 1 𝑆 = 𝑏𝑐 sin 𝐴̂ 2 1 = 𝑎𝑏 sin 𝐶̂ 2 1 = 𝑐𝑎 sin 𝐵̂ 2 Loi des sinus Dans le triangle 𝐴𝐵𝐶 précédent, on la relation suivante, appelée loi des sinus : Dr A.Sicard

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𝑎 sin 𝐴̂

=

𝑏 sin 𝐵̂

=

𝑐 sin 𝐶̂

=

𝑎𝑏𝑐 2𝑆

2) Surfaces et volumes des figures usuelles 2.1) Surface Carré

𝑆 = 𝑎2

𝑎 Rectangle 𝑙

𝐿

𝑆 =𝑙×𝐿

Disque

𝑟

𝑆 = 𝜋𝑟 2

Sphère

𝑟

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𝑆 = 4𝜋𝑟 2

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2.2) Volumes

𝑉 = 𝑎3

𝑎 Pavé droit

𝑉 = 𝑙×𝐿×ℎ ℎ 𝑙 𝐿

Cylindre quelconque

ℎ

𝑉 =𝑆×ℎ

base de surface 𝑆

Cylindre de révolution 𝑟 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ ℎ

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Boule

𝑟

4 𝑉 = 𝜋𝑟 3 3

3) Vecteurs 3.1) Définitions 3.1.1) Définition géométrique Par définition, un vecteur 𝑣⃗ est un objet mathématique défini par 3 critères : -

Une direction (droite portant le vecteur) Un sens (sens de parcours de cette droite) Une norme (longueur du vecteur) notée ‖𝑣⃗‖ = 𝑣 avec 𝑣 > 0.

⃗⃗ et s’appelle le vecteur nul. Le vecteur de longueur nulle est noté 0 Dans le plan, un vecteur est représenté par une flèche. 𝑣⃗

!

Attention, il ne faudra pas confondre vecteurs et scalaires dans les calculs. 3.1.2) Définition analytique Il est possible d’adopter une approche analytique afin de définir un vecteur. Soit un repère du plan centré en 𝑂 et muni d’une base orthonormale (𝑖⃗, 𝑗⃗). Soit 𝑣⃗ un vecteur du plan. 𝑦 Tout vecteur du plan peut être décomposé selon cette base orthonormée. On a : 𝑣̅𝑦 𝑗⃗

𝑣⃗ 𝛼

𝑣⃗ = 𝑣̅𝑥 𝑖⃗ + 𝑣̅𝑦 𝑗⃗

𝑣̅𝑥 𝑖⃗ 𝑗⃗ 𝑖⃗ Dr A.Sicard

𝑥 CapeSup Grenoble

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On écrit ainsi les composantes ou coordonnées du vecteur : 𝑣̅𝑥 𝑣⃗ |𝑣̅ 𝑦 La notation ̅̅̅ 𝑣𝑥 et ̅̅̅ 𝑣𝑦 signifie que les composantes d’un vecteur sont des longueurs affectées d’un signe. Ce sont des mesures algébriques. Dans la pratique, il sera possible d’abandonner cette notation en gardant en mémoire que les composantes d’un vecteur peuvent être positives ou négatives. On notera alors : 𝑣⃗ = 𝑣𝑥 𝑖⃗ + 𝑣𝑦 𝑗⃗ Les coordonnées d’un vecteur permettent de retrouver sa norme et sa direction. Le théorème de Pythagore nous donne : 𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 Soit 𝛼 l’angle entre l’axe 𝑂𝑥 et le vecteur 𝑣⃗. La mesure géométrique de cet angle est donnée par : tan 𝛼 = |

𝑣𝑦 | 𝑣𝑥

Vecteur défini à l’aide de deux points du plan 𝑥𝐴 𝑥𝐵 Soient deux points du plan 𝐴 et 𝐵 de coordonnées 𝐴 (𝑦 ) et 𝐵 (𝑦 ). 𝐴

𝐵

𝐵

𝑦𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵

𝑦𝐴

𝐴

𝑗⃗ 𝑂

𝑖⃗

𝑥𝐴

𝑥𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tel que : La donnée de ces deux points permet de définir un vecteur du plan noté 𝐴𝐵 𝑥 − 𝑥𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 𝐵 𝐴𝐵 𝑦 −𝑦 𝐵

𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ n’est toutefois pas attaché aux deux points 𝐴 et 𝐵. Le vecteur 𝐴𝐵 La norme de ce vecteur vaut : Dr A.Sicard

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⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 𝐴𝐵 = ‖𝐴𝐵 3.2) Propriétés des vecteurs 3.2.1) Relation de Chasles Pour tous points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 du plan, on a la relation vectorielle suivante : 𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 𝐴

𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 est le vecteur somme de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶 . 3.2.2) Colinéarité de deux vecteurs Deux vecteurs 𝑢 ⃗⃗ et 𝑣⃗ sont dits colinéaires si il existe un réel 𝑘 tel que 𝑣⃗ = 𝑘 𝑢 ⃗⃗. 𝑢𝑥 𝑘 𝑢𝑥 Si le vecteur 𝑢 ⃗⃗ a pour coordonnées 𝑢 ⃗⃗ |𝑢 alors 𝑣⃗ a pour coordonnées 𝑣⃗ | . 𝑘 𝑢𝑦 𝑦 3.3) Produit scalaire 3.3.1) Définition En géométrie vectorielle, le produit scalaire correspond à une opération algébrique s’ajoutant aux lois s’appliquant aux vecteurs. A deux vecteurs, elle associe leur produit qui est un nombre réel. Le produit scalaire de 𝑢 ⃗⃗ par 𝑣⃗ noté 𝑢 ⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ est le nombre défini par l’égalité suivante : 𝑢 ⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ = ‖𝑢 ⃗⃗‖ × ‖𝑣⃗‖ × cos(𝑢 ⃗⃗, 𝑣⃗) où (𝑢 ⃗⃗, 𝑣⃗) est l’angle orienté entre 𝑢 ⃗⃗ et 𝑣⃗. Le produit scalaire est un outil important en physique. Il peut être, par exemple, utilisé pour modéliser le travail d’une force ou pour effectuer l’opération de projection orthogonale. Carré scalaire Pour tout vecteur 𝑢 ⃗⃗ du plan, le produit scalaire de 𝑢 ⃗⃗ par lui-même 𝑢 ⃗⃗ ∙ 𝑢 ⃗⃗ est appelé carré scalaire de 2 𝑢 ⃗⃗. On le note 𝑢 ⃗⃗ . On a : 𝑢 ⃗⃗2 = 𝑢 ⃗⃗ ∙ 𝑢 ⃗⃗ = ‖𝑢 ⃗⃗‖ × ‖𝑢 ⃗⃗‖ = ‖𝑢 ⃗⃗‖2 Ce qui donne pour deux points 𝐴 et 𝐵 : 2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 = ‖𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = 𝐴𝐵2 𝐴𝐵

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3.3.2) Propriétés Soient 𝑢 ⃗⃗, 𝑣⃗ et 𝑤 ⃗⃗⃗ trois vecteurs du plan et 𝑘 un réel. On a les propriétés suivantes : -

Orthogonalité 𝑢 ⃗⃗ et 𝑣⃗ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. 𝑢 ⃗⃗ ⊥ 𝑣⃗ ⟺ 𝑢 ⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ = 0

-

Symétrie 𝑢 ⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ = 𝑣⃗ ∙ 𝑢 ⃗⃗

-

Linéarité 𝑢 ⃗⃗ ∙ (𝑣⃗ + 𝑤 ⃗⃗⃗) = 𝑢 ⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ + 𝑢 ⃗⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ (𝑢 ⃗⃗ + 𝑣⃗) ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ = 𝑢 ⃗⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ + 𝑣⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ (𝑘𝑢 ⃗⃗) ∙ 𝑣⃗ = 𝑘(𝑢 ⃗⃗ ∙ 𝑣⃗) 𝑢 ⃗⃗ ∙ (𝑘𝑣⃗) = 𝑘(𝑢 ⃗⃗ ∙ 𝑣⃗)

Identités remarquables (𝑢 ⃗⃗ + 𝑣⃗)2 = 𝑢 ⃗⃗2 + 2𝑢 ⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ + 𝑣⃗ 2 (𝑢 ⃗⃗ − 𝑣⃗)2 = 𝑢 ⃗⃗2 − 2𝑢 ⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ + 𝑣⃗ 2 (𝑢 ⃗⃗ + 𝑣⃗)(𝑢 ⃗⃗ − 𝑣⃗) = 𝑢 ⃗⃗2 − 𝑣⃗ 2 3.3.3) Expression analytique du produit scalaire Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗). 𝑥 𝑥′ 𝑢 ⃗⃗ et 𝑣⃗ sont deux vecteurs de coordonnées respectives 𝑢 ⃗⃗ |𝑦 et 𝑣⃗ | 𝑦′ On a : 𝑢 ⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ = 𝑥 𝑥 ′ + 𝑦 𝑦′ Condition d’orthogonalité 𝑢 ⃗⃗ ⊥ 𝑣⃗ ⟺ 𝑥 𝑥 ′ + 𝑦 𝑦 ′ = 0 3.3.4) Projection sur un axe orienté 𝑣⃗ 𝛼 𝑥′

𝑂

𝑖⃗

𝑣𝑥

𝑥

Soit un axe orienté 𝑥′𝑂𝑥 muni d’un vecteur unitaire 𝑖⃗ (‖𝑖⃗‖ = 1). Dr A.Sicard

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Le projeté orthogonal du vecteur 𝑣⃗ sur l’axe 𝑥′𝑂𝑥 est la composante 𝑣𝑥 de ce vecteur. On a : 𝑣𝑥 = 𝑣⃗ ∙ 𝑖⃗ = ‖𝑣⃗‖ cos 𝛼 3.3.5) Projection sur des axes orthogonaux

𝑣𝑦 𝑣⃗

𝑗⃗ 𝑂

𝑣𝑥

𝑖⃗

𝑣𝑥 = 𝑣⃗ ∙ 𝑖⃗

𝑒𝑡

𝑣𝑦 = 𝑣⃗ ∙ 𝑗⃗

Exemples de projections rencontrées en physique -

cas n°1 𝑣𝑦

𝑣𝑥 = 𝑣 cos 𝛼 𝜋 𝑣𝑦 = 𝑣 cos ( − 𝛼) = 𝑣 sin 𝛼 2

𝑣⃗ 𝛼 𝑣𝑥

-

cas n°2 𝑣𝑦

𝛼

𝑣𝑥 = 𝑣 sin 𝛼 𝑣𝑦 = 𝑣 cos 𝛼

𝑣⃗ 𝑣𝑥

-

cas n°3 𝑣𝑥 𝛼 𝑣𝑦

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𝑣⃗

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𝑣𝑥 = 𝑣 cos 𝛼 𝜋 𝑣𝑦 = 𝑣 cos ( + 𝛼) = −𝑣 sin 𝛼 2

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-

cas n°4 𝑣𝑥 𝑣⃗

𝜋 𝑣𝑥 = 𝑣 cos ( + 𝛼) = −𝑣 sin 𝛼 2 𝑣𝑦 = 𝑣 cos(𝜋 + 𝛼) = −𝑣 cos 𝛼

𝛼 𝑣𝑦

4) Fonctions et outils des fonctions En mathématiques, une fonction réelle d’une variable réelle est une règle qui permet d’associer un réel à un autre nombre réel. En physique, on utilisera le formalisme des fonctions pour décrire l’évolution d’un système physique. Il est ainsi nécessaire de connaître les fonctions usuellement rencontrées en physique, ainsi que les outils utiles pour leur étude. 4.1) Fonctions usuelles 4.1.1) Fonction affine 𝑦(𝑥) = 𝑎 𝑥 + 𝑏 Domaine de définition = 𝐷𝑓 = ℝ Une fonction affine correspond à une variation linéaire de 𝑦 en fonction de la variable 𝑥.

𝑦2 𝑦1

𝑥1

𝑥2

𝑎=

𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1

𝑏 = 𝑦1 − 𝑎 𝑥1 = 𝑦2 − 𝑎 𝑥2

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4.1.2) Polynôme du 2nd degré 𝑦(𝑥) = 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐

𝐷𝑓 = ℝ

avec a, b, c dans ℝ

La courbe représentative d’une telle fonction s’appelle une parabole. Si 𝑎 est positif la parabole est tournée vers le haut. Si 𝑎 est négatif, elle est tournée vers le bas.

𝑎>0

𝑎 0

-

La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ .

Equations – Inéquations Pour tous réels 𝑎 et 𝑏, on a : 𝑒𝑎 = 𝑒𝑏 ⟺ 𝑎 = 𝑏 𝑒𝑎 < 𝑒𝑏 ⟺ 𝑎 < 𝑏 𝑒𝑎 > 𝑒𝑏 ⟺ 𝑎 > 𝑏 Relations fonctionnelles Soient 𝑎 et 𝑏 deux réels, on a : 𝑒 𝑎 × 𝑒 𝑏 = 𝑒 𝑎+𝑏 1 𝑒 −𝑏 = 𝑏 𝑒 𝑒𝑎 = 𝑒 𝑎−𝑏 𝑒𝑏 Limites lim 𝑒 𝑥 = +∞

𝑥→+∞

lim 𝑒 𝑥 = 0

𝑥→−∞

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4.1.4) Logarithme népérien Le logarithme népérien noté ln est la fonction logarithme de base 𝑒. Elle est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Propriétés -

La fonction logarithme népérien est définie sur ]0, +∞[

-

La fonction logarithme népérien est dérivable sur ℝ∗+ et sa dérivée est (ln 𝑥)′ = 𝑥

-

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ℝ∗+

-

ln 1 = 0 et ln 𝑒 = 1

-

Pour tout x réel, ln(𝑒 𝑥 ) = 𝑥 Pour tout x dans ℝ∗+ , 𝑒 ln 𝑥 = 𝑥

1

Equations – Inéquations Pour tous 𝑎 et 𝑏 dans ℝ∗+ ln 𝑎 = ln 𝑏 ⟺ 𝑎 = 𝑏 ln 𝑎 < ln 𝑏 ⟺ 𝑎 < 𝑏 ln 𝑎 > ln 𝑏 ⟺ 𝑎 > 𝑏 Relations fonctionnelles ln(𝑎 × 𝑏) = ln 𝑎 + ln 𝑏 𝑎 ln ( ) = ln 𝑎 − ln 𝑏 𝑏 1 ln ( ) = − ln 𝑎 𝑎 𝑏 ln(𝑎 ) = 𝑏 × ln 𝑎 Limites

lim ln 𝑥 = −∞

𝑥→0

lim ln 𝑥 = +∞

𝑥→+∞

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4.2) Dérivation 4.2.1) Définition Soit 𝑓une fonction définie sur un intervalle , et 𝑎 appartenant à 𝐼. On dit que 𝑓 est dérivable en 𝑎 si l’une des conditions suivantes est réalisée : lim

ℎ→0

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) =𝑙 ℎ

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) =𝑙 𝑥→𝑎 𝑥−𝑎 lim

Dans ce cas, 𝑙 s’appelle le nombre dérivé de 𝑓 en 𝑎, et on le note 𝑓′(𝑎) 4.2.2) Interprétation graphique : tangente Si 𝑓 est dérivable en 𝑎, la courbe représentative de 𝑓 admet au point 𝐴 (𝑎; 𝑓(𝑎)) une tangente de coefficient directeur 𝑓′(𝑎). Une équation de cette tangente est : 𝑦 = 𝑓′(𝑎) × (𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) 4.2.3) Etude du sens de variation Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼. -

Si la dérivée 𝑓′ est nulle sur 𝐼, alors 𝑓 est constante sur 𝐼.

-

Si 𝑓 ′ > 0 sur 𝐼, sauf peut-être en un nombre fini de points où elle s’annule, alors 𝑓 est strictement croissante sur 𝐼.

-

Si 𝑓 ′ < 0 sur 𝐼, sauf peut-être en un nombre fini de points où elle s’annule, alors 𝑓 est strictement décroissante sur 𝐼.

4.2.4) Extremum local Soit 𝑓 dérivable sur un intervalle ouvert 𝐼, et 𝑥0 un réel de 𝐼. -

Si 𝑓admet un extremum local, alors 𝑓′(𝑥0 ) = 0.

-

Si en 𝑥0 la dérivée𝑓′ s’annule en changeant de signe, alors 𝑓 admet un extremum local en 𝑥0 .

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4.2.5) Dérivées des fonctions usuelles Fonction 𝑘 (𝑘 ∈ ℝ)

Fonction dérivée 0

Intervalle ℝ

𝑥

1

ℝ

𝑥𝑛

𝑛 𝑥 𝑛−1

ℝ si 𝑛 ≥ 0 ℝ∗ si 𝑛 < 0 ℝ∗

1 𝑥 √𝑥

1 𝑥2 1

−

]0; +∞[

sin 𝑥

2√𝑥 cos 𝑥

ℝ

cos 𝑥

− sin 𝑥

ℝ

tan 𝑥

1 = 1 + tan2 𝑥 cos2 𝑥 𝑒𝑥

𝑒𝑥

ℝ\ {𝑘

𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ} 2 ℝ

1 𝑥

]0; +∞[

Fonction 𝑢+𝑣

Fonction dérivée 𝑢′ + 𝑣′

Commentaire

𝑘𝑢

𝑘 𝑢′

𝑘 constante

𝑢𝑣

𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣′

1 𝑣 𝑢 𝑣 𝑣[𝑢(𝑥)]

−𝑣′ 𝑣2 𝑢′ 𝑣 − 𝑢𝑣′ 𝑣2 𝑢′(𝑥) × 𝑣′[𝑢(𝑥)]

[𝑢(𝑥)]𝑛

𝑛 × [𝑢(𝑥)]𝑛−1 × 𝑢′(𝑥)

√𝑢(𝑥)

𝑢′(𝑥)

𝑒 𝑢(𝑥)

2√𝑢(𝑥) 𝑢′(𝑥) × 𝑒 𝑢(𝑥)

ln 𝑥

4.2.6) Opérations et composition

ln[𝑢(𝑥)]

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𝑢′(𝑥) 𝑢(𝑥)

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si 𝑣(𝑥) ≠ 0 si 𝑣(𝑥) ≠ 0 dérivation d'une fonction composée 𝑛∈ℤ si 𝑢(𝑥) < 0 lorsque 𝑛 < 0 si 𝑢(𝑥) > 0

si 𝑢(𝑥) > 0

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4.3) Primitives et intégration 4.3.1) Primitives 4.3.1.1) Définition Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 de ℝ . On appelle primitive de 𝑓 sur 𝐼 toute fonction 𝐹 dérivable sur 𝐼, telle que, pour tout 𝑥 de 𝐼 , 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) 4.3.1.2) Propriétés Soit 𝐼 un intervalle de ℝ . -

Toute fonction continue sur 𝐼 admet des primitives sur 𝐼

-

Si 𝑓 admet une primitive 𝐹 sur , alors toute fonction 𝐺 telle que 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑘 , 𝑘 ∈ ℝ, est aussi une primitive de 𝑓.

-

Si 𝐹 et 𝐻 sont deux primitives de 𝑓, alors 𝐻(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑘 , 𝑘 ∈ ℝ

-

Si 𝑓 admet une primitive 𝐹 sur 𝐼, alors 𝑓 admet une infinité de primitives sur 𝐼 :toutes les fonctions de la forme 𝐹 + 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ .

4.3.1.3) Tableau des primitives Fonctions usuelles

𝑥𝑛

Fonctions 0 𝑘 (𝑛 ∈ ℤ\{−1}) 1 𝑥 1 √𝑥 𝑒𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 cos(𝑎𝑥 + 𝑏) sin(𝑎𝑥 + 𝑏)

1 + tan2 𝑥 =

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1 cos2 𝑥

Une primitive 𝑘 𝑘𝑥 𝑥 𝑛+1 𝑛+1 ln 𝑥

Intervalles ℝ ℝ ]0; +∞[

2√𝑥

]0; +∞[

𝑒𝑥 − cos 𝑥 sin 𝑥

ℝ ℝ ℝ ℝ

1 sin(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎 1 − cos(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎 tan 𝑥

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]0; +∞[

ℝ 𝜋 𝜋 ]− ; [ modulo 2𝜋 2 2

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Opérations et composition Dans chaque cas, 𝑢 est une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼. Fonctions 𝑘 𝑢′

Une primitive 𝑘𝑢

𝑢′ + 𝑣′

𝑢+𝑣

𝑢′

2√𝑢

𝑢(𝑥) > 0 sur 𝐼

√𝑢 𝑢′ × 𝑢𝛼 (𝛼 ∈ ℤ\{−1}) 𝑢′ × 𝑒 𝑢

𝑢𝛼+1 𝛼+1 𝑒𝑢

Lorsque 𝛼 < −1 , 𝑢(𝑥) ≠ 0 pour tout 𝑥 dans 𝐼

𝑢′ 𝑢

Intervalles

ln|𝑢|

4.3.2) Intégration 4.3.2.1) Définition Si 𝑓 est une fonction continue avec 𝑎 et 𝑏 deux réels. L’intégrale de 𝑎 à 𝑏 de la fonction 𝑓 est la valeur de 𝐹, primitive de 𝑓, en 𝑏 moins sa valeur en 𝑎. On a : 𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)]𝑏𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎

D’un point de vue géométrique, l’intégrale d’une fonction positive correspond à l’aire sous la courbe. Si la fonction est toujours négative, son intégrale = − aire sous la courbe. 4.3.2.2) Propriétés 𝑏

𝑎

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

𝑏

Relation de Chasles Pour tous 𝑎, 𝑏, 𝑐 réels

𝑏

𝑐

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

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𝑎

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𝑐

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Linéarité Pour tout 𝜆 dans ℝ , 𝑏

𝑏

∫ [𝜆 𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥 = 𝜆 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

𝑏

∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

𝑎

𝑎

4.3.2.3) Intégration par parties Soient 𝑢 et 𝑣 deux fonctions dérivables sur 𝐼 avec 𝑢′ et 𝑣′ continues sur 𝐼 et pour tous 𝑎 et 𝑏 dans 𝐼 𝑏

𝑏

∫ 𝑢(𝑡) × 𝑣′(𝑡) 𝑑𝑡 = [𝑢(𝑡) × 𝑣(𝑡)]𝑏𝑎 − ∫ 𝑢′(𝑡) × 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 𝑎

𝑎

L’intégration par parties peut être utile pour déterminer les primitives de certaines fonctions. 4.4) Equations différentielles 4.4.1) Définition Une équation différentielle est une équation liant une fonction à ses dérivées successives. 4.4.2) Equation différentielle du premier ordre, linéaire à coefficients constants 𝒚′ + 𝒂𝒚 = 𝒃 Résoudre dans un intervalle 𝐼 l’équation différentielle 𝑦 ′ + 𝑎𝑦 = 𝑏 d’inconnue la fonction 𝑦, c’est trouver toutes les fonctions 𝑓 dérivables sur 𝐼 telles que pour tout réel 𝑡 de 𝐼, 𝑓′(𝑡) + 𝑎𝑓(𝑡) = 𝑏. L’équation 𝑦 ′ + 𝑎𝑦 = 0 est l’équation sans second membre associée. Résolution de l’équation Les solutions dans ℝ de l’équation différentielle 𝑦 ′ + 𝑎𝑦 = 𝑏 sont les fonctions 𝑓𝑘 définies pour tout réel 𝑡 par : 𝑓𝑘 (𝑡) = 𝑘 𝑒 −𝑎𝑡 +

𝑏 𝑎

où 𝑘 est un réel quelconque. Dans la pratique, la détermination de 𝑘 se fera à l’aide des conditions initiales. 4.4.3) Equation de l’oscillateur harmonique L’équation différentielle régissant l’évolution de l’oscillateur harmonique est de la forme suivante : Dr A.Sicard

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𝑦 ′′ + 𝜔2 𝑦 = 0 C’est une équation différentielle du second ordre car elle fait intervenir la dérivée seconde 𝑦′′ de 𝑦. Les solutions d’une telle équation sont des sinusoïdes de la forme suivante : 𝑦(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔t + φ) avec 𝐴 et 𝜑 deux réels à déterminer à l’aide des conditions initiales.

Dr A.Sicard

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