10 nombres complexes 1

10.

NOMBRES COMPLEXES

A. L’ESSENTIEL DE PREMIERE : 1. Forme algébrique d’un nombre complexe : Un nombre complexe est un nombre qui s’écrit : ___________________________avec i² = – 1. Le réel x est la partie réelle ; le réel y est la partie imaginaire. Le nombre complexe z = x + iy a pour image le point du plan M( x ; y ). On dit que z = x + iy est _______________________________________ du point M . On appelle ________________________ du nombre complexe z = x + iy et on note 𝑧̅ le nombre : ___________________________________. L’ensemble des nombres complexes est noté : ℂ ; il contient l’ensemble ℝ . 2. Calculs sous forme algébrique : Les calculs dans ℂ se font comme dans ℝ , en utilisant la distributivité et i² = – 1. Quotient : Propriété : Pour tout z = x + iy , où x et y sont deux nombres réels , on a z𝑧̅ = x² + y² . Méthode pour calculer un quotient de deux nombres complexes : 𝑧 Pour obtenir la forme algébrique du quotient ( avec z’  0) , on multiplie numérateur et 𝑧′

dénominateur par le conjugué du dénominateur 𝑧̅′ . Exemples : déterminer la forme algébrique de : 4+2𝑖 Z1 = = 1−5𝑖

3. Affixe d’un point du plan : Définition : Soit M( x ; y ) le point d’affixe z = x + iy dans un repère orthonormé ( O ; 𝑢 ⃗ ; 𝑣). On appelle _______________________ de z Et on note |𝑧| la distance OM : |𝑧| = 𝜌 Si z est non nul ; on appelle : ____________________ et on note arg(z)=  , toute mesure de l’angle (𝑢 ⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 ) Tout nombre complexe z peut s’écrire : z = ( cos𝜃 + i sin𝜃 ) où 𝜃 est une argument de z et 𝜌= |𝑧|. On note z = [𝜌 ; ] : _________________________

Z2 =

3 2+𝑖

=

2

Passage d’une forme à l’autre : Propriétés : 1. Si z est un nombre complexe de forme trigonométrique : z = [𝜌 ;] alors : _______________________________________________________ 2. Si z = x + iy alors 𝜌 et 𝜃 sont définis par :

𝜌 = _____________________________________

__________________ __________________

et {

Exemples : Déterminer la forme algébrique du nombre complexe z 1 5𝜋 de module et d’argument : – : 2

Déterminer la forme trigonométrique de z = 2 – i 2 √3

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B. FORME EXPONENTIELLE : 1. Définition : Pour tout nombre complexe z non nul de module 𝜌 et d’argument 𝜃, on écrit : z=𝜌𝑒 𝑖𝜃 . Cette écriture est appelée : ____________________________________________________ 𝜋

Remarques : On a en particulier : 𝑒 𝑖0 = 1 et 𝑒 𝑖 2 = i . 2. Calculs sous forme exponentielle : On va utiliser les propriétés des puissances.

Multiplication

(𝜌𝑒 𝑖𝜃 ) × (𝜌′𝑒 𝑖𝜃 ) = _____________________________

Puissance

(𝜌𝑒 𝑖𝜃 )n = _____________________________________

Inverse

′

1

= _______________________________________

ρ𝑒 𝑖𝜃

Quotient

ρ𝑒 𝑖𝜃 ′

ρ′𝑒 𝑖𝜃

= ______________________________

Exemples : calculer sous formes exponentielles : z1 = 2𝑒

𝑖

3𝜋 4

×√3𝑒

𝑖

𝜋 8

3𝜋

;

z2=

1 𝜋

𝑖 √3𝑒 8

;

z3 =

𝑖 2𝑒 4

𝜋 .

𝑖 √3𝑒 8