2016-2017-EG1

PES

le 5/12/16

DEVOIRS GROUPES n°1 MATHEMATIQUES durée : 3 heures Calculatrice autorisée

Le barème est approximatif

NE PAS RENDRE LE SUJET

La qualité de la rédaction sera prise en compte dans l’évaluation de la copie. L’exercice Bonus ne sera pris en compte que si l’ensemble des autres exercices ont été traités. A l’intérieur d’un même exercice, traiter les questions dans l’ordre donné.

Exercice 1

(8 points)

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

−𝑥 2 + 𝑥 + 5 ≤0 𝑥(𝑥² − 36)

𝑎) 𝑐)

5𝑥² > −30𝑥 3

𝑏)

(3 − 6𝑥)(𝑥² + 5) ≥ 1 + 4𝑥² − 4𝑥 𝑑)

𝑥+1 𝑥−2 = 𝑥 − 1 3𝑥 − 1

Exercice 2

(5 points)

On donne ci-dessous les représentations graphiques de deux fonctions polynôme du second degré 𝑓 et 𝑔 définies sur ℝ. 1) Donner l’expression algébrique de la fonction 𝑓 sous la forme de votre choix. 2) Donner l’expression algébrique de la fonction 𝑔 sous la forme de votre choix.

Exercice 3 On pioche une carte dans un jeu de 32 cartes. Soit A l’événement « la carte choisie est un as ». Soit C l’événement « la carte choisie est un cœur ». Soit R l’événement « la carte choisie est rouge ». 1. Calculer P(A), P(R), P(C) et P(𝐴̅). 2. Calculer P(A ∪ C), P(A ∩ 𝐶̅ ) , P(𝐴̅ ∩ 𝑅). Détailler les étapes de vos calculs.

(4 points)

Exercice 4

(6 points)

Une entreprise, dont la production de casques audio varie entre 50 et 250 pièces par jour, estime que le coût de fabrication (en €) est donnée par : 𝐶(𝑞) = 0,08𝑞² − 1,6𝑞 + 108 où q est le nombre de casques produits. Chaque casque est vendu 15€. 1. a. Combien coûte la fabrication de 80 casques audio ? b. Calculer la recette associée à la vente des 80 casques. L’entreprise réalise –t- elle de bénéfices pour 80 casques produits et vendus ? 2 . a. Exprimer la recette R(q), en €, en fonction de la quantité de q de casques fabriqués et vendus en 1 jour. b. Montrer que le bénéfice sur une journée correspondant à la fabrication et à la vente de q casques est : 𝐵(𝑞) = −0,08𝑞² + 16,6𝑞 − 108 c. Quel est le bénéfice maximum ? d. Combien faut-il construire et vendre de casques pour que le bénéfice journalier soit supérieur à 400 € ? Exercice 5

(8 points)

Un bar à smoothies propose deux menus au déjeuner : un menu complet à 12 € et un menu rapide à 9€. Une étude montre que 65 % des clients choisissent le menu complet. Un couple entre dans le restaurant et commande des menus de façon indépendante. On note 𝐶1 l’événement « la première personne choisi un menu complet » et 𝐶2 l’événement « la deuxième personne choisi un menu complet ». 1. a. Modéliser la situation à l’aide d’un arbre pondéré. b. Décrire par une phrase l’événement suivant : {𝐶1 ∩ ̅̅̅ 𝐶2 } c. Ecrire en notation mathématiques l’événement le couple choisit le même menu. 2. Calculer la probabilité des événements suivants : a. Le couple choisit deux menus complets. b. Le couple ne choisit pas deux menus complets. 3. On note X la variable aléatoire égale au prix payé par le couple, en euros. a. Etablir la loi de probabilité de X. b. Calculer l’espérance de X et interpréter le résultat. 4. Le restaurateur souhaite changer le prix p du menu complet de façon que la dépense moyenne soit supérieure à 25 €. Déterminer la valeur minimale de p, à 0,50€ près.

Exercice 6

(3 points)

Sur un compte, l’argent est rémunéré au taux annuel de t%. Bob place 5000€ la première année, puis rajoute1000€ la seconde année. Au bout des deux ans, il a 6562,5€ sur son compte. Déterminer le taux de placement.

Exercice 7 QCM (6 points) Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. On ne demande pas de justification. Chaque réponse exacte rapportera 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point, l’absence de réponse n’apporte ni n’enlève de point. Question 1 (d’après bac 2016) Le prix d’un produit est passé de 200 € à 100 €. Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d’environ : a. 50% b. 25% c. 29% d. 71% Question 2 (d’après bac 2015) Le prix d’une action a augmenté chaque mois de 5% et cela pendant 3 mois consécutifs. Globalement, le prix de l’action a été multiplié par : a. 1, 053 b. 1,16 c. 3 × 1, 05 d. 1,45 Question 3 (d’après bac 2015) Si le prix du baril de pétrole augmente une première fois de 50% puis une seconde fois à nouveau de 50%, alors le prix du baril : a. a doublé b. a augmenté de 100% c. a augmenté de 225% d. a augmenté de 125% Question 4 Après deux augmentations successives de 12% puis de 8%, le prix d’un article ménager est de 665, 28 € . Le prix initial de l’article était de : a. moins de 540 euros b. moins de 545 euros c. plus de 560 euros d. moins de 555 euros Enoncé pour les questions 6 et 7 : une urne contient 4 boules vertes et n boules rouges où n est un entier naturel. On tire successivement avec remise deux boules de l’urne. On note 𝑅1 l’événement « le première boule tirée est rouge » et 𝑅2 l’événement « le deuxième boule tirée est rouge ». Question 5 Dans cette question, la probabilité que la première boule tirée soit rouge est égale à : a.

1 2

1

b. (𝑛+4)

𝑛

c. (𝑛+4)

Question 6 L’expression, en fonction de n, de la probabilité d’obtenir une boule rouge puis une boule verte est égal à: a.

Exercice BONUS

1 4

𝑛²

b. (𝑛+4)²

4𝑛

c. (𝑛+4)²

(3 points)

Dans une grande ville, un loueur de véhicules électriques constate qu’au prix de 75€ par jour, il loue la totalité de ses 200 véhicules. Il estime que, pour chaque augmentation de 2€ de ce prix, il perd un client et donc il loue un véhicule en moins. Quels prix peut-il fixer par véhicule pour sa recette augmente d’au moins 25% par rapport à sa recette actuelle.