1. Simulation zur ¨Uberprüfung der Tschebyscheff

Mathematische Methoden SoSe 06 Seite 1 ¨ 7, KW 25 Ub Tschebyscheff-Ungleichung, station¨ arer Prozeß

Kursleiter: Prof. Dr.-Ing. Gerd Brunk Assistent: Dipl.-Ing. Uwe Herbrich

¨ 1. Simulation zur Uberpr u ¨ fung der Tschebyscheff -Ungleichung In der Vorlesung wurde das “Gesetz”1 der großen Zahlen vorgestellt. Die Tschebyscheff-Ungleichung 1 P (|X− < x > | ≥ kσx ) ≤ 2 (1) k f¨ uhrte zu der Aussage, daß die “relative H¨ aufigkeit eines Ereignisses in einer Stichprobe in Wahrscheinlichkeit gegen ihren Erwartungswert, das ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in der Grundgesamtheit, konvergiert:” f¨ ur die Bernoulli-Verteilung ⇒ lim P (|h(m; N ) − p0 | ≥ ε) = 0, N →∞

dabei ist h( · ; · ) die relative H¨ aufigkeit und p0 die Wahrscheinlichkeit. F¨ ur das m−fache Eintreten oder Nichteintreten des Ereignisses in einer Stichprobe vom Umfang N wird die BernoulliVerteilung zugrunde gelegt. Pr¨ ufen Sie diese Aussage durch eine numerische Simulation. 2. Lineare station¨ are Zufallsprozesse: ¨ Ubertragungsverhalten von Korrelationsfunktionen ↔ (Leistungs)-Spektren ≡ “Leistungs-”Dichten Eine multidimensionale Verteilung eines stochastischen Prozesses x(t): dn P (x(t1 ) = x1 , x(t2 ) = x2 . . . x(tN ) = xN ) = dx1 dx2 . . . dxN p (x1 , x2 . . . xN ; t1 , t2 . . . tN )

(2)

heißt Verteilung eines station¨ aren Prozesses2 falls p (x1 , x2 . . . xN ; t1 , t2 . . . tN ) = p (x1 , x2 . . . xN ; t1 + τ0 , t2 + τ0 . . . tN + τ0 ), ∀τ0 = p (x1 , x2 . . . xN ; 0, t˜2 . . . t˜N )

(τ0 = −t1 ) ⇒

mit t˜k = tk − t1 F¨ ur das N. statistische Moment gilt dann RN

=

< x(t1 )x(t2 ) . . . x(tN ) > Z dx1 dx2 . . . dxN x1 x2 . . . xN p (x1 , x2 . . . xN ; t1 , t2 . . . tN ) := VxN

Stationarit¨ at ⇒

≡< x(0)x(t˜2 ) . . . x(t˜N ) >=: RN s {x(t)}.

Insbesondere gilt f¨ ur den einfachen Erwartungswert R1 {x(t)} ≡< x(t) > = < x(0) > = konst. 1

eigentlich abgeleiteter Satz vom station¨ arer Prozeß ist umgangssprachlich die Rede, jedoch ist in der Realit¨ at nicht der Prozeß station¨ ar, sondern dessen Verteilung. 2

Version 21. Juni 2006

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und f¨ ur die (Auto-)Korrelationsfunktion R2 {x(t)} = < x(t1 )x(t2 ) > = < x(0)x(τ ) >= R2s {x(t)} =: Rxx (τ ) = Rxx (−τ ) mit τ := t˜2 = t2 − t1 . Gegeben ist folgendes eindimensionale, lineare System mv˙ + rv = f (t).

(3)

Dabei sei f (t) ein station¨ arer Zufallsprozeß mit dem statistischen Mittelwert < f (t) >= 0 und der Korrelationsfunktion < f (0)f (τ ) >= F02 T0 δ(τ ) ≡ SF 0 δ(τ ). Eine Erweiterung der Gleichung (3) auf den dreidimensionalen Fall kann beispielsweise die Brownsche Bewegung eines Teilchens beschreiben, welches sich in einem Medium vieler kleiner Teilchen bewegt, die f¨ ur die D¨ ampfung und das entsprechende Rauschen verantwortlich sind. Gleichungen dieser Form heißen auch LangevinGleichungen. (a) F¨ ur die sogenannten “Leistungsspektren” oder “spektralen Leistungsdichten”3 SF F (ω) und Svv (ω), das sind die Fourier-Transformierten der Korrelationsfunktionen der Kraft F (t) und der Geschwindigkeit v(t) Z ∞ 1 RF F (τ ) = dω SF F (ω)ejωτ 2π −∞ l Z ∞ e dτ RF F (τ )e−jωτ SF F (ω) = RF F (ω) = −∞

und entsprechend Rvv (τ ) = l evv (ω) = Svv (ω) = R

1 2π Z

Z

∞

dω Svv (ω)ejωτ

−∞

∞

dτ Rvv (τ )e−jωτ , −∞

¨ ermitteln Sie den Zusammenhang aus dem Ubertragungsverhalten des Systems. (b) Geben Sie den Erwartungswert < v 2 > an. (c) HA: Bestimmen Sie die Konstante SF 0 so, daß m < v 2 > den durch den Gleichverteilungssatz angegebenen Wert besitzt. (d) HA: In der Literatur ist oft die Rede von der “einseitigen spektralen Leistungsdichte”, dabei wird die Integration nur u uhrt. Stellen Sie den ¨ber der positiven Zeit-/Frequenzachse durchgef¨ Zusammenhang zu der zuvor eingef¨ uhrten “(zweiseitigen) spektralen Leistungsdichte” her und erkl¨ aren Sie, was die Ursache f¨ ur diesen einfachen Zusammenhang ist. Abgabe: 6. Juli 2006

3

engl: power spectral density (PSD)

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