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PROBABILITES 2 : Répétition d'expériences identiques et indépendantes . 1) Représentation par un arbre d'une répétition d'expériences identiques et indépendantes Dans le cas d'une répétition d'expériences identiques et indépendantes représentée par un arbre pondéré. On convient que : - la probabilité d'un événement correspondant à un chemin sur l'arbre est égale au produit des probabilités portées par ses branches . - les événements correspondants à chaque chemin étant incompatibles , la probabilité d'un événement correspondant à plusieurs chemins est égale à la somme des probabilités des événements correspondants à chaque chemin . Exemple 1: une urne contient deux boules rouges , deux boules jaunes et une boule bleue . On tire deux boules successivement et avec remise .

Déterminer la probabilité de l'événement A :« 'obtenir deux boules rouges et celle de l'événement C : « obtenir une boule rouge et une boule bleue « . 2 2 4 2 1 1 2 4 p ( A)=( )( )= et p (C )=( )( )+( )( )= . 5 5 25 5 5 5 5 25

2) La loi de Bernoulli On considère une expérience aléatoire à deux issues le succès S avec une probabilité p(S)=p et l'échec E=S avec une probabilité 1-p;

C'est un schéma de BERNOULLI . Soit la variable aléatoire X qui prend la valeur 1 en cas de succès et la valeur 0 en cas d'échec . On a : P ( X =0)=1− p et p( X =1)= p Cette variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre p . Espérance de la loi de Bernoulli : Variance de la loi de Bernoulli :

E ( X )= p V ( X )= p− p 2= p (1− p)

Ecart type de la loi de Bernoulli : σ( X ) =

√ p− p2

=

√ p (1− p)

exemple 2 : une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre

1 . 3

2 1 et P ( X =1)= . 3 3 1 2 √2 . Son espérance est ; sa variance est ; son écart type est 3 9 3 Exemple 3 : une urne contient 2 boules vertes et 3 boules rouges ; on tire au hasard une boule; si elle est verte on gagne 1 point , si elle est rouge on a 0 point .X est la variable aléatoire correspondant au nombre de point obtenu à l'issue de ce tirage . 2 X suit la loi de Bernoulli de paramètre . 5 2 3 On a : P ( X =0)= et P ( X =1)= . 5 5 Sa loi est :

P ( X =0)=

Son espérance est

2 6 ; sa variance est ; son écart type est 5 25

√6 . 5

3) Schéma de Bernoulli a) cas n= 2 On répète 2 fois successivement et de manière indépendante la même expérience aléatoire qui suit la loi de Bernoulli à deux issues : S (succès) avec une probabilité p et S ( échec ) avec une probabilité 1− p . Arbre représentant ce schéma de 2 épreuves de Bernoulli de paramètre p.

X est la variable aléatoire correspondant au nombre de succès obtenus . On remarque que : p ( X =0 ) =( 1− p ) 2 (une liste contenant 0 succès donc 2 échecs successifs) p ( X =1 ) =2 p ( 1− p ) ( 2 listes contenant 1 succès et 1 échec) . p ( X =2 ) = p 2 (une liste contenant 2 succès) . C'est une loi binomiale de paramètres 2 et p . k p(X=k)

0 2

( 1− p )

1

2

2 p ( 1− p )

p2

E ( X ) =0 ( 1− p ) 2+1 ( 2 p ( 1− p ) ) +2 ( p 2)=0+2 p−2 p 2+2 p 2=2 p Et

V ( X )=02 (1− p ) 2+12 ( 2 p ( 1− p ) ) +2 2 ( p 2 )−( E ( X ) ) 2=2 p ( 1− p )

Exemple 3: On lance successivement de manière indépendante deux dés identiques ; on dénombre le nombre de fois où le « 6 » est sorti . On répète 2 fois successivement et de manière indépendante la même expérience aléatoire qui suit la loi de Bernoulli à deux issues où le succès est d'obtenir « 6 » avec une probabilité 1 5 p= et l' échec est de ne pas obtenir « 6 » avec une probabilité 1− p= . X la 6 6 variable aléatoire correspondant au nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de 1 paramètres 2 et . 6 Loi de X : k 0 1 2 p(X=k)

E ( X )=2(1/6)=

5 2 25 = 6 36

()

2

1 5 10 5 = = 6 6 36 18

()

1 2 1 = 6 36

()

1 5 Et V ( X )=2(1 /6)( 5/6)= 3 18

b) Cas n=3 On répète 3 fois successivement et de manière indépendante la même expérience aléatoire qui suit la loi de Bernoulli à deux issues : S (succès) avec une probabilité p et S ( échec ) avec une probabilité 1− p . Arbre représentant ce schéma de 3 épreuves de Bernoulli de paramètre p.

X est la variable aléatoire correspondant au nombre de succès obtenus . On remarque que : p ( X =0 ) =( 1− p ) 3 (une liste contenant 0 succès donc 3 échecs successifs) 2 ( ) ( ) ( 3 listes contenant 1 succès et 2 échecs) . p X =1 =3 p 1− p 2 p ( X =1 ) =3 p ( 1− p ) ( 3 listes contenant 2succès et 1 échecs) . p ( X =2 ) = p 2 (une liste contenant 3succès) . C'est une loi binomiale de paramètres 3 et p . k

0

1

2

3

p(X=k)

( 1− p )3

3 p ( 1− p )2

3 p2 ( 1− p )

p3

E ( X ) =0 ( 1− p ) 3+1 ( 3 p ( 1− p )2 )+2 ( 3 p2 ( 1− p ) )+3 p3 E ( X ) =3 p−6 p2−3 p 3+6 p 2−6 p3+3 p 3=3 p V ( X )=02 ( 1− p ) 3+1 2 ( 3 p ( 1− p ) 2 )+22 ( 3 p 2 ( 1− p ) ) +32 p 3−( E ( X ) 2)=3p ( 1− p )

Exemple 5: Une urne contient 2 boules vertes et 3 boules rouges . On tire successivement et avec remise 3 boules de l'urne . Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de boules vertes tirées . 2 Chaque tirage d'une boule suit une loi de Bernoulli de paramètre correspondant à la 5 probabilité d'obtenir une boule verte (succès). Cette expérience aléatoire est répétée 3 fois de manière successive et indépendante car le tirage est successif et avec remise . 2 On en déduit que X suit la loi binomiale de paramètres n=3 et p= . 5 La loi de X est : k

0

p(X=k)

3 3 27 = 5 125

E ( X ) =3 ( 2/5 )=

()

1 3

3 5

2

2 54 = 5 125

( )( )

2 3

3 5

2 2 36 = 5 125

( )( )

3 2 3 8 = 5 125

()

6 18 et V ( X )=3( 2/5)(3 /5)= 5 25

Question : Quelle est la probabilité d'obtenir au plus deux boules vertes dans ce tirage ? Cet événement est le contraire d'obtenir 3 boules vertes donc sa probabilité est : 8 117 p ( X ≤2 ) =1−P ( X =3 )=1− = 125 125