04-Utilisation des matrices

Chapitre 4 :

Utilisation des matrices

Spé Maths

- Suite de matrices colonnes (Un) vérifiant une relation de récurrence du type U n+1 = A Un + C : recherche d’une suite constante vérifiant la relation de récurrence / étude de la convergence. - Etude asymptotique d’une marche aléatoire.

I.

Suite de matrices et convergence

Définition : Soient  un n et  vn n deux suites numériques. La suite U n n définie

u  par U n   n  pour tout n entier, est une suite de matrices colonnes de taille 2.  vn  Définition : Une suite de matrices colonnes qui converge est une suite de matrices dont tous les coefficients convergent. La limite de cette suite est la matrice dont les coefficients sont les limites obtenues. Exemple :  7     n n   e  converge vers   2  2n   n 2  3n 

0   0  2  

Rappel : Une suite qui ne converge pas diverge. Exemple de suite du type : U n 1  A  U n On considère que lorsqu’il ne pleut pas, il fait beau… Des observations météorologiques permettent de déterminer que lorsqu’il pleut, il pleut le lendemain avec une probabilité de 0,4, et lorsqu’il fait beau, il pleut le lendemain avec une probabilité de 0,2. Le premier jour de l’année, on a une chance sur 2 qu’il fasse beau. Pour tout entier n  0 , on note pn la probabilité qu’il pleuve le n-ième jour de l’année et qn=1-pn la probabilité qu’il fasse beau le n-ième jour de l’année. p  a) Détermine  1  à partir de l’énoncé.  q1 

 p  0, 4  pn  0, 2  qn b) Traduis ce système avec 2 phrases :  n 1  qn 1  0, 6  pn  0,8  qn c) Détermine la matrice carrée A d’ordre 2 telle que pour tout entier naturel n  0 :  pn 1   pn     A    qn 1   qn  p  p  d) Montre par récurrence que  n   An 1   1  .  q1   qn 

On veut maintenant déterminer An 1 .  0, 25 0,5  1 e) Soit P    . Montre que P est inversible, puis calcule P . 0, 75  0,5   f) Calcule D  P 1  A  P . On en déduit que A  P  D  P 1 g) Détermine An 1 . p  h) Calcule  n  grâce à la relation  qn 

p  pn  n 1  1     A   .  q1   qn  i) Quels sont les limites des suites ( pn ) n et (qn ) n ? Interprète ce résultat. Propriété : Soit

U n n une

suite de matrices colonnes de taille m définie par la

relation de récurrence : U n 1  A  U n pour tout n entier. Alors, on a : U n  An  U 0 pour tout n entier. Démonstration : Exemple :

Par récurrence.

Soient  un n et  vn n deux suites numériques définies pour tout entier

 u 1 u  5un  2vn naturel n par :  0 et  n 1 v0  2 vn 1  3un  vn Calculer u6 et v6 . Exemple de suite du type : U n 1  A  U n  B Dans une zone de chasse, on étudie les populations de lièvres et de renards. On sait qu’au début de chaque année, les populations de lièvres et de renards (en milliers) sont modélisées par :

un 1  1,5  un  11 vn  0,16 ,   vn 1  0,1 un  2  vn  0, 08

où  un n et  vn n désignent les populations de lièvres et de renards relevées. a) Les chasseurs de cette région se sont mis d’accord pour prélever chaque année un nombre fixe de lièvres et un nombre fixe de renards. Combien de chaque ? b) Combien chaque renard mange-t-il de lièvres en moyenne chaque année ? c) Traduis ce système à l’aide d’une égalité matricielle. d) Au bout de quelques années, on s’aperçoit que le nombre de lièvres et de renards relevés reste constant. Combien compte-t-on de lièvres et de renards chaque année ?

II.

Graphes et marche aléatoire

Exemple : On considère 3 joueurs de handball (A, B et C) qui se font des passes. Lorsque le joueur A a la balle, il la passe de préférence au joueur B avec la probabilité 0,7, et donc au joueur C avec la probabilité 0,3. Lorsque le joueur B a la balle, il la transmet aux joueurs A et C avec la même probabilité. Et lorsque le joueur C a la balle, il l’envoie au joueur B dans 80% des cas. On se pose la question de savoir quelle est la probabilité que les joueurs A, B et C possèdent la balle après un grand nombre de passes. a) Réalisation d’un graphe

B

0,7

A

0,5 0,3 0,2

0,5

0,8

C

A, B et C sont les sommets de ce graphe b) Matrice de transition associée

 0 0,5 0, 2    M=  0, 7 0 0,8   0,3 0,5 0   

Transition du sommet A vers les autres sommets

Transition du sommet C vers les autres sommets

Transition du sommet B vers les autres sommets

Définition : On considère la variable aléatoire Xn qui prend les valeurs A, B ou C à l’étape n. A, B ou C sont les états de Xn. La suite (Xn) est appelée marche aléatoire sur l’ensemble des issues {A,B,C}  pn    La matrice Pn   qn  est la matrice colonne des états de la marche aléatoire après n r   n étapes.

Exemple :

Reprenons l’exemple des joueurs de handball.

1   On considère que le joueur A est celui qui a le ballon initialement. On a donc : P0   0  0   La matrice des états de la marche aléatoire après n étapes est donnée par la relation de récurrence :  0 0,5 0, 2    Pn 1  M  Pn avec M   0, 7 0 0,8  , pour tout n    0,3 0,5 0     0, 2318    P5  M 5  P0   0,5048  Après 5 étapes, on a ainsi :  0, 2633    C'est-à-dire qu’après 5 étapes, le joueur A possède le ballon avec la probabilité 23,18%, le joueur B possède le ballon avec la probabilité 50,48% et le joueur C possède le ballon avec la probabilité 26,33%. Proposition : Si la suite  Pn  des états d’une marche aléatoire est convergente et vérifie Pn 1  M  Pn , alors la limite P de cette suite est solution de l’équation P  M  P .

On parle alors d’état stable. Exemple : On admet que la marche aléatoire est convergente. Détermine son état stable. D’après la proposition, on a : P  M P C’est-à-dire : 0  M  P  I3  P On factorise P :

0   M  I3   P

 1 0,5 0, 2   p      0   0, 7 1 0,8    q   0,3 0,5 1   r       p  0,5q  0, 2r  0  On doit résoudre le système associé:  0, 7 p  q  0,8r  0  0,3 p  0,5q  r  0   p  0,5q  0, 2r  0  D’où :  0, 65q  0,94r  0  0, 65q  0,94r  0  Les 2 dernières lignes sont équivalentes, d’où : 0,94 0,94   et p  0,5q  0, 2r   0,5   0, 2  r  0,923r q r  1, 446r 0, 65 0, 65   Comme p  q  r  1 , on doit avoir :

0,923r  1, 446r  r  1

r  0, 2968 et donc : q  1, 446r  0, 4292 et p  0,923r  0, 2740