1 Université P. et M. Curie Probabilités LM 231 2005

January 16, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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Université P. et M. Curie LM 231

Probabilités 2005-2006 Feuille d'exercices n°1

Ex.1 Soient A, B et C trois évènements liés à une même expérience aléatoire. Donner en fonction de A, B et C les expressions des évènements suivants : 1) seulement A est réalisé ; 2) A et B sont réalisés et non C ; 3) les trois évènements sont réalisés ; 4) au moins un des trois évènements est réalisé; 5) au moins deux des évènements sont réalisés ; 6) un seul évènement se produit ; 7) deux évènements au plus sont réalisés ; 8) aucun des évènements n'est réalisé . Ex.2 Soient (Ω,P) un espace de probabilité et A, B et C trois évènements donnés. Montrer que 1) P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(Α∩Β) . 2) P(Α∪Β∪C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(Α∩Β)–P(A∩C)–P(B∩C)+P(A∩B∩C) . Ex.3 On tire au hasard un numéro compris entre 1 et 50. Calculer la probabilité que le numéro tiré soit multiple de 5. Ex.4 On jette deux dés non truqués. Calculer la probabilité que la somme des points amenés soit égale à 6. On précisera d'abord l'espace probabilisé associé à cette expérience. Ex.5 1) On tire successivement une carte de chacun des deux jeux de 52 cartes. Donner un espace probabilisé associé à cette expérience. Calculer la probabilité de sortir au moins un as. 2) On tire deux cartes, une à une sans remise, parmi les 104 cartes de 2 jeux de cartes réunis. Calculer la probabilité de sortir au moins un as. Comparer avec la probabilité trouvée dans 1) . Ex.6 Dans une course, il y a 14 chevaux au départ. On suppose que ces chevaux ont la même chance de gagner. 1) Calculer le nombre de tiercés possibles. 2) Avec un ticket, quelle est la probabilité de gagner le tiercé : a) dans l'ordre ; b) dans l'ordre ou dans le désordre ; c) dans le désordre . Ex.7 Dans une loterie, on a vendu 1000 billets numérotés de 1 à 1000. On tire au sort 5 numéros gagnants distincts compris entre 1 et 1000. Une personne a acheté 20 billets. Calculer la probabilité que cette personne 1) ait un seul billet gagnant ; 2) ait au moins un billet gagnant . Ex.8 Dans les p boîtes à lettres d'un immeuble, un facteur est chargé de distribuer n lettres dont r1 pour la boîte 1 , r2 pour la boîte 2,…, rp pour la boîte p , où r1 + r2 + ... + rp = n . Comme il fait noir, le facteur distribue au hasard les lettres dans les boîtes. Calculer les probabilités des événements suivants : A : la distribution est correcte ; B : la boîte 1 est correctement remplie ; C : la boîte 1 ne contient aucune lettre qui ne lui est pas destinée ; D : chaque boîte i contient exactement ri lettres , i=1,…, p . Ex.9 Calculer la probabilité qu'il y ait un as dans chacune des mains lorsqu'on distribue une donne de bridge ( 52 cartes réparties entre 4 joueurs ) . Ex.10 L'oral auquel se présentent 50 étudiants se déroule de la manière suivante : le 1er à passer tire au hasard sa question parmi 50 sujets possibles, le 2nd parmi les 49 restants,…, le dernier doit répondre à la seule question restante. Vous devez passer l'oral. Lors de votre préparation, vous avez fait l'impasse sur une seule question. A quel rang voulez-vous passer pour avoir un maximum de chance de réussir ? Ex.11 Dans une population, on choisit au hasard 7 personnes. Calculer la probabilité que 2 personnes au moins aient une même date d'anniversaire. On suppose qu'une année a 365 jours. Ex.12 1) On dispose de 7 boules ( discernables ) à répartir dans deux urnes. Quelle est la probabilité qu'il y ait 4 boules dans l'une de ces urnes et 3 boules dans l'autre ?

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2) On joue au bridge ( 52 cartes distribuées entre 4 joueurs ). Au début de la partie, le joueur qui a annoncé, sait en regardant son jeu et celui du mort, que les deux joueurs du camp adverse ont ensemble 7 atouts. Quelle est la probabilité que les atouts soient bien répartis dans le camp adverse ( 3 chez l'un et quatre chez l'autre ) ? A-t-on trouvé le même résultat dans 1) et 2) ? Ex.13 1) Vérifier que l'entier 9 se partage additivement en 3 entiers compris entre 1 et 6 en autant de façons que l'entier 10. 2) Les joueurs professionnels considèrent qu'en jetant 3 dés, un total de 10 est plus probable qu'un total de 9. Ont-ils raison ? Ex.14 Soit p1 la probabilité d'avoir au moins un 6 en jetant 4 dés, et soit p2 la probabilité d'obtenir au moins une fois un double 6 en jetant 24 fois deux dés. Le Chevalier de Méré ( 1654 ) pensait que les deux probabilités p1 et p2 sont égales. Qu'en pensez-vous ? Ex.15 1) Une famille a 2 enfants dont au moins un garçon. Calculer la probabilité que la famille ait un garçon et une fille. 2) Une famille a 2 enfants dont le cadet est un garçon. Calculer la probabilité que la famille ait un garçon et une fille. Ex.16 Dans un jeu de 52 cartes, on a remplacé l'as de cœur par un 2ème as de pique. On demande ensuite à une personne d'en tirer 4 cartes ( sans remise ). Calculer la probabilité que la personne s'aperçoive de la supercherie. Ex.17 On range b boules dans n urnes . Combien y a-t-il de rangements possibles si : 1) les boules et les urnes sont discernables, chaque urne pouvant recevoir au plus une boule (b≤n). 2) les boules et les urnes sont discernables, chaque urne pouvant recevoir plus d'une boule . 3) les boules sont indiscernables, les urnes sont discernables, chaque urne pouvant recevoir au plus une boule (b≤n). 4) les boules sont indiscernables, les urnes sont discernables, chaque urne pouvant recevoir plus d'une boule. Ex.18 Combien y a-t-il de nombres entiers formés de 1) n chiffres au plus ? 2) n chiffres exactement ? 3) n chiffres différents ( 2≤n≤10 ) ? Ex.19 On lance un dé équilibré 12 fois. Calculer la probabilité que chacun des 6 points apparaissent exactement deux fois. Ex.20 On tire au hasard un nombre entier d'au plus quatre chiffres. Calculer la probabilité que la somme de ses chiffres soit égale à 9. Ex.21 Deux joueurs A et B jouent à pile ou face en lançant une pièce équilibrée plusieurs fois de suite. Le joueur A gagne le jeu si deux piles ont apparu au cours des lancers, et B gagne le jeu si trois faces ont apparu. Calculer la probabilité que le joueur A ( respectivement B ) gagne le jeu. Ex.22 Lors d'un jeu télévisé, un candidat doit choisir entre trois portes. Derrière une de ces portes est caché un trésor. Le présentateur, qui sait tout, ouvre après le choix du candidat une des deux portes restantes en choisissant une porte derrière laquelle il n'y a rien. Le candidat peut alors confirmer son 1er choix ou désigner la porte fermée restante. Que doit-il faire ? Ex.23 Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On tire les boules une à une jusqu'à ce que les boules de numéros 1, 2 et 3 soient sorties. 1) Calculer la probabilité que les boules de numéros 1, 2 et 3 sortent consécutivement dans cet ordre. 2) Calculer la probabilité que les boules de numéros 1, 2 et 3 sortent dans cet ordre.

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