1 Eléments de probabilité

CHU Amiens IFTLM 2ème année, UPJV IUP Santé Statistique

2012-2013 Cours 3

Eléments de probabilités, variables aléatoires Exemple introductif On choisit au hasard un individu dans une population de 250 malades, dont 25 sont vaccinés. Considérant Ω la population de malades et P l’équiprobabilité (chaque personne a la même probabilité 25 d’être choisie), la probabilité de l’événement A "le malade est vacciné" est P(A) = . La réponse 250 est la même si l’on ne connaît pas l’effectif N = #Ω de la population mais si l’on sait que 10% des malades sont vaccinés, alors 10 N P(A) = 100 = 0, 1. N Supposons maintenant que l’on choisisse 10 individus au hasard parmi les 250 malades. Quel est le nombre X de malades vaccinés obtenu ? Il est clair que ce nombre est aléatoire : on ne peut pas prévoir à l’avance sa valeur. Par contre, on peut connaître l’ensemble de ses valeurs possibles ΩX = {0, 1, 2, . . . , 10}. On peut alors se demander quelle est la probabilité que X = 3 ? Et plus généralement, quelle est la probabilité que X = k, k ∈ ΩX ? La notion de variable aléatoire va nous aider à formaliser cette situation.

1 1.1

Eléments de probabilité Correspondance probabilités-ensembles Notations ∅ Ω ω A A⊂B A∪B A∩B A¯ A∩B =∅

Théorie des ensembles Théorie des probabilités ensemble vide évènement impossible ensemble plein évènement certain élément de Ω évènement élémentaire sous ensemble de Ω évènement A est inclus dans B A implique B réunion de A et B A ou B (ou inclusif) intersection de A et B A et B complémentaire de A dans Ω évènement contraire de A A et B sont disjoints A et B sont incompatibles

¯ (le contraire de "A ou B est Remarque 1 Le contraire de l’évènement A ∪ B est l’évènement A¯ ∩ B réalisé" est "ni A ni B ne sont réalisés). De même, le contraire de l’évènement A ∩ B est l’évènement ¯ (le contraire de "A et B sont réalisés" est "A n’est pas réalisé ou B n’est pas réalisé). A¯ ∪ B

1.2

Axiomes des probabilités

Une probabilité sur E est une application P de l’ensemble des parties de E à valeurs dans [0, 1], qui à chaque évènement A de E associe un nombre P(A) ∈ [0, 1] et telle que – P(E) = 1. – Si A et B sont incompatibles, P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Formule des probabilités totales P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Autre formule utile : ¯ P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B).

1.3

Probabilités conditionnelles et indépendance

Si on sait que l’évènement A s’est réalisé, on calcule une probabilité conditionnelle, la probabilité que B soit réalisé, sachant que A est réalisé, notée P(B/A) ou PA (B). P(B/A) =

P(A ∩ B) P(A)

On a la propriété suivante : P(A ∩ B) = P(B/A)P(A) = P(A/B)P(B). Evènements indépendants Deux évènements A et B sont indépendants si le fait de savoir que A s’est réalisé n’influe pas sur la probabilité que B se réalise (même chose en échangeant A et B). A et B sont indépendants s’ils vérifient l’une des trois conditions suivantes (ils vérifient alors les deux autres). P(A/B) = P(A)

P(B/A) = P(B)

P(A ∩ B) = P(A)P(B) Attention à ne pas confondre évènements indépendants et évènements incompatibles.

1.4

Formule de Bayes

Soient deux èvènements C et D formant une partition de E, c’est-à-dire tels que C ∩ D = ∅ et C ∪ D = E. Alors, pour tout évènement S : P(C/S) =

2

P(S/C)P(C) P(S/C)P(C) + P(S/D)P(D)

Variable aléatoire

Considérons une population Ω sur laquelle on définit un caractère quantitatif X. X est une application de Ω dans R qui, à tout individu ω associe un réel x = X(ω) ∈ X(Ω) = ΩX ensemble des valeurs du caractère. Cette application modélise le caractère de façon déterministe en ce sens que, si on connaît l’individu ω, on connaît aussitôt la valeur x. Son étude relève de la statistique descriptive qui conduit, par exemple, au tableau des couples (xi , fi ) où xi est une valeur observée et fi sa fréquence. Supposons maintenant que l’on tire au hasard un individu ω dans cette population Ω pour consigner la valeur x du caractère. Ne pouvant pas prévoir quel individu précis sera tiré, on ne peut pas prévoir non plus la valeur précise de x qui sera consignée. On aimerait donc disposer d’un moyen d’attribuer une probabilité aux éléments de ΩX . De même qu’un caractère quantitatif peut être discret ou continu, on parlera de variable aléatoire discrète ou continue (dans le deuxième cas, on parlera de variable aléatoire à densité). Exemple 1 Un joueur lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6, et on observe le numéro obtenu. Si le joueur obtient 1, 3 ou 5, il gagne 1 euro ; s’il obtient 2 ou 4, il gagne 5 euros ; s’il obtient 6, il perd 10 euros. Prenons Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et P l’équiprobabilité sur Ω. Soit X l’application de Ω dans R qui à tout ω ∈ Ω associe le gain correspondant. On a X(1) = X(3) = X(5) = 1, X(2) = X(4) = 5 et X(6) = −10. Ainsi ΩX = {1, 5, −10}. On peut s’intéresser à la probabilité de gagner 1 euro, c’est-à-dire d’avoir X(ω) = 1, ce qui se réalise si et seulement si ω ∈ {1, 3, 5}. La 3 1 probabilité cherchée est donc égale à P({1, 3, 5}) = = . On pourra donc considérer l’événement : 6 2 1 1 (X = 1) = {ω ∈ Ω, X(ω) = 1} = {1, 3, 5}. On aura de même P(X = 5) = et P(X = −10) = . 3 6

3

Cas d’un nombre fini de valeurs

3.1

Définitions, notations.

On considère une expérience aléatoire et (Ω, P) un espace de probabilité fini. On appelle variable aléatoire réelle (v.a.r.) toute application X de Ω dans R. L’ensemble ΩX = X(Ω) des valeurs prises par X est appelé univers-image. ΩX est alors fini.

3.2

Loi de probabilité

Si X est une v.a.r. dont l’univers-image fini est ΩX = {x1 , . . . , xn }, alors X est appelée v.a.r. discrète finie et on appelle loi de probabilité de X la donnée des couples (xi , pi ), avec pi = P(X = xi ). n X On pourra toujours s’assurer que l’on a bien pi ≥ 0 et pi = p1 + p2 + . . . + pn = 1. i=1

Exemple 2 Reprenons l’exemple introductif. La loi de probabilité de X est donnée par X xi −10 1 5 1 1 1 pi 1 6 2 3

3.3

Espérance mathématique, variance, écart-type

Soit X une variable discrète dont l’univers image fini est ΩX = {x1 , . . . , xn }. On appelle espérance mathématique de X le nombre réel n X E(X) = p i xi . i=1

Ce nombre est aussi la valeur moyenne de X. On appelle variance de X le nombre var(X) =

n X

pi (Xi − E(X)) =

i=1

n X

pi x2i − (E(X))2 = E(X 2 ) − (E(X))2 .

i=1

p et l’écart-type de X est σ(X) = var(X). Ce nombre mesure l’écart à la moyenne des valeurs prises par X. Exemple 3 Reprenons l’exemple introductif. On a E(X) =

1 1 1 3 1 × (−10) + × 1 + × 5 = = , 6 2 3 6 2

1 1 1 153 51 × (−102 ) + × 12 + × 55 = = , 6 2 3 6 2  2 51 1 101 − = , var(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 = 2 2 4 √ 101 σ(X) = = 5, 025. 2

E(X 2 ) =

Comparer ces formules avec les formules de statistiques descriptives.

3.4

Lois classiques : binomiale et hypergéométrique

Répétition d’expériences On répète n fois dans les mêmes conditions une même expérience aléatoire (les répétitions étant indépendantes entre elles) au cours de laquelle un événement A a une probabilité p d’être réalisé. La variable aléatoire X, égale au nombre de fois où l’événement A est réalisé, suit la loi Binomiale B(n, p) ce qui signifie que : 1. ΩX = {0, 1, . . . , n}   n k 2. ∀k ∈ {0, 1, . . . , n}, P(X = k) = p (1 − p)k k On a de plus E(X) = np et var(X) = np(1 − p). Tirages dans une population à 2 catégories On considère une population de N individus à deux catégories, avec N1 individus de catégorie 1 et N2 individus de catégorie 2 (on a N1 +N2 = N ). On effectue n tirages d’un individu dans la population et on désigne par X la variable aléatoire égale au nombre d’individus  de catégorie 1 obtenus. Si on N1 effectue les tirages avec remise, alors X suit la loi Binomiale B n, .Si on effectue les tirages N sans  remiseou simultanés (dans ce cas, on doit avoir n 6 N ), alors X suit la loi Hypergéométrique N1 H n, N, , ce qui signifie que : N 1. ΩX = {0, . . . , min(N1 , n)},

N1 N −N1 2. ∀k ∈ {0, . . . , min(N1 , n)}, P(X = k) =

k

On a de plus E(X) = np et var(X) = np(1 − p)

n−k
N n

.

N −n N1 en posant p = . N −1 N

Exemple 4 Chez une espèce animale, un gène comprend deux allèles notés A (dominant) et a (récessif ). On croise des hétérozygotes (mâles et femelles, tous les deux de génotype aA), et on considère les portées de 10 descendants. Soit X la variable aléatoire égale au nombre d’individus de phénotype A dans une portée. On rappelle qu’un phénotype A est donné par un génotype AA ou aA, et qu’un phénotype a est donné par un génotype aa.   3 Alors X suit la loi binomiale B 10, , c’est-à-dire que X est à valeurs dans ΩX = {0, 1, . . . , 10} 4 et pour tout k ∈ {0, 1, . . . , 10},    k  10−k 10 3 1 . P(X = k) = 4 4 k En effet, on peut considérer que l’on répète n = 10 fois l’expérience aléatoire "choisir au hasard un descendant" au cours de laquelle l’événement A "le descendant est de phénotype A" a la probabilité p = 3 d’être réalisé. On peut aussi considérer que l’on effectue 10 tirages d’un individu dans la population 4 des N descendants, avec N1 descendants de phénotype A et N2 descendants de phénotype a (on a N1 + N2 = N ). On ne connaît ni N1 ni N , donc on ne peut pas supposer les tirages sans remise qui N1 3 conduiraient à la loi Hypergéométrique. On doit donc supposer les tirages avec remise et = . Ceci N 4 est justifé par le résultat suivant. Propriété Lorsque  N est trèsgrand devant n (en pratique N > 10n), on peut approcher la loi Hypergéo N1 N1 métrique H N, n, par la loi Binomiale B n, , et donc confondre les tirages avec et sans N N remise.

4

Cas d’un nombre infini dénombrable de valeurs

Définitions On appelle variable aléatoire réelle discrète infinie toute v.a.r. dont l’univers-image ΩX (ensemble des valeurs prises par X) est infini dénombrable. Dans ce cours, on se limitera à ΩX = N ou Ω = N∗ . On appelle loi de probabilité de X la donnée des couplesX (k, pk ) avec pk = P(X = k) pour k ∈ ΩX . On pourra toujours s’assurer que l’on a bien pk ≥ 0 et pk = 1. Attention ! Cette k∈ΩX

dernière somme contient une infinité de termes ! Il s’agit de la somme d’une série numérique, qui peut être infinie ou ne pas exister. Nous n’aborderons pas pour le moment les problèmes liés à cette notion. Espérance, variance, écart-type X – E(X) = kpk , k∈ΩX

– var(X) =

X

(k − E(X))2 pk =

pk∈ΩX – σ(X) = var(X)

X

k 2 pk − (E(X))2 .

k∈ΩX

Loi classique : loi de Poisson Une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0, notée P(λ) si – X est à valeurs dans ΩX = N, λk – ∀k ∈ N, P(X = k) = e−λ . k! On a de plus E(X) = λ et var(X) = λ.

5

Cas d’un nombre infini non dénombrable de valeurs

Lorsque ΩX est infini non dénombrable (par exemple ΩX = [a, b] ou R, la théorie montre que pour tout x ∈ ΩX , P(X = x) = 0. On est alors amené à donner la loi de probabilité de X par sa fonction de répartition FX définie par FX (x) = P(X 6 x). Définition On appelle densité de probabilité sur R toute fonction f de R dans R vérifiant : – f est positive, – fZ est continue sur R sauf éventuellement en un nombre fini ou dénombrable de points, +∞

f (x)dx = 1.

– −∞

Définition Une variable aléatoire est dite continue s’il existe une densité fX telle que pour tout x ∈ R, Z x FX (x) = fX (t)dt −∞

fX est alors appelée densité de X. Propriétés Soit X une variable aléatoire continue de densité fX et soit FX sa fonction de répartition. Pour tous réels x, a et b tels que a < b, on a : Z a P(X = x) = 0, P(X 6 x) = P(X < x), P(a 6 X 6 b) = FX (b) − FX (a) = fX (t)dt b

. Espérance, variance, écart-type Z +∞ – E(X) = xfX (x)dx. −∞ Z +∞ Z 2 – var(X) = (x − E(X)) fX (x)dx = −∞

+∞

−∞

x2 fX (x)dx − (E(X))2 .

– σ(X) =

p var(X)

Loi normale N (µ, σ)

6 6.1

Loi normale centrée réduite N (0, 1)

X variable aléatoire continue suit une loi normale centrée réduite si – ΩX = R. x2 1 – fX (x) = √ e− 2 pour tout x ∈ R. 2π On a de plus E(X) = 0 et var(X) = 1. La fonction de répartition de X, notée exceptionnellement Φ(x) est donnée par Z x t2 1 √ e− 2 dt Φ(X) = 2π −∞ pour tout x ∈ R. Cette fonction n’étant pas exprimable par des fonctions usuelles, on utilise généralement une valeur approchée de cette fonction. Ses valeurs sont tabulées pour les x ≥ 0 (voir table jointe). Pour les x < 0, on peut utiliser la formule Φ(−x) = 1 − Φ(x)(formule valable pour tout réel x) La table ne donne des valeurs approchées de Φ(x) que pour des x compris entre 0 et 3. On pourra admettre que Φ(x) ≈ 1 pour tout x ≥ 3, ou utiliser les valeurs supplémentaires données. Exemples de calcul Exemple 5 problème direct Soit X une v.a.r. suivant une loi normale N (0, 1). – Calculer P(X < 1.24). Il s’agit d’utiliser la table donnant les valeurs de Φ(t) pour t positif. P(X < 1.24) = Φ(1.24). On regarde dans la table à l’intersection de la ligne 1.2 et de la colonne 0.04, on trouve 0.89251 donc P(X < 1.24) = 0.89251. – Calculer P(X > 0.25). Ici, puisque la table ne donne que des valeurs de Φ(t) pour t positif, on doit utiliser l’évènement contraire {X 6 0.25}. On a P(X > 0.25) = 1 − P(X 6 0.25) = 1 − Φ(0.25) On lit dans la table Φ(0.25) = 0.59871 donc P(X > 0.25) = 0.40129. – Calculer P(X < −0.34). La table ne donne les valeurs de Φ(t) que pour des valeurs positives de t. On utilise le fait que Φ(−t) = 1 − Φ(t) pour trouver : P(X < −0.34) = Φ(−0.34) = 1 − Φ(0.34) = 1 − 0.63307 = 0.36693 Exemple 6 problème inverse Soit X une v.a.r. suivant une loi normale N (0, 1). – Trouver c tel que P(X < c) = 0.025. La première chose à faire est de trouver le signe de c. A l’aide d’un dessin, on voit que, puisque 0.025 < 0.5, c doit être négatif et donc P(X < c) = Φ(c) = 1 − Φ(−c) = 0.025 avec −c nombre positif. Donc Φ(−c) = 0.975. Il suffit alors de trouver 0.975 dans le tableau. Il se trouve à l’intersection de la ligne 1.9 et de la colonne 0.06. Ceci signifie que −c = 1.96 et c = −1.96. – Trouver c tel que P(X > c) = 0.32. A l’aide d’un dessin, on voit que c doit être positif donc P(X > c) = 1 − P(X 6 c) = 1 − Φ(c) = 0.32 Donc Φ(c) = 0.68. Dans le tableau, la valeur la plus proche de 0.68 est 0.68082 qui correspond à c = 0.47.

6.2

Loi normale N (µ, σ) avec σ > 0

Dans le cas général, on a 1 x−µ 2 1 fX (x) = √ e− 2 ( σ ) σ 2π

pour tout x ∈ R. Le paramètre µ espérance de la variable aléatoire X, est le point où la courbe représentative de fX atteint son maximum. Le paramètre σ, écart-type de la variable X, caractérise l’aplatissement de la courbe en cloche représentant fX . On a donc E(X) = µ, var(X) = σ 2 et σ(X) = σ. Proposition X suit la loi normale N (µ, σ) si et seulement si Z =

X −µ suit la loi normale N (0, 1). σ

Exemples de calcul Exemple 7 problème direct Soit X une v.a.r. suivant une loi normale N (10, 2). X − 10 . 2 Puisque E(X) = 10 et σ(X) = 2, Z suit une loi normale N (0, 1) et on va pouvoir utiliser la table de la loi normale. X − 10 15 − 10 {X 6 15} = { 6 } = {Z 6 2.5} 2 2 On doit donc calculer P(Z 6 2.5) et on est ramené au problème direct déjà traité.

– Calculer P(X 6 15). La première chose à faire est un changement de variable. Soit Z =

P(Z 6 2.5) = Φ(2.5) = 0.99461 = P(X 6 15) Exemple 8 problème inverse Soit X une v.a.r. suivant une loi normale N (10, 2). – Trouver c tel que P(X < c) = 0.025. On commence par faire le changement de variable Z = X − 10 2 c − 10 c − 10 X − 10 < } = {Z < } {X < c} = { 2 2 2 c − 10 Soit z0 = . On a P(Z < z0 ) = 0.025. Un dessin nous montre que z0 doit être négatif. 2 P(Z < z0 ) = Φ(z0 ) = 1 − Φ(−z0 ) = 0.025 Donc Φ(−z0 ) = 1 − 0.025 = 0.975 et −z0 = 1.96. Par conséquent, 10 − 2 × 1.96 = 6.08.

6.3

c − 10 = −1.96 et c = 2

Approximation de la loi binomiale par la loi normale

Soit X une variable aléatoire de loi binomialep B(n, p). Si n est "grand" et p "pas trop petit", alors X suit approximativement la loi normale N (np, np(1 − p)) (de même moyenne et même écart-type que la loi binomiale). En pratique, ce résultat s’applique dès que n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1 − p) ≥ 5.

7

Exercices

Exercice 1 1. Un enfant a absorbé accidentellement l’un ou l’autre exclusivement de trois médicaments dangereux A, B et C. Il y avait à sa portée 3 boites de A, 1 de B et 2 de C. Quelle est la probabilité qu’il ait pris A ?

2. Les 3 médicaments entraînent des troubles digestifs dans 50% des cas avec A, 75% des cas avec B et 20% avec C. L’enfant présente ces troubles Quelle est la probabilité qu’il ait pris A ? 3. Au bout de quelques jours, les malades donnent des signes de fièvre dans 90% des cas pour A, 10% pour B et jamais avec C. L’enfant n’a pas de fièvre. Quelle est la probabilité qu’il ait pris A? 4. La probabilité de survie est de 10% si l’on a pris A, 80% si l’on a pris B et de 90% si l’on a pris C. Quelle est la probabilité de survie de l’enfant ? Exercice 2 Dans une population, on constate la présence de deux symptômes liés à des maladies indépendantes. Certaines personnes peuvent présenter les deux symptômes. La proportion des personnes présentant le symptôme A est de 30% et la proportion des personnes présentant le symptôme B est de 40%. 1. Quelle est la proportion de personnes présentant les deux symptômes ? 2. Quelle est la proportion de personnes de présentant aucun symptôme ? 3. Quelle est la proportion de personnes présentant au moins un symptôme ? 4. Quelle est la proportion de personnes présentant le symptôme A seulement ? Exercice 3 On soumet 1080 personnes à un test psychotechnique noté de 0 à 5. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous, où les individus ont été classés en trois catégories suivant le secteur d’activité de leur emploi actuel. secteur note 0 1 2 3 4 5 industrie A 60 60 60 60 60 60 agriculture B 40 40 80 80 0 0 services C 80 60 60 80 80 120 On choisit au hasard un individu dans le groupe testé. 1. Quelle est la probabilité de choisir un individu de type A et ayant la note 2 ? 2. Quelle est la probabilité de choisir un individu de type A ? 3. Quelle est la probabilité de choisir un individu ayant la note 5 ? Exercice 4 Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par : xi 1 2 3 4 5 pi 0, 25 p2 0, 18 p4 0, 37 1. Déterminer les valeurs de p2 et p4 , sachant que les évènements X = 2 et X = 4 sont équiprobables. 2. Calculer l’espérance et l’écart-type de X. Exercice 5 Dans un lot de 20 boîtes de médicaments dont 4 sont périmées, on choisit au hasard deux boites. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins une boîte périmée parmi les deux boîtes choisies. Exercice 6 Un joueur a une chance sur trois de gagner une partie. Il joue cinq parties de suite. Calculer la probabilité qu’il gagne : a) trois parties b) cinq parties c) au plus une partie d) au moins deux parties.

Exercice 7 Les centres de transfusion sanguine diffusent le tableau suivant donnant la répartition de la population française des principaux groupes sanguins : O A B AB rhésus + 37% 38, 1% 6, 2% 2, 8% rhésus - 7% 7, 2% 1, 2% 0, 5% 1. Quelle est la probabilité qu’une personne prise au hasard dans la population soit de groupe A ? de facteur rhésus + ? de groupe O et de facteur rhésus - ? Justifier les réponses. 2. Dix personnes sont prises au hasard dans la population française. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de personnes de groupe A obtenu. (a) Quelle est la loi de probabilité de X ? Justifier. (b) Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 4 personnes de groupe A ? (c) Quelle est la probabilité qu’au moins la moitié des personnes soit de groupe A ? 3. Pour une intervention chirurgicale, on doit avoir au moins 3 donneurs de groupe O et de facteur rhésus +. Dix personnes, ignorant leur groupe sanguin, sont disposées à ce don. Calculer la probabilité d’avoir au moins les donneurs nécessaires. Exercice 8 Le nombre de micro-ordinateurs vendus chaque jour dans le magasin HIGHTECH suit une loi de Poisson de paramètre 4. Calculer la probabilité que dans une journée : 1. on ne vende aucun micro-ordinateur 2. on vende 4 micro-ordinateurs 3. on vende au moins un micro-ordinateur 4. le nombre de micro-ordinateurs vendus soit compris (au sens large) entre 2 et 6. Exercice 1. Soit (a) (b) 2. Soit (a) (b)

9 X une variable aléatoire de loi normale N (0, 1). Calculer P(X 6 2) et P(0 6 X 6 1). Déterminer le réel x tel que P(X 6 x) = 0, 975. Y une variable aléatoire de loi normale N (4, 2). Calculer P(Y 6 6) et P(0 6 Y 6 6). Déterminer le nombre y tel que P(Y 6 y) = 0, 975.

Exercice 10 A partir des données obtenues ces dernières années, on peut supposer que l’âge auquel un enfant commence à marcher est une variable aléatoire X suivant la loi normale de moyenne µ = 13 mois et d’écart-type σ = 1, 5 mois. 1. Quelle est la probabilité qu’un enfant commence à marcher avant 11 mois ? 15 mois ? 2. Quelle est la probabilité qu’un enfant commence à marcher entre 11 et 15 mois ? 3. Quelle est la probabilité qu’un enfant commence à marcher à 13 mois exactement ? 4. Quel risque prend-on en pariant qu’un enfant commencera à marcher entre 12 et 14 mois ? Exercice 11 On sait que dans la population, la fréquence des troubles de la vision des couleurs (dyschromatopsie) est de 8%. A l’examen médical d’aptitude à une école de préparation à la formation de pilote de ligne, 150 candidats se présentent. 1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de candidats présentant une dyschromatopsie ? 2. Calculer la probabilité que le nombre de candidats présentant une dyschromatopsie soit compris entre 10 et 20, en utilisant une approximation à l’aide de la loi normale.


 



   
  


 !#" Z $%'&)(+*-,.* /0*213$ (!,4% " $%'&)5 ! N (0, 1) *768&)9/:&&0,4$H? %%'&C5>&L1M(N,45>&