1 Cartes

Probabilités

Générales

1

Cartes 1. 2. 3. 4.

2

Soit un jeu de 52 cartes. On tire 1 carte. Quelle est la probabilité : de tirer 1 cœur ? de tirer 1 figure ? de tirer 1 cœur ou 1 figure ? de tirer 1 figure et 1 neuf ?

Des yeux et-ou des cheveux

Sur 100 personnes: 40 personnes ont les yeux bleus, 45 personnes ont les cheveux blonds, 25 personnes ont à la fois les yeux bleus et les cheveux blonds. Quelle est la probabilité qu'un individu pris au hasard parmi les 100 personnes ait les yeux bleus ou les cheveux blonds ?

3

Dépendance Soient les événements A et

Les événements A et

4

B

B

tels que:

P ( A U B )=0,85, P ( A )=0,7, P ( B )=0,5

sont-ils indépendants ?

Probabilités conditionnelles

 La probabilité pour qu'un individu aux yeux bleus soit gaucher est de 1/7.  La probabilité pour qu'un individu gaucher ait les yeux bleus est de 1/3.  La probabilité pour qu'un individu n'ait pas des yeux bleus et ne soit pas gaucher est de 4/5. Quelle est la probabilité pour qu'un individu pris au hasard ait des yeux bleus et soit gaucher ?

5

Maladie Dans une population :  10 % des sujets sont atteints de la maladie

M

;

 90 % des sujets atteints de la maladie S  40 % des sujets porteurs du signe

M

portent le signe

S

sont atteints de la maladie S Quelle est la proportion parmi les sujets non atteints, qui ne portent pas le signe

6

; M

.

?

De l’art d’être un bon étudiant (examen mai 2007)  Un étudiant a une attitude un peu désinvolte face à ses cours.  Il n'étudie que pour 1/3 de ses examens, en les choisissant au hasard ;  Par le passé, il a réussi 3 fois sur 4 les examens pour lesquels il avait étudié, tandis qu'il n'a réussi qu'un examen sur 4 lorsqu'il n'étudiait pas.  Cet étudiant a réussi son examen de mathématique. Quelle est la probabilité qu'il ait étudié pour cet examen ?

7

Dépistage (examen juin 2007) Chaque don du sang est soumis à un test du SIDA. On suppose que :  Ce test a une «efficacité» de 99%, correspondant à la probabilité que le test soit positif pour une personne atteinte du SIDA.  Il a un taux de «faux-positifs» de de 5%, correspondant à la probabilité que le test soit positif pour une personne non atteinte.  La probabilité d'être atteint du SIDA est 1/10000.

7.1 Quelle est la probabilité pour qu'une personne obtenant un test positif soit atteinte du SIDA ?

7.2 Peut-on en conclure que ce test est réellement efficace, donc utile ?

8

Où il ne fait pas bon d’être très malade (examen juin 2007) D'après les statistiques concernant une maladie incurable, on sait que sur 100 malades :  70 passent passent le cap de la 1re année (événement  56 passent le cap de la 2è année (événement  50 passent le cap de la 3è année (événement

B C

) )

A

)

8.1 Représenter graphiquement les événements

A

,

B

et

C

.

8.2 Rappeler l'expression de la probabilité conditionnelle

P ( B∣ A)

8.3 Calculer la probabilité, pour un malade ayant passé le cap de la 1re année, de passer le cap de la 2è année.

8.4 Calculer la probabilité, pour un malade ayant passé le cap de la 2è année, de passer le cap de la 3è année.

Variables aléatoires et distributions discrètes 1

Sexes

À chaque naissance, la probabilité d'avoir un garçon est familles de 4 enfants.

P =0,53

. On s'intéresse aux

1.1 Quelle est l'espérance du nombre de garçons ?

1.2 Quelle est la probabilité pour que les 4 enfants soient de même sexe ?

1.3 Chaque chambre d'enfants contient au plus 2 enfants si ils sont de même sexe. Quelle est la probabilité qu'il y ait 3 chambres d'enfants ?

1.4 Un immeuble de 20 appartements est entièrement occupé par des familles de 4 enfants. Quelle est l'espérance du nombre de garçons dans immeuble ?

2

Pile ou face

Combien de fois faut-il lancer la pièce pour que la probabilité d'obtenir uniquement des «côté face» soit inférieure à 1 % ?

3

Tricheur

Un tricheur a dans sa poche 2 pièces de monnaies dont l'une est normale et l'autre pipée, c'est à dire que le «coté face» sort 2 fois sur 3. Il prend l'une des deux pièces et obtient 4 «coté face» en 6 coups. Quelle est la probabilité qu'il ait pris la pièce pipée ?

4

Pêche

Lors d'une pêche en mer, la probabilité de ramener 1 requin dans le chalut est de 1 %. En admettant qu'il soit impossible de prendre simultanément plusieurs requins dans le chalut, quelle

r

est la probabilité de prendre requins lorsque le nombre de chalutages Calculer numériquement les premières probabilités.

n

est égal à 100 ?

5

Mucoviscidose

Chaque année en France, en moyenne par jour 2 enfants naissent atteints de mucoviscidose. Si il n'y a pas d'effet saisonnier dans la distribution des naissances, quelle est la loi du nombre de naissances journalières d'enfants malades ?

6

Grands nombres

A 0,01 La probabilité qu'un individu soit atteint de la maladie vaut et de la maladie B A B 0,05 vaut . Les 2 affections et sont indépendantes. Quelle est l'espérance du nombre d'individus atteints de l'une ou l'autre maladie, dans un échantillon de 10000 personnes ? Quelle est la probabilité que 2 individus exactement soient atteints de l'une ou l'autre maladie, dans un échantillon de 100 personnes ?

7

Groupe

Dans une population, 20% des individus ont les yeux bleus.Quelle est la probabilité pour que, sur 10 personnes tirées au hasard, au moins 3 d'entre elles aient les yeux bleus ?

Loi no

rmale

1

1. 2. 3.

Sachant que P (U >1,96 )

U=N ( μ=0, σ =1)

, calculer : P (U2,575 ) ; ; ; P (− 1,21< U