2.3 Tredimensionella jämviktsproblem Ledningar

2.3 Tredimensionella j¨amviktsproblem Ledningar

2.63

St¨ all upp linkraftvektorn QeBC d¨ar C ¨ar ¨oglans position. F¨ or st˚ angen, anv¨ and ΣMz = 0 (endast linkraften och den s¨okta kraften i A bidrar till ΣMz ). −→ Linkraftens bidrag f˚ as som z-komponenten av OB × QeBC , d¨ar O ¨ar origo. Hur skall kraften i A vara riktad f¨or att den skall vara s˚ a liten som m¨ojligt?

2.64

L˚ at B vara sn¨ orets f¨ astpunkt p˚ a klotet och O klotets medelpunkt. I detta fall ligger O, B och A p˚ a en r¨at linje vid j¨amvikt. – Varf¨or? En f¨ orklaring och lite mera hj¨alp hittar du h¨ar.

2.69

Inf¨ or som obekant nedre sn¨ordelarnas lutningsvinkel mot horisontalplanet. Tv˚ a fril¨ aggningar beh¨ ovs, till exempel f¨oljande: • systemet skiva + ring • enbart skivan J¨ amvikt f¨ or hela systemet best¨ammer linkrafternas storlek. N¨ar denna ¨ar k¨and ger j¨ amvikt f¨ or skivan den s¨okta vinkeln. N¨ ar denna ¨ ar k¨ and kan det s¨okta avst˚ andet ber¨aknas. Det kan d˚ a vara bra att k¨ anna till var tyngdpunkten f¨or en triangel ligger (i det h¨ar fallet p˚ a avst˚ andet 2h/3 fr˚ an vart och ett av skivans h¨orn; h ¨ar motsvarande h¨ojd i triangeln). Fril¨ aggning av ring ¨ ar f¨ orst˚ as ocks˚ a m¨ojlig som alternativ. Egentligen betraktar man d˚ a systemet ring + de delar av sn¨orena, som ¨ar i kontakt med ringen. Se figuren. S

S S

S S S  

2.70

Teckna krafterna i stagen som vektorer enligt exemplet S CE = SCE eCE . (Om du beh¨over hj¨alp med detta, se Illustrationsexempel 1.3.2 d¨ ar motsvarande ber¨ akning g¨ors.) Det villkor som skall vara uppfyllt ¨ar ΣM O = 0, d¨ar bidragen till momentsumman kommer fr˚ an krafterna i stagen samt kraften i tr˚ aden AB. Detta leder till tv˚ a skal¨ ara ekvationer (x- och y-komponenterna av vektorekvationen) med SCE och SCD som obekanta. b) Utnyttja att ΣF = 0.

2.71

Uttryck f¨ orst krafterna i vajrarna som vektorer enligt exemplet S CD = SCD eCD . (Om du beh¨over hj¨alp med detta, se Illustrationsexempel 1.3.2 d¨ ar motsvarande ber¨ akning g¨ors.) Eftersom enhetsvektorerna ¨ar k¨anda, har vi d˚ a uttryckt krafterna med s˚ a f˚ a obekanta som m¨ojligt, n¨amligen en vardera. −→ Med origo i A, x-axeln i riktningen CA och z-axeln rakt upp˚ at (se figuren i facit) har vi: (3, 2, 4) S CD = SCD √ , 29

S BE = SBE

(3, −1, 2) √ . 14

Fril¨ agg skylten + st˚ angen. St˚ angens tyngd f¨oruts¨atter vi vara f¨orsumbar. J¨ amviktsekvationerna ΣF = 0,

ΣMy = 0,

ΣMz = 0,

ger de fem s¨ okta storheterna (krafterna i de tv˚ a vajrarna samt tre komponenter av kraften i A). Om du har r¨ aknat r¨ att skall ekvationen ΣMx = 0 vara automatiskt satisfierad.

2.73

Figuren visar systemets symmetriplan. B

a/2 a

c a

T `

R u _ D d a/2 A a/2 ¡ a/2

v C

a

G

a Q

a  

Kraften R ¨ ar resultanten av krafterna i de tv˚ a lika tr˚ adarna (beloppet S vardera). Av symmetrisk¨ al ligger denna i figurens plan. T ¨ar den tredje tr˚ adkraften. Tyngdpunkten G m˚ aste ligga rakt under upph¨angningspunkten B (annars ¨ ar inte ΣM B = 0). D¨ ar mittpunkt p˚ a linjen AC. F¨ or att kunna st¨ alla upp j¨amviktsekvationer beh¨over vi vinklarna u och v. Best¨ am d¨ arf¨ or f¨ orst vinklarna α och β i den likbenta triangeln ABC. N¨ ar vinkeln β ¨ ar k¨ and, kan vi best¨amma vinkeln γ och str¨ackan BD (= c) ur triangeln CBD, som ocks˚ a ¨ar likbent. Betrakta triangeln DBG (|BG| = d): Cosinussatsen ger d = 1, 0531a. Sinussatsen ger  = 20, 859◦ . Med u = 90◦ − α −  och v = 90◦ − β +  ger j¨amviktsvillkoret R + T + Q = 0: →

R sin u − T sin v = 0,

↑

R cos u + T cos v − Q = 0.

Vi f˚ ar T = 0, 666 Q, R = 0, 5974 Q och ur detta ¨aven S. 2.77

Utnyttja ”Superposition av nollsystem”, kapitel 2.1(b), slutet.

2.79

B˚ ada systemen skall tillsammans med tyngdkraften bilda ett nollsystem. De ¨ ar d˚ a ekvivalenta. Det inneb¨ar att deras kraftsummor och momentsummor skall vara lika.

2.83

Linkraften m˚ aste ha ett s˚ adant v¨arde att j¨amviktsvillkoret ΣMOD = 0 ¨ar uppfyllt. F¨ orutom linkraften ¨ ar det bara tyngdkraften p˚ a den vertikala delen av pl˚ aten som bidrar till momentet. L¨ agg in ett koordinatsystem, f¨orslagsvis med origo i O och axlar l¨angs OA och OE. Uttryck linkraften som en vektor med komponenter i detta system och teckna bidragen till momentsumman ΣM O fr˚ an de tv˚ a intressanta krafterna. Projicera sedan vektorn p˚ a riktningen OD. Observera att reaktionskrafterna i lagren bidrar till ΣM O men inte till ΣMOD . Detsamma g¨ aller tyngdkraften p˚ a den horisontella delen av pl˚ aten. Vi beh¨over d¨ arf¨ or inte ber¨ akna hela momentsumman ΣM O , bara de delar som ¨ar av intresse f¨ or problemets l¨ osning.

2.85

Fril¨ agg hela systemet (lucka + axel + hjul). St¨ all upp j¨ amviktsekvationer. Anv˚ and A eller C som momentpunkt. Observera att z-komponenterna av reaktionskrafterna i lagren inte kan best¨ ammas var f¨ or sig. Ekvationen ΣFz = 0 ger deras summa, men ingenting mer. Problemet ¨ ar d¨arf¨or delvis statiskt obest¨amt. Jfr Illustrationsexempel 2.3.2, d¨ ar ett liknande fall behandlas. I detta exempel s¨oktes dock enbart x- och y-komponenterna.

2.88

Momentj¨ amvikt med avseende p˚ a rotationsaxeln ger direkt att F = 410 N. D¨ armed ¨ ar alla p˚ alagda krafter p˚ a systemet axel + tv˚ a hjul k¨anda, och de s¨ okta reaktionskrafterna i A och C kan best¨ammas ur de ˚ aterst˚ aende j¨ amviktsekvationerna.

2.90

Kedjans undre, h¨ angande del kan normalt betraktas som osp¨and. Det betyder att den s¨okta kraften P ¨ar kraften i kedjans ¨ovre del. Den skall tillsammans med kraften mg och de s¨okta krafterna i A och B bilda ett nollsystem. St¨ all upp j¨ amviktsekvationer f¨or systemet. Anv¨and A eller B som momentpunkt. De tv˚ a krafterna i A och B kan i princip ha komposanter i axeln AB:s riktning. Dessa kan inte best¨ ammas var f¨or sig (och efterfr˚ agas d¨arf¨or inte). Det ¨ar dock rimligt att anta att de ¨ar relativt sm˚ a i ett fall som detta. Problemet ¨ar dock delvis statiskt obest¨ amt. – Jfr Illustrationsexempel 2.3.2, d¨ar ett liknande fall behandlas.