ISFA
Semestre automne 2016-2017
Probabilités avancées - Master Économétrie et Statistique Hugo Vanneuville, Institut Camille Jordan, Lyon 1, bureau 219 http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/vanneuville/ Deuxième séance Convergence de variables aléatoires
Si vous avez des questions, n’hésitez pas à m’envoyer un mail à l’adresse
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1
Rappels sur l’indépendance
Exercice 1. Rappeler la définition d’indépendance pour : 1. deux événements, 2. deux variables aléatoires réelles, 3. n variables aléatoires réelles pour n ≥ 2.
Rappel : La propriété suivante est très importante : Soient X1 , ..., Xn des v.a. réelles. Elles sont indépendantes si et seulement si, pour tout choix de fonctions g1 , ..., gn continues bornées de R vers C on a : E [g1 (X1 )...gn (Xn )] = E [g1 (X1 )] ...E [gn (Xn )] .
2
Convergence de variables aléatoires réelles
Dans le cours, vous avez vu quatre types de convergence :
2.1
La convergence presque sûre
Définition 1 Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires réelles et soit X une variable aléatoire réelle. On dit que (Xn )n∈N converge presque sûrement vers X si l’événement {Xn → X} a probabilité 1. On reviendra sur la notion de convergence presque sûre quand on fera des rappels sur les espaces de probabilité.
2.2
La convergence Lp
Définition 2 Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires réelles et soit X une variable aléatoire réelle. Soit p ≥ 1. On dit que (Xn )n∈N converge dans Lp vers X si : E [|X − Xn |p ] −→ 0 . n→+∞
L2
Par exemple, on dit que (Xn )n∈N converge dans vers X si : h i E (X − Xn )2 −→ 0 . n→+∞
1
2.3
La convergence en probabilité
Définition 3 Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires réelles et soit X une variable aléatoire réelle. On dit que (Xn )n∈N converge en probabilité vers X si, pour tout > 0 : P [|X − Xn | ≥ ] −→ 0 . n→+∞
2.4
La convergence en loi
Définition 4 Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires réelles et soit X une variable aléatoire réelle. On dit que (Xn )n∈N converge en loi vers X si, pour toute fonction continue bornée g : R → R on a : E [g(Xn )] −→ E [g(X)] . n→+∞
2.5
Liens entre les différents modes de convergence
Dans le cours, vous avez vu les implications suivantes : 1. Si (Xn )n∈N converge presque sûrement vers X, alors (Xn )n∈N converge en probabilité vers X. 2. Si (Xn )n∈N converge dans Lp vers X, alors (Xn )n∈N converge en probabilité vers X. 3. Si 1 ≤ p ≤ q et (Xn )n∈N converge dans Lq vers X, alors (Xn )n∈N converge dans Lp vers X. 4. Si (Xn )n∈N converge en probabilité vers X, alors (Xn )n∈N converge en loi vers X. On propose, dans l’Exercice 3, de montrer la deuxième propriété ci-dessus.
3
Indépendance et fonction caractéristique : application à la convergence en loi
On va réviser les notions étudiées lors de la dernières séance et les appliquer à la preuve du TCL et de la loi (faible) des grands nombres dans un cas particulier. Avant cela, faisons un rappel sur la convergence en loi : Un des théorèmes les plus importants concernant la convergence en loi est le suivant (où on note ϕX la fonction caractéristique de X i.e. ϕX est la fonction : R → C définie par ϕX (u) = E eiuX ) : Théorème 1 (Théorème de Lévy) Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires réelles et soit X une variable aléatoire réelle. (Xn )n∈N converge en loi vers X si et seulement si, pour tout u ∈ R, ϕXn (u) −→ ϕX (u). n→+∞
Exercice 2. (Cf l’Exercice 2 de la feuille de TD 3.) Soient X1 , X2 , ... des v.a. i.i.d. de loi exponentielle P de paramètre 1. On pose Yn = ni=1 Xi . 1. Calculer ϕYn (u) pour tout u ∈ R. 2. Que vaut lim ϕYn /n (u) pour tout u ∈ R ? Que remarquez-vous ? n→+∞
3. On pose : Zn =
Yn − n √ . n
Calculer ϕZn (u) puis lim ϕZn (u) pour tout u ∈ R. Que remarquez-vous ? (On rappelle que si V n→+∞
2 /2
est une variable Gaussienne centrée réduite alors ϕV (u) = e−u
2
.)
4
Inégalité de Markov : application à la convergence dans L2 et à la convergence en probabilité
Exercice 3. 1. Rappeler l’inégalité de Markov. 2. En déduire que la convergence dans L2 implique la convergence en probabilité.
5
Bonus 1 : Probabilités sachant un événement : la formule de Bayes
Exercice 4. Soient B un événement vérifiant P [B] ∈]0, 1[ et A un événement vérifiant P [A] 6= 0. h i h i 1. Pourquoi est-ce que P A B et P A B c sont bien définies ? 2. Montrer que : h i h i P [A] = P A B P [B] + P A B c P [B c ] . 3. En déduire la formule de Bayes : h i P B A =
h i P A B P [B] h i h i . P A B P [B] + P A B c P [B c ]
h i h i Le but de la formule de Bayes est de pouvoir calculer P B A lorsqu’on a accès à P [B], P A B h i et P A B c , Cf l’exercice 5 ci-dessous. Comme dans l’Exercice 6 de la séance précédente, le but de l’exercice ci-dessous est de montrer qu’il faut faire très attention lorsque l’on veut interpréter des résultats de probabilité. Exercice 5. Test pour la maladie de la vache folle. On a les données suivantes sur le test de la vache folle : (1) quand il est appliqué à une vache malade, il est positif (i.e. il indique “la vache est malade”) dans 99, 8% des cas ; (2) quand il est appliqué à une vache saine, il est négatif dans 99, 6% des cas. Par ailleurs, on sait qu’une vache sur 100 000 est malade. Quelle est la probabilité qu’une vache soit malade sachant que le test qu’on lui a appliqué est positif ?
6
Bonus 2 : Des rappels de calculs d’intégrales et de séries 1. Des séries usuelles : (a) Série géométrique : Soit θ 6= 1 et soit n ∈ N. On a : n X
θk =
k=0
1 − θn+1 . 1−θ
Et donc, si θ ∈ [0, 1[, alors : +∞ X k=0
3
θk =
1 . 1−θ
(b) Série exponentielle : Soit x ∈ R. On a : +∞ k X x k=0
k!
= ex .
Le résultat reste vrai pour x ∈ C. 2. La formule de changement de variable : Soit f une fonction définie sur un intervalle de R, soit ϕ : [a, b] → R une fonction C 1 (i.e. dérivable et de dérivée continue) à valeur dans l’ensemble de définition de f . Alors : Z
b
f (ϕ(x)) ϕ0 (x) dx =
a
Z
ϕ(b)
f (t) dt . ϕ(a)
3. Un théorème de convergence vers une exponentielle : Soit vn une suite à valeurs dans C et soit a ∈ C tel que vn = na + o n1 . Alors : (1 + vn )n −→ ea . n→+∞
4
