20ko - Mathématiques

January 9, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques
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Chapitre 1 Arithmétique

I.

Divisibilité Activité tirage à faire Le jeu de Juniper-Green

Règle du jeu : Ce jeu se joue à deux (ou plus) avec les nombres entiers de 1 à 40. Le premier joueur choisit un nombre entier. Le deuxième joueur doit en choisir un autre qui doit être soit multiple, soit diviseur de ce premier nombre et toujours parmi les nombres entiers de 1 à 40. Le joueur suivant en choisit encore un autre qui doit être soit multiple, soit diviseur du second nombre. Et ainsi de suite, chaque nombre ne pouvant servir qu'une seule fois ! Le dernier joueur qui a pu choisir un nombre a gagné !

a.

Jouez à ce jeu, en alternant le premier joueur.

b.

Le premier joueur prend 40 comme nombre de départ. Quelle est la liste des nombres possibles pour le second joueur ? Même question avec 17 ; 9 et 23.

c.

Dans une partie à deux joueurs, quel nombre peut choisir le premier joueur pour être sûr de l'emporter (s'il joue bien !) ? Trouve toutes les possibilités.

Diviseur Déf : a et b sont deux entiers positifs avec b non nul. On dit que b est un diviseur de a si le quotient

𝑎 𝑏

est un entier.

Remarque : si b est un diviseur de a alors il existe un entier n tel que a = b × n Réciproque : si a = b×n alors b est un diviseur de a ou a est un multiple de b. Exemple : II.

Plus grand diviseurs communs

Activité tirage à faire On veut paver une surface rectangulaire avec des carrés identiques et sans coupe. La longueur du côté des carrés est un nombre entier de centimètres.

a.

La surface rectangulaire mesure 12 cm par 18 cm. Quelle peut être la longueur du côté des carrés ? Y a-t-il plusieurs possibilités ? Que représente(nt) ce(s) nombre(s) pour 12 et 18 ? Mêmes questions lorsque la surface rectangulaire mesure 49 cm par 63 cm, puis 27 cm par 32 cm et enfin 21 cm par 84 cm.

b.

Cherche les dimensions maximales d'un carré pouvant paver une surface rectangulaire de 108 cm par 196 cm.

Déf : le plus grand entier qui divise les deux entiers a et b s’appelle le plus grand commun diviseur. Il se note PGCD (a; b). Exemple : les diviseurs communs à 48 et 40 sont 1, 2, 4, 8 donc PGDC ( 48 ; 40)= 8 Trouver les diviseurs communs de 18 et 24 donc le PGCD (18 ;24) est 6 Propriétés : PGCD(a ;a)=1 PGCD (a ; b)= PGCD (b ;a) Si b divise a alors PGCD (a ;b)=b Exemple Calcul du PGCD par l’algorithme des soustractions successive : PGCD(𝑎 ; 𝑏) = PGCD(𝑏 ; 𝑎 − 𝑏) a > 𝑏 Calcul du PGCD de 522 et 398. 522 – 348=174 PGCD (522 ; 348) 348 – 174=174 = PGCD (348 ; 174)=174 174 – 174=0 donc le PGCD (522 ; 348)=174 Calcul le PGDC de 159 et 106 159 – 106=53 PGCD (159 ; 106)=53 106 – 53=53 = PGCD (106 ; 53) 53 – 53=0 donc le PGCD (159 ; 106)=53 Autre exemple PGCD (530 ; 371)=159

a. Calcul du PGCD par l’algorithme d’Euclide. http://fr.wikipedia.org/wiki/Euclide

(Euclide (mathématicien), (IIIe siècle av. J.-C.), mathématicien grec, auteur du plus célèbre ouvrage de l’histoire des mathématiques, les Éléments. Euclide se distingue également en théorie des nombres, démontrant notamment que l’ensemble des nombres premiers est infini. Il est aussi le premier à pratiquer la division avec le reste, appelée aujourd’hui division euclidienne.) Proposition : A=b×𝑞 +r a>𝑏 PGCD (a ; b)= PGCD (b ; r) Exemple Le calcul le PGCD de 602 et 3870 Principe : On divise le plus grand par le plus petit puis on divise le diviseur par le reste …jusqu’à ce que le reste soit nul. Le PGCD est le dernier reste non nul. On se sert de la touche t ou ÷ 𝑅 3870 = 602 × 6 + 258 PGCD (3870 ; 602) 602= 258× 2 + 86 =PGCD (602 ; 258) 258=86 × 3 + 0 =PGCD (258 ; 86)=86 86 est un diviseur de 258 donc le PGCD (3870 ; 258)=86

Calculer le PGCD (1360 ; 345)=5 Calculer le PGCD (13 ; 5)=1 III.

Nombre premier :

Définition: Deux nombres entiers dont le PGCD est égal à 1 sont appelés des nombres premiers entre eux (leur seul diviseur commun est 1). Exemple : PGCD (1360 ; 345)=5 donc 1360 et 345 ne sont pas premier entre eux. PGCD (13 ; 5)=1 donc 13 et 5 sont premier entre eux. IV.

Fraction irréductible :

a.

Voici une liste de fractions : 130 150

i. ii.

26

42

148

; 30 ; 49 ; 164

91

156

39

52

; 105 ; 180 ; 45 ; 60 .

Construis une nouvelle liste en enlevant les intrus. Explique ta démarche. Quelle fraction, ayant un numérateur et un dénominateur les plus petits possibles, peut-on ajouter à cette nouvelle liste ?

iii.

Quel est le PGCD du numérateur et du dénominateur de la fraction trouvée dans la question b. ? On dit que ces deux entiers sont premiers entre eux et que la fraction est irréductible.

iv.

Le numérateur et le dénominateur de chacune des fractions de la nouvelle liste sont-ils premiers entre eux ? Justifie ta réponse.

Def : Une fraction irréductible est une fraction qui ne peut plus être simplifiée. Exemple :

1360 345

1360 272×5 69×5

n’est pas irréductible car ( 345 =

=

272 69

est irréductible) 𝑎

Proposition 1: si a et b sont deux nombres premiers entre eux alors 𝑏 est irréductible Exemple :

13 5

est irréductible 9

9 et 8 sont premiers entre eux donc 8 est une fraction irréductible. 𝑎

Proposition2 : Si on simplifie 𝑏 𝑝𝑎𝑟 le PGCD de a et b alors on obtient une fraction irréductible Exemple:

1360 345

1360 272×5 69×5

n’est pas irréductible car PGCD (1360 ; 345)=5 ( 345 =

=

272 69

est

irréductible) Remarque : pour simplifier une fraction pour rendre irréductible on peut  Utiliser une calculatrice touche  Décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de nombre premiers (on utilise les critères de divisibilités). Exemple

60 72

2×2×3×5

5

= 2×2×2×3×3 = 6

Simplifier le PGCD du numérateur et du dénominateur.

657

Exemple : Simplifier la fraction 963 on calcule le PGCD du dénominateur et du dénominateur par l’algorithme d’Euclide. 963=657× 1 + 306

PGCD (963 ; 657)=

657=306× 2 + 45

=PGCD (657 ; 306)

306=45× 6 + 36

= PGCD (306 ; 45)

45=36× 1 + 9

= PGCD (45 ; 36)

36=9× 4 + 0

=PGCD (9 ; 9) = 9

Donc PGCD (963 ; 657) = 9 657 73 × 9 73 = = 963 107 × 9 107

Exercice du Brevet : Julie dispose de 182 brins de muguet et 78 roses. Elle veut faire le plus grand nombre de bouquet identique, en utilisant toutes les fleurs. 1) Combien de bouquets identiques pourra-t-elle faire ? 2) Quelle sera la composition de chaque bouquet. Rep : 1. 26 bouquets 2. 7 brins de muguet et 3 roses.

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