1 Tal, mängder och funktioner
Short Description
Download 1 Tal, mängder och funktioner...
Description
1
Tal, m¨ angder och funktioner
1.1
Komplexa tal
|z |
H¨ar skall vi snabbt repetera de grundl¨aggande egenskaperna hos komplexa tal. F¨or en mera utf¨orlig framst¨ allning h¨ anvisar vi till litteraturen i Matematisk grundkurs, n¨armare best¨amt ForslingNeymark, Matematisk analys en variabel, avsnitt 1.7 (Komplexa tal) och 2.6 (Den komplexa exponentialfunktionen). Komplexa tal z ∈ C kan skrivas i rektangul¨ ar form: z = x + iy z = x + iy� d¨ar x� y ∈ R. x = Re z kallas realdelen och y = Im z imagin¨ardelen � av z, och med (absolut)beloppet eller l¨ angden av z menas |z| = x2 + y 2 . Vidare definieras (komplex)konjugatet av z som z¯ = x − iy. Att (¯ z ) = z, ar man genast. Re z = (z + z¯)/2, Im z = (z − z¯)/2i, |¯ z | = |z| och z z¯ = |z|2 f˚
z¯ = x − iy
1.1. Exempel �Andragradsekvation). Alla andragradsekvationer z 2 + az + b = 0, d¨ar a� b ∈ C, kan l¨ osas i rektangul¨ ar form. Som ett exempel tar vi ekvationen z 2 + (1 − i)z + (6 + 2i) = 0� d¨ar vi, precis som i det reella fallet, b¨orjar med en kvadratkomplettering: �2 � �2 �2 � � 1−i 5i 1−i 1−i − + (6 + 2i) = z + +6+ . 0 = z 2 + (1 − i)z + (6 + 2i) = z + 2 2 2 2 Om vi h¨ ar s¨ atter w = u + iv = z + (1 − i)/2, med u� v ∈ R, f˚ ar vi den enklare ekvationen � u2 − v 2 = −6 (Re), realdelar� 5i w2 = −6 − ⇐⇒ 2 2uv = −5/2 (Im), imagin¨ardelar. Ekvation (Im) kan skrivas v = −5/(4u), och detta insatt i (Re) ger att u4 + 6u2 − 25/16 = 0, som ar vi den enda roten ¨ar en reell andragradsekvation i variabeln t = u2 . Eftersom u ∈ R ⇒ t ≥ 0 f˚ t = 1/4 (roten t = −25/4 f¨ orkastas), och d¨armed att u2 = 1/4, d.v.s. att u = ±1/2. Detta insatt i (Im) ger nu att v = ∓5/2 och de tv˚ a l¨osningarna w = ±(1/2 − 5i/2). Att z = w − (1 − i)/2 ger oss slutligen r¨ otterna z1 = −2i och z2 = −1 + 3i till v˚ ar ursprungliga ekvation. Genom att, vid sidan av ekvationerna (Re) och (Im) ovan, ocks˚ a anv¨anda oss av ekvationen f¨or absolutbeloppen, |w|2 = |w2 | = |−6 − 5i/2|, d.v.s. u2 + v 2 = 13/2 (Abs), kan man f¨orkorta r¨akningarna n˚ agot: (Abs) kombinerad med (Re) ger genast att u2 = 1/4 och v 2 = 25/4, och (Im) ger sedan att u och v har olika tecken, varf¨or u = ±1/2 och v = ∓5/2. � F¨ or konjugering g¨ aller ocks˚ a r¨ aknereglerna � � z¯1 z1 = z1 z2 = z¯1 z¯2 � z2 z¯2
och
och f¨ or belopp |z1 z2 | = |z1 ||z2 |
och
z1 + z2 = z¯1 + z¯2 � � � � z1 � |z1 | � �= � z2 � |z2 | �
och ¨ aven |z n | = |z|n n¨ ar n ∈ Z. F¨ or |z1 + z2 | finns det inget motsvarande enkelt samband, utan i st¨ allet m˚ aste man n¨ oja sig med triangelolikheterna. 1
2
1 Tal, m¨angder och funktioner
1.2. Proposition �Triangelolikheterna). F¨or komplexa tal z1 och z2 g¨aller |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
�triangelolikheten)�
med likhet om och endast om z1 och z2 , som vektorer, ¨ar parallella och lika riktade, samt � � |z1 + z2 | ≥ �|z1 | − |z2 |� �omv¨ anda triangelolikheten)� med likhet om och endast om z1 och z2 , som vektorer, ¨ar parallella och motsatt riktade.
Bevis. Vi ser f¨ orst att b˚ ada olikheterna trivialt g¨aller med likhet om arf¨or anta att z1 �= 0 och z2 �= 0. z1 = 0 eller z2 = 0, och vi kan d¨ Vi skriver om |z1 + z2 |2 , steg f¨ or steg, med hj¨alp av samband f¨or konjugat och belopp:
z1 + z2 z1 z2
0 |z1 + z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = (z1 + z2 )(¯ z1 + z¯2 ) = z1 z¯1 + z1 z¯2 + z2 z¯1 + z2 z¯2 = |z1 |2 + z1 z¯2 + z1 z¯2 + |z2 |2 = |z1 |2 + 2 Re(z1 z¯2 ) + |z2 |2
2
≤ |z1 |2 + 2|z1 z¯2 | + |z2 |2 = |z1 |2 + 2|z1 ||z2 | + |z2 |2 = (|z1 | + |z2 |) � √ d¨ ar den enda olikheten ovan beror p˚ a att Re w = u ≤ u2 + v 2 = |w| om w = u + iv, d¨ar u� v ∈ R, och likhet r˚ ader precis d˚ a v = 0 och u ≥ 0. Eftersom |z1 + z2 | ≥ 0 och |z1 | + |z2 | ≥ 0 ¨ar triangelolikheten |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | d¨armed bevisad. I sj¨ alva verket ¨ ar w = z1 z¯2 �= 0 i f¨oreg˚ aende stycke, s˚ a likhet i triangelolikheten r˚ ader d¨arf¨or precis d˚ a w = u > 0, d.v.s. precis d˚ a z1 = u/¯ z2 = uz2 /|z2 |2 = tz2 d¨ar t = u/|z2 |2 > 0, d.v.s. precis d˚ a z1 och z2 , som vektorer, ¨ ar parallella och lika riktade. F¨ or att bevisa den omv¨ anda triangelolikheten antar vi dessutom att |z1 | ≥ |z2 |; i annat fall kan vi byta roller p˚ a z1 och z2 eftersom inget led i omv¨anda triangelolikheten p˚ averkas av det. Triangelolikheten som vi just bevisat medf¨or att � � � � � � |z1 | = �(z1 + z2 ) + (−z2 )� ≤ �(z1 + z2 )� + �(−z2 )� = |z1 + z2 | + |z2 |� d.v.s., eftersom |z1 | ≥ |z2 |, att
� � |z1 + z2 | ≥ |z1 | − |z2 | = �|z1 | − |z2 |��
med likhet precis d˚ a z1 + z2 = t(−z2 ) f¨or n˚ agot t ≥ 0, d.v.s. precis d˚ a z1 = −(1 + t)z2 , d.v.s. precis ar parallella och motsatt riktade. � d˚ a z1 och z2 , som vektorer, ¨ F¨ oljande generalisering av triangelolikheten f¨oljer genast, t.ex. med s.k. induktion ¨over n (jfr Forsling-Neymark, avsnitt 3.5): |z1 + z2 + . . . + zn | ≤ |z1 | + |z2 | + . . . + |zn |� och likhet r˚ ader om och endast om z1 � z2 � . . . � zn , som vektorer, a¨r parallella och lika riktade. F¨ or den omv¨ anda triangelolikheten finns a termer � det d¨aremot �ingen generalisering till fler ¨an tv˚ eftersom redan olikheten |z1 + z2 + z3 | ≥ �|z1 | − |z2 | − |z3 |� inte beh¨over vara sann (tag t.ex. z1 = 2 √ a blir v¨ ansterledet 0 medan h¨ogerledet blir 2). Vad som d¨aremot ¨ar sant, och z2�3 = −1 ± i 3; d˚ och som f¨ oljer av den vanliga triangelolikheten, ¨ar olikheten |z1 + z2 + . . . + zn | ≥ |z1 | − |z2 | − . . . − |zn |� men h¨ ar kan h¨ ogerledet vara negativt och i s˚ a fall ¨ar naturligtvis olikheten trivial; denna senare olikhet a andbar n¨ ar en term dominerar o¨ver o¨vriga termer. ¨r dock anv¨
3
1.1 Komplexa tal 1.3. Exempel. Om |z| = 3 ger triangelolikheten att |z + 2i| ≤ |z| + |2i| = 3 + 2 = 5� med likhet ⇔ z och 2i ¨ ar parallella och lika riktade (och |z| = 3, f¨orst˚ as) ⇔ z = 3i. Om |z| = 3 ger omv¨ anda triangelolikheten att � � � � |2z − 2| ≥ �|2z| − |−2|� = �2|z| − 2� = |6 − 2| = 4�
med likhet ⇔ 2z och −2 ¨ ar parallella och motsatt riktade (och |z| = 3) ⇔ z = 3. Av ovanst˚ aende f˚ ar vi ocks˚ a olikheten � � � z + 2i � 5 |z + 2i| � � |z| = 3� � 2z − 2 � = |2z − 2| ≤ 4 �
eftersom beloppet av t¨ aljaren ¨ ar h¨ ogst 5 och beloppet av n¨amnaren ¨ar minst 4. Vi kan dock inte f˚ a likhet i denna olikhet f¨ or n˚ agot z eftersom det skulle kr¨ava att z = 3i och z = 3 samtidigt. �
1.4. Exempel. Vi skall beskriva m¨angden av alla z ∈ C s˚ adana att |z − 2i| ≤ 2|z + 1|. Eftersom belopp ¨ ar ≥ 0 f˚ ar vi, med z = x + iy och kvadratkomplettering, � �2 � �2 � �2 |z − 2i| ≤ 2|z + 1| ⇔ |z − 2i|2 ≤ 2|z + 1| ⇔ �x + i(y − 2)� ≤ 4�(x + 1) + iy �
x2 + (y − 2)2 ≤ 4(x + 1)2 + 4y 2 ⇔ 3x2 + 8x + 3y 2 + 4y ≥ 0 √ � � �2 � �2 � � 2 20 4 + 2i �� 2 5 4 + y+ ≥ ⇔ ��z + � ≥ ⇔ x+ 3 3 9 3 � 3 √ som beskriver alla punkter p˚ a eller utanf¨or cirkeln med centrum (−4 − 2i)/3 och radie 2 5/3. � ⇔
Komplexa tal kan ocks˚ a skrivas i pol¨ ar form:
z = reiθ
r
z = r cos θ + i r sin θ = r(cos θ + i sin θ) = reiθ �
θ
d¨ar r = |z| ≥ 0 och θ ∈ R, och d¨ ar man definierar eiθ = cos θ + i sin θ�
θ ∈ R�
ett samband som kallas Eulers identitet. Ur den f˚ ar man genast att eiθ = e−iθ �
|eiθ | = 1�
cos θ =
eiθ + e−iθ 2
och
sin θ =
eiθ − e−iθ � 2i
d¨ar de tv˚ a sista sambanden kallas Eulers formler. R¨aknereglerna eiθ1 · eiθ2 = ei�θ1 +θ2 ) �
eiθ1 = ei�θ1 −θ2 ) � eiθ2
1 = e−iθ eiθ
och
�
eiθ
�n
= einθ �
n ∈ Z�
visas fr˚ an definitionen av eiθ och additionsformlerna f¨or cosinus och sinus. Det sista sambandet, iθ n (e ) = einθ , kallas de Moivres formel, och det ¨ar h¨ar viktigt att n ¨ar ett heltal, se Avsnitt 2.3. Om z �= 0 definierar vi argumenten f¨or z, arg z, som alla de vinklar θ som duger i den pol¨ara ar en s˚ adan vinkel ¨ar allts˚ a framst¨ allningen z = reiθ . Om θ0 ¨ arg z = θ0 + 2nπ�
n ∈ Z�
och varje s˚ adant v¨ arde kallas f¨ or ett argument f¨or z; notera att vi inte definierar arg 0. Med principalargumentet Arg z menas det argument θ f¨or z som uppfyller dubbelolikheten −π < θ ≤ π, d.v.s. −π < Arg z ≤ π.
4
1 Tal, m¨angder och funktioner
1.5. Exempel �Binomisk ekvation). Ekvationer av typen z n = c, d¨ar n a¨r ett positivt√heltal och c ∈ C, kan alltid l¨ osas i pol¨ ar form. Som ett exempel tar vi ekvationen z 6 = −1 + i 3. Vi √ iθ ar d˚ a, skriver b˚ ade z och h¨ ogerledet i pol¨ar form, z = re respektive −1 + i 3 = 2ei2π/3 , och f˚ med de Moivres formel, att � 6 √ r = 2 (belopp), z 6 = −1 + i 3 ⇔ r6 ei6θ = 2ei2π/3 ⇔ 6θ = 2π/3 + 2kπ� k ∈ Z (argument), � √ r = 6 2� ⇔ θ = π/9 + kπ/3� k ∈ Z. √ z1 = 6 2 ei4π/9 Vi f˚ ar s˚ aledes sex olika r¨ otter, √ z2 = 6 2 ei7π/9 √ √ 6 zk = 2 exp(iπ/9 + ikπ/3)� π/3 z0 = 6 2 eiπ/9 d¨ ar k = 0� 1� 2� 3� 4� 5 (eller sex andra heltal i f¨ oljd), och r¨ otterna bildar h¨ orn i en regelbunden sexh¨ orning; n¨ asta rot f˚ as genom att vrida f¨ oreg˚ aende rot vinkeln π/3 i positiv led.
z3 =
√ 6 2 ei10π/9 z5 = z4 =
√ 6 2 ei16π/9
√ 6 2ei13π/9 �
1.6. Anm¨ arkning �*Tredje- och fj¨ ardegradsekvationer). Det finns l¨osningsmetoder ¨aven f¨ or ekvationer av grad tre och fyra, och vi skall h¨ar kortfattat beskriva dem. Tredjegradsekvationen z 3 + az 2 + bz + c = 0 kan med bytet s = z + a/3 skrivas i formen s3 = αs + β, d¨ ar α = a2 /3 − b och β = ab/3 − 2a3 /27 − c. Om α = 0 har vi s˚ aledes en binomisk ekvation i s, och den kan vi l¨ osa. Om α �= 0 l˚ ater vi γ vara ett tal s˚ adant att γ 2 = α/3 och g¨ or bytet ζ = s/γ; d˚ a ¨ ar v˚ ar ekvation ekvivalent med ekvationen ζ 3 = 3ζ + δ, d¨ar δ = β/γ 3 . Det implicita bytet till w via ζ = w + 1/w ger sedan ekvationen w6 − δw3 + 1 = 0, som ¨ar en andragradsekvation i w3 och som vi d¨armed kan l¨osa. Sedan f˚ ar vi w ur en binomisk ekvation, och d¨ arefter ζ, s och slutligen z. Fj¨ ardegradsekvationen z 4 + az 3 + bz 2 + cz + d = 0 kan f¨or varje komplext tal w skrivas i formen 2 (z + az/2 + w)2 = αz 2 + βz + γ, d¨ar α = 2w + a2 /4 − b, β = aw − c och γ = w2 − d. H¨ogerledet ar en j¨ amn kvadrat, (Az + B)2 , precis d˚ a 4αγ − β 2 = 0, och eftersom denna ekvation ¨ar av grad ¨ tre i w kan vi med metoderna i f¨ oreg˚ aende stycke hitta en rot w till den. Sedan ˚ aterst˚ ar det bara att l¨ osa de tv˚ a andragradsekvationerna z 2 + az/2 + w = ±(Az + B). N˚ agra liknande metoder f¨ or allm¨anna ekvationer av grad fem och h¨ogre finns inte, vilket bevisas i den s.k. Galoisteorin. � ¨ � OVNINGAR – repetition Matematisk grundkurs � 1.1 Skriv i formen a + ib: � 1.2 L¨ os ekvationerna
(a) (1 + i)(2 + i)(3 + i)
(a) z + 3¯ z = 4 − 4i
(b) (1 − 2i)4
(b) z − z¯ = 2i
(c)
1 + 2i5 2 + i19 + 3 − 4i 5i
(c) z − i¯ z=i
� 1.3 Finn r¨ otterna till andragradsekvationen w2 = 3 − 4i genom att ans¨atta w = u + iv och identifiera real- och imagin¨ardelar i ekvationen. Svara i rektangul¨ar form. � 1.4 Best¨ am belopp och alla argument till f¨oljande komplexa tal: � √ �23 √ 1 i− 3 (a) 1 − i 3 (b) −1 + 2i (c) (d) (1 − i)9 2 � 1.5 Anv¨ and Eulers formler f¨ or att visa att cos θ sin2 2θ =
2 cos θ − cos 3θ − cos 5θ . 4
5
1.2 M¨angder och kurvor i det komplexa talplanet � 1.6 Visa med hj¨ alp av de Moivres formel att
�
cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ� sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin3 θ.
� 1.7 Best¨ am r¨ otterna till den binomiska ekvationen z 5 = 32i. Rita r¨otterna i en figur. � 1.8 Faktorisera p(z) = z 4 + 4, dels fullst¨andigt i f¨orstagradsfaktorer, dels i andragradsfaktorer med reella koefficienter. � 1.9 Best¨ am r¨ otterna till f¨ oljande algebraiska ekvationer: (b) z 6 − 16z 3 + 64 = 0 (c) z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0
(a) z 2 − (1 + 2i)z + (1 − 5i) = 0 (d) z 4 + iz 3 + 2z 2 + iz + 1 = 0
� 1.10 Beskriv och rita f¨ oljande punktm¨angder i det komplexa talplanet: (a) 1 < |z − 1 + i| ≤ 4 (b) Im(¯ z − i) = 2 (c) |z − 1| = |z + i| (d) |z − i| ≤ 2|z + 1| (e) Re(1/z) = 2 (f) |z − 4i| + |z + 4i| = 10 ¨ � OVNINGAR –¨ ovriga uppgifter � 1.11 (a) Visa att z1 = 3 + i, z2 = 6 och z3 = 4 + 4i utg¨or h¨orn i en halv kvadrat. ¨ (b) Hur ser man med hj¨ alp av Ovning 1.1a att arctan 1+arctan(1/2)+arctan(1/3) = π/2? ¨ (c) Vilken arctan-identitet kan h¨arledas fr˚ an Ovning 1.1b? � 1.12 Visa f¨ oljande likheter: (a) z z¯ = |z|2 (b) z + z¯ = 2 Re z (c) z − z¯ = 2i Im z (d) |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2|z1 |2 + 2|z2 |2 , den s.k. parallellogramlagen � 1.13 Visa f¨ oljande olikheter, och utred n¨ar likhet r˚ ader: (a) |Re z| ≤ |z| (b) |Im z| ≤ |z| (c) |z| ≤ |Re z| + |Im z| ≤ 2|z| � 1.14 Visa f¨ oljande olikheter f¨ or alla komplexa tal z med l¨angd 1: � � � z + 2i � 3 2 �≤ (a) |2z + 3iz + 1| ≤ 6 (b) |z 3 + 4| ≥ 3 (c) �� 3iz − 1 � 2
(d) |2z 2 + 3iz + 1| < 6
� 1.15 Best¨ am den minsta konstanten C f¨or vilken |Re z| + |Im z| ≤ C|z| f¨or alla z ∈ C. � 1.16 Ber¨ akna Arg
z−1 f¨ or alla ickereella z som ligger p˚ a enhetscirkeln |z| = 1. z+1
� 1.17 Ber¨ akna absolutbelopp och principalargument f¨or 1 + eiθ , d¨ar −π < θ < π. Rita figur� � 1.18 Visa att
N �
n=−N
eint =
sin �2N2+1)t d˚ a N ∈ N och eit �= 1. (Vad blir summan om eit = 1?) sin 2t
� 1.19 Visa att Re(¯ z1 z2 ) = (x1 � y1 ) · (x2 � y2 ), om vi identifierar talet z = x + iy ∈ C med vektorn (x� y) ∈ R2 . Ge d¨ arefter en tolkning av Im(¯ z1 z2 ).
1.2
M¨ angder och kurvor i det komplexa talplanet
Det komplexa talplanet C kan identifieras med R2 eftersom talet z = x + iy ∈ C omv¨andbart entydigt svarar mot punkten (x� y) ∈ R2 . De flesta av nedanst˚ aende (topologiska) begrepp b¨or d¨arf¨ or vara k¨ anda sedan tidigare, se t.ex. Persson-B¨oiers, Analys i flera variabler, kapitel 1.3 (M¨ angder i Rn ). Med en ¨ oppen cirkelskiva (eller helt enkelt cirkelskiva eller skiva) menas en m¨angd av typen D(c� r) = {z ∈ C : |z − c| < r}�
c ∈ C� r > 0�
d¨ar c a a motsvarande slutna cirkelskiva ¨r skivans centrum och r dess radie. Ibland beh¨over vi ocks˚ och punkterade cirkelskiva: ¯ r) = {z ∈ C : |z − c| ≤ r} D(c�
respektive
D∗ (c� r) = {z ∈ C : 0 < |z − c| < r}.
Svar till ¨ ovningar 1.1 (a) 10i
(b) −7 + 24i
1.2 (a) z = 1 + 2i
(c) −2/5
(b) z = x + i, x ∈ R
(c) Finns inga
1.3 w1�2 = ±(2 − i) 1.4 (a) Belopp √ 2, argument −π/3 + 2πn (c) Belopp 2/32, argument π/4 + 2πn
√ (b) Belopp 5, argument π − arctan 2 + 2πn (d) Belopp 1, argument 7π/6 + 2πn (n ∈ Z)
1.7 zn = 2eπi/10+2nπi/5 , n = −2� −1� 0� 1� 2
a 2i) (z1 ¨ar allts˚
1.8 p(z) = (z + 1 − i)(z + 1 + i)(z − 1 − i)(z − 1 + i) = (z 2 + 2z + 2)(z 2 − 2z + 2) √ √ 1.9 (a) z1 = 2 + 3i, z2 = −1 − i (b) z1�2 = 2, z3�4 = −1 + i √ 3, z5�6 = −1 − i 3 (c) zn = e2πin/5 , n = 1� 2� 3� 4 (d) z1�2 = ±i, z3�4 = (−1 ± 5)i/2 1.10 (a) Cirkelringen med centrum 1 − i, innerradie 1, ytterradie 4; yttercirkeln men inte innercirkeln tillh¨ or m¨ angden (b) Linjen y = −3 (c) Linjen x + y = 0 (d) Omr˚ adet p˚ a och √ utanf¨ or cirkeln med centrum −(4 + i)/3 och radie 2 2/3 (e) Cirkeln med centrum 1/4 och radie 1/4, origo undantaget (f) Ellipsen (x/3)2 + (y/5)2 = 1 (br¨annpunkter ±4i) 1.11 (c) 4 arctan 2 = π + arctan(24/7) 1.13 Likhet r˚ ader precis d˚ a (a) z ¨ar reellt (b) z ¨ar imagin¨art (c) v¨ anstra olikheten: z ¨ ar reellt eller imagin¨art; h¨ogra: z = 0 1.15 Cmin =
√ 2
1.16 π/2 p˚ a¨ ovre halvan (Im z > 0) och −π/2 p˚ a undre halvan (Im z < 0) 1.17 Absolutbelopp 2 cos(θ/2), principalargument θ/2 � �x 1.19 Im(¯ z1 z2 ) = �� 1 y1
1.20 (a) −2
(b) 0
� x2 �� = e3 -koordinaten f¨or (x1 � y1 � 0) × (x2 � y2 � 0) y2 � (c) Existerar ej
1.21 Df = C \ {±i}. f (i) = 3i/2, men f (−i) kan inte definieras s˚ a att f blir kontinuerlig i −i 1.27 (a) f ¨ ar deriverbar p˚ a linjen y = x/2
(b) f ¨ar inte analytisk n˚ agonstans
1.28 f (z) = z 3 − iz 2 + iA, d¨ ar A ¨ar en reell konstant 1.29 f (z) = Az + C, d¨ ar A ∈ R, C ∈ C 127
View more...
Comments