1516_MSV31_TD1 Fichier

Université d’Evry Val d’Essonne L2 SDV - MSV31

Année universitaire 2015-2016

TD 1 - Rappels (Statistiques descriptives - Probabilités) Exercice 1 Un test quantitatif de la charge virale permet de mesurer la quantité de virus dans un mililitre de sang. Ce test est utilisé pour déterminer une infection du VHC (Virus Hépatite C). Le test par PCR (réaction en chaîne de polymérase) détecte la présence de l’ARN du VHC dans le sang, révélant ainsi une infection active. La série suivante représente la charge virale de dix patients exprimée en 104 UI/ml : x1 43

x2 x3 x4 63 57 65 P P 2 On donne : xi = 650 et xi = 45370

x5 95

x6 62

x7 82

x8 41

x9 90

x10 52

1. Quelles sont les variables mesurées ? 2. Tracer l’histogramme 3. Calculer la moyenne, une médiane, les quartiles, les valeurs extrêmes et éventuellement le(s) mode(s). 4. Calculer la variance, l’écart-type et l’amplitude. 5. Construire la boîte à moustaches (boxplot) Exercice 2 Un pépiniériste conditionne des bulbes de fleurs. On conviendra qu’un bulbe germe s’il donne naissance à une plante qui fleurit. On considère que le pépiniériste dispose d’un très grand nombre de bulbes et que la probabilité qu’un bulbe germe est de 0,83. Il prélève au hasard successivement quinze bulbes de ce stock. On note D la variable aléatoire correspondant au nombre de bulbes qui germent. 1. Quelle est la loi de D ? 2. Quelle est la probabilité qu’exactement 5 bulbes choisis germent ? 3. Quelle est la probabilité qu’au moins 9 bulbes germent ? 4. En moyenne, sur un prélèvement de 15 bulbes, combien vont germer ? Exercice 3 Les cultures de tissus végétaux peuvent être infectées soit par des champignons, soit par des bactéries. La probabilité d’infection par champignons est de 0, 15. La probabilité d’infection par bactéries est de 0, 08. 1. Quelle est la probabilité d’une infection simultanée par champignons et bactéries : (a) dans le cas où les infections sont indépendantes ; (b) dans le cas où (les infections n’étant pas indépendantes) la probabilité d’infection par bactéries sachant qu’on a une infection par champignons est égale à 0, 04. 2. Calculer la probabilité d’infection, quelle qu’en soit l’origine (dans le cas où les infections sont indépendantes uniquement).

Exercice 4 Des relevés effectués dans la population ont permis d’établir que le périmètre crânien d’un enfant de 3 ans peut être modélisé par une variable aléatoire gaussienne de moyenne 50cm et de variance 4cm. 1. Déterminer la probabilité des événement suivants : (a) un enfant de trois ans a un périmètre crânien inférieur à 45cm ; (b) un enfant de trois ans a un périmètre crânien supérieur à 52.5cm ; (c) son périmètre crânien est compris entre 49cm et 51cm. 2. Déterminer les valeurs `1 et `2 tels que (a) 5% des enfants de trois ans ont un périmètre crânien plus petit que `1 , (b) 12% des enfants de trois ans ont un périmètre crânien plus grand que `2 . Exercice 5 Un éleveur possède un troupeau de 150 vaches qu’il veut répartir dans deux étables A et B pouvant chacune accueillir la totalité du troupeau. Pour ne pas "traumatiser" ses bêtes, il décide de ne pas leur imposer une étable ; les bêtes se répartissent de façon équiprobable et indépendante dans l’une ou l’autre des étables. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de vaches choisissant l’étable A. 1. Quelle est la loi de probabilité de X ? 2. Donner, après justification, une approximation de la probabilité de l’événement : "le nombre de vaches choisissant A est supérieur ou égal à 80". 3. Momentanément, pour raison de travaux, chaque étable ne comporte que N places disponibles (N ∈ [75, 150]). (a) Exprimer à l’aide de X et N l’événement  : "Toutes les vaches trouvent une place". (b) Déterminer la valeur minimale de N pour que la probabilité de  soit supérieure à 0.9.

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