1 Espaces probabilisés discrets

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Probabilités, fiche d’exercices n◦ 1

1 Espaces probabilisés discrets Exercice 1 On cherche à modéliser le lancer de deux dés à six faces, un rouge et un noir. Voici trois modèles : 1. On prend Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2 . L’élément (i, j) ∈ Ω1 représente l’éventualité « le dé rouge montre le nombre i et le dé noir le nombre j ». 2. On prend Ω2 = {(i, j), i, j ∈ {1, . . . , 6}, i ≤ j}. L’élément (i, j) ∈ Ω2 représente l’éventualité « les deux dés montrent les nombres i et j ». 3. On prend Ω3 = {2, 3, 4, . . . , 12}. Ici, i ∈ Ω3 représente l’éventualité « la somme des deux dés est i ». Pour chacun de ces modèles, déterminer la probabilité qu’il convient de mettre sur l’univers choisi pour que le modèle corresponde bien à notre expérience. Dire, pour chacun des modèles, si A, B, D sont des événements, et, dans l’affirmative, les écrire comme sous-ensemble de l’univers et donner leur probabilité : A B

= « la somme des deux dés est 4 » , = « le dé noir a donné 1 » ,

C

= « les deux dés ont donné 1 et 3 » .

Exercice 2 Un parking contient douze places alignées. Huit voitures s’y sont garées au hasard, et l’on observe que les quatre places libres se suivent. Est-ce surprenant ? Exercice 3 Soient E un ensemble et (An )n ∈ N une suite de parties de E. On pose, pour tout m ∈ N, Sm =

∪

An ,

Tm =

n≥m

∩

An .

n≥m

Démontrer les assertions suivantes. 1. (Tm ) (resp. (Sm )) est croissante (resp. décroissante). 2. lim sup An ⊃ lim inf An . 3. lim sup(Acn ) = (lim inf An )c . 4. lim inf(Acn ) = (lim sup An )c . 5. P (lim infn An ) ≤ lim infn P (An ) . ( ) 6. P lim supn An ≥ lim supn P (An ) . Exercice 4 Dans un jeu de loto, un numéro est tiré au hasard parmi les entiers de 0 à 999. Quelle est la probabilité p de gagner en misant sur un numéro ? la probabilité p′ de gagner en misant sur deux numéros pour le même tirage ? En jouant à une machine à sous, on gagne avec probabilité p à chaque fois que l’on tire la manette. Quelle est la probabilité de gagner quelque chose en jouant deux fois ? Exercice 5 Dans un groupe de n personnes, quelle est la probabilité pn pour que les anniversaires de deux au moins d’entre eux tombent le même jour ? À partir de combien de personnes cette probabilité dépasse-t-elle 1/2 ?

Exercices hors fiche de TD Exercice 6 1) Soit (Ω, P) un espace probabilisé. Montrer que l’on peut calculer la probabilité de n’importe quel événement à partir des probabilités pω = P({ω}) des seuls événements élémentaires. 2) Soit Ω un univers dénombrable ou fini, et (pω )ω∈Ω une collection de réels positifs ou nuls tels que ∑ pω = 1 . ω∈Ω

Montrer qu’il existe une unique probabilité P sur Ω telle que P({ω}) = pω

∀ω ∈ Ω .

Exercice 7 Soit (E, P) un espace probabilisé et {An }n≥1 une suite croissante d’événements. On pose B1 = A1 , et, pour tout n ≥ 2, Bn = An \An−1 . 1) Écrire les probabilités de An et de ∪i≥1 Ai sous la forme de sommes de probabilités des Bi . 2) En déduire que ( +∞ ) ∪ P An = lim P(An ) . n=1

n→+∞

Exercice 8 On lance deux dés non pipés. Calculer la probabilité des événements suivants : A : Obtenir au moins un six. B : Obtenir au moins un numéro pair. C : La somme des numéros obtenus est égale à six. D : La somme des numéros obtenus est paire. Exercice 9 Jojo cherche à investir sur la place boursière de Jojoville. Étant donnée sa méconnaissance de la bourse et des entreprises, il demande à 9 de ses amis, plus compétents que lui, de lui dire quelle est l’action parmi les 40 actions composant l’indice Crack40 qui selon eux a le plus d’avenir. Il obtient deux réponses favorables à l’action JojoMobiles, et sept réponses pour sept autres actions, toutes différentes les unes des autres. À votre avis, cette double réponse pour JojoMobiles est-elle significative ? Les réponses des amis de Jojo vont-elles l’aider dans son choix ? Exercice 10 On cherche à modéliser le lancer d’un dé à six faces. Voici trois modèles : 1. On prend Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. L’élément i ∈ Ω représente l’éventualité « le dé s’est arrêté sur le numéro i ». 2. On prend Ω = {a, b, c}. Ici, a représente l’éventualité « le dé s’est arrêté sur le numéro 1 ou 2 », b « … 3 ou 4 », et c « … 5 ou 6 ». 3. On prend Ω = {ω1 , ω2 , ω3 }. Ici, ω1 représente l’éventualité « le dé s’est arrêté sur le numéro 1 ou 2 ou 3 », ω2 « … 4 ou 5 », et ω3 « … 6 ». Pour chacun de ces modèles, déterminer la probabilité qu’il convient de mettre sur Ω pour que le modèle corresponde bien à notre expérience. Dire, pour chacun des modèles, si A, B, C et D sont des événements, et, dans l’affirmative, les écrire comme sous-ensemble de Ω et donner leur probabilité : A = « le nombre obtenu est inférieur ou égal à 4 » B = « le nombre obtenu est 6 » C = « le nombre obtenu est 1 ou 2 »

D = « le nombre obtenu est pair »

Exercice 11 On considère Ω1 = {1, 2, . . . , 10} et Ω2 = N. Peut-on construire une probabilité sur Ω1 telle que toutes les éventualités aient même probabilité ? Et sur Ω2 ? Décrire un ensemble probabilisé permettant de modéliser les expériences suivantes : — On tire une carte au hasard parmi un jeu de 32 cartes. — On choisit un entier au hasard.

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Probabilités, fiche d’exercices n◦ 2 Exercice 6 Soit (E, P) un espace probabilisé et {An }n≥1 une suite d’événements. 1) Montrer que ( +∞ ) +∞ ∑ ∪ P An ≤ P(An ) . n=1

2) Démontrer que

+∞ ∑ n=1

n=1

P(An ) < +∞ =⇒ P(lim sup An ) = 0 . n

Remarque : Ce résultat porte le nom de lemme de Borel-Cantelli. Exercice 7 L’engin spatial StarJojo s’éloigne de la terre à vitesse constante. Il envoie un message toutes les secondes, mais son système gyroscopique est défectueux et le message est envoyé dans une direction aléatoire, de telle sorte que la probabilité qu’un message envoyé d’une distance r de la terre arrive à la station de réception sur terre est proportionnelle à 1/r2 . Montrer qu’il existe presque-sûrement un moment à partir duquel la station de réception ne recevra plus jamais aucun message en provenance de StarJojo.

2 Probabilités conditionnelle et indépendance Exercice 8 On distribue (après les avoir bien mélangés) N billets à gratter à des revendeurs, parmi lesquels une proportion p est gagnante. Jojo achète deux billets. On note A l’événement « le premier billet est gagnant », et B l’événement « le deuxième billet est gagnant ». Déterminer la probabilité des événements A et B. Calculer P (A ∩ B). Les événements A et B sont-ils indépendants ? Observer l’évolution du défaut d’indépendance de A et B lorsque N tend vers l’infini, p restant constant. Exercice 9 Les services marketing de la société d’assurance automobile JojoTranquile ont mis au point un questionnaire pour dépister les « conducteurs imprudents » (cette catégorie rassemble en fait tous les assurés déclarant au moins trois sinistres au cours d’une année, et on a estimé qu’ils représentent 2 % de la population), et éventuellement refuser de les assurer. Depuis plus d’un an, on a demandé à tous les assurés de le remplir. Les résultats sont les suivants : — parmi les conducteurs imprudents assurés à JojoTranquile, 95 % auraient été dépistés par le questionnaire. — parmi les autres, 4 % auraient tout de même été déclarés imprudents à cause du questionnaire. En énonçant ces résultats, le responsable de ce projet, M. Question, se félicite du travail accompli par son équipe. Lorsqu’un client potentiel, remplissant le questionnaire, est déclaré imprudent par la procédure mise au point par M. Question, quelle est la probabilité qu’il soit réellement imprudent ? Pensez-vous qu’il soit souhaitable d’utiliser les conclusions du questionnaire pour exclure préventivement de nouveaux clients ? Exercice 10 Jojo fait du ski à la station « Vallées blanches ». Il est en haut du téléski des Cailloux, et a le choix entre les pistes de Tout-Plat (une bleue), Les-Bosses (une rouge) et Rase-Mottes (une noire). Il va choisir une de ces trois pistes au hasard, de telle façon qu’il choisisse la bleue ou la noire avec probabilité 1/4, et la rouge, qu’il préfère, avec probabilité 1/2. Il descend ensuite la piste choisie. Jojo n’est pas encore très à l’aise cette saison, et il tombe avec une probabilité de 0,1 sur la piste bleue, de 0,15 sur la piste rouge, et de 0,4 sur la piste noire.

1) Soit A = « Jojo tombe en decendant la piste qu’il a choisie ». Calculer P(A). 2) Bernard, qui attend Jojo en bas des pistes, à la terrasse d’un café, voit arriver Jojo couvert de neige : il est donc tombé. Sachant cela, quelle est la probabilité qu’il ait emprunté la piste noire ? Exercice 11 On lance un dé à six faces truqué : ce dé donne deux fois plus souvent de cinq et de six que les autres chiffres. Construire un espace probabilisé qui modélise un lancer de ce dé. Construire un autre espace probabilisé qui modélise cinq lancers de ce dé. Construire un autre espace probabilisé qui modélise une infinité de lancers de ce dé.

Question 1 ♣ On considère un espace probabilisé (Ω, P) et A et B deux événements de probabilité non nulle. A et B sont indépendants si et seulement si P ( B | A) = P(A) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) P(A ∪ B) = P(A) P(B)

P ( B | A) = P ( A | B) P ( A | B) = P(A)

Question 2 ♣ Soit (Ω, P) un espace probabilisé discret et A, B et C trois événements de probabilité non nulle. On note PC la probabilité sur Ω définie par PC (E) = P ( E | C) pour tout E ⊂ Ω. Pour chaque propriété ci-dessous, cocher la case correspondante si elle suffit à montrer que A et B sont indépendants pour PC . A et B sont tous deux indépendants de C pour P A, B et C sont mutuellement indépendants pour P A, B et C sont deux à deux indépendants pour P A et B sont indépendants pour P Question 3 ♣

Soit (Ω, P) un espace probabilisé discret, et A et B deux événements. Alors :

Si P(A) ≤ 1/2 et P(B) ≤ 1/2, alors P(A ∩ B) ≤ 1/4 Si P(A) ≥ 1/2 et P(B) ≥ 1/2, alors P(A ∩ B) ≥ 1/4 Si P(A) = P(B) = 1, alors P(A ∩ B) = 1 Question 4 ♣

Considérons deux événements A et B. Que peut-on affirmer en toute généralité ?

Si A et B Si A et B Si A et B Si A et B Question 5 ♣ Si A ∪ B Si A ∩ B Si A ∪ B Si A ∪ B

sont incompatibles, alors ils sont indépendants sont incompatibles, alors ils ne sont pas indépendants sont indépendants, alors ils sont incompatibles sont indépendants, alors ils ne sont pas incompatibles

Soit (Ω, P) un espace probabilisé discret, et A et B deux événements. Alors : = Ω, alors P(A) P(B) = 1 = ∅, alors P(A) P(B) = 0 = Ω, alors P(A) + P(B) = 1 = Ω, alors P(A) + P(B) ≥ 1

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Probabilités, fiche d’exercices n◦ 3

3 Éléments aléatoires Exercice 12 On choisit un nombre N au hasard entre 1 et 4, puis un nombre X au hasard entre 1 et N . Quelle est la loi de X ? Exercice 13 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, de même loi, telles que P [X = 0] = P [Y = 0] = P [X = 1] = P [Y = 1] =

1 . 2

Quelle est la loi de (X, Y ) ? Quelle est la loi de X + Y ? Exercice 14 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois de Poisson de paramètres respectifs λ et λ′ . Montrer que X + Y suit la loi de Poisson de paramètre λ + λ′ . Exercice 15 On lance deux dés à six faces, un bleu et un rouge. On note X le résultat du dé bleu, et Y celui du dé rouge. On note S = X + Y . Déterminer la loi de S. Pour x ∈ {1, . . . , 6} et s ∈ {2, . . . , 12}, calculer P [ X = x | S = s] . Exercice 16 1) Soit n ∈ N∗ et (Xk )1≤k≤n un n-uplet de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, telles que P [X1 = 1] = 1 − P [X1 = 0] = p. On pose Sn = X1 + · · · + Xn . (a) Calculer l’espérance de Sn . (b) Déterminer la loi de Sn . 2) Paris est interdit à la circulation pour laisser le champ libre aux voitures officielles. Entre l’Étoile et Orly, il y a treize feux tricolores qui fonctionnent de manière indépendante. Chacun est rouge un tiers du temps. Soit X le nombre de feux rouges qu’une escorte de motards ignore sur son passage, de l’Étoile à Orly. Déterminer l’espérance de X. Exercice 17 Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. Montrer que : EX =

+∞ ∑

P [X > n] .

n=0

Application : Calculer l’espérance d’une loi géométrique. Exercice 18 Soient X et Y deux variables aléatoires de même loi, telles que P [X = 0] = P [Y = 0] = P [X = 1] = P [Y = 1] =

1 . 2

Calculer E X et E Y . L’espérance E(XY ) est-elle déterminée par les hypothèses que l’on a formulées ? Dans l’affirmative, donner sa valeur. Dans la négative, quelles sont toutes les valeurs possibles pour E(XY ) ?

Question 6 ♣ On considère deux événements A et B d’un espace probabilisé discret (Ω, P). Parmi les propriétés suivantes, lesquelles sont vérifiées sans hypothèse supplémentaire ? 1A∪B = 1A + 1B − 1A .1B 1A|B = 11A A∩B 1A|B = 11A B

1A\B = 1A − 1B 1A∪B = 1A + 1B 1A\B = 1A .(1 − 1B )

Question 7 ♣ Soient X et Y deux variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé. On note PV la loi de probabilité du vecteur aléatoire V = (X, Y ). Comment la probabilité p = P [X = 2 et Y > 1] peut-elle s’écrire ? p = P(X,Y ) ({2}×]1, +∞[) p = P(X,Y ) ({2}, ]1, +∞[) p = P(X −1 ({2}) ∩ Y −1 (]1, +∞[)) p = P(X,Y ) ({2} × R). P(X,Y ) (R×]1, +∞[)

p = P(X,Y ) ({2}). P(X,Y ) (]1, +∞[) p = P(X,Y ) ({2}∩]1, +∞[) p = P(X −1 ({2})). P(Y −1 (]1, +∞[))

Question 8 ♣ Soient X, Y et Z trois variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé (Ω, P), et toutes trois à valeurs dans Z. Parmi les événements A suivants, pour lesquels existe-t-il un sous-ensemble B de Z2 tel que A = (X, Y )−1 (B) ? A = {Z = 2} A = {X = 1} A = {Y = Z} A = {X = 1 et Y ≥ 3}

A=Ω {√ } A= X 2 + Y 2 ≤ 10 A = {X + Z = 10} A = {X + Y ≥ 3}

Question 9 On considère l’espace Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2 , et la probabilité uniforme P sur Ω. On note X la variable aléatoire définie par X(i, j) = i pour tout (i, j) ∈ Ω. Combien peut-on construire de variables aléatoires Y sur Ω telles que Y a même loi que X ? aucune

1

6 autre réponse

36

plus de 600

Question 10 Avec les même notations qu’à la question précédente, combien peut-on construire de variables aléatoires Y sur Ω telles que Y est indépendante de X ? aucune

1

6 autre réponse

36

plus de 600

Exercices hors fiche de TD Exercice 19 Soit Y une variable aléatoire de loi uniforme sur {1, . . . , 100}. On pose { Y si Y ≤ 50 X= 50 sinon. Calculer l’espérance de X. Quelle est la loi de X ? Exercice 20 Soit X une variable aléatoire à valeurs dans Z, dont la loi est déterminée par les probabilités px = P [X = x] ,

x ∈ Z.

Déterminer la loi des variables aléatoires X + 1, 2X et X 2 .

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Probabilités, fiche d’exercices n◦ 4

4 Théorie générale des probabilités Exercice 19 On considère un ensemble Ω, et une famille (Ai )i≥1 de parties de Ω. 1) Déterminer la tribu engendrée par {A1 , A2 }. 2) Quel est le nombre maximal d’éléments que peut avoir la tribu engendrée par {A1 , . . . , An } ? Exercice 20 Dans R muni de sa tribu de Borel et de la mesure de Lebesgue λ, construire une suite décroissante {An } de boréliens telle que   ∩ λ An  ̸= lim λ(An ) . n→+∞

n≥1

Exercice 21 On munit l’ensemble Ω = [0, 1[ de sa tribu de Borel et de la mesure de Lebesgue λ. On rappelle que tout x ∈ [0, 1[ admet un développement unique de la forme x=

∑ cn (x) , 3n

n≥1

où les coefficients cn (x) ∈ {0, 1, 2} ne sont pas tous égaux à 2 à partir d’un certain rang. On considère l’ensemble C défini par C = {x ∈ [0, 1[, cn (x) ∈ {0, 2} ∀n ≥ 1} . 1) Montrer que C n’est pas dénombrable. Proposer une manière de construire C géométriquement. 2) Calculer λ(C). Exercice 22 Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé, et A et B deux événements de A. On définit une variable aléatoire X par X = a1A + b1B , où a et b sont deux réels non nuls. Expliciter σ(X) puis calculer la loi de X.

Exercice 23 Soit λ2 la mesure de Lebesgue sur R2 . 1) Démontrer que λ2 est invariante par translation, par symétrie par rapport à chacun des axes (Ox) et (Oy), ainsi que par symétrie par rapport à O. 2) Démontrer que si S est un segment de droite, alors λ2 (S) = 0. 3) Calculer la mesure (pour λ2 ) d’un triangle rectangle ayant deux côtés parallèles aux axes. 4) Calculer la mesure de tout rectangle. 5) Démontrer que λ2 est invariante par rotation. 6) Si Aα est l’homothétie de centre O et de rapport α, et B un borélien de R2 quelconque, déterminer λ2 (Aα (B)) en fonction de λ2 (B). Exercice 24 Soit µ une mesure positive sur (R2 , B(R2 )), invariante par translation et telle que µ(C1,1 ) = a ∈ R∗+ , où Cx,y désigne le carré [0, x] × [0, y]. 1) Montrer que la mesure (pour µ) d’un segment parallèle à l’un des deux axes est nulle. 2) Pour m, n ∈ N∗ , déterminer µ(Cm,n ). 3) Pour x, y ∈ Q+ , déterminer µ(Cx,y ). 4) Déterminer µ.

Exercices hors fiche de TD Exercice 25 Soient Ω et Ω′ deux ensembles quelconques, X une application de Ω dans Ω′ , et C ′ ⊂ Ω′ . 1. Montrer que σ(X −1 (C ′ )) ⊂ X −1 (σ(C ′ )). 2. Soit A′ la tribu induite par X de la tribu σ(X −1 (C ′ )) : A′ = {A′ ⊂ Ω′ , X −1 (A′ ) ∈ σ(X −1 (C ′ ))} . Montrer que σ(C ′ ) ⊂ A′ . En déduire que X −1 (σ(C ′ )) ⊂ X −1 (A′ ) ⊂ σ(X −1 (C ′ )) , et conclure. Exercice 26 1) Soit X=

n ∑

αi 1Ai

i=1

une fonction étagée. Montrer que σ(X) ⊂ σ({Ai , 1 ≤ i ≤ n}). Dans quel cas a-t-on l’égalité ? 2) Soit X : (Ω, A, P) −→ (R, B(R)) une variable aléatoire discrète, c’est-à-dire telle que X(Ω) est dénombrable. Montrer que σ(X) = X −1 (P(X(Ω))). 3) Soient X et Y deux variables aléatoires étagées positives indépendantes. Montrer que E(XY ) = EX × EY . 4) Soient X et Y deux variables aléatoires intégrables indépendantes. Montrer que E(XY ) = E X × EY . Exercice 27 Considérons un modèle d’assurance automobile pour lequel il y a deux types d’assurés : les « bons conducteurs », et les « mauvais conducteurs ». On choisit au hasard (et uniformément) un assuré automobile. On considère l’événement B = « le conducteur choisi est un bon conducteur » et la variable aléatoire S représentant le nombre de sinistres déclarés au cours d’une année par le conducteur choisi. On note ¯ On suppose que P(B) = 0, 6, et que les lois conditionnelles de S sachant B et sachant B ¯ sont M = B. des lois de Poisson de paramètres respectifs λB = 0, 05 et λM = 0, 15, c’est-à-dire que : k ] [ λkB ¯ = e−λM λM . , P S = k B k! k! 1) Montrer que la prime a priori π0 = E S (l’unité est le coût moyen d’un sinistre) vérifie

∀k ∈ N,

P [ S = k | B] = e−λB

π0 = P(B)πB + P(M )πM , où πB (resp. πM ) est l’espérance d’une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre λB (resp. λM ). Calculer πB , πM et π0 . 2) Après une année assurée, on connaît le nombre de sinistres s déclarés par chaque conducteur. La prime a posteriori π1 (s) à faire payer à un conducteur ayant déclaré s sinistres l’an passé s’écrit π1 (s) = P ( B | S = s) πB + P ( M | S = s) πM . Calculer π1 (s) et r1 (s) = π1 (s)/π0 pour s ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 3) On note S et S ′ le nombre de sinistres déclarés par le conducteur choisi au cours de deux années consécutives. On suppose que, conditionnellement à B ou à M , S et S ′ sont indépendantes, c’està-dire que, pour tous s, s′ , P [ S = s, S ′ = s′ | B] = P [ S = s | B] P [ S ′ = s′ | B] . Calculer les probabilités P [ S + S ′ = t | B], t ∈ N. En déduire la valeur de la prime a posteriori pour deux années π2 (s, s′ ) = P ( B | S = s, S ′ = s′ ) πB + P ( M | S = s, S ′ = s′ ) πM . Calculer la valeur de π2 (s, s′ ) et de π2 (s, s′ )/π0 pour s + s′ ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

4) On considère deux façons de réévaluer la prime au bout de deux ans : (a) la prime est multipliée par r1 (s) à la fin de la première année, puis encore par r1 (s′ ) à la fin de la deuxième année. (b) la prime est multipliée par r1 (s) à la fin de la primière année, et, à la fin de la deuxième année, on applique la prime initiale multipliée par r2 (s, s′ ). Comparer ces deux méthodes. Exercice 28 Jojo lance et relance un dé à six faces sans s’arrêter. Définir l’espace probabilisé qui permet de modéliser cette expérience. Calculer la probabilité des événements suivants : — A = « Jojo n’obtient que des six » ; — B = « À partir d’un certain moment, Jojo n’obtient que des six » ; — C = « Jojo obtient au moins un six » ; — D = « Jojo obtient une infinité de six ». Exercice 29 On munit un ensemble Ω de cardinal infini de la tribu P(Ω), et on définit une application µ de P(Ω) dans ¯ + de la manière suivante : R { 0 si A est une partie finie, µ(A) = +∞ sinon. L’application µ est-elle une mesure positive sur (Ω, P(Ω)) ? Dans le cas contraire, comment la modifier pour qu’elle devienne une mesure ? Exercice 30 Expliciter σ(X) et la loi de X dans les cas suivants (λ désigne la mesure de Lebesgue) : 1. (Ω, A, P) = ([0, 1], B([0, 1]), λ) et { ∀ω ∈ Ω,

X(ω) =

2ω 1

si 0 ≤ ω ≤ 1/2, si 1/2 ≤ ω ≤ 1.

2. (Ω, A, P) = ([−1, 1], B([−1, 1]), λ/2) et ∀ω ∈ Ω,

X(ω) = ω 2 .

Exercice 31 Soit X une variable aléatoire intégrable. 1) Montrer que lim n P [X ≥ n] = 0 .

n→+∞

2) Montrer que

∑ n≥1

P [X ≥ n] < +∞ .

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Probabilités, fiche d’exercices n◦ 5 Exercice 25 Soit X une variable aléatoire positive. 1) Montrer que l’application x 7→ P [X > x] définie sur R et à valeurs dans R est mesurable. 2) Écrire P [X > x] comme l’intégrale (sous P) d’une indicatrice. 3) Montrer que ∫ +∞ EX = P [X > x] dλ(x) . 0

4) Dans le cas où X est à valeurs dans N, montrer que EX =

+∞ ∑

P [X > n] .

n=0

Exercice 26 Soient X et Y deux variables aléatoires telles que X ≤ Y . Montrer qu’alors E X ≤ E Y (on pourra commencer par le cas où X et Y sont étagées positives). Exercice 27 Soit X une variable aléatoire intégrable. Montrer que E |X| = 0 si et seulement si X est presque-sûrement nulle.

5 Densité Exercice 28 (SOA) La durée de vie d’une machine a une loi continue de densité f , où f (x) est proportionnelle à (10 + x)−2 pour x ∈ [0, 40] et nulle en dehors de cet intervalle. Quelle est la probabilité que la durée de vie de la machine soit inférieure à 5 ? Exercice 29 (SOA) Un contrat d’assurance groupe couvre les sinistres santé des employés d’une petite entreprise. Le montant V de la somme des sinistres pendant une année est décrit par V = 100 000 × Y , où Y est une variable aléatoire de densité { k(1 − y)4 si 0 < y < 1, f (y) = 0 sinon, où k est une constante. Quelle est la probabilité conditionnelle que V dépasse 40 000 sachant que V dépasse 10 000 ? Exercice 30 (SOA) Un contrat d’assurance rembourse le montant X de certaines pertes, après déduction d’une franchise C ∈]0, 1[. La variable X est supposée continue de densité { 2x si 0 < x < 1, f (x) = 0 sinon. La probabilité que le remboursement soit inférieur à 0,5 est 0,64. Quelle est la valeur de la franchise ? Exercice 31 (SOA) On considère un contrat d’assurance contre les tornades concernant les entreprises agricoles. Notons X le remboursement effectué au titre des domages à l’habitation et Y celui effectué au titre des domages au reste de la propriété. On suppose que (X, Y ) est un vecteur aléatoire de densité { 6[1 − (x + y)] si x > 0, y > 0 et x + y < 1, f (x, y) = 0 sinon. Calculer la probabilité que X soit inférieur à 0,2. Calculer la probabilité que X soit inférieur à Y .

Exercice 32 (SOA) Soient X et Y deux variables aléatoires de densité jointe { 15y si x2 ≤ y ≤ x, f (x, y) = 0 sinon. Déterminer la densité de la loi marginale de Y . Exercice 33 Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire de loi uniforme sur D = {(x, y), x2 + y 2 ≤ 1} . Quelle est la densité de X ? Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? Exercice 34 Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire de densité ( 2 ) 1 x + y2 f (x, y) = exp − . 2π 2 Déterminer la densité du vecteur aléatoire (X + Y, X − Y ). Exercice 35 Soit V ∈ Rd un vecteur aléatoire continu de densité f , et A une matrice d × d inversible. Exprimer la densité du vecteur aléatoire AV en fonction de f . Exercice 36 Soit X une variable aléatoire continue de densité f . Montrer que Y = |X| est une variable aléatoire continue, et déterminer sa densité. Exercice 37 Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur [−1, 1]. Déterminer la densité de la variable X 2 . Exercice 38 Soit X une variable aléatoire définie sur (Ω, A, P) et A un événement de probabilité non nulle. On considère la loi PX de X et la probabilité P′ sur (R, B(R)) définie par P′ (B) = P ( X ∈ B | A) . 1) Montrer que P′ est absolument continue par rapport à PX . 2) Déterminer la densité de P′ par rapport à PX dans les cas suivants : — A est indépendant de σ(X) ; — A = {X ∈ E} ; — A = {Z ∈ E}, où Z = (1 − 2ε)X, ε étant une variable aléatoire de loi B(1/2) indépendante de X.

Exercices hors fiche de TD Exercice 39 (SOA) Une compagnie assure un grand nombre d’habitations. La valeur assurée, X, d’une habitation choisie au hasard est supposée suivre la loi de densité { 3x−4 si x > 1, f (x) = 0 sinon. Sachant que l’habitation choisie au hasard est assurée pour au moins 1,5, quelle est la probabilité qu’elle soit assurée pour moins de 2 ? Exercice 40 Soit (U, V ) un vecteur aléatoire de loi uniforme sur [0, 1]2 . On pose X = − ln U et Y = −V ln U . Déterminer la densité du vecteur (X, Y ), puis celle de X ainsi que celle de Y .

I.S.F.A.

L3 (1ʳe année)

Probabilités, fiche d’exercices n◦ 6

6 Fonction de répartition Exercice 39 Soient U1 , . . . , Un , n variables aléatoires réelles indépendantes de fonction de répartition commune F . 1) Déterminer la fonction de répartition des variables aléatoires : X=

max

i ∈ {1,...,n}

Ui ,

Y =

min

i ∈ {1,...,n}

Ui .

2) Explicitez celle-ci dans le cas où F est la fonction de répartition de la loi uniforme sur [0, 1] puis dans le cas où F est la fonction de répartition d’une loi exponentielle. 3) Dans ces deux cas, montrer que Y est continue et déterminer sa densité et son espérance. 4) Dans le cas de la loi uniforme sur [0, 1], montrer que X est continue et déterminer sa densité et son espérance. Exercice 40 Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur l’intervalle [0, 1]. Déterminer la fonction de répartition, la densité et calculer, si elle existe l’espérance des variables X et Y définies par √ X= U, Y = 1/(1 + U ) . Exercice 41 Soit V = (X, Y ) un vecteur aléatoire qui ne prend que deux valeurs : P [V = (0, 0)] = 1/3,

P [V = (2, 1)] = 2/3 .

Déterminer la fonction de répartition de V . Exercice 42 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes et toutes deux de loi uniforme sur [0, 1]. 1) Déterminer la fonction de répartition F de (X, Y ). 2) Quelle est la loi de 1 − Y ? 3) Déterminer la fonction de répartition de (X, 1 − Y ). 4) Déterminer la fonction de répartition de (X, 1 − X). 5) Le vecteur aléatoire (X, 1 − X) est-il continu ?

Exercice 43 Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire de fonction de répartition F définie par  si 0 ≤ x ≤ y,  1 − e−x (1 − e−y )(1 + e−y − e−x ) si 0 ≤ y ≤ x, F (x, y) =  0 sinon. 1) Quelle est la loi de X ? Et celle de Y ? 2) X et Y sont-elles indépendantes ? Exercice 44 Soient X, Y1 et Y2 trois variables aléatoires indépendantes toutes de loi exponentielle de paramètre 1. On pose Z1 = min(X, Y1 ) et Z2 = min(X, Y2 ) . 1) Déterminer la fonction de survie de Z1 et celle de Z2 . 2) Déterminer la fonction de survie de (Z1 , Z2 ). 3) Les variables Z1 et Z2 sont-elles indépendantes ?

7 Moments Exercice 45 1) Montrer que si la variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [0, 1], α > 0 et β ∈ R, alors αX + β suit la loi uniforme sur [β, α + β]. 2) Calculer l’espérance et la variance des lois suivantes : — loi de Poisson de paramètre λ > 0 ; — loi uniforme sur [0, 1]. — loi uniforme sur [a, b]. Exercice 46 Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires continu, de densité 1 f (x, y) = √ 1D (x, y) , 2 xy où D est le domaine de R2 défini par D = {(x, y) ∈ R2 , 0 < x ≤ y ≤ 1} . 1) 2) 3) 4)

Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? Déterminer les densités de X et Y . Calculer E X et E Y . Calculer Cov(X, Y ).

Exercice 47 (SOA) Soit T1 la durée séparant un accident de voiture et sa déclaration à l’assurance, et T2 la durée séparant cette déclaration et le dédommagement par l’assurance. On suppose que la densité jointe f de (T1 , T2 ), est constante sur la région R = {(t1 , t2 ) ∈ R2 ,

0 < t1 < 6, 0 < t2 < 6, t1 + t2 < 10}

et nulle en dehors de R. Déterminer la durée moyenne séparant l’accident et son dédommagement par l’assurance. Exercice 48 (SOA) Soient (X, Y ) un vecteur aléatoire de loi uniforme sur {(x, y) ∈ R2 , où L > 0 est une constante. Calculer E(X 2 + Y 2 ).

0 ≤ x ≤ y ≤ L} ,

Exercice 49 (SOA) Le gain obtenu par la vente d’un nouveau produit est donné par Z = 2X − Y − 5. Les variables X et Y somt indépendantes de variances respectives 1 et 2. Quelle est la variance de Z ? Exercice 50 (SOA) Une entreprise a deux générateurs électriques. La durée de fonctionnement avant la première panne de chaque générateur suit la loi exponentielle de moyenne 10. L’entreprise utilise le second générateur dès que le premier tombe en panne. Quelle est la variance du temps total de fonctionnement des deux générateurs ? Exercice 51 (SOA) Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire de densité { kx si 0 < x < 1 et 0 < y < 1, f (x, y) = 0 sinon, où k est une constante. Calculer Cov(X, Y ). Exercice 52 (SOA) Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire de densité { f (x, y) =

8 3 xy

0

si 0 ≤ x ≤ 1 et x ≤ y ≤ 2x, sinon.

Calculer Cov(X, Y ). Exercice 53 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois exponentielles de paramètres respectifs α et β. Déterminer P [X < Y ]. Exercice 54 (SOA) Un appareil électronique contient deux circuits. Le second est un circuit de sauvegarde, qui se met en marche quand le premier cesse de fonctionner. L’appareil tombe en panne quand le second circuit tombe à son tour en panne. Soient X et Y les dates auxquelles les circuits tombent en panne. On suppose que la densité jointe de X et Y est { −x −2y 6e e si 0 < x < y, f (x, y) = 0 sinon. Quelle est la date moyenne à laquelle l’appareil tombe en panne ? Exercice 55 (SOA) Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire de densité { f (x, y) =

2e−(x+2y) 0

si x > 0 et y > 0, sinon.

Déterminer la variance de Y sous la probabilité P′ définie par P′ (A) = P ( A | X > 3, Y > 3) .

Exercices hors fiche de TD Exercice 56 Pour n ≥ 1, le montant en euros du remboursement à l’assuré du nᵉ accident de moto assuré par la compagnie PrevJojo est représenté par une variable aléatoire continue Xn . On suppose que les Xn sont indépendants et de loi identique de densité f définie par f (x) = c.e−x 1[0,20] (x)

∀x ∈ R ,

où c est une constante. 1) Calculer la valeur de c. 2) Déterminer la fonction de répartition F1 de X1 . Tracer sa courbe représentative. 3) Les événements {X1 = 15} et {X1 = 16} sont-ils disjoints ? Sont-ils indépendants ? Justifiez vos réponses. 4) Même question pour {X1 = 15} et {X2 = 16}. 5) Calculer la probabilité qu’un accident coûte moins de 18 e à la compagnie. 6) Quelle est la probabilité conditionnelle que le premier accident coûte moins de 16 e sachant qu’il coûte plus de 15 e ? 7) Quel est le coût moyen m d’un accident ? Exercice 57 Jojo souhaite générer une suite aléatoire de 0 et de 1, indépendants, et distribués selon la loi uniforme sur {0, 1}. En fouillant dans sa poche, il n’a trouvé qu’une pièce de monnaie très usée dont la symétrie lui paraît douteuse, si bien qu’il pense que la probabilité p d’obtenir « pile » en lançant sa pièce n’est pas égale à 1/2. Comment peut-il s’y prendre, sans connaître la valeur de p, pour générer tout de même la suite de valeurs dont il a besoin ? Combien de fois, en moyenne, devra-t-il lancer la pièce pour obtenir un élément de la suite ? Exercice 58 Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ > 0. 1) Pour x > 0, calculer E((X − x)1{X>x} ). 2) En déduire la valeur de E(X1{X>x} ), puis celle de E(X1{X≤x} ). Exercice 59 On modélise le coût X d’un sinistre subi par un assuré automobile (pour un véhicule de type grande routière récente) par une loi exponentielle de paramètre λ, avec 1/λ = 800 e. Le contrat d’assurance de la Laguna break de Jojo prévoit une franchise de 150 e, et un plafond correspondant à la valeur de sa voiture, estimée à 12 000 e. Déterminer l’espérance du remboursement obtenu de la part de l’assurance pour un sinistre concernant ce véhicule. Exercice 60 On considère un contrat d’assurance santé prévoyant le paiement d’indemnités forfaitaires correspondant à n + 1 sinistres différents, portant sur une population localisée à la région lyonnaise. Le premier des risques assurés est un risque lié à une catastrophe naturelle ou industrielle de grande ampleur : on suppose qu’un tel risque survient pendant une année donnée avec une probabilité p0 , et que dans ce cas une proportion r de la population sera touchée. Les autres risques (invalidité suite à un accident de la route, etc.) surviennent (pendant une année donnée) pour chaque individu de la population de manière indépendante, et indépendamment les uns des autres, avec une probabilité p1 , . . . , pn pour chaque assuré. Les montants des indemnités sont notés x0 , x1 , . . . , xn . 1) On note X le montant total des indemnités versées à un assuré au cours d’une année. Déterminer l’espérance et l’écart-type de X. 2) On note S le montant total des indemnités versées aux N assurés de la compagnie d’assurance. Déterminer l’espérance m et l’écart-type σ de S.

3) Déterminer (en fonction de N et m) la prime pure c∗ qui équilibre primes touchées et indemnités moyennes versées. 4) Déterminer (en fonction de N , m et σ) une approximation de la prime c+ à demander aux assurés pour que la probabilité que l’entreprise d’assurance soit perdante pour une année (c’est-à-dire pour que la somme des primes touchées soit inférieure aux indemnités versées) soit limitée à 1 % (On pourra utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev). 5) Application numérique : on choisit N = 10 000, p0 = 10−3 ,

r = 0, 05,

risque décès invalidité

pi 0,01 0,004

x0 = 10 000 e , xi 8 000 e 30 000 e

Calculer c∗ et la majoration de c+ obtenue en question 4. Comparer avec les résultats obtenus dans le cas ou le risque de catastrophe n’est pas assuré. Exercice 61 Soient X ∼ B(1/2) et Y ∼ B(1/3) deux variables aléatoires. Déterminer, en fonction du paramètre α = E(XY ), la loi du vecteur (X, Y ), puis sa fonction de répartition. Quelles sont les valeurs que peut prendre α ? Exercice 62 Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire, et A = [x∗ , x∗ ] × [y∗ , y ∗ ] un rectangle de R2 . Déterminer une condition C portant sur la fonction de répartition F de (X, Y ) telle que, si F vérifie C, alors F est complètement déterminée par ses valeurs sur A. Exercice 63 Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire à valeurs dans R2+ . 1) Déterminer la variable aléatoire ∫ R2+

1{X≥x} 1{Y ≥y} dx dy .

2) En déduire une expression de E(XY ) en fonction de la fonction de répartition de (X, Y ). Exercice 64 Montrer que si X et Y sont deux variables aléatoires continues indépendantes, de densités respectives fX et fY , alors le vecteur aléatoire (X, Y ) est continu, de densité f(X,Y ) définie par f(X,Y ) (x, y) = fX (x) × fY (y) . Exercice 65 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes. Calculer la probabilité P [X < Y ] dans les deux cas suivants : 1. X et Y suivent la loi uniforme sur [0, 1]. 2. X et Y suivent les lois exponentielles de paramètres λ > 0 et µ > 0. Exercice 66 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, toutes deux de loi exponentielle de paramètre λ > 0. 1) Déterminer la fonction de répartition du couple V = (X, X + Y ). 2) Le vecteur aléatoire V est-il continu ? Si oui, donner sa densité. 3) Déterminer la densité de X + Y .

Exercice 67 On considère un vecteur aléatoire (X, Y ) continu, dont la densité f peut s’écrire sous la forme f (x, y) = g0 (x)h0 (y)

∀(x, y) ∈ R2 .

1) Montrer que f (x, y) = g(x)h(y), où g0 (x) , g (u) du R 0

g(x) = ∫

h(x) = ∫

h0 (x) . h (u) du R 0

On note Pg la loi sur R de densité g, et Ph la loi de densité h. 2) Soient A et B deux boréliens de R. Montrer que P(X,Y ) (A × B) = Pg ⊗ Ph (A × B) . 3) Montrer que X et Y sont indépendants et déterminer leurs lois. 4) Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires continu, de densité f (x, y) = 4y(1 − x)1[0,1]2 (x, y) . Montrer que X et Y sont indépendantes, et déterminer leurs densités. Exercice 68 Soit Θ un angle aléatoire de loi uniforme sur [−π/2, π/2], X = cos Θ et Y = sin Θ. Calculer Cov(X, Y ). Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ? Exercice 69 Pour n ≥ 1, le montant en euros du remboursement à l’assuré du nᵉ accident de moto assuré par la compagnie PrevJojo est représenté par une variable aléatoire continue Xn . On suppose que les Xn sont indépendants et de loi identique de densité f définie par f (x) = c.e−x 1[0,20] (x)

∀x ∈ R ,

où c est une constante. 1) Calculer la valeur de c. 2) Déterminer la fonction de répartition F1 de X1 . Tracer sa courbe représentative. 3) Les événements {X1 = 15} et {X1 = 16} sont-ils disjoints ? Sont-ils indépendants ? Justifiez vos réponses. 4) Même question pour {X1 = 15} et {X2 = 16}. 5) Calculer la probabilité qu’un accident coûte moins de 18 e à la compagnie. 6) Quelle est la probabilité conditionnelle que le premier accident coûte moins de 16 e sachant qu’il coûte plus de 15 e ? 7) Quel est le coût moyen m d’un accident ? 8) Si la compagnie doit rembourser les frais de 200 accidents cette année, quelle est la probabilité qu’au moins 100 parmi ces accidents lui coûtent chacun plus que m ? 9) Soit N le numéro du premier accident pour lequel le coût est supérieur à 19 e. En d’autres termes, N = min{n ≥ 1, Xn ≥ 19} . (a) Quelle est la probabilité que N soit égal à 10 ? (b) Quelle est la valeur la plus probable pour N ? (c) Quelle est la valeur moyenne de N ? Exercice 70 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètre λ > 0. Utiliser la formule du changement de variables pour trouver la densité du couple (X, X + Y ).

Exercice 71 Soit U = (X, Y ) un vecteur gaussien de loi N (0, I2 ). Considérons S = R2 = ∥U ∥2 , et Θ ∈ [0, 2π[ la −−→ mesure de l’angle formé par l’axe orienté (Ox) et le vecteur OU (R et Θ sont les coordonnées polaires de U ). 1) Donner la densité de U , et en déduire la densité du vecteur (S, Θ). 2) Montrer que S et Θ sont indépendantes, et déterminer leurs lois. Exercice 72 Considérons la matrice



2 −1 0  −1 2 −1 M =  0 −1 2 −1 0 −1

 −1 0  . −1  2

Soit V = (X, Y, Z, T ) un vecteur aléatoire de loi gaussienne de moyenne (1, 2, 0, 0) et de matrice de covariance M . 1) Quelle est la loi de X ? Quelle est la loi de (X + Y ) ? 2) Donner la variance de la variable (X + Y + Z + T ). Le vecteur V est-il continu ? 3) Trouver une matrice carrée A telle que les vecteurs ( ) ( ) X Z −A× Y T

( et

Z T

)

sont indépendants. 4) En déduire la loi conditionnelle de (X, Y ) sachant (Z, T ) = (z, t). 5) Montrer que les variables Z+T et Z−T sont indépendantes. En déduire la probabilité P [|Z| > |T |]. 6) Quelle est la loi de la variable

(Z − T )2 (Z + T )2 + ? 6 2

Exercice 73 JojoAssistance propose un contrat d’assurance comprenant une clause d’assurance rapatriement. Les statisticiens de cette entreprise très performante on estimé que, parmi les 100 000 assurés ayant souscrit ce contrat, et durant une période d’un an, un nombre variable X effectue un voyage dans un pays « à risque », X suivant la loi de Poisson de paramètre λ = 2 000. Ils évaluent de plus à p = 0, 04 la probabilité qu’une personne faisant un voyage dans un tel pays ait besoin d’être rapatriée. 1) On note Y le nombre de personnes à rapatrier au cours d’une année. Montrer que P [ Y = k | X = n] = Cnk pk (1 − p)n−k ,

n ∈ N, k ∈ {0, . . . , n} .

2) En déduire la loi de Y . 3) Montrer que la somme de deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètres respectifs λ1 et λ2 suit une loi de Poisson de paramètre λ1 + λ2 . 4) Pour d ∈ N, on note Yd le nombre de personnes à rapatrier au cours de d années. Déterminer la loi de Yd . Exercice 74 On a dessiné une grille carrée de 25 cases. On demande a une personne de choisir une case, et on note (X, Y ) les coordonnées (entières) de la case choisie, avec 1 ≤ X, Y ≤ 5. On a remarqué que les gens choisissent plus souvent des cases qui se situent vers le centre de la grille : la loi de (X, Y ) est donnée par ( )−1 , P [(X, Y ) = (x, y)] = Z −1 |x − 3| + |y − 3| + 1 où Z est un réel. 1) Calculer Z.

(x, y) ∈ {1, 2, 3, 4, 5}2 ,

2) Montrer que (6 − X, Y ) et (X, Y ) ont même loi. En déduire que 6 − X et X ont même loi. En déduire E X. Déterminer la loi de X, ainsi que la loi de Y . 3) La personne a choisie une case sur la ligne centrale. Sachant cela, quelle est la probabilité que la case choisie soit celle du centre ? 4) Déterminer la loi de X conditionnellement à {Y = 3}. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ? Calculer Cov(X, Y ). Exercice 75 Soit X une variable aléatoire telle que X(Ω) = N et E |X| < ∞. On considère la fonction f : N −→ R définie par f (k) = E (X | X ≥ k). 1) Calculer f (0). Montrer que f (k) ≥ k pour tout k ∈ N. 2) Montrer que, pour k ∈ N, f (k) est la moyenne de k et de f (k + 1), avec des coefficients que l’on précisera. En déduire que f est strictement croissante. 3) Calculer f quand X suit une loi géométrique G(p), avec p ∈]0, 1[. Exercice 76 Dans une classe, on choisit un élève au hasard, et on considère sa note X au dernier examen de probabilités. On note par G le groupe de l’élève choisi (on suppose que la classe est séparée en trois groupes, d’effectifs respectifs 40, 50 et 60). On suppose qu’à cet examen, le groupe 1 a obtenu une moyenne de m1 = 10, 5, le groupe 2 une moyenne de m2 = 8 et le groupe 3 une moyenne de m3 = 9, 5. Décrire la variable aléatoire Z = E (X | G), et donner sa loi. Calculer E Z et vérifier que E Z = E X. Exercice 77 On considère une variable aléatoire N à valeurs dans N, et une suite de variables aléatoires entières (Xi )i indépendantes et indépendante de N , toutes de même loi (on notera X une variable aléatoire ayant cette loi). On considère la variable aléatoire N ∑ S= Xi . i=1

1) Montrer que, pour tout u,

( ) E uS N = GX (u)N .

2) En déduire une expression reliant les fonctions génératrices de S, X et N . 3) Calculer l’espérance et la variance de S dans les cas suivants : (a) N ∼ P(λ) et X ∼ P(µ) ; (b) N ∼ P(λ) et X ∼ G(µ). Exercice 78 Un message binaire est constitué d’une suite infinie X = (Xi )i≥1 de 0 ou 1. On suppose que les Xi sont indépendants, de loi de Bernoulli B(1/2). Le but de cet exercice est de répondre à la question suivante : « le motif 01 apparaît-il avant le motif 00 ? » 1) Pour k ∈ N∗ , déterminer la probabilité conditionnelle que 01 apparaisse avant 00 sachant que l’index du premier 0 rencontré est k. En déduire la probabilité p de l’événement « 01 apparaît avant 00 ». 2) On note T01 le rang du 1 dans le premier motif 01 rencontré (donc T01 ≥ 2). Montrer que T01 est la somme de deux variables aléatoires indépendantes de loi connue. En déduire l’espérance et la variance de T01 . 3) On note T00 le rang du deuxième 0 dans le premier motif 00 rencontré, et T0 le rang du premier 0 rencontré. Pour tout k ∈ N∗ , calculer, en fonction de k et de E T00 , les espérances conditionnelles suivantes : E (T00 | T0 = k, Xk+1 = 0) ,

E (T00 | T0 = k, Xk+1 = 1) .

En déduire que E T00 = E T0 + 1 + Calculer E T00 . 4) Conclure.

1 E T00 . 2

Exercice 79 Jojo est à Bangangté, et, malgré les conseils des médecins, il dort sans avoir de moustiquaire pour protéger son lit. Malgré tout, il prend quand même soin de bien fermer portes et fenêtres de sa chambre avant de dormir, emprisonnant un nombre X de moustiques. On suppose que la loi de X est définie par : X(Ω) = N,

P [X = 0] = 1 −

λp , 1−p

et

P [X = k] = aλpk

∀k ∈ N∗ ,

où p, a et λ sont des constantes réelles vérifiant p ∈]0, 1[ et 0 < λ < (1 − p)/p. Pendant la nuit, chacun des moustiques emprisonnés dans la chambre piquera Jojo, mais ne lui transmettra le paludisme qu’avec probabilité 1/2. On note Y le nombre de moustiques qui transmettent le paludisme à Jojo. 1) Calculer la valeur de a. Calculer E X et E(X 2 ). 2) Soient k et n deux entiers naturels. Calculer P [ Y = k | X = n]. Déterminer la loi du couple (X, Y ). 3) Montrer que, pour tout x ∈] − 1, 1[ et tout k ∈ N∗ , ∑ n≥k

n(n − 1) . . . (n − k + 1)xn−k =

k! . (1 − x)k+1

(1)

Déterminer la loi de Y . Quelle est la probabilité pour que Jojo passe une nuit à Bangangté sans attraper le paludisme ? 4) Application numérique : En faisant quelques expériences avec la chambre de Jojo, ses amis ont mesuré qu’approximativement, la moyenne du nombre de moustiques que l’on emprisonne en fermant les ouvertures sur l’extérieur de la chambre, le soir, est 5. Ils ont aussi mesuré que la probabilité de n’enfermer aucun moustique est à peu près 0, 1. Calculer λ et p. Calculer la probabilité pour que Jojo passe une nuit sans attraper le paludisme ?

I.S.F.A.

L3 (1ʳe année)

Probabilités, fiche d’exercices n◦ 7

8 Caratérisations fonctionnelles des lois de probabilité Exercice 56 Soit X une variable aléatoire réelle continue de densité f , et LX sa transformée de Laplace. 1) Exprimer E X et Var X en fonction de LX et de ses dérivées. 2) Pour t appartenant au domaine de LX , on pose g(x) =

f (x)e−tx LX (t)

∀x ∈ R .

Montrer que g est une densité de probabilité. 3) Soit Y une variable aléatoire de densité g. Déterminer sa transformée de Laplace. 4) Calculer E Y et Var Y . 5) Pour quelle fonction f a-t-on Var X = Var Y pour tout t ? Dans ce cas, calculer E Y en fonction de E X. Exercice 57 Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires à valeurs entières dont la loi est déterminée par P [X = i, Y = j] = (1 − a)(b − a)ai bj−i−1

∀0 ≤ j ≤ i .

1) Déterminer la fonction génératrice de (X, Y ). 2) Déterminer les fonctions génératrices de X et Y . 3) Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? 4) Déterminer la loi de Y . Exercice 58 On considère deux variables aléatoires X et Y de fonctions caractéristiques respectives ϕX et ϕY . Soit A un événement indépendant de X et de Y . On pose Z = X1A + Y 1A¯ . ¯ PY . 1) Montrer que PZ = P(A) PX + P(A) 2) Exprimer la fonction caractéristique ϕZ de Z en fonction de ϕX et ϕY . 3) Déterminer la variance de Z. Exercice 59 Soient X et Y deux varioables aléatoires de loi normale centrée réduite indépendantes. En utilisant les fonctions caractéristiques, montrer que les variables (X + Y ) et (X − Y ) sont indépendantes. Exercice 60 Soit X une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre λ, et ϕλ la fonction caractéristique de (X − √ λ)/ λ. Calculer ϕλ et montrer qu’elle tend simplement vers la fonction caractéristique de la loi N (0, 1) quand λ tend vers l’infini.

Exercices hors fiche de TD 9 Exemple : modélisation de la dépendance Exercice 61 Jojobien propose un contrat d’assurance santé nommé « Bien-être ». Les actuaires de cette compagnie d’assurance ont mis au point un modèle permettant de rendre compte de la consommation médicale de ses clients : pour un client donné, le nombre d’actes remboursés par Jojobien au cours d’une année peut être modélisé par une variable aléatoire N ∈ N dont la loi est définie par P [N = n] = (1 − p)n p

∀n ∈ N ,

où p ∈]0, 1[. Par ailleurs, les montants de chacun de ces N remboursements étant notés X1 , . . . , XN , les hypothèses suivantes ont été jugées fidèles à la réalité : — les Xi sont indépendantes ; — pour tout i et tout borélien A, ( ) ∫ 1 x P [ Xi ∈ A | N = n] = exp − 1R+ (x) dx f (n) A f (n) où f : N → R∗+ est une fonction donnée. On dira que la loi conditionnelle de Xi sachant {N = n} est la loi exponentielle de paramètre 1/f (n), On note N ∑ S= Xi i=1

le montant total des remboursements dans l’année. On prendra ici f (n) = α(1 − e−κn ) , où α > 0 et κ > 0 sont des constantes du modèle. 1) Du point de vue du comportement des assurés, que signifie le fait que f soit croissante ? 2) Montrer que

( ) E e−κN =

p . 1 − (1 − p)e−κ

Dans la suite, on notera τ cette valeur. 3) Utiliser la formule des probabilités totales pour calculer la densité puis l’espérance de Xi . 4) Les variables Xi et N sont elles indépendantes ? 5) Montrer que la loi conditionnelle de S sachant N = n est E(1/f (n))∗n . 6) Pour tout x > 0, montrer que

∑ n≥0

nxn =

x . (1 − x)2

7) Déterminer le coût moyen c = E S des remboursements versés à un assuré pendant un an, en fonction de α, p et τ . 8) Si les Xi avaient été indépendants de N , mais toujours avec la même loi (celle dont l’espérance a été déterminée en 3), quel aurait été le coût moyen c0 correspondant ? Application numérique : on a effectué l’estimation suivante des paramètres du modèle (l’unité des Xi est l’euro) : α = 100 , p = 1/5 . 9) Calculer c et le comparer à c0 , pour les valeurs de κ telles que e−κ = 0,10, e−κ = 0,15 et e−κ = 0,25.

Exercice 62 Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, et N ∈ N une variable ∑N aléatoire à valeurs entières indépendante de (Xn )n . On pose S = i=1 Xi . ( S ) 1) Pour t fixé, calculer E t N = n en fonction de n et de la fonction génératrice ϕ1 de la loi de X1 . 2) En déduire l’expression de la fonction géneratrice ϕS de S en fonction de ϕ1 et de la fonction génératrice ϕN de N . 3) Calculer E S en fonction des espérances de X1 et de N . 4) Calculer la variance de S en fonction des espérances et variances de X1 et de N . Exercice 63 La compagnie d’assurances JojoPlus propose un contrat à l’intérieur duquel le risque de vol dans le véhicule personnel est assuré. Les statisticiens de cette compagnie très en vue sur le marché ont modélisé ce risque dans la population de la façon suivante : la population est divisée en trois catégories, représentées suivant les proportions p1 , p2 et p3 , ayant des habitudes de vie différentes, de sorte qu’elles ne sont pas exposées à ce risque avec la même intensité. Une personne de la catégorie i ∈ {1, 2, 3} subit en une année un nombre de vols aléatoire distribué suivant la loi de Poisson de paramètre λi . On note X le nombre de vols subis en une année par une personne choisie au hasard (uniformément) dans la population, et I ∈ {1, 2, 3} le numéro de la catégorie à laquelle elle appartient. 1) Quelle est la loi de I ? Déterminer la loi de X. 2) Calculer l’espérance et la variance de X. JojoPlus va bientôt mettre sur le marché un nouveau produit modulaire : le risque de vol dans le véhicule personnel pourra être choisi ou non par chacun des assurés. On estime qu’un assuré choisira de se protéger contre ce risque si il a été victime de celui-ci au moins une fois durant les cinq années précédentes. On note S le nombre de vols subis par la personne choisie au hasard durant les cinq années précédentes. On suppose que (pour tout i), conditionnellement à I = i, S et X sont indépendantes. L’étude du nouveau contrat nous amène à nous intéresser au conditionnement par S ≥ 1. On notera ainsi P1 la probabilité définie par P1 (A) = P ( A | S ≥ 1), et m et σ 2 l’espérance et la variance de X sous P1 . 3) Pour tout i, calculer P [ S ≥ 1 | I = i]. En déduire P [S ≥ 1]. 4) Calculer P [ I = i | S ≥ 1]. 5) Montrer que, pour tout x, P [ X = x | S ≥ 1] =

∑

P [ X = x | I = i] P [ I = i | S ≥ 1] .

i

6) Déterminer m et σ 2 . 7) Application numérique : mesurer les conséquences de la mise sur le marché du nouveau produit d’assurance, avec les données suivantes : λ 0, 05 0, 1 0, 15 p 0, 25 0, 5 0, 25 Exercice 64 On considère deux variables aléatoires strictement positives X et Y indépendantes et de même loi. On suppose que la loi commune de X et Y est absolument continue de densité f , et que 1/X est intégrable. 1) Montrer que P [X = Y ] = 0, et en déduire la valeur de P [X > Y ]. On considère une variable aléatoire Z dont la loi est la loi conditionnelle de X/Y sachant X > Y . 2) En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que ( ) ( ) X 1 1 E = E Z+ . Y 2 Z

3) En déduire que E( X Y ) > 1. 4) En déduire que

( E

1 X

) >

1 . EX

Exercice 65 Dans une famille donnée, on appelle X, Y et Z les variables aléatoires à valeurs dans N représentant respectivement le nombre de garçons, de filles, et d’enfants de la famille. On suppose qu’à chaque naissance dans une famille, il est équiprobable d’avoir une fille ou un garçon, de manière indépendante des autres naissances. Donner la loi de X dans les deux cas suivants (on pourra utiliser un résultat de l’exercice 75) : — Z suit une loi de Poisson de paramètre λ. — Z + 1 suit une loi géométrique de paramètre p. Exercice 66 On modélise le coût (en euros) d’une consultation d’un médecin généraliste par une variable aléatoire X définie par X = g + Y 1D , où g ∈ R est le prix du conventionnement (actuellement 21 euros), D est l’événement « le praticien a effectué un dépassement », et Y est la variable représentant le montant du dépassement. On suppose que Y est indépendante de D et suit une loi exponentielle de paramètre λ. On note p = P(D). 1) Calculer l’espérance de X. 2) Pour x > g, calculer P [X > x]. 3) Pour x > g et t > 0, calculer P [ X > x + t | X > x]. 4) Pour x > g, quelle est la loi conditionnelle de X − x sachant X > x ? 5) En déduire E (X | X > x). On souhaite calibrer les paramètres de notre modèle à partir de données provenant d’un logiciel d’aide à la tarification de produits d’assurance santé. Ce logiciel fournit une loi « biatomique » sensée représenter une information pertinente concernant le coût de chaque acte médical. Pour la consultation d’un médecin généraliste, il modélise ce coût par une variable aléatoire Z dont la loi est définie par P [Z = a] = α et P [Z = b] = 1 − α, où a = 21, 6 b = 45 α = 0, 9 . 6) Donner deux équations permettant de calibrer les paramètres p = P(D) et λ du modèle à partir de ces données (on ne cherchera pas à résoudre ces équations). Exercice 67 On suppose qu’en un an, le nombre d’accidents de voiture concernant des assurés de la compagnie d’assurance JojoPlus peut être modélisé par une variable aléatoire X de loi de Poisson de paramètre λ. On suppose de plus que, pour chacun de ces X accidents, les assurés le déclareront à l’assurance avec une probabilité p, et ce, indépendamment les uns des autres (pour certains accidents peu coûteux, les assurés préfèrent payer eux-même les dommages pour ne pas voir leur malus augmenter). On note Y le nombre d’accidents déclarés pendant une année. 1) Déterminer la fonction génératrice GX de X. 2) Pour x ∈ N, quelle est la loi conditionnelle de Y sachant X = x ? 3) X et Y sont-elles indépendantes ? 4) Déterminer l’espérance conditionnelle ( ) E uY X . 5) En déduire la fonction génératrice de Y , puis sa loi.

Exercice 68 Soit (Xi )i∈N∗ une suite de variables aléatoires indépendantes et toutes de loi de Bernoulli de paramètre 1/2. 1) La suite (Xi ) converge-t-elle en loi ? 2) Montrer que pour toute variable aléatoire Y et tout i, P [Y = Xi et Y = Xi+1 ] ≤ 1/2 . 3) La suite (Xi ) converge-t-elle en probabilité ? Exercice 69 Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires qui converge dans Lp vers une variable aléatoire X. Montrer que Xn converge en probabilité vers X. Exercice 70 Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires qui converge presque-sûrement vers une variable aléatoire X. 1) Pour tout ε > 0, montrer que 1{|Xn −X|>ε} converge presque-sûrement vers zéro. 2) Montrer que Xn converge vers X en probabilité. Exercice 71 Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires qui converge en loi vers une constante c. 1) Écrire P [|Xn − c| > ε] en fonction de la fonction de répartition de Xn . 2) Montrer que Xn converge vers c en probabilité. Exercice 72 Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires qui converge en probabilité vers une variable aléatoire X. 1) Montrer que, pour tout x réel, |1 − eix | ≤ |x| ∧ 2. 2) Soit ε > 0 et t ∈ R. Montrer que E 1 − eit(Xn −X) ≤ ε + 2 P [|t(Xn − X)| > ε] . En déduire que

E 1 − eit(Xn −X) −−−−−→ 0 . n→+∞

3) Montrer que Xn converge en loi vers X. Exercice 73 Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires et X une variable aléatoire, toutes à valeurs dans Z. Montrer que Xn converge en loi vers X si et seulement si ∀x ∈ Z,

P [Xn = x] −−−−−→ P [X = x] . n→+∞

Construire une suite de variables aléatoires discrètes (Yn ) et une variable aléatoire Y discrète telles que Yn converge en loi vers Y , alors que P [Yn = x] ne converge vers P [Y = x] pour aucun x ∈ Y (Ω). Exercice 74 Soient (kn ) une suite de réels, et (pn ) une suite de réels de [0, 1] qui tend vers zéro. On considère une suite de variables aléatoires indépendantes Xn dont les lois sont définies par Xn ∈ {0, kn } et P [Xn = kn ] = pn . Étudier la convergence de la suite (Xn ). Exercice 75 Construire une suite de variables aléatoires qui converge en loi mais qui ne converge pas en probabilité.

Exercice 76 Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1]. Soit (xn )n≥1 une suite croissante de réels qui tend vers l’infini. Pour tout n ∈ N∗ , on définit la variable aléatoire Xn par { 1 si U ∈ [xn − ⌊xn ⌋ , xn+1 − ⌊xn ⌋ [ Xn = 0 sinon À quelle condition sur la suire (xn ) La suite (Xn ) converge-t-elle en probabilité ? et presque-sûrement ? Exercice 77 Soient (Xn ) et (Yn ) deux suites de variables aléatoires telles que : — Xn converge en loi vers une variable aléatoire réelle X, — Yn converge presque-sûrement vers zéro. Montrer que Xn + Yn converge en loi vers X. Exercice 78 Chaque jour, Jojo lance quatre pièces de monnaie en l’air. Si, en retombant, trois affichent un face et une un pile, il dit « pfff » dans un soupir réjoui. Au bout d’un an, on note N le nombre de « pfff » que Jojo aura pu dire au cours de ce jeu. 1) Donner une approximation de N . 2) Donner un intervalle centré sur cette approximation, tel que la probabilité pour que N se situe dans cet intervalle soit supérieure à 0, 9. Exercice 79 Soit Xn une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, d’espérance m et de variance σ 2 finies. Calculer l’espérance et la variance de X1 + · · · + Xn − nm √ . σ n Exercice 80 Le vol JJ438 pour Dallas s’effectue sur un A340-600 de 380 places. On suppose que chacune des personnes qui ont réservé leur place annulera avec une probabilité de 1 − p = 0, 1, et ce indépendamment des autres. On suppose que la compagnie vend un nombre R fixé de réservations, avec R ≥ 380. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de passagers présents à l’enregistrement. 1) Quelle est la loi de X ? Soit Z une variable aléatoire de loi N (0, 1). Utiliser le théorème de De Moivre-Laplace (théorème central limite) pour approximer la probabilité P [X ≥ n] par une probabilité de la forme P [Z ≥ xn ], où xn est un réel que l’on précisera (en fonction de n). 2) Quelle est le plus grand nombre de réservations que la compagnie peut accepter de prendre si elle veut limiter la probabilité de devoir refuser des passagers à l’embarquement à 0,05 ? 3) On suppose que la compagnie a choisi la valeur de R calculée à la question précédente. La probabilité qu’il reste au moins 35 places libres est-elle négligeable ? Exercice 81 Dans la fabrique d’emmental de Jojo, les trous sont obtenus grâce à la « trouilleuse », qui fabrique les trous un à un. Cette machine, fabriquée en bois par Jojo, n’est pas très fiable : quand on la fait marcher pour faire un trou, elle ne réussit que dans 80 % des cas. Dans le milieu de la fromagerie, on dit qu’un emmental est correctement troué si il a au moins 250 trous. Combien de fois (au minimum) doit-on faire marcher la trouilleuse sur un même emmental pour être sûr à 95 % d’obtenir un fromage correctement troué ? Exercice 82 En reprenant la situation de l’exercice 58, utiliser le théorème central limite pour calculer une approximation de c+ , que l’on comparera à la majoration déjà obtenue.

Exercice 83 Les n = 100 étudiants de l’école AFSI ont passé un QCM d’anglais, et ont tous répondu au hasard à toutes les questions. Dans ce test, il y a 10 questions à 4 choix chacune, on marque deux point si on a coché la bonne réponse, et aucun point sinon. On suppose que tous les élèves ont répondu à chacune des questions en choisissant une des quatre réponses de manière aléatoire uniforme, indépendamment des autres questions, et de manière indépendante des autres élèves. 1) Quelle est la loi de la note X1 de l’élève Jojo ? Quelle est son espérance ? 2) Quelle est la probabilité p que Jojo ait la moyenne à ce QCM ? 3) On note N le nombre d’élèves qui ont la moyenne au QCM. Montrer que la loi de N est proche d’une loi normale, dont on donnera les paramètres en fonction de p et n. 4) Donner une approximation de la probabilité P [N > n0 ], en utilisant la fonction de répartition Φ de la loi normale N (0, 1), en fonction des paramètres n0 , n et p. 5) Pour quelle valeur n1 peut-on affirmer « il y a une chance sur deux qu’au moins n1 élèves réussissent » ? Exercice 84 J’ai fabriqué une machine. Quand on appuie sur le bouton de cette machine, sa lumière s’allume, avec probabilité π/10 et indépendamment des autres essais, pendant une seconde. Quand j’appuie sur le bouton, je dis que j’ai gagné si la lumière s’est allumée. Je note Xn le nombre de fois où j’ai gagné si j’ai appuyé n fois sur le bouton. Quelle est la loi de Xn ? Le nombre Yn = 100×Xn /n représente alors le « pourcentage de réussite pour n essais ». Si I est un sous-ensemble de [0, 100], je note αn (I) = P [Yn ∈ I]. Déterminer la limite, quand n tend vers l’infini, des valeurs suivantes : αn ([0, 20])

αn ([30, 40])

αn ([10π − 10−5 , 10π + 10−5 ])

αn ({10π}).

Exercice 85 Soient (Un ) et (Vn ) deux suites de variables aléatoires de loi uniforme sur l’intervalle [0, 1]. On suppose que ces variables aléatoires sont indépendantes dans leur ensemble. On pose : { Xn = 1 si Un2 + Vn2 ≤ 1 ∀ n ≥ 1, = 0 sinon et

Zn = 4

X1 + · · · + Xn . n

1) Déterminer la loi de la variable Xn . 2) Montrer que la suite (Zn ) converge presque sûrement vers π. 3) Soit α ∈ ]0, 1[ et ϵ > 0. a) À l’aide de l’inégalité de Bienaymé Chebytshev, montrer qu’il existe n0 tel que ∀ n ≥ n0 ,

P [|Zn − π| > ϵ] ≤ α .

b) À l’aide du théorème central limite donner une approximation de la probabilité P [|Zn − π| > ϵ] . En utilisant cette approximation, trouver une valeur de n′0 de n telle que ∀ n ≥ n′0 , A.N. : prendre ϵ = 0.0001 et α = 0.05.

P [|Zn − π| > ϵ] ⪅ α .

I.S.F.A.

L3 (1ʳe année)

Probabilités, fiche d’exercices n◦ 8

10 Statistiques Exercice 61 Dans un rue passante de Montréal, on a mesuré, à 20 moments équitablement répartis dans une journée, le niveau de bruit en décibel. Les données ordonnées sont les suivantes : 54.8 55.4 65.2 65.4

57.7 59.6 65.9 66.0

60.1 61.2 62.0 67.6 68.1 69.5

63.1 63.5 70.6 71.5

64.2 73.4

1) Construire un histogramme pour ces données. En déduire une loi de probabilité vraisemblable pour le niveau de bruit dans cette rue. 2) Tester l’adéquation de cet échantillon à une loi exponentielle et à une loi normale par la méthode du graphe de probabilités. 3) Proposer deux estimations différentes de la moyenne et de la variance de cette loi. 4) Estimer la probabilité que le niveau de bruit dépasse 70 dB, puis 74 dB. Exercice 62 Pour un contrat d’assurance donné, on observe le temps séparant la survenance du sinistre lui-même du moment où l’assuré est remboursé. Les données obtenues (exprimées en semaines) sont les suivantes (elles ont été ordonnées) : 1,4 8,6 12,9

1,6 9,0 13,8

3,5 9,1 14,5

3,9 9,5 18,0

3,9 9,8 19,4

4,8 10,2

6,7 10,3

6,8 11,2

7,6 11,9

8,2 12,7

1) Tracer un histogramme pour ces données. 2) Tracer un graphe de probabilité pour la loi normale pour ces données. On tracera 10 points de ce graphe, judicieusement choisis. On donnera dans un tableau les coordonnées des points tracés. Que peut-on en conclure ? 3) Estimer la probabilité pour qu’un assuré soit remboursé en moins de trois semaines. Exercice 63 1) Proposer une méthode pour tester l’adéquation d’un échantillon à la loi de Poisson par la méthode du graphe de probabilités. 2) Dans un central téléphonique, on a compté le nombre d’appels reçus sur mille intervalles de temps d’une minute : nombre d’appels 0 nombre d’intervalles 130

1 255

2 283

3 184

4 95

5 37

6 7 8 >= 9 11 4 1 0

Est-il raisonnable de supposer que le nombre d’appels reçus par minute dans ce central est une variable aléatoire de loi de Poisson ? Si oui, proposer plusieurs estimations différentes du paramètre de cette loi.

Exercices hors fiche de TD Exercice 64 On a mesuré, en milliers d’heures la durée de bon fonctionnement sans panne de 10 interrupteurs et on a obtenu les valeurs suivantes : 0.89 1.10 1.69 2.11 2.40 2.66 2.80 3.42 4.20 4.65 On suppose que ces valeurs sont 10 réalisations indépendantes d’une variable aléatoire X. 1) Tracer un histogramme de ces données selon des classes de même effectif. Après consultations d’experts, l’équipe de statisticiens propose la modélisation de X par une loi dont la fonction de répartition est : ( [ ]) F (x) = 1 − exp −(x/η)β 1R+ (x) . 2) Donner une transformation de F permettant de construire le graphe de probabilités associé. 3) Tracer ce graphe de probabilités pour les 10 données relevées. 4) Donner une estimation graphique de β.

11 Révisions Exercice 65 Le coût d’un sinistre est modélisé par une variable aléatoire X de loi exponentielle de paramètre λ. Pour un contrat d’assurance couvert par une réassurance fixe de seuil r, la charge Y supportée par la compagnie d’assurance pour un sinistre de coût X est définie par { X si X ≤ r Y = r si X > r. 1) Déterminer l’espérance de Y . On considère une suite (Xn )n≥0 de coûts de sinistres indépendants et tous de même loi que X, et, pour tout n ≥ 0, on note Yn la charge supportée par la compagnie d’assurance pour le sinistre de coût Xn . On note Sn la somme des charges des n premiers sinistres : Sn = Y 1 + · · · + Y n . 2) Calculer E Sn . On note N le nombre de sinistres déclarés pendant l’année 2004, et on suppose que N suit la loi de Poisson de paramètre µ et est indépendant de la suite (Xn ). On note SN = Y1 + · · · + YN la charge totale supportée par la compagnie pendant l’année 2004. 3) Pour n ≥ 0 fixé, déterminer E (SN | N = n). 4) Calculer E SN . 5) Application numérique : calculer E Y et E SN pour les données suivantes : E X = 1000 e,

r = 2000 e,

6) Montrer que E(Y 2 ) =

2 2 − λ2 λ

(

µ = 250.

) 1 + r e−λr . λ

7) Calculer E(Sn2 ) en fonction de n, E Y et E(Y 2 ). 8) En déduire que 2 E(SN ) = E(N ) E(Y 2 ) + (E(N 2 ) − E(N ))(E Y )2 .

9) Calculer la valeur numérique de Var SN pour les valeurs données à la question 5. 10) Donner un majorant de la probabilité P [SN > 1, 5 × E(SN )] . 11) Utiliser le théorème central limite pour donner une valeur approchée de la probabilité P [Sµ > 1, 1 × E(Sµ )] . Exercice 66 Jojo est chargé de mesurer par un sondage les chances pour le candidat Bill de remporter les élections primaires dans son parti (il s’agit du parti DRM, Démocratie Révolutionnaire Marxiste), pour lesquelles deux candidats se sont déclarés : Bill et Doo. On suppose que, parmi les sympathisants du parti DRM, une proportion p ∈]0, 1[ est favorable au candidat Bill, et que les autres sont favorables à Doo. Jojo décide, pour ce sondage, de demander à n = 100 personnes pour qui elles votent. Il choisit chacune de ces personnes de manière uniforme dans l’ensemble de tous les sympathisants à DRM, de manière indépendante pour chaque sondé. On note X le nombre de sondés ayant déclaré avoir l’intention de voter pour Bill. On note R = X/n la proportion de personnes favorables à Bill parmi les sondés. 1) Écrire X comme la somme de n variables aléatoires indépendantes. 2) Quelle est la loi de X ? 3) Déterminer l’espérance et la variance de X. 4) Montrer que la loi de R est proche d’une loi normale, dont on précisera les paramètres m et σ 2 en fonction de p et n. 5) En utilisant l’approximation de la question précédente, exprimer une approximation de la probabilité g = P [R > 1/2] que le sondage donne un avantage à Bill, à l’aide de la fonction de répartition Φ de la loi normale N (0, 1), de p et de n. 6) Montrer que g est monotone. Calculer les limites de g quand p tend vers zéro et quand p tend vers un. Ce sondage, commandé par les partisans de Bill, a donné Doo favori. Il est donc décidé de garder secret son résultat, et d’effectuer un autre sondage le mois suivant, et ainsi de suite jusqu’à ce que Bill soit déclaré favori par le sondage. On note N le nombre de sondages réalisés au total, jusqu’à ce que Bill puisse être déclaré favori. 7) Quelle est la loi de N ? 8) Exprimer l’espérance de N en fonction de g. Exercice 67 On considère une durée de survie T ∈ R+ (par exemple d’une personne) aléatoire. Pour tout x ≥ 0, on pose Tx = T − x. Pour tout t ≥ 0 et x ≥ 0, on note t px

= P [ Tx > t | Tx > 0] ,

t qx

= 1 − t px .

1) Donner une signification à t px . 2) Montrer que, pour 0 < s < t, t px

= s px × t−s px+s .

Dans le cas où T est continue, pour t ≥ 0 et x ≥ 0, on note µx (t) = −

∂ ln px . ∂t t

3) Pour quelles valeurs de x et t la quantité µx (t) est-elle bien définie ? Montrer que µx (t) est une fonction de x + t. Que représente µx (t) ?

Pour s > 0 et t > 0, on note encore s|t qx

= P [ s < Tx < s + t | Tx > 0] .

4) Montrer que s|t qx

Pour x ≥ 0, on note

= s px × t qx+s .

ex = E (Tx | Tx > 0) .

5) Que représente ex ? Exprimer ex en fonction des t px . La fonction x 7→ ex est-elle monotone ? On considère maintenant une population de n personnes nées la même année. Pour x ≥ 0 (en pratique, on ne considérera que le cas où x est entier), on note ℓx le nombre de survivants à l’âge x, et dx le nombre de décès pendant la tranche d’âge ]x, x + 1]. 6) Si on suppose que ces personnes correspondent à des réalisations de la variable T , comment estimer t px en fonction des ℓx ? 7) Comment estimer ex à partir des ℓx ? 8) La table 1 page 37 a été établie par l’INED (les données correspondantes à des dates récentes et futures sont des extrapolations). Que représentent chacune des colonnes ? Sur une feuille d’un tableur de votre choix, recalculez toutes les colonnes à partir de la colonne Sx – la table est disponible en format électronique à l’adresse suivante : http://www.ined.fr/cdrom_vallin_mesle/Tables-de-mortalite/ Tables-de-generation/Tableau-III-F-3.doc Le Ex est-il différent de l’estimation du ex calculé à la question 7 ? Peut-on recalculer toute la table à partir de n’importe laquelle de ses colonnes ? Exercice 68 Rappelons que dans une table de mortalité, pour x ∈ N, ℓx représente le nombre de personnes en vie après x années, et dx le nombre de personnes décédées entre les âges x et x + 1. Notons X ∈ R+ une variable aléatoire représentant la durée de vie exacte (pas nécessairement entière) d’une personne, et Y ∈ N la partie entière de X : pour x ∈ N, les événements {Y = x} et {X ∈ [x, x+1[} sont égaux. Utilisons les notations suivantes : — fonction de survie : S(x) = P [Y ≥ x] ; — probabilités élémentaires : rx = P [Y = x] = P [X ∈ [x, x + 1[] ; — taux de décès : qx = P [ Y = x | Y ≥ x] ; — durée moyenne qui reste à vivre après l’âge x (dans le cas où cette espérance existe) : e(x) = E (Y − x | Y ≥ x). 1) Exprimer les quantités S(x), qx , rx et e(x) en fonction des ℓy et des dy . 2) Supposons que le facteur d’actualisation est une constante v : v euros aujourd’hui représentent 1 euro dans un an. Considérons le contrat suivant, concernant des personnes ayant exactement 50 ans aujourd’hui : si l’assuré meurt dans moins de 15 ans, la famille reçoit 1 000 e dans 15 ans (quand l’assuré aurait eu 65 ans). Si il meurt après ses 65 ans, la famille reçoit 10 000 e à son anniversaire suivant. Par exemple, si l’assuré meurt entre 68 et 69 ans, sa famille reçoit 10 000 e à la date où l’assuré aurait eu 69 ans. Calculer, en fonction des ℓy et des dy , le coût d’un tel contrat pour la compagnie d’assurance. Exercice 69 Exercice 67 – Partie I On considère une suite (Xi )i∈N∗ de variables aléatoires indépendantes et toutes de loi exponentielle de paramètre λ > 0. On fixe un entier n ≥ 3, et on pose Z = min Xi . 1≤i≤n

SEXES REUNIS Table de mortalité : génération 1986 x

Sx

D(x,x+a)

aQx

Ex

P(x,x+a)

0 100000 810 0.00810 87.79 99595 1 99190 63 0.00064 87.50 99158 2 99127 39 0.00040 86.55 99107 3 99087 32 0.00032 85.59 99071 4 99055 24 0.00024 84.62 99044 5 99032 22 0.00022 83.64 99021 6 99010 16 0.00016 82.65 99002 7 98994 17 0.00017 81.67 98985 8 98977 16 0.00016 80.68 98969 9 98961 12 0.00012 79.69 98955 10 98949 13 0.00013 78.70 98943 11 98936 12 0.00012 77.71 98930 12 98924 16 0.00016 76.72 98916 13 98908 17 0.00017 75.74 98900 14 98891 22 0.00022 74.75 98880 15 98869 29 0.00030 73.76 98854 16 98840 33 0.00033 72.79 98823 17 98807 37 0.00038 71.81 98788 18 98769 47 0.00048 70.84 98746 19 98722 56 0.00057 69.87 98694 20 98665 54 0.00054 68.91 98639 21 98612 61 0.00062 67.95 98582 22 98551 63 0.00064 66.99 98520 23 98488 58 0.00059 66.03 98459 24 98430 58 0.00059 65.07 98402 25 98373 57 0.00057 64.11 98345 26 98316 56 0.00057 63.15 98288 27 98260 54 0.00055 62.18 98233 28 98206 55 0.00056 61.22 98179 29 98152 60 0.00061 60.25 98122 [...] 100 9587 3019 0.31489 2.21 8077 101 6568 2366 0.36029 1.99 5385 102 4202 1661 0.39544 1.83 3371 103 2540 1140 0.44876 1.70 1970 104 1400 651 0.46493 1.68 1075 105 749 1.70 1274 Total population stationnaire 8778550 Table 1 – Table de mortalité de la génération 1986

1) Déterminer la fonction de répartition FZ de Z. 2) Calculer l’espérance de Z. On pose Dn =

n ∑

(Xi − Z) .

i=1

3) Soit x un réel strictement positif donné. Quelle est la loi conditionnelle de (Xi − x) sachant {Xi > x} ? (On pourra par exemple utiliser la fonction de répartition conditionnelle) 4) En déduire que la loi conditionnelle de Dn sachant {X1 = x, et Xi > x ∀i ∈ {2, . . . , n}} est la loi Gamma G(n − 1, λ). 5) Montrer que Dn suit la loi G(n − 1, λ). 6) Rappeler la valeur de E Dn , et calculer E(1/Dn ). On considère un réel strictement positif τ fixé, et, pour tout i ∈ N∗ , on pose Xi′ = τ + Xi , Z ′ = min Xi′ , 1≤i≤n

et

Dn′ =

n ∑

(Xi′ − Z ′ ) .

i=1

7) Montrer que : E Z′ = τ +

1 , λn

E Dn′ =

n−1 , λ

E(1/Dn′ ) =

λ . n−2

Exercice 67 – Partie II Jojo mesure le temps de transmission d’un même message sur un réseau de communication à divers moments. Il obtient les temps suivants (exprimés en millisecondes) : 580, 708, 543, 524, 894, 988, 617, 538, 592, 524, 625, 600, 573, 1119, 707, 649, 569, 654, 527, 648. 1) Tracer un histogramme pour ces données (en choisissant des classes de largeurs égales). D’après Jojo, ces temps de transmission sont des réalisations de variables aléatoires indépendantes Xi′ qui suivent une loi qu’il appelle « exponentielle décalée », paramétrée par deux réels strictement positifs τ et λ: Xi′ = τ + Xi , où Xi ∼ E(λ). 2) Donner la signification de τ . 3) Calculer ln(1 − F (x; τ, λ)), où F (x; τ, λ) = P [X1′ ≤ x] désigne la fonction de répartition de X1′ . Tracer 10 points du graphe de probabilités pour les données rassemblées par Jojo afin de tester leur adéquation au modèle proposé par Jojo. On donnera aussi un tableau regroupant les coordonnées des points tracés. Ce modèle est-il convenable ? 4) À partir du graphe dessiné à la question précédente, donner une approximation des valeurs des paramètres τ et λ du modèle.