06 - Espaces probabilisés Cours complet

January 12, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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Espaces probabilisés.

Chapitre 06 : cours complet.

1. Introduction. Définition 1.1 : Définition 1.2 : Définition 1.3 :

univers. évènement aléatoire. évènements impossibles, certains, incompatibles.

2. Espaces probabilisés finis. Définition 2.1 : Définition 2.2 : Théorème 2.1 : Théorème 2.2 : Définition 2.3 : Théorème 2.3 : Théorème 2.4 :

probabilité sur un ensemble fini Ω, mesure de probabilité, espace probabilisé. évènement élémentaire ou atomique. expression d’une probabilité à l’aide d’évènements élémentaires. définition d’une probabilité à l’aide des événements élémentaires. probabilité uniforme sur un ensemble fini. conséquences de la définition d’une probabilité. probabilité d’une réunion d’évènements.

3. Probabilités conditionnelles, indépendance. Théorème 3.1 et définition 3.1 : probabilité conditionnelle. Théorème 3.2 : formule des probabilités composées. Définition 3.2 : indépendance d’évènements. Théorème 3.3 : caractérisation de l’indépendance de deux évènements. Théorème 3.4 : liens entre les notions d’indépendance. Théorème 3.5 : indépendance et passage au complémentaire. Définition 3.3 : système complet d’évènements. Théorème 3.6 : formule des probabilités totales. Théorème 3.7 : formule de Bayes. 4. Ensembles dénombrables. Définition 4.1 : Définition 4.2 : Définition 4.3 : Théorème 4.1 : Théorème 4.2 : Théorème 4.3 : Théorème 4.4 : Théorème 4.5 :

ensemble fini. (hors programme) ensemble infini.

ensemble dénombrable. énumération des éléments d’un ensemble fini ou dénombrable. (hors programme) parties de . (hors programme) caractérisation des ensembles finis ou dénombrables. produit cartésien d’ensembles dénombrables. (hors programme) réunion dénombrable d’ensembles au plus dénombrables.

5. Espaces probabilisés. Définition 5.1 : Théorème 5.1 : Définition 5.2 : Théorème 5.2 : Théorème 5.3 : Rappel : Théorème 5.4 : Théorème 5.5 : Théorème 5.6 :

tribu. propriétés élémentaires d’une tribu. probabilité sur (Ω,A), espace probabilisé. conséquences de la définition d’une probabilité. probabilité d’une partie finie. correspondance de vocabulaire. continuité croissante et décroissante d’une probabilité. probabilité d’une réunion d’évènements. existence d’une probabilité sur un ensemble dénombrable.

6. Probabilités conditionnelles. Théorème 6.1 et Définition 6.1 : probabilité conditionnelle. Théorème 6.2 : formule des probabilités composées. Théorème 6.3 : généralisation de la formule des probabilités composées. Définition 6.2 : indépendance d’évènements et indépendance mutuelle. Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

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Théorème 6.4 : Théorème 6.5 : Définition 6.3 : Théorème 6.6 : Définition 6.4 : Théorème 6.7 : Théorème 6.8 :

caractérisation de l’indépendance de deux évènements. liens entre les notions d’indépendance. système complet dénombrable d’évènements. formule des probabilités totales. événement presque sûr, événement négligeable. généralisation (système quasi complet d’événements). formule de Bayes.

Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

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Espaces probabilisés.

Chapitre 06 : cours complet.

1. Introduction. La théorie des probabilités a pour ambition de décrire des phénomènes aléatoires (ou soumis au hasard). Une expérience dans le contexte qui suit est une situation renouvelable qui donne lieu à l’obtention d’un résultat quantifiable. Une expérience (ou phénomène) aléatoire est une situation renouvelable dont le résultat est susceptible de varier à chaque essai de façon non prévisible. Etudier un phénomène aléatoire suppose donc : • d’isoler et de définir tout d’abord une expérience aléatoire précise, • de construire un modèle probabiliste de cette expérience, • de valider ce modèle en confrontant les résultats auxquels il conduit aux données recueillies lors de l’expérience en question. Ce dernier point est l’objet de la statistique. Si le modèle est validé (à supposer qu’on comprenne clairement ce que cela signifie), on pourra considérer le modèle comme valable, et donc pertinent pour faire des prédictions sur l’expérience et d’en proposer une explication. Exemple : le lancer d’un dé à 6 faces. Ici, l’expérience est simple, puisque c’est le lancer de dé. Le résultat de cette expérience est le nombre de points obtenus sur la face supérieure du dé. Dans l’acceptation intuitive que l’on a des choses, on considèrera que chaque valeur (entre 1 et 6) a autant de « chances » de sortir. L’observation de cette expérience sur un grand nombre de cas (étude statistique) devrait permettre de valider cette hypothèse ou de mettre en évidence par Exemple un déséquilibre du dé, et de fait, de modifier la modélisation (autant de chances pour chaque résultat) qu’on avait faite de cette expérience. Définition 1.1 : univers. Etant donné une expérience aléatoire, on appelle univers de cette expérience l’ensemble généralement noté Ω des résultats possibles de cette expérience (ou ensemble des « éventualités », des « réalisations », des « issues » de cette expérience). Remarques : • en pratique, cet ensemble Ω n’est pas toujours précisé. • l’ensemble Ω doit être choisi pour être adapté à l’expérience étudiée. • l’ensemble Ω dépend de l’expérience et de ce que l’on veut étudier sur l’expérience. • il existe souvent plusieurs choix possibles pour Ω et il est difficile de justifier que ces différents choix conduiront à des résultats identiquement en accord avec l’expérience. C’est par le biais des statistiques qu’a posteriori on peut justifier de la pertinence du choix de Ω et de son adéquation avec l’expérience. Exemples 1.1. • le lancer d’un dé à six faces et l’examen du résultat : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, soit 6 éléments, • le lancer d’une pièce : Ω = {P,F}, soit 2 éléments, • le lancer simultané de deux dés discernables et l’examen des nombres apparaissant sur les dés : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}×{1, 2, 3, 4, 5, 6}, soit 36 éléments, • dans une urne avec 1 boule blanche et deux boules noires, le tirage d’une boule : Ω = {B,N}, le tirage successif de deux boules avec remise : Ω = {(B,B), (B,N), (N,B), (N,N)}, le tirage successif de deux boules sans remise : Ω = {(B,N), (N,B), (N,N)}, le tirage simultané de deux boules : Ω = {{B,N}, {N,N}}, (en notant l’ambiguïté de la Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

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notation {N,N}) puisque dans la description d’un ensemble, on ne répète pas un élément, • une distribution de cartes entre 4 joueurs de bridge : Ω est l’ensemble des répartitions possibles de 52 cartes en une partition de ces 52 cartes en 4 sous-parties de 13 cartes chacune soit un ensemble de 53 644 737 765 488 792 839 237 440 000 éléments, • la désintégration d’un noyau d’uranium 238 : Ω = ]0,+∞), soit l’ensemble des instants possibles où le noyau se désintègre, après le début de l’observation, ou : Ω = *, si on discrétise l’échelle des temps. Définition 1.2 : évènement aléatoire. Etant donné une expérience, on appelle évènement aléatoire (ou évènement) un état pouvant être observé ou pas suivant le résultat de cette expérience. En termes de logique, cela correspond à une proposition portant sur le résultat de l’expérience, qui pourra être vraie ou fausse suivant le résultat obtenu. Exemples 1.2. (en reprenant les items de l’Exemple 1) • dans le lancer d’un seul dé : événement : « le dé donne un nombre pair », A = {2,4,6}, • dans le lancer d’une pièce : événement : « la pièce donne Pile », A = {P}, • dans le lancer simultané de deux dés discernables : événement : « la somme des dés est plus grande que 10 », A = {(6,4), (5,5), (4,6), (6,5), (5,6), (6,6)}, • avec une urne contenant 1 boule blanche et 2 boules noires : tirage d’une boule : événement : « la boule tirée est blanche » A = {B}, tirage successif de deux boules avec remise : événement : « l’une des boules tirées est noire », A = {(B,N), (N,B), (N,N)}, tirage successif de deux boules sans remise : événement : « l’une des boules tirées est noire », A = Ω, tirage simultané de deux boules : événement : « l’une des boules tirées est blanche », A = {{B,N}}, • dans la distribution de cartes entre 4 joueurs de bridge : événement : « chaque joueur n’a qu’une seule couleur dans son jeu », A est formé de 24 éléments, chaque élément est une répartition {{13 trèfles}, {13 cœurs}, {13 carreaux}, {13 piques}} en permutant les jeux attribués à chaque joueur, • dans la désintégration d’un noyau d’uranium 238 : événement : « au bout d’une heure, le noyau s’est désintégré », A = ]0,3600] (avec le temps exprimé en secondes, cas continu), A = {1, 2, …, 3600} (cas discret). Définition 1.3 : évènements impossibles, certains, incompatibles. Etant donné une expérience, on dit qu’un évènement A est impossible s’il ne se réalise jamais, autrement dit : ∀ ω ∈ Ω, ω ∉ A, soit encore : A = ∅. De même, un évènement A est dit certain s’il se réalise toujours, autrement dit : ∀ ω ∈ Ω, ω ∈ A, soit encore : A = Ω. Enfin, deux évènements A et B sont dits incompatibles s’ils ne peuvent jamais se réaliser en même temps, soit : ∀ ω ∈ Ω, ω ∉ A ∩ B, ou encore : A ∩ B = ∅. Remarques : • On considère que si A est un évènement, son contraire (soit A ) est aussi un évènement, Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

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• Si on considère deux évènements A et B, on imagine que leur conjonction A et B est encore un évènement, • De même, pour deux évènements A et B, leur disjonction A ou B est encore un évènement. correspondance de vocabulaire : probabiliste ⇔ ensembliste résultat possible de l’expérience ω, élément de Ω évènement A, sous-ensemble de Ω A est réalisé ω ∈ A A implique B A ⊂ B A ou B A ∪ B A et B A ∩ B contraire de A (A ne se produit pas) A (complémentaire de A dans Ω) évènement impossible ∅ évènement certain Ω A et B sont incompatibles A ∩ B = ∅ Exemples 1.3 : le lancer simultané de deux dés indiscernables. • dans ce cas, il peut être utile de supposer les dés discernables (par Exemple de couleurs différentes) puis oublier cette caractéristique dans les conclusions. • par Exemple si on veut examiner : événement : « la somme des nombres affichés est supérieure à 9 », on pourrait envisager : Ω = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (tous les résultats possibles), A = {9,10,11,12}, mais on verra qu’il est alors difficile d’évaluer avec quelle fréquence on obtiendra tel ou tel résultat (ou quelle probabilité affecter à tel ou tel événement). Il peut alors être plus judicieux de rendre les dés artificiellement discernables et : Ω = {1,2,3,4,5,6}×{1,2,3,4,5,6} (tous les couples possibles de résultats), et A devient : A’ = {(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)}. Il sera alors plus facile d’évaluer les fréquences d’occurrence (et les probabilités sur Ω). • si on considère l’évènement « obtenir une somme supérieure ou égale à 9 », il est légitime d’envisager l’évènement « obtenir une somme strictement inférieure à 9 ». • les événements suivants sont incompatibles : « obtenir une somme paire », « obtenir une somme impaire », et les parties correspondantes de Ω sont disjointes. • si on peut considérer : événement A : « obtenir une somme supérieure ou égale à 11 » , représenté par A = {(5,6),(6,5),(6,6)} événement B : « obtenir au moins un 5 », représenté par : B = {(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6,5)} on peut considérer leur conjonction ou leur disjonction : événement A et B : « obtenir une somme supérieure ou égale à 11 avec au moins un 5 », A ∩ B = {(5,6),(6,5)}, événement A ou B : « obtenir une somme supérieure ou égale à 11 ou au moins un 5 », A ∪ B = {(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6,5),(6,6)}. 2. Espaces probabilisés finis. Définition 2.1 : probabilité sur un ensemble fini Ω, mesure de probabilité, espace probabilisé. Soit Ω un ensemble fini. On appelle probabilité sur Ω (ou mesure de probabilité sur Ω) une application P de P(Ω) dans [0,1] telle que : • P (Ω) = 1 , • pour tout couple d’évènements disjoints A et B (et donc tels que : A ∩ B = ∅ ), on a : Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

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P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) Un tel couple (Ω,P) est alors appelé espace probabilisé. Définition 2.2 : évènement élémentaire ou atomique, événement négligeable, presque sûr. Soit (Ω,P), en espace probabilisé fini. Tout singleton {ω} de P(Ω) est appelé évènement élémentaire ou atomique. On dira qu’un événement A de P(Ω) est négligeable lorsque : P ( A) = 0 . On dira qu’un événement A de P(A) est presque sûr lorsque : P ( A) = 1 . Remarques : • Ω est appelé comme indiqué dans la partie 1 univers de l’expérience. • Cet univers doit donc être choisi pour être en adéquation avec l’expérience, en particulier pour que toute partie de Ω représente bien un événement. Lorsque ça n’est pas le cas, il existe une notion plus générale (les tribus, voir cours de spé) qui permet de contourner cette difficulté. Par Exemple lorsque l’on lance deux dés indiscernables, il arrive couramment qu’on rende les dés artificiellement discernables (numérotés 1 et 2), mais alors la partie {(5,6)} de l’univers « naturel » : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}×{1, 2, 3, 4, 5, 6}, ne représente pas un évènement de l’expérience « réelle » (alors que {(5,6),(6,5)} le pourrait). • Dans le cas de certaines particules quantiques, si on cherche le nombre de possibilités par Exemple pour deux bosons d’occuper un certain nombre d’états quantiques différents (deux états A et B par Exemple), il n’est plus possibles de les considérer comme deux particules discernables. En effet les particules sont effectivement modélisées par des éléments indiscernables. Envisager par Exemple les états (A1, A2), (A1, B2), (B1, A2) et (B1, B2) avec une probabilité identique pour chaque état n’est pas correct et on retiendrait alors (A,A), (A,B) et (B,B) avec une probabilité uniforme contrairement à ce qu’on ferait classiquement avec deux pièces. Théorème 2.1 : expression d’une probabilité à l’aide d’évènements élémentaires. Soit (Ω,P) un espace probabilisé fini. Alors : ∀ A ⊂ Ω, P ( A) = P(ω ) , (où on a noté : P(ω ) = P({ω}) ).



ω∈ A

Démonstration : Par récurrence sur le nombre d’éléments de A. Si A est un singleton c’est immédiat. Si on admet le résultat pour toute partie de Ω comportant k éléments (avec : k ≥ 1), alors soit A une partie de Ω comportant (k+1) éléments et notons : A = {ω} ∪ A' , avec : A' = k , et donc tel que : {ω} ∩ A’ = ∅. Alors : P ( A) = P ({ω k +1 }) + P ( A' ) = P (ω k +1 ) +

∑ P(ω ) = ω∑ P(ω ) .

ω∈ A '

∈A

Théorème 2.2 : définition d’une probabilité à l’aide des événements élémentaires. Soit Ω un ensemble fini de cardinal n. Soient (p1, …, pn) des réels positifs de somme 1. Si on note a1, …, an les éléments de Ω, alors l’application P définie sur P(Ω) par : • ∀ 1 ≤ i ≤ n, P ({ai }) = p i , • ∀ A ∈ P(Ω), P ( A) =

∑ P({a}) , a∈A

définit sur Ω une probabilité. Avec le théorème 2.1, on en déduit que toute probabilité sur un ensemble fini est déterminée de façon unique par sa valeur sur les événements élémentaires. Démonstration : • P ainsi définie est clairement à valeurs dans +. • on a : P (Ω) =

n

n

i =1

i =1

∑ P({a}) = ∑ P({ai }) = ∑ pi = 1 .

a∈Ω

Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

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• ∀ (A,B) ∈ P(Ω)2, tel que : A ∩ B = ∅, on a :

P( A ∪ B) =

∑ P({a}) = ∑ P({a}) + ∑ P({a}) = P( A) + P( B) .

a∈A∪ B

a∈A

a∈B

Définition 2.3 : probabilité uniforme sur un ensemble fini. Soit Ω un ensemble fini de cardinal n. On appelle probabilité uniforme sur Ω l’application définie par : ∀ ω ∈ Ω, P ({ω }) = P (ω ) =

1 1 = . n card (Ω) card ( A) On a alors : ∀ A ∈ P(Ω), P ( A) = . card (Ω) Exemples 2.1. • le résultat du lancer d’un dé équilibré conduira à choisir : Ω = {1,2,3,4,5,6}, et P la probabilité uniforme sur Ω, définie par : ∀ 1 ≤ i ≤ 6, P (i ) = • le résultat du lancer d’un dé pipé (donnant plus souvent 6) conduira à choisir : Ω = {1,2,3,4,5,6}, et P telle que :

P ( 6) =

1 . 6

1 1 1 2 (par Exemple), et : ∀ 1 ≤ i ≤ 5, P (i ) = (1 − ). = , 3 3 5 15

de telle sorte que la somme des probabilités fasse bien 1. • la somme des faces pour le lancer de deux dés indiscernables non pipés : on pourrait choisir : Ω = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, mais la loi de probabilité n’est pas simple à déterminer, on choisira : Ω = {1,2,3,4,5,6}×{1,2,3,4,5,6}, en rendant les dés artificiellement discernables parce qu’ainsi on munit Ω de la probabilité uniforme. Théorème 2.3 : conséquences de la définition d’une probabilité. Soit (Ω,P) un espace probabilisé fini. • P(∅) = 0, • ∀ A ∈ P(Ω), P ( A) = 1 − P ( A) , • ∀ (A,B) ∈ P(Ω)2, (A ⊂ B) ⇒ ( P ( A) ≤ P ( B ) ) • ∀ (A,B) ∈ P(Ω)2, P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) . • en particulier : ∀ (A,B) ∈ P(Ω)2, P ( A ∪ B ) ≤ P ( A) + P ( B ) . Démonstration : • Puisque : ∅ ∩ ∅ = ∅, on a : P(∅ ∪ ∅) = P(∅) = P(∅) + P(∅), et : P(∅) = 0. • Puisque : A ∩ A = ∅, on a : P(A ∪ A ) = P(Ω) = P(A) + P( A ), soit : P( A ) = 1 – P(A). • Pour : A ⊂ B, on peut écrire : B = A ∪ (B \ A), avec : A ∩ (B \ A) = ∅. Donc : P(B) = P(A) + P(B \ A), et P étant à valeurs positives, on déduit : P(B) ≥ P(A). • On part ensuite de : A = (A \ B) ∪ (A ∩ B), union disjointe, et : P(A) = P(A \ B) + P(A ∩ B), B = (B \ A) ∪ (A ∩ B), union disjointe, et : P(B) = P(B \ A) + P(A ∩ B), (A ∪ B) = (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B \ A), et : P(A ∪ B) = P(A \ B) + P(A ∩ B) + P(B \ A), et en soustrayant les deux premières égalités à la troisième, on obtient le résultat. • puisque P(A ∩ B) est positive, on en déduit le dernière résultat. Remarque : On peut également établir ces résultats en examinant tous les éléments des ensembles considérés et en utilisant le théorème 2.1. Exemple 2.2. On considère le lancer de trois dés indiscernables et équilibrés et on cherche la probabilité que deux au moins des trois dés présentent des résultats égaux. Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

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On utilise ici l’univers : Ω = {1,2,3,4,5,6}3, (en rendant les trois dés artificiellement discernables) et la probabilité uniforme sur Ω. Il est plus facile de chercher la probabilité que les trois dés donnent des résultats différents. Il y a : 6.5.4 = 120 cas où cela arrive et une probabilité égale à : p = Donc la probabilité cherchée est : p ' = 1 −

6 .5 .4 5 = . 9 63

5 4 = . 9 9

Théorème 2.4 : probabilité d’une réunion d’évènements. Soit (Ω,P) un espace probabilisé fini. Si (An)1≤i≤n est une famille finie d’évènements de Ω, alors : P( A1 ∪ ... ∪ An ) ≤ P( A1 ) + ... + P( An ) . En particulier si les événements Ai sont incompatibles deux à deux, alors :

P( A1 ∪ ... ∪ An ) = P( A1 ) + ... + P ( An )

Démonstration : On le démontre par récurrence sur le nombre de parties (Ai) de Ω. Pour une seule partie A1, c’est immédiat. Si on suppose le résultat établi pour n parties de Ω (avec : n ≥ 1), on peut alors considérer (n+1) parties de Ω et écrire : P ( A1 ∪ ... ∪ An +1 ) ≤ P ( A1 ∪ ... ∪ An ) + P ( An +1 ) ≤ P ( A1 ) + ... + P ( An ) + P ( An +1 ) , en utilisant le théorème 2.3 (pour la première inégalité). Pour le deuxième résultat, on peut également le démontrer par récurrence, en remarquant que dans la phase d’hérédité, l’inégalité obtenue est une égalité puisque : ( A1 ∪ ... ∪ An ) ∩ An +1 = ( A1 ∩ An +1 ) ∪ ... ∪ ( An ∩ An +1 ) = ∅. Exemple 2.3. Dans le lancer d’un dé équilibré à 6 faces, on note les événements : Ak = « obtenir le nombre k », pour : 1 ≤ k ≤ 6. On choisit l’univers : Ω = {1,2,3,4,5,6}, muni de la probabilité uniforme. Les événements A1 et A2 sont incompatibles et donc : P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) = P ( A1 ∪ A2 ) = P ( A1 ) + ( A2 ) =

1 1 1 + = . 6 6 3

Remarque : L’égalité obtenue dans le théorème 2.3 pour une union de deux parties de Ω est généralisée dans le théorème 2.4 dans le cas de n parties disjointes 2 à 2. Le formule donnant la probabilité d’une réunion dans le cas général de n parties quelconques est appelée formule du crible ou formule de Poincaré et est hors programme (voir exercices). 3. Probabilités conditionnelles, indépendance. Théorème 3.1 et définition 3.1 : probabilité conditionnelle. Soit (Ω,P) un espace probabilisé fini. Si B est un évènement tel que : P(B) > 0, alors l’application PB définie par : ∀ A ∈ P(Ω), PB ( A) =

P( A ∩ B) , P ( B)

est une probabilité sur Ω, appelée probabilité conditionnelle sachant B. On notera également : PB ( A) = P ( A B ) , et on lira « probabilité de A sachant B ». Démonstration : • PB est correctement définie sur P(Ω) et à valeurs dans [0,1] car : ∀ A ∈ P(Ω), PB ( A) =

P( A ∩ B) P( A ∩ B) P( B) ≥ 0, et : PB ( A) = ≤ = 1 , puisque : A ∩ B ⊂ B. P ( B) P( B) P( B)

Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

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• PB (Ω) =

P (Ω ∩ B ) P ( B ) = = 1. P( B) P( B)

• ∀ (C,D) ∈ P(Ω)2, si : C ∩ D = ∅, alors : (C ∩ B) ∩ (D ∩ B) = ∅, et :

PB (C ∩ D) =

P((C ∩ D) ∩ B) P((C ∩ B ) ∩ ( D ∩ B )) P(C ∩ B) + P( D ∩ B) = = = PB (C ) + PB ( D) . P( B) P( B) P( B)

convention : Si (Ω,P) est un espace probabilisé fini et si : B ∈ P(Ω), avec : P ( B ) = 0 , alors on convient de noter :

P( A B) = 0 . Théorème 3.2 : formule des probabilités composées. Soit (Ω,P) un espace probabilisé fini. Soient A et B deux évènements de P(Ω), tels que : P(A) ≠ 0, P(B) ≠ 0. Alors : P ( A ∩ B ) = PB ( A).P ( B ) = PA ( B ).P ( A) . Démonstration : Il suffit de reprendre la définition des probabilités conditionnelles en échangeant les rôles de A et de B. Exemple 3.1. Dans un chapeau il y a 10 tickets numérotés de 1 à 10. On tire successivement trois tickets du chapeau. Quelle est la probabilité de ne tirer que des numéros pairs ? Notons Ai l’événement : « le ième ticket tiré est pair ». L’événement dont on cherche la probabilité est donc : A1 ∩ A2 ∩ A3.

5 1 = . 10 2 4 De même : PA1 ( A2 ) = , qui correspond à tirer un deuxième ticket pair sachant que le premier l’est. 9 3 Enfin : PA1 ∩ A2 ( A3 ) = , qui correspond à tirer un troisième ticket pair sachant que les deux premiers 8 Alors : P ( A1 ) =

sont pairs. Finalement, la probabilité cherchée est :

1 4 3 1 P ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = PA1 ∩ A2 ( A3 ).P ( A1 ∩ A2 ) = PA1 ∩ A2 ( A3 ).PA1 ( A2 ).P ( A1 ) = . . = . 2 9 8 12 Remarque : On pourra chercher à préciser l’univers Ω utilisé ici et décrire les événements précédents comme des parties de Ω. On pourra noter que pour un choix « naturel » de Ω, la probabilité utilisée est la probabilité uniforme. Remarque : généralisation de la formule précédente

 n−1

Si pour : n ≥ 2, A1, …, An sont des événements de P(Ω) tels que : P



I A  ≠ 0 , alors :

 i =1

i



  P I Ai  = P ( A1 ).PA1 ( A2 ).PA1 ∩ A2 ( A3 )...PA1 ...∩ An −1 ( An ) .  i =1  n

On déduit ce résultat immédiat par récurrence à partir du théorème 3.2, en remarquant au préalable n −1

 j  que puisque : ∀ 1 ≤ j ≤ n – 1, I Ai ⊂ I Ai , on a : P I Ai  ≠ 0 . i =1 i =1  i =1  j

Définition 3.2 : indépendance d’évènements. Soit (Ω,P), un espace probabilisé fini. Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

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• Deux évènements A et B de P(Ω) sont dits indépendants si et seulement si : P ( A ∩ B ) = P ( A).P ( B ) . • Des évènements d’une famille (Aj)1≤i≤n de parties de Ω sont dits indépendants dans leur ensemble (ou mutuellement indépendants) si et seulement si : ∀ J ⊂ n, on a : P ( Ai ) = P( Ai ) .

I i∈J

∏ i∈J

Théorème 3.3 : caractérisation de l’indépendance de deux évènements. Soit (Ω,P) un espace probabilisé fini et soit : (A,B) ∈ P(Ω)2. Si : P(B) > 0, alors A et B sont indépendants si et seulement si : PB ( A) = P ( A) . Démonstration :

P( A ∩ B) . P ( B) Donc A et B sont indépendants si et seulement si : P ( A ∩ B ) = P ( A).P ( B ) , d’où le résultat. Ce résultat est immédiat car si : P(B) ≠ 0, alors : PB ( A) =

Remarque : La lecture de la dernière égalité signifie que la probabilité d’obtenir A (sans autre indication supplémentaire) est la même que celle d’obtenir A sachant B, autrement dit, la connaissance de la réalisation ou non de B n’influe en rien sur la connaissance de la réalisation de A. Remarque : Il ne faut pas confondre indépendance et incompatibilité. • Des événements incompatibles sont très rarement indépendants. En effet, deux événements A et B sont incompatibles si et seulement si on a : A ∩ B = ∅. Ils ne peuvent alors être indépendants que si : P(A) = 0, ou : P(B) = 0. • Par Exemple dans le lancer d’une pièce (équilibrée), obtenir Pile ou Face sont deux événements incompatibles mais pas indépendants. En effet : P ({Face}) =

1 1 1 1 = P ({Pile}) , alors que : P({Face} ∩ {Pile}) = P(∅) = 0 ≠ . = . 2 2 2 4

Intuitivement, si on n’obtient pas Pile on a de fortes chances (!) d’obtenir Face. Exemple 3.2. On reprend l’Exemple 3.1 (un chapeau et 10 tickets numérotés de 1 à 10). Si on tire deux tickets successivement avec remise, obtenir un ticket numéroté pair au 2ème tirage ne dépend pas de ce qu’on a obtenu au premier tirage. En effet, en notant Ai l’événement « le ième ticket tiré porte un numéro pair », alors :

P ( A1 ) =

5 1 5 .5 1 = = P ( A2 ) , et : P ( A1 ∩ A2 ) = = = P ( A1 ).P ( A2 ) . 10 2 10.10 4

La deuxième probabilité est obtenue avec une probabilité uniforme sur l’ensemble des couples de nombres de 1 à 10, modélisant ainsi les deux tirages successifs (avec remise). Il y a bien indépendance « mathématique » des événements, confirmant l’indépendance « intuitive » qu’on peut imaginer. Théorème 3.4 : liens entre les notions d’indépendance. Soit (Ω,P) un espace probabilisé fini. • la condition d’indépendance pour une famille de n évènements correspond en fait à satisfaire 2 n − n − 1 égalités. • si : n = 2, dans la définition précédente, on retrouve la première définition. • si des évènements sont mutuellement indépendants, ils sont indépendants deux à deux, mais la réciproque est fausse. Démonstration : • si l’ensemble d’indices J considéré comporte 0 indice (J = ∅) ou 1 indice (un singleton), la condition d’indépendance est toujours satisfaite (soit en tout 0 égalité). Donc l’indépendance de n événements correspond bien à 2n (nombre de familles d’indices possibles) Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

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moins (n + 1) familles d’indices et donc 2 n − n − 1 conditions à satisfaire. • pour un ensemble J d’indices avec : n = 2, éléments, et donc : A1 = A, A2 = B, il y a une seule condition à satisfaire correspondant à : P ( A1 ∩ A2 ) = P ( A ∩ B ) = P ( A).P ( B ) = P ( A1 ).P ( A2 ) . • supposons que (Ai)1≤i≤n soit une famille de n événements mutuellement indépendants. Alors pour tout couple (Ai, Aj), avec : i ≠ j, on utilise l’ensemble d’indices : J = {i,j}, et on réécrit l’égalité pour cet ensemble J qui donne : P(Ai ∩ Aj) = P(Ai).P(Aj), soit bien l’égalité qui montre l’indépendance de Ai et de Aj. • si on considère un ensemble : Ω = {a,b,c,d}, muni de la probabilité uniforme et les événements : A = {a,d}, B = {b,d}, et : C = {c,d}, alors : P ( A) = P ( B) = P (C ) =

1 , avec le théorème 2.1. 2

Puis : P ( A ∩ B ) = P ({d }) =

1 = P ( A).P ( B ) , de même pour P ( A ∩ C ) et P ( B ∩ C ) . 4 1 1 Mais : P ( A ∩ B ∩ C ) = P ({d }) = , alors que : P ( A).P ( B ).P (C ) = . 4 8 Ils sont donc indépendants deux à deux sans être mutuellement indépendants.

Remarque : Ces conditions correspondent bien à l’idée « intuitive » qu’on peut se faire de l’indépendance. Considérons en effet un lancer simultané de deux dés à six faces, et les événements : A : « le premier dé donne un résultat pair », B : « le second dé donne un résultat pair », C : « la somme des deux dés est paire ». Alors : P ( A) = P ( B ) =

1 . 2

Par Exemple, pour A il y a 3 cas favorables (2, 4, 6) sur 6 cas au total (1,2,3,4,5,6). De même en examinant tous les cas (36 possibilités en tout) :

P (C ) =

1 1 , P( A ∩ B) = P( A ∩ C ) = P( B ∩ C ) = . 2 4

Pour P(C) par Exemple, cela correspond aux 18 sommes favorables : 2 (1 couple : (1,1)), 4 (3 couples : (1,3), (2,2), (3,1)), 6 (5 couples : (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)), 8 (5 couples : (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)), 10 (3 couples : (4,6), (5,5), (6,4)) et 12 (1 couple : (6,6)) sur 36 cas au total possibles. Autrement dit les événements A,B et C sont deux à deux indépendants. Mais, toujours avec l’examen de tous les cas : P ( A ∩ B ∩ C ) =

1 1 ≠ = P ( A).P ( B ).P (C ) . 4 8

C’est assez cohérent avec l’approche « intuitive » qu’on a des choses. En effet, si A et B sont réalisés (les deux dés donnent chacun un résultat pair), la somme a de très fortes chances (!) d’être paire également. Théorème 3.5 : indépendance et passage au complémentaire. Soit (Ω,P) un ensemble probabilisé fini. Soient A et B deux événements de P(Ω) indépendants. Alors A et B , sont indépendants ainsi que A et B, ou encore A et B . Démonstration : On commence par calculer : P ( A ∩ B ) = P ( A \ ( A ∩ B )) = P ( A) − P ( A ∩ B ) , puisque [A \ (A ∩ B)] et (A ∩ B) sont disjoints. Donc : P ( A ∩ B ) = P ( A) − P ( A).P ( B ) = P ( A).[1 − P ( B )] = P ( A).P ( B ) . Les autres résultats s’obtiennent par passage au complémentaire. Définition 3.3 : système complet d’évènements. Soit (Ω,P) un espace probabilisé fini. On dit que (Ai)n1≤i≤n est un système complet d’évènements si et seulement si : Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

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• ∀ (i,j) ∈ •

n

UA

i

2 n ,

(i ≠ j) ⇒ (Ai ∩ Aj = ∅), (incompatibles deux à deux),

= Ω.

i =1

La famille (Ai)1≤i≤n forme une partition de l’ensemble Ω. Exemples 3.3. • dans un lancer unique de pièce, les événements « obtenir Pile » et « obtenir Face » forment un système complet d’événements. • dans une urne se trouvent 3 boules Rouges et 1 boule Noire. cas 1 : on tire une boule de l’urne successivement et sans remise 4 fois de suite. Les événements : Ai = « on tire une boule Noire au ième tirage », 1 ≤ i ≤ 4, forment un système complet d’événements. En effet, le fait qu’il n’y ait qu’une seule boule Noire fait que ces événements sont incompatibles et puisqu’on tire 4 boules en tout et que l’urne contient aussi 4 boules, la réunion de ces événements donne bien l’univers de l’expérience. cas 2 : si en revanche on ne procède qu’à 3 tirages (dans la même configuration), les événements : Ai = « on tire une boule Noire au ième tirage », 1 ≤ i ≤ 3, ne forment plus un système complet d’événements. En effet ces événements sont toujours incompatibles, mais leur réunion ne donne plus l’univers de l’expérience car le cas où l’on tire 3 fois une boule Rouge n’est pas obtenu à l’aide des événements précédents. Théorème 3.6 : formule des probabilités totales. Soit (Ω,P) un espace probabilisé fini et (Ai)1≤i≤n un système complet d’évènements tel que : ∀ 1 ≤ i ≤ n, P(Ai) ≠ 0. Alors pour tout : B ∈ P(Ω), on a : n

n

i =1

i =1

P ( B ) = ∑ P ( B ∩ Ai ) = ∑ PAi ( B ).P ( Ai ) . Démonstration : Il suffit d’écrire : ∀ B ∈ P(Ω), B = B ∩ Ω = B ∩ (

n

n

i =1

i =1

U Ai ) = U ( B ∩ Ai ) .

Puis : ∀ 1 ≤ i ≠ j ≤ n, ( B ∩ Ai ) ∩ ( B ∩ A j ) = B ∩ Ai ∩ A j = ∅. Les événements (B ∩ Ai) sont donc deux à deux incompatibles et par récurrence sur le nombre d’événements du système complet, on obtient : n

n

i =1

i =1

P ( B ) = ∑ P ( B ∩ Ai ) = ∑ PAi ( B ).P ( Ai ) . Exemples 3.4. • Dans un chapeau se trouvent 10 tickets numérotés de 1 à 10, et on tire deux tickets de suite sans remise. Quelle est la probabilité qu’au deuxième tirage, le numéro tiré soit pair ? On considère les événements : Pk = « le numéro obtenu au kème tirage est pair », pour : 1 ≤ k ≤ 2, Ik = « le numéro obtenu au kème tirage est impair », pour : 1 ≤ k ≤ 2. {P1, I1} constitue alors un système complet d’événements. On cherche la probabilité P(P2), qui s’obtient donc avec :

4 1 5 1 1 P ( P2 ) = PP1 ( P2 ).P ( P1 ) + PI1 ( P2 ).P ( I 1 ) = . + . = . 9 2 9 2 2

• Etant donné deux urnes indiscernables, dans la première urne u1 se trouvent 3 boules Rouges et 2 boules Noires et dans la seconde u2 se trouvent 3 boules Rouges et 5 boules Noires. On choisit au hasard une urne, puis on tire une boule de cette urne. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit Noire ? On suppose tout d’abord que l’urne choisie l’est de façon équiprobable puis que les boules dans les deux urnes sont indiscernables et donc que la probabilité modélisant l’extraction d’une boule est Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

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uniforme. On utilise alors le système complet d’événements : Ui = « l’urne choisie pour le tirage est l’urne numéro i », pour : 1 ≤ i ≤ 2. Alors l’événement : N = « la boule tirée est Noire », a pour probabilité :

2 1 5 1 41 P ( N ) = PU1 ( N ).P (U 1 ) + PU1 ( N ).P (U 1 ) = . + . = . 5 2 8 2 80 Théorème 3.7 : formule de Bayes. Soit (Ω,P) un espace probabilisé fini. Si A et B sont événements de probabilité non nulle, alors : PB ( A) =

P ( A).PA ( B) . P( B)

Si de plus (Ai)1≤i≤n un système complet d’évènements tel que : ∀ 1 ≤ i ≤ n, P(Ai) ≠ 0, alors : ∀ B ∈ P(Ω), tel que : P(B) > 0, on a : ∀ 1 ≤ j ≤ n, PB ( A j ) =

P( A j ).PA j ( B)

.

n

∑ P( A ).P i =1

i

Ai

( B)

Démonstration : La démonstration est immédiate, puisque par définition, pour : P(B) ≠ 0, on a :

P( A ∩ B) , et donc : P ( A ∩ B ) = PB ( A).P ( B ) . P ( B) De même pour : P(A) ≠ 0, on a : P ( A ∩ B ) = PB ( A).P ( B ) . PB ( A) =

D’où le résultat avec l’égalité qui en découle. Le deuxième point s’obtient en remarquant simplement que : P ( B ) =

n

∑ P( A ).P i =1

i

Ai

( B) , par la formule

des probabilités totales. Exemple 3.5. Une grand-mère surprend son petit fils à mentir et lui dit alors : « on commence par mentir et on finit criminel ! », car elle a lu un journal affirmant que 90% des criminels ont menti durant leur enfance alors que seulement 20% des gens honnêtes l’ont fait. Par ailleurs, la population compte 1% de criminels. Le petit-fils finira-t-il vraiment sa vie comme un criminel ? Notons tout d’abord une erreur classique de logique (confondre une implication et sa réciproque) : • Criminel ⇒ (souvent) Mentir, • le petit-fils ment donc il finira criminel. Modélisons néanmoins cette situation (statistique) en imaginant qu’elle conduit à évaluer des probabilités pour le devenir des enfants. On pose donc les événements : C = « être criminel », M = « mentir durant son enfance ». A l’aide des constatations statistiques précédentes, on peut alors supposer que pour un individu pris au hasard : PC ( M ) = 0.9 , et : PC ( M ) = 0.2 . On veut alors évaluer : PM (C ) =

P(C ).PC ( M ) P(C ).PC ( M ) + P(C ).PC ( M )

=

0.01.0.9 ≈ 0.043 . 0.01.0.9 + 0.99.0.2

Autrement dit, l’enfant a dans cette situation 4.3% de « chances » de devenir criminel. Remarque : La formule de Bayes est souvent appelée formule des probabilités des causes puisqu’elle semble donner des informations sur une étape initiale d’une expérience, connaissant le résultat de cette expérience. C’est une formulation ambiguë car elle suppose une chronologie (ou au moins une antériorité causale). Dans l’Exemple précédent, elle correspond simplement à une évaluation d’une proportion (comme Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

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les probabilités qui ont servi à construire la modélisation) mais rapportée à une population différente de la population totale envisagée initialement. Plus précisément pour la probabilité cherchée, c’est la proportion de criminels parmi les menteurs et non plus parmi la population totale. A ce titre et malgré les apparences, elle est en fait complètement symétrique vis-à-vis des deux événements qu’elle met en jeu. Exemple 3.6 : Considérons deux urnes indiscernables au toucher telles que u1 contient 97 boules Blanches et 3 boules Noires, et u2 contient 98 boules Noires et 2 boules Blanches. On tire les yeux fermés une boule dans une urne choisie au hasard et on constate qu’elle est Noire. Quelle est la probabilité que l’urne dans laquelle la boule a été tirée soit l’urne u2 ? La réponse intuitive est que cette probabilité est importante puisque si on a tiré la boule de l’urne u1, il y a peu de « chances » qu’on ait tiré une boule Noire. Là encore la formule de Bayes donne la réponse :

1 3 98 , et : PU1 ( N ) = , PU 2 ( N ) = . 2 100 100 1 .0.98 0.98 2 Donc : PN (U 2 ) = = ≈ 0.97 . 1 1 1.01 .0.98 + .0.03 2 2 P (U 1 ) = P (U 2 ) =

4. Ensembles dénombrables. Définition 4.1 : ensemble fini Soit E un ensemble. On dit que E est fini si et seulement si il existe un entier : n ∈ , tel que E soit en bijection avec : n = {1, …, n}. Si : n = 0, n = ∅, et cet ensemble caractérise l’ensemble vide. Remarques : • On admet que l’entier n précédent est unique (on montre que s’il existe une injection de Nn dans Np, alors : n ≤ p, et donc s’il existe une bijection de Nn dans p (par l’intermédiaire d’un ensemble fini E), alors : n = p). • n est évidemment le cardinal de E. • Une définition équivalente est de dire qu’il existe : n ∈ , tel que E soit en bijection avec {0, …, n – 1}. En effet, l’application f de n dans {0, …, n – 1}, qui à k fait correspondre k – 1, est bijective. Définition 4.2 : (hors programme) ensemble infini Soit E un ensemble. On dit que E est infini si et seulement si E n’est pas fini. Remarque : Une autre définition du fait que E est infini est de dire qu’il existe une bijection entre E et une de ses parties strictes (ou propres) E’, c'est-à-dire telle que : E’ ⊂ E, E’ ≠ E. Exemples 4.2 : • toute partie non majorée de est infinie. • est infini car est en bijection avec +* par l’exponentielle, et :

+

* ⊂ , avec :

+

*≠ .

Définition 4.3 : ensemble dénombrable Soit E un ensemble. On dit que E est dénombrable s’il existe une bijection de E dans .

Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

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Théorème 4.1 : énumération des éléments d’un ensemble fini ou dénombrable Soit E un ensemble fini ou dénombrable. • Si E est fini, alors : ∃ n ∈ , E = {x1, …, xn}, où les xi sont distincts deux à deux. • Si E est infini, alors : E = {xk, k ∈ }, où les xk sont distincts deux à deux. Démonstration : • Si E est fini, soit ϕ une bijection de E dans n, alors en notant : ∀ 1 ≤ k ≤ n, xk = ϕ-1(k), on constate que les xk sont distincts deux à deux (puisque ϕ et ϕ-1 sont injectives) et que : E = {x1, …, xn} = {ϕ-1(1), …, ϕ-1(n)}, (puisque ϕ et ϕ-1 sont surjectives). • Si E est dénombrable, on considère de même une bijection ϕ de E dans , et on note alors : ∀ n ∈ , xn = ϕ-1(n). Comme dans le premier point, les xn sont distincts deux à deux et : E = {ϕ-1(n), n ∈ } = {xn, n ∈ }, (puisque ϕ et ϕ-1 sont surjectives). Remarques : • Toute partie d’un ensemble fini est finie. • Si E et F sont finis, alors (E ∪ F), (E ∩ F), (E \ F) et E×F sont finis. Théorème 4.2 : (hors programme) parties de Soit A une partie de . Alors A est finie ou dénombrable (on dit alors que A est « au plus dénombrable »). Démonstration : Soit donc A une partie de , qu’on va supposer infinie. On définit par récurrence l’application ϕ de la façon suivante : • ϕ(0) = min(A), qui existe puisque A est une partie non vide de . • ∀ n ≥ 1, on pose : ϕ(n) = min(A \ {ϕ(0), …, ϕ(n – 1)}), autrement dit le plus petit élément de A une fois éliminés les n premiers plus petits. Remarquons que ϕ(n) existe pour tout n sinon A serait fini. L’application ϕ est une bijection de dans A. En effet : • elle est injective, car si : p ≠ q (par exemple : p > q), alors : ϕ(p) ∉ {ϕ(0), …, ϕ(q)}, et donc : ϕ(p) ≠ ϕ(q). • elle est surjective. Pour cela soit : a ∈ A. Supposons que : ∀ n ∈ , ϕ(n) ≠ a. On aurait alors : ∀ n ∈ *, a ∈ A \ {ϕ(0), …, ϕ(n – 1)}, et par définition de ϕ(n) : ϕ(n) ≤ a. On a de plus par définition de ϕ(0) : ϕ(0) ≤ a. Donc a serait un entier majorant une partie infinie de ce qui est impossible. Donc ϕ est injective et surjective et elle définit une bijection de dans E. E est donc alors dénombrable. Remarque : De même, toute partie d’un ensemble dénombrable est finie ou dénombrable (au plus dénombrable). Théorème 4.3 : (hors programme) caractérisation des ensembles finis ou dénombrables Soit E un ensemble. E est fini ou dénombrable si et seulement si il existe une surjection de dans E. Démonstration : • La condition est nécessaire. En effet, si E est dénombrable alors il existe une bijection de E dans et donc une bijection de dans E, (par Exemple la réciproque de la précédente) qu’on peut noter ϕ. ϕ est donc une application surjective de dans E. Si E est fini, il existe une bijection de E dans {0,…, n – 1} donc en notant f sa réciproque, on peut alors construire ϕ de dans E par : ∀ 0 ≤ k ≤ n – 1, ϕ(k) = f(k), puis : ∀ k ≥ n, ϕ(k) = f(0). L’application ϕ ainsi construite est clairement surjective de dans E. • La condition est suffisante. Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

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En effet, si f est une surjection de dans E, alors : ∀ x ∈ E, f-1(x) est une partie non vide de E (puisque f est surjective). On pose alors : ∀ x ∈ E, m(x) = min{n ∈ , f(n) = x}. On dispose ainsi d’une application m de E dans , et par construction : fom = idE. Donc m est injective. m est donc bijective de E dans : m(E) ⊂ . E est donc en bijection avec une partie de et E est donc finie ou dénombrable. Théorème 4.4 : produit cartésien d’ensembles dénombrables Soient E et F deux ensembles dénombrables. Alors E×F, ensemble des couples formés d’un élément de E et d’un élément de F, est dénombrable. Démonstration : • Commençons avec : E = F = 2, et montrons qu’il existe une bijection de 2 dans . On utilise pour cela ce que l’on appelle l’énumération diagonale. On pose pour cela : ∀ (a,b) ∈ 2, f ( a, b) = b + (0 + 1 + ... + ( a + b)) . On pourra essayer de représenter 2 sur des axes Ox et Oy d’un repère orthonormé et indiquer en chaque point (a,b) l’image f(a,b) pour comprendre l’origine de « énumération diagonale ». f ainsi construite est bijective. Pour cela : ∀ n ∈ , on note : u n = 0 + 1 + ... + n , et on remarque que (un) est strictement croissante. Soit maintenant : p ∈ . - S’il existe un couple : (a,b) ∈

, tel que : p = f (a, b) = (0 + 1 + ... + (a + b)) + b = u a + b + b ,

2

alors avec : m = a + b , on a : u m ≤ u m + b = p ≤ u m + (a + b) = u m + m < u m + (m + 1) = u m +1 . D’autre part : b = p − u m , et : a = m − b . - Réciproquement, (un) étant strictement croissante, on sait que : ∃ ! m ∈ , tel que : u m ≤ p < u m +1 . Posons alors : b = p − u m , et : a = m − b (unique possibilité). On constate ensuite que : b ≥ 0 (par définition de m), puis : b = p − u m < u m +1 − u m = m + 1 , autrement

dit : b ≤ m , et donc : a ≥ 0. Aussi l’unique couple (a,b) ainsi trouvé est un élément de 2 et par construction, on a bien : f ( a, b) = b + u a +b = b + u m = p . f étant bijective de 2 dans , 2 est donc dénombrable. • Considérons maintenant E et F deux ensembles dénombrables. Soit f une bijection de E dans , et g une bijection de F dans . Alors l’application h définie par : ∀ (x,y) ∈ E×F, h((x,y)) = (f(x),g(y)), est une bijection de E×F dans et par composition, on en déduit qu’il existe une bijection de E×F dans . E×F est donc dénombrable.

2

,

Théorème 4.5 : (hors programme) réunion dénombrable d’ensembles au plus dénombrables Soit (En)n∈ une famille dénombrable d’ensembles finis ou dénombrables. Alors la réunion : E =

+∞

UE

n

, est finie ou dénombrable.

n =0

Démonstration : Chaque ensemble En étant fini ou dénombrable, il existe une bijection fn de dans En. Considérons alors l’application ϕ de × dans E définie par : ∀ (n,p) ∈ × , ϕ(n,p) = fn(p). ϕ est surjective. En effet : ∀ a ∈ E, ∃ n ∈ , a ∈ En, et : ∃ p ∈ , a = fn(p), autrement dit : a = ϕ(n,p). Notons enfin ψ une bijection de dans × . L’application ϕoψ est alors surjective de dans E et E est fini ou dénombrable. 5. Espaces probabilisés.

Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

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Définition 5.1 : tribu Soit Ω un ensemble. Une famille A de parties de Ω (soit un sous-ensemble de P(Ω)) est appelée tribu sur Ω si et seulement si elle vérifie les propriétés suivantes : • Ω ∈ A, • ∀ A ∈ A, A ∈ A, • ∀ (An)n∈ ∈ A ,

UA

n

∈ A.

n∉N

Théorème 5.1 : propriétés élémentaires d’une tribu Si A est une tribu sur Ω, alors : • ∅ ∈ A, • ∀ (Ai)1≤i≤n ∈ An,

UA

n

∈ A,

1≤i ≤ n

• ∀ (Ai)1≤i≤n ∈ An,

I A ∈ A, I A ∈ A, n

1≤i ≤ n

• ∀ (An)n∈ ∈ A ,

n

n∉N

• ∀ (A,B) ∈ A2, A ∩ B ∈ A. Démonstration : • Ω est dans A et A est stable par passage au complémentaire et : ∅ = Ω , donc : ∅ ∈ A. • Si (Ai)1≤i≤n est une famille finie d’éléments de A, il suffit de poser : ∀ 1 ≤ i ≤ n, Bi = Ai, et : ∀ i ≥ n + 1, Bi = Ω, pour avoir : An = Bi , et comme tous les Bi sont

U

U

1≤i ≤ n

dans A, on a donc :

UA

n

i∈N

∈ A.

1≤i ≤ n

• Il suffit de Remarquer que : ∀ (Ai)1≤i≤n ∈ An,

IA

n

=

UA

n

1≤i ≤ n

• De même : ∀ (An)n∈ ∈ A ,

IA

n

n∉N

=

UA

n

n∉N

, et :

, et :

1≤ i ≤ n

IA

n

IA

n

∈ A.

1≤i ≤ n

∈ A.

n∉N

• Ce dernier point est un cas particulier du point 3 (pour deux éléments de A). Remarques : • La notion de tribu permet d’étendre le cadre P(Ω) utilisé pour définir des probabilités sur les ensembles finis. • L’ensemble Ω est toujours censé servir de cadre à la modélisation d’une expérience aléatoire et A représente l’ensemble des événements envisagés pour le résultat de cette expérience. Définition 5.2 : probabilité sur (Ω,A), espace probabilisé Soit Ω un ensemble et A une tribu sur Ω. On appelle probabilité sur (Ω,A) une application P de A dans [0,1] telle que : • P(Ω) = 1, • pour toute suite (An)n∈ d’éléments de A disjoints deux à deux (événements deux à deux +∞

incompatibles), la série

∑ P( An ) est convergente et : P( U An ) = ∑ P( An ) . n ≥0

n∉N

n =0

Cette dernière propriété est appelée σ-additivité de P. Un tel triplet (Ω,A,P) est appelé espace probabilisé et les éléments de A sont appelés événements. Théorème 5.2 : conséquences de la définition d’une probabilité Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé. • P(∅) = 0, • Soit : (Ai)1≤i≤n ∈ An, tel que les éléments (Ai) sont deux à deux disjoints. Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

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 n  n  Alors : P U Ai  = ∑ P ( Ai ) .  i =1  i =1 • ∀ A ∈ A, P ( A) = 1 − P ( A) . • ∀ (A,B) ∈ A2, (A ⊂ B) ⇒ ( P ( A) ≤ P ( B ) ). • ∀ (A,B) ∈ A2, P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) . • en particulier : ∀ (A,B) ∈ A2, P ( A ∪ B ) ≤ P ( A) + P ( B ) . • ∀ (A,B) ∈ A2, (A ∩ B = ∅) ⇒ ( P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) ). • ∀ (A,B) ∈ A2, (B ⊂ A) ⇒ ( P( A \ B ) = P ( A) − P ( B ) ). Démonstration : • On pose : ∀ n ∈ , An = ∅, et la famille (An) est une famille d’éléments de A deux à deux disjoints. Donc la série P ( An ) converge, mais tous les termes étant égaux, cette série est la série nulle d’où

∑ n ≥0

on déduit que : ∀ n ∈ , P(An) = P(∅) = 0. • Il suffit de construire : ∀ 1 ≤ i ≤ n, Bi = Ai, et : ∀ n + 1 ≤ i, Bi = ∅. La famille (Bi) est une famille d’éléments de A deux à deux disjoints donc la série

∑ P( B n ≥1

n

)

+∞ n   A = P ( B ) = P ( B ) = P ( Ai ) . U i U n ∑ ∑ n n =1 i =1 n∉N *  i =1  • Puisque : A ∩ A = ∅, on a : P(A ∪ A ) = P(Ω) = P(A) + P( A ), soit : P( A ) = 1 – P(A).



converge et : P

n

• Pour : A ⊂ B, on peut écrire : B = A ∪ (B \ A), avec : A ∩ (B \ A) = ∅. Donc : P(B) = P(A) + P(B \ A), et P étant à valeurs positives, on déduit : P(B) ≥ P(A). • On part ensuite de : A = (A \ B) ∪ (A ∩ B), union disjointe, et : P(A) = P(A \ B) + P(A ∩ B), B = (B \ A) ∪ (A ∩ B), union disjointe, et : P(B) = P(B \ A) + P(A ∩ B), (A ∪ B) = (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B \ A), et : P(A ∪ B) = P(A \ B) + P(A ∩ B) + P(B \ A), et en soustrayant les deux premières égalités à la troisième, on obtient : P(A ∪ B) – P(A) – P(B) = – P(A ∩ B), d’où le résultat. • Puisque P(A ∩ B) est positive, on en déduit le dernière résultat. • On retrouve avec : A ∩ B = ∅, le deuxième point dans le cas de deux ensembles disjoints. • il suffit de Remarquer que : (B ⊂ A) ⇒ (A ∩ (A \ B) = ∅, et : A = B ∪ (A \ B)), et donc : P(B) + P(A \ B) = P(A). Remarque : Ces résultats sont identiques à ceux obtenus dans le cadre des espaces probabilisés finis. Théorème 5.3 : probabilité d’une partie finie Soit (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé. Si : A ∈ P(Ω), et A est une partie finie de Ω, alors : P ( A) =

∑ P(ω )

.

ω∈ A

Démonstration : Si A est fini, notons : A = {ω1, …, ωn}. Il suffit alors de considérer la famille finie d’ensembles disjoints : ∀ 1 ≤ k ≤ n, Ak = {ωk}, et :

 n  n P ( A) = P U {ω k } = ∑ P ({ω k }) = ∑ P (ω ) . ω∈ A  k =1  k =1 Théorème 5.4 : continuité croissante et décroissante d’une probabilité Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé et soit : (An) ∈ A . • Si : ∀ n ∈ , An ⊂ An+1, alors la suite (P(An)) converge et : lim P ( An ) = P ( n → +∞

• Si : ∀ n ∈ , An+1 ⊂ An, alors la suite (P(An)) converge et : lim P ( An ) = P ( n → +∞

Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

UA ). n

n∈N

IA ). n

n∈N

- 18 -

Démonstration : • Pour le premier point, on Remarque tout d’abord que : ∀ n ∈ , An ⊂ An+1, on a : P ( An ) ≤ P ( An +1 ) , et donc la suite (P(An)) est croissante. Etant de plus majorée par 1, elle converge. Notons maintenant : B0 = A0, et : ∀ n ∈ *, Bn = An \ An-1. Alors la famille (Bn) est une famille d’ensembles deux à deux disjoints. De plus : ∀ n ∈ ,

n  n  n  U Bi  = ∑ P ( Bi ) . , et : ∀ n ∈ , P ( A ) = P B = A = A U U i n i n i =0 i =0  i =0  i = 0 n

+∞

+∞

UB = UA .

Puis par double inclusion, on a :

i

i

i =0

i =0

En effet : •∀ω∈ •∀ω∈

+∞

+∞

U Bi , ∃ j ∈ , ω ∈ Bj ⊂ Aj, et : ω ∈ Aj ⊂ i =0 +∞

U A , soit : n = min{i ∈

UA . i

i =0

, ω ∈ Ai}.

i

i =0

Si : n = 0, ω ∈ A0 = B0, et : ω ∈

+∞

UB

i

,

i =0

Si : n > 0, ω ∈ An, et : ω ∉ An-1, donc : ω ∈ Bn, et : ω ∈

+∞

UB

i

.

i =0

Enfin la définition d’une probabilité permet d’écrire : n  +∞   +∞  +∞ P U Ai  = P U Bi  = ∑ P ( Bi ) = lim ∑ P ( Bi ) = lim P ( An ) . n → +∞ n → +∞ i =0  i =0   i =0  i =0

• Pour le deuxième point, on peut raisonner par complémentaires. Plus précisément on note : ∀ n ∈ , A' n = An , la suite (A’n) est alors une suite croissante d’éléments de A (au sens de l’inclusion) et :

IA

n

=

n∈N

U A'

n

.

n∈N

On utilise alors le point 1 et les propriétés d’une probabilité pour écrire : • la suite (P(A’n)) converge donc la suite (P(An)) aussi puisque : ∀ n ∈ , P(An) = 1 – P(A’n), • 1 − lim P ( An ) = lim [1 − P ( An )] = lim P ( A' n ) = P ( n → +∞

n → +∞

n → +∞

U A'

n∈N

n

  ) = 1 − P I An  ,  n∈N 

d’où le résultat voulu. Théorème 5.5 : probabilité d’une réunion d’évènements Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé. • Si (An)1≤i≤n est une famille finie de d’éléments de A, alors : P ( A1 ∪ ... ∪ An ) ≤ P ( A1 ) + ... + P ( An ) . • Si de plus : (An) ∈ A , et si la série

+∞

∑ P( An ) converge, alors : P( U An ) ≤ ∑ P( An ) . n ≥0

n =0

n∈N

Démonstration : • On démontre évidemment le premier résultat par récurrence sur n. Pour une seule partie A1, c’est immédiat. Si on suppose le résultat établi pour n parties de Ω (avec : n ≥ 1), on peut alors considérer (n+1) parties de Ω et écrire : P ( A1 ∪ ... ∪ An +1 ) ≤ P ( A1 ∪ ... ∪ An ) + P ( An +1 ) ≤ P ( A1 ) + ... + P ( An ) + P ( An +1 ) , en utilisant le théorème 2.2 (pour la première inégalité). • Pour le deuxième résultat, on peut poser : ∀ n ∈ , Bn =

n

U Ak , et on a : k =0

+∞

+∞

k =0

k =0

U Bk = U Ak . 

La suite (Bn) est croissante donc la suite (P(Bn)) converge et : lim P ( Bn ) = P n → +∞

UB

 n∈N

Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

n

  = P ( U An ) . n∈N  - 19 -

 n  De plus : ∀ n ∈ , P ( Bn ) = P U Ak  ≤ P ( A0 ) + ... + P ( An ) .  k =0  +∞

Si maintenant, on fait tendre n vers +∞, on conclut que : P (

U An ) = lim P( Bn ) ≤ ∑ P( An ) . n → +∞

n∈N

n =0

Théorème 5.6 : (admis) existence d’une probabilité sur un ensemble dénombrable. Soient (Ω,A) un ensemble dénombrable muni d’une tribu avec : Ω = {ωn, n ∈ }, et soit (pn) une suite +∞

d’éléments de [0,1] telle que :

∑p n =0

= 1.

n

Alors il existe une probabilité sur (Ω,A) telle que : ∀ n ∈ , P (ω n ) = p n . Remarque : En pratique, pour vérifier qu’en posant : ∀ n ∈ , P ({n}) = a n , on définit une probabilité sur , on se contentera de vérifier que : • ∀ n ∈ , an ≥ 0, • la série

∑a n ≥0

+∞

n

∑a

converge, et :

n =0

n

= 1.

6. Probabilités conditionnelles. Théorème 6.1 et définition 6.1 : probabilité conditionnelle Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé. Si B est un évènement tel que : P(B) > 0, alors l’application PB définie par : ∀ A ∈ A, PB ( A) =

P( A ∩ B) , P ( B)

est une probabilité sur (Ω,A), appelée probabilité conditionnelle sachant B. On lira PA (B ) « probabilité de A sachant B » et on notera parfois : PB ( A) = P ( A B ) . Démonstration : • PB est correctement définie sur A et à valeurs dans [0,1] car :

P( A ∩ B) P( A ∩ B) P( B) ≥ 0 , et : PB ( A) = ≤ = 1 , puisque : A ∩ B ⊂ B. P( B) P( B) P( B) P (Ω ∩ B ) P ( B ) • PB (Ω) = = = 1. P( B) P( B) ∀ A ∈ A, PB ( A) =

• ∀ (An)n∈ ∈ A , famille d’événements deux à deux disjoints, notons : ∀ n ∈ , A’n = An ∩ B. Alors la famille (A’n) est une famille d’événements (de A) deux à deux disjoints, car : ∀ (n,p) ∈ 2, (n ≠ p) ⇒ ((A’n ∩ A’p = (An ∩ B) ∩ (Ap ∩ B) ⊂ (An ∩ Ap) = ∅). Donc la série :

∑ P( A' n ≥0

n

) = ∑ P ( An ∩ B ) , converge tout comme n ≥0

+∞

+∞

n =0

n =0

P ( An ∩ B ) , et : P ( B) n≥0



P(( U An ) ∩ B ) = P( U ( An ∩ B)) = P( U A' n ) = ∑ P( A' n ) = ∑ P( An ∩ B) . n∉N

n∉N

n∉N

P (( U An ) ∩ B ) On en déduit que : PB (

U An ) =

n∉N

n∉N

P( B)

P ( An ∩ B ) +∞ = ∑ PB ( An ) . P( B) n =0 n=0 +∞

=∑

Convention : Si (Ω,A,P) est un espace probabilisé et si : B ∈ A, avec : P(B) = 0, alors on convient de noter :

Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

- 20 -

∀ A ∈ A, PB ( A) = 0 . Théorème 6.2 : formule des probabilités composées Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé. Soient A et B deux évènements de A. Alors : P ( A ∩ B ) = PB ( A).P ( B ) = PA ( B ).P ( A) . Démonstration : Supposons dans un premier temps que : P(A) > 0, et : P(B) > 0. Il suffit alors de reprendre la définition des probabilités conditionnelles en échangeant les rôles de A et de B, ce qui donne :

P( A ∩ B) , donc : P ( B) P( A ∩ B) = PB ( A).P ( B) , et de façon symétrique : P( A ∩ B) = PA ( B).P ( A) . PB ( A) =

Si maintenant : P(A) = 0, et : P(B) > 0, alors : PA(B) = P(B|A) = 0 (par convention) et : P(A ∩ B) = 0, car : A ∩ B ⊂ A, donc : PB(A) =

P( A ∩ B ) = 0, d’où à nouveau l’égalité. P( B)

Enfin si P(A) et P(B) sont nulles, la convention précédente vaut pour les deux termes et conduit une fois de plus à l’égalité voulue. Théorème 6.3 : généralisation de la formule des probabilités composées Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé.

 n−1

Soit : n ≥ 2, et A1, …, An des événements de A tels que : P

 i =1



• ∀ 1 ≤ j ≤ n – 1, P



• P

 i =1



1





I A  ≠ 0 , et :

I A  = P( A ).P i

i



j

 i =1

n



I A  ≠ 0 , alors :

A1

i



( A2 ).PA1 ∩ A2 ( A3 )...PA1 ...∩ An −1 ( An ) .

Démonstration : On commence par Remarquer que : ∀ 1 ≤ j ≤ n – 1,

n −1

j  j   I Ai  ≠ 0 . A ⊂ A , on a : P I I i i i =1 i =1  i =1 

Puis on obtient l’égalité voulue par récurrence à partir du théorème 3.2. Définition 6.2 : indépendance d’évènements et indépendance mutuelle Soit (Ω,A,P), un espace probabilisé. Deux évènements A et B de A sont dits indépendants si et seulement si : P(A ∩ B) = P(A).P(B). Les évènements d’une famille (Aj)j∈J quelconque de A sont dits indépendants dans leur ensemble ou mutuellement indépendants si et seulement si, pour toute partie finie : J ⊂ I, on a : P( Ai ) = P( Ai ) .

I i∈J

∏ i∈J

En particulier, si (Ai)1≤i≤n est une famille finie d’évènements, ils sont indépendants si et seulement si : ∀ 1 ≤ j1 < …< jk ≤ n, on a : P ( A j1 ∩ ... ∩ A jk ) = P ( A j1 )...P ( A jk ) . Théorème 6.4 : caractérisation de l’indépendance de deux évènements Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé et soit : (A,B) ∈ A2. Si : P(B) > 0, A et B sont indépendants si et seulement si : PB ( A) = P ( A) . Démonstration : Ce résultat est immédiat car si : P(B) ≠ 0, alors : PB(A) = Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

P( A ∩ B ) . P( B) - 21 -

Donc A et B sont indépendants si et seulement si : P(A ∩ B) = P(A).P(B), soit le résultat. Remarque : La lecture « naïve » de cette propriété traduit l’idée « intuitive » qu’on se fait de l’indépendance : si A et B sont indépendants, la probabilité de voir A se produire est la même que celle de voir A se produire connaissant la réalisation ou pas de B, autrement dit B n’influe pas sur la probabilité de voir A se produire. Théorème 6.5 : liens entre les notions d’indépendance Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé. • si : n = 2, dans la définition précédente, on retrouve la première définition. • la condition d’indépendance pour une famille finie d’évènements correspond à 2 n − n − 1 égalités. • si des évènements sont mutuellement indépendants, ils sont indépendants deux à deux, mais la réciproque est fausse. Démonstration : • si l’ensemble d’indices J considéré comporte 0 indice (un ensemble : J = ∅) ou 1 indice (un singleton), la condition d’indépendance est toujours satisfaite (soit en tout 0 égalités). Donc l’indépendance de n événements correspond bien à 2n (nombre de familles d’indices possibles) moins (n + 1) familles d’indices et donc 2 n − n − 1 conditions à satisfaire. • pour : n = 2, et donc : A1 = A, A2 = B, il y a une seule condition à satisfaire correspondant à : P(A1 ∩ A2) = P(A ∩ B) = P(A).P(B) = P(A1).P(A2). • supposons que (Ai)1≤i≤n soit une famille de n événements mutuellement indépendants. Alors pour tout couple (Ai, Aj), avec : i ≠ j, on utilise l’ensemble d’indices : J = {i,j}, et on réécrit l’égalité pour cet ensemble J qui donne : P(Ai ∩ Aj) = P(Ai).P(Aj), soit bien l’égalité qui montre l’indépendance de Ai et de Aj. • si on considère un ensemble : Ω = {a,b,c,d}, muni de la probabilité uniforme et les événements : A = {a,d}, B = {b,d}, et : C = {c,d}, alors : P(A) = P(B) = P(C) = Puis : P(A ∩ B) = P({d}) =

1 . 2

1 = P(A).P(B), de même pour P(A ∩ C) et P(B ∩ C). 4

Remarque : On montre (voir exercices) que si A et B sont indépendants alors A et B le sont aussi, tout comme A et B . Définition 6.3 : système complet dénombrable d’évènements Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé. On dit que (An)n∈ est un système complet dénombrable d’évènements si et seulement si : • ∀ (i,j) ∈ 2, (i ≠ j) ⇒ (Ai ∩ Aj = ∅), (incompatibles deux à deux), • An = Ω .

U

n∈N

Cela correspond à une partition de l’ensemble Ω. Remarques : • Cela vient en complément des systèmes complets finis d’événements. • Dans le cas d’un système complet dénombrable d’événements, on peut noter : ∀ n ∈ , Bn =

n

U A , et la suite (B ) est croissante. n

i

i =0

Donc : lim P ( Bn ) = P ( n → +∞

U An ) = P(Ω) = 1 = lim

n∈N

n → +∞

n

∑ P( A ) , i =0

i

puisque les Ai sont disjoints deux à deux. Autrement dit la série P ( An ) converge et sa somme vaut 1.

∑ n ≥0

Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

- 22 -

Théorème 6.6 : formule des probabilités totales Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé et (An)n∈ un système complet d’évènements telle que : ∀ n ∈ , P(An) > 0. Alors pour tout : B ∈ A, la série P( B ∩ An ) converge et :

∑ n ≥0

+∞

+∞

+∞

n =0

n =0

n =0

P ( B ) = ∑ P ( B ∩ An ) = ∑ PAn ( B ).P ( An ) , qu’on écrit parfois encore : P ( B ) = ∑ P ( B An ).P ( An ) . Démonstration : On commence par Remarquer que : ∀ (n,p) ∈ 2, (n ≠ p) ⇒ ((B ∩ An) ∩ (B ∩ Ap) ⊂ (An ∩ Ap) = ∅). Donc les événements (B ∩ An) sont deux à deux disjoints et :

  P U ( B ∩ An )  =  n≥ 0 

+∞ +∞   P B ∩ (U An )  = P ( B ∩ Ω) = P ( B ) = ∑ P ( B ∩ An ) = ∑ P ( B An ).P ( An ) . n=0 n=0 n ≥0  

La dernière égalité correspond simplement à une réécriture de la quantité précédente. Définition 6.4 : événement presque sûr, événement négligeable Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé. On dit qu’un événement A de A est presque sûr lorsque : P(A) = 1. On dit à l’inverse qu’un événement A de A est négligeable lorsque : P(A) = 0. Le complémentaire d’un événement presque sûr est donc un événement négligeable. Théorème 6.7 : généralisation (système quasi complet d’événements) Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé et (An)n∈ , une famille d’évènements deux à deux incompatibles, +∞

telle que :

∑ P( A ) = 1 . n =0

n

∑ P( B ∩ A ) converge

Alors le résultat précédent reste valable, autrement dit pour : B ∈ A, la série

n ≥0

et : P ( B ) =

+∞

+∞

n =0

n =0

n

∑ P( B ∩ An ) = ∑ PAn ( B).P( An ) .

Démonstration : On reprend la démonstration du théorème précédent, mais on note : A =

UA

n

.

n ≥0

+∞ +∞   P B ∩ (U An )  = P ( B ∩ A) = ∑ P ( B ∩ An ) = ∑ PAn ( B ).P ( An ) . n =0 n =0 n ≥0   On Remarque ensuite que ( A, A ) forme un système complet d’événements et :



 U ( B ∩ An )  =  n≥ 0 

Alors : P

P ( B ) = P( B ∩ A) + P ( B ∩ A) . Or : B ∩ A ⊂ A , et : P ( A) = 1 − P ( A) = 1 − 1 = 0 , donc : P ( B ∩ A) = 0 , et : P ( B ) = P ( B ∩ A) . Ceci permet de conclure à l’égalité voulue. Remarque : +∞

La situation précédente correspond au cas où

UA

n

est un événement certain, son complémentaire

n =0

étant un événement négligeable. Théorème 6.8 : formule de Bayes Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé. • Si A et B sont des événements de probabilité non nulle, alors : PB ( A) =

P ( A).PA ( B ) . P( B)

• Si de plus (An)n∈ un système complet (ou quasi complet) d’évènements tel que : Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

- 23 -

∀ n ∈ , P(An) > 0, alors : ∀ B ∈ A, tel que : P(B) > 0, on a : ∀ n ∈ , PB ( An ) =

P( An ).PAn ( B)

.

+∞

∑ P( A ).P i=0

i

Ai

( B)

Démonstration : • La démonstration du premier point est immédiate, puisque par définition, pour : P(B) ≠ 0, on a :

P( A ∩ B) , et donc : P ( A ∩ B ) = PB ( A).P ( B ) . P ( B) De même pour : P(A) ≠ 0, on a : P ( A ∩ B ) = PA ( B ).P ( A) . PB ( A) =

D’où le résultat avec l’égalité qui en découle. • Le deuxième point s’obtient en remarquant simplement que : P ( B ) =

+∞

∑ P( A ).P i =0

i

Ai

( B ) , par la

formule des probabilités totales.

Chapitre 06 : Espaces probabilisés – Cours complet.

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