16.11. Rotation
Short Description
Download 16.11. Rotation...
Description
16.11
16.11.
195
Rotation
Rotation
Vi har tidigare i Exempel 16.28 visat hur man roterar rummets vektorer kring en axel parallell med en av basvektorerna. Nu ¨ar vi redo att besvara fr˚ agan om hur man vrider kring en godtycklig vektor i rummet. Exempel 16.60. L˚ at L vara en linje i rummet genom origo och med riktningsvektorn v, dvs L : tv. Antag att vi vill best¨ amma matrisen f¨or rotationen R vinkeln θ moturs kring en axel parallell med L. Vi beh¨ over inf¨ora en ny ON-bas {f 1 , f 2 , f 3 } l¨amplig f¨or att reducera problemet till fallet i Exempel 16.28. Eftersom vektorn v vrids p˚ a sig sj¨alv, normerar vi den och v¨aljer f¨ orsta basvektorn 1 f1 = v. |v| Vidare, vridningen sker i det plan som har v som normal, d¨arf¨or v¨aljer vi en enhetsvektor f 2 ortogonal mot v. Sista basvektorn f 3 v¨aljer vi s˚ a att basen {f 1 , f 2 , f 3 } bildar ett h¨ogerorienterat system genom f 3 = f 1 × f 2. Observera att av definitionen f¨ or vektorprodukt f¨oljer att
π = 1, 2 dvs f 3 ¨ ar ocks˚ a en enhetsvektor. Situationen ¨ar nu densamma som finns i Exempel 16.28 och d˚ a ges avbildningsmatrisen f¨ or rotaionen vinkeln θ moturs kring en axel parallell med f¨orstabasvektorn f 1 av 1 0 0 Af = 0 cos θ − sin θ . 0 sin θ cos θ Om T ¨ ar transformationsmatrisen mellan ON-baserna e och f , dvs f = eT , s˚ a g¨aller enligt (16.21) att matrisen i den ursprungliga basen e ges av |f 3 | = |f 1 × f 2 | = |f 1 | · |f 2 | sin
Ae = T Af T −1 . Figur 16.61. L v f1 = R(f1)
R(f3) = −sinθ f2+ cosθ f3 θ f2
θ f3 R(f2) = cosθ f2 + sinθ f3
196
¨ LINJARA AVBILDNINGAR
16
2 π Exempel 16.62. Best¨ am matrisen f¨ or en rotation kring axeln L : t 2 . 3 −1 L¨ osning:
L
Figur 16.63.
v f
fAfY = R(u) = eAeX
1
fY = u = eX
R(u//)
θ
f2
u
f3 = f1 x f2
//
2 2 1 1 a kan vi t.ex. v¨alja f 2 = e −1 . Vidare l˚ ater vi L˚ at f 1 = e 2 . D˚ 3 3 −1 2 1 1 f 3 = f 1 × f 2 == e −2 , s˚ a att {f 1 , f 2 , f 3 } ¨ar ON-bas i ett h¨ogerorienterat system. 3 −2 2 2 1 1 2 −1 −2 ¨ar ortogonal. Bassambandet ges av f = eT , d¨ ar T = 3 −1 2 −2 Avbildningsmatrisen Af i basen e ges som bekant av
1
0
1 0 0 0 Af = 0 cos θ − sin θ = {θ = π/3} = 0 sin θ cos θ 0
1 2
√
3 2
0 √
. 1 2
3 − 2
a av Avbildningsmatrisen Ae i basen e ges d˚ √ √ 13√ 4 + 3 3 −2 + 6√3 1 Ae = T Af T t = 13 √ −2 − 6 3 . 4 − 3 √3 18 10 −2 − 6 3 −2 + 6 3
Observera att A ¨ ar ortogonal och det Ae = 1.
16.11
197
Rotation
Exempel 16.64. (Reflektion av ale i ett plan) En ljusstr˚ ale faller in mot en ljusstr˚ −1 origo och har riktningen −2 . Den reflekteras mot planet x + y + z = 0. Best¨am −3 ekvationen f¨ or den reflekterade str˚ alen. Koordinatsystemet ¨ar ortonormerat. L¨ osning: n
Figur 16.65.
R(v) = vut
v
O
L˚ at {e e3 } vara en ON-bas i rummet. Vi betraktar problemet som att vrida vektorn 1 , e2 , 1 v = e 2 vinkeln π kring normalen, dvs vi s¨oker bilden R(v) av v under rotationen R. 3 Normalen som allts˚ a¨ arrotationsaxel avbildas p˚ a sig sj¨alv. 1 1 L˚ at d¨arf¨ or f 1 = √ e 1 vara den f¨orsta nya basvektorn med l¨angd 1. 3 1 Vi v¨aljer den andra basvektorn f 2 ortogonal mot f 1 och med l¨angd 1. Vi tar 1 1 t.ex. f 2 = √ e −1 . 2 0 Till sist v¨ aljer vi den tredje basvektorn f 3 ortogonal mot b˚ ade f 1 och f 2 och med l¨angd 1. Vi f˚ ar inte heller gl¨ omma att f 3 ska v¨aljas p˚ a ett s˚ adant s¨att att vi f˚ ar ett positivt h¨oger orienterat system. D¨ arf¨ or l˚ ater e1 e2 e3 1 1 1 1 1 1 = √ e 1 . f 3 = f 1 × f 2 = √ √ 1 3 2 1 −1 0 6 −2 1 1 1 √ √ √ 3 2 6 1 1 1 √ −√ Bassambandet ges allts˚ a av f = e T , d¨ar T = √ ¨ar ortogonal. 3 2 6 1 2 √ 0 −√ 3 6
198
16
¨ LINJARA AVBILDNINGAR
L˚ at nu f 1 , f 2 och f 3 rotera: R(f 1 ) =
f 1 = 1f 1 + 0f 2 + 0f 3 = f
R(f 2 ) = −f 2 = 0f 1 − 1f 2 + 0f 3 = f
R(f 3 ) = −f 3 = 0f 1 + 0f 2 − 1f 3 = f
1 0 0 0 −1 0 0 0 . −1
1 0 0 ar allts˚ a Af = 0 −1 0 . Avbildningsmatrisen i basen f ¨ 0 0 −1 Sambandet mellan avbildningsmatriserna ger att avbildningsmatrisen i basen e: −1 2 2 1 2 . Ae = T Af T t = 2 −1 3 2 2 −1 Observera att Ae i det h¨ ar fallet inte bara ¨ar ortogonal utan ocks˚ a symmetrisk. Detta eftersom problemet kan ocks˚ a ses som en spegling som har en symmetrisk avbildningsmatris. Den utreflekterade str˚ alen har riktningen −1 2 2 3 1 1 2 −1 2 2 = e 2 . Ae v = e 3 2 2 −1 1 3 Observera att avbildningsmatrisen ¨ ar ortogonal med determinant 1.
16.11
Rotation
199
Anm¨ arkning 16.66. Exemplen ovan visar att om avbildningsmatrisen A ¨ar 1. symmetrisk och det A = 0, s˚ a ¨ar avbildningen en projektion. Om dimensionen f¨ or nollrummet a a ¨ar det ortogonal projektion i plan (eller linje). ¨r 1 (eller 2) s˚ 2. symmetrisk och det A = −1, s˚ a ¨ar avbildningen en spegling i ett plan. 3. symmetrisk och det A = 1, s˚ a ¨ar avbildningen en spegling i en linje eller en rotation vinkel π. 4. ortogonal och d¨ armed det A = 1, s˚ a ¨ar avbildningen en rotation.
Exempel 16.67. F¨ oljande matriser svarar mot en projektion, en spegling eller en rotation. Avg¨or vilken som svarar mot vilken avbildning om 1 −4 8 6 −2 −3 13 −2 −3 1 1 1 A= 8 4 1 , B = −2 3 −6 och C = −2 10 −6 . 9 7 14 −4 7 4 −3 −6 −2 −3 −6 5 L¨ osning: 1. Eftersom A ¨ ar ortogonal med det A = 1, s˚ a ¨ar A matrisen f¨or en rotation R i rummet. 2. B ¨ ar symmetrisk med det B = −1. Allts˚ a ¨ar B matrisen f¨or en spegling S i ett plan. 3. C ¨ ar en matris f¨ or en projektion P , ty C ¨ar symmetrisk med det C = 0. Vidare g¨aller att N (P ) = [(1, 2, 3)t ] och dim N (P ) = 1. Allts˚ a ¨ar C matrisen f¨or en projektion P p˚ a ett plan med normalvektorn (1, 2, 3)t .
View more...
Comments