1 Conditionner par rapport à un événement

January 16, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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Semestre automne 2016-2017

Probabilités avancées - Master Économétrie et Statistique Hugo Vanneuville, Institut Camille Jordan, Lyon 1, bureau 219 http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/vanneuville/ Quatrième séance Espérance conditionnelle

Si vous avez des questions, n’hésitez pas à m’envoyer un mail à l’adresse [email protected]. Lorsqu’on a une information partielle sur une variable aléatoire, on aimerait pouvoir décrire comment se comporte notre variable sachant cette information. Les outils mathématiques nécessaires pour cela sont les conditionnements. 1. Les conditionnements par rapport à un événement sont utiles pour répondre à la question : Si j’ai une variable aléatoire X et que je sais qu’un événement A est satisfait, qu’est-ce que j’en déduis sur le comportement de X ? 2. Les conditionnements par rapport à une variable aléatoire sont utiles pour répondre à la question : Si j’ai deux variables aléatoires X et Y et que je connais Y , qu’est-ce que j’en déduis sur le comportement de X ?

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Conditionner par rapport à un événement

On rappelle que, si A et B sont deux événements et si P [B] > 0, alors la probabilité de A sachant B est définie par : h i P [A ∩ B] P A B = . P [B] De même, si X est une variable aléatoire vérifiant E [|X|] < +∞ et si B est un événement vérifiant P [B] > 0, alors l’espérance de X sachant B est définie par : i E [X 1 ] B E X B = . P [B] h

Exercice 1. L’exercice suivant est la question 2 de l’Exercice 1 de la feuille de TD 6. Soient A et B deux événements indépendants tels que : P [A] = 1/2,

P [A ∪ B] = 2/3.

Déterminer P [B c | A]. Exercice 2. On arrive à une station vélo’v vide et on attend que quelqu’un dépose un vélo’v. On rappelle que le temps d’attente T est une variable exponentielle de paramètre λ > 0. Calculer : h i E T T ≥ 1 .

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Exercice 3. Les exercices suivants sont les exercices 4 et 5 de la deuxième séance : 1. (Exercice 4 de la deuxième séance.) Soient B un événement vérifiant P [B] ∈]0, 1[ et A un événement vérifiant P [A] 6= 0. h i h i (a) Pourquoi est-ce que P A B et P A B c sont bien définies ? (b) Montrer que : h i h i P [A] = P A B P [B] + P A B c P [B c ] . (c) En déduire la formule de Bayes : h i P A B P [B] h i h i . P A B P [B] + P A B c P [B c ] h i Le but de la formule de Bayes est de pouvoir calculer P B A lorsqu’on a accès à P [B], h i h i P A B et P A B c , Cf l’exercice ci-dessous. h i P B A =

2. (Exercice 5 de la deuxième séance : Test pour la maladie de la vache folle.) On a les données suivantes sur le test de la vache folle : (1) quand il est appliqué à une vache malade, il est positif (i.e. il indique “la vache est malade”) dans 99, 8% des cas ; (2) quand il est appliqué à une vache saine, il est négatif dans 99, 6% des cas. Par ailleurs, on sait qu’une vache sur 100 000 est malade. Quelle est la probabilité qu’une vache soit malade sachant que le test qu’on lui a appliqué est positif ?

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Conditionner par rapport à une variable aléatoire discrète

Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur le même espace de probabilité. On suppose que X ne peut prendre qu’une quantité dénombrable de valeurs et on note E l’ensemble des valeurs possibles. On suppose aussi que Y est une variable aléatoire h iréelle et que E [|Y |] < +∞. On définit l’espérance conditionnelle de Y sachant X, notée E Y X , par : h i X h i E Y X = E Y X = x 1{X=x} . x∈E

h i h i Autrement dit, E Y X est la variable aléatoire qui, pour tout x ∈ X, prend la valeur E Y X = x sur l’événement {X = x}. Exercice 4. Lancer d’un dé. On considère Ω =h {1, · · i· , 6} muni de la probabilité uniforme. On définit X(ω) = 1{ω est pair} et Y (ω) = ω. Déterminer E Y X . Exercice 5. Cet exercice est la question 1 de l’Exercice 6 de la feuille de TD 6. On considère une variable aléatoire N à valeurs dans N, et une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi (Ci )i≥1 , indépendante de N . On pose Y =

N X i=1

h i Déterminer E Y N .

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Ci .

Exercice 6. On arrive à une station vélo’v vide et on attend que quelqu’un dépose un vélo’v. On rappelle que le temps d’attente T (en minutes, disons) est une variable exponentielle de paramètre λ > 0. On note S la variable aléatoire qui vaut 1 si on a attend plus d’une minute et qui vaut 0 sinon. Déterminer : h i E T S .

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Conditionner par rapport à une variable aléatoire quelconque

On énonce ici le théorème-clef qu’on peut voir comme une définition de l’espérance conditionnelle. Le but est ensuite de manipuler cette caractérisation de l’espérance conditionnelle. On rappelle la définition suivante : Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité, soient X : (Ω, F, P) → (E, E) une variable aléatoire (où (E, E) est un certain espace mesurable) et Y une variable aléatoire réelle sur (Ω, F, P). On dit que Y est mesurable par rapport à X s’il existe une fonction mesurable ϕ : (E, E) → R telle que Y = ϕ(X). Théorème et définition 1 Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur le même espace de probabilité. On suppose que Y est une variable aléatoire réelle telle que E [|Y |] < +∞. L’espérance conditionnelle de Y sachant X est hl’unique i (à un événement de mesure nulle près) variable aléatoire mesurable par rapport à X, notée E Y X telle que, pour toute variable aléatoire réelle Z bornée et mesurable par rapport à X on a : h h i i E [Y Z] = E E Y X Z . Exercice 7. Refaire les Exercices 5 et 6 mais en utilisant le “Théorème et définition 1” plutôt que la définition donnée en Section 2. Exercice 8. Montrer que, dans le cas où X ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs, la définition de la Section 2 est compatible avec le “Théorème et définition 1”. Exercice 9. Montrer que, si X et Y sont comme dans le théorème ci-dessus et si f est une fonction mesurable bornée : (E, E) → R, alors : i h h i E f (X) Y X = f (X) E Y X .

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