2de-probabilite-doc - Mathématiques au lycée Bellepierre

TABLE DES MATIÈRES – page -1

Chapitre 13 – Probabilités

Chapitre 13 – Probabilités

Table des matières I

Exercices

I-1

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2

4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3

6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3

9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3

10

Algorithmique, simulation, probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4

II Cours

II-1

1

Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1

2

Équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1

3

Intersection et réunion d’évènement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-2

4

Diagrammes, tableaux, arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-2

5

Modèles définis à partir de fréquences observées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-2

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I EXERCICES – page I-1

Chapitre 13 – Probabilités

I

Exercices Calculs de probabilité, une propriété, des techniques

Les objectif de cette première partie sont – d’effectuer des calculs simples de probabilité ; – de rappeler l’idée d’équiprobabilité. – de préciser l’idée d’évènement, d’évènement contraire, d’intersection et de réunion d’évènement – d’apprendre une formule avec les probabilités de réunion et intersection de deux événements – d’apprendre à utiliser des diagrammes, des tableaux et des arbres

1 1. On lance une pièce. Quelle est la probabilité d’obtenir face ? Répondre sous forme de fraction ou d’un nombre décimal. 2. On lance un dé. Donner les réponses aux trois questions suivantes sous forme de fraction. (a) Quelle est la probabilité d’obtenir le 4 ? (b) Quelle est la probabilité de ne pas obtenir le 4 ? (c) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ? 3. Parmi 200 appareils, 4 ont un défaut. On en prend un au hasard. Donner les réponses aux deux questions suivantes sous forme de nombres décimaux. (a) Quelle est la probabilité qu’il ait un défaut ? (b) Quelle est la probabilité qu’il n’ait pas de défaut ?

2 On choisit au hasard un nombre entier entre 1 et 10.

On appelle :

• A l’évènement « le nombre choisi est pair » ; • B l’évènement « le nombre choisi est inférieur ou égal à 7 ». 1. (a) Donner P (A) c’est à dire la probabilité que le nombre choisi soit pair. (b) Donner P (B). 2. Évènement contraire : par exemple l’évènement contraire de B est « le nombre choisi n’est pas inférieur ou égal à 7 » et il s’écrit B (a) Donner P (B) (b) Décrire l’évènement A (c) Donner P (A) (d) Quel est le lien entre la probabilité d’un évènement et la probabilité de l’évènement contraire ? 3. Évènement A ∩ B : cet évènement signifie que les évènements A et B se produisent simultanément (a) Décrire l’évènement A ∩ B. (b) Donner P (A ∩ B). 4. Évènement A ∪ B : cet évènement signifie que l’évènement A se produit, ou B se produit ou les deux se produisent simultanément (a) Décrire l’évènement A ∪ B. (b) Donner P (A ∪ B). 2de – Mathématiques

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I EXERCICES – page I-2

Chapitre 13 – Probabilités

5. Diagramme de Venn Le diagramme ci-dessous s’appelle un diagramme de Venn. Les évènements A et B sont représentés par des disques et Ω est l’ensemble de toutes les issues possibles de cette expérience aléatoire, c’est à dire {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10}. Placer dans ce schéma les nombres de 1 à 10. A

B

Ω

6. Une égalité importante en probabilité Écrire une égalité (une formule) qui donne le lien entre P (A ∪ B), P (A ∩ B), P (A) et P (B).

3 Dans une classe de 30 élèves, 20 étudient l’anglais et 15 l’espagnol, et 8 étudient les deux langues. On choisit un élève au hasard dans cette classe. On appelle • A l’évènement « l’élève choisi étudie l’allemand » • B l’évènement « l’élève choisi étudie l’espagnol » 1. Tracer un diagramme de Venn (voir exercice sur fiche no 2), et le compléter avec des effectifs ou des probabilités. 2. Décrire l’évènement A ∪ B par une phrase. 3. Calculer P (A ∪ B).

4 Dans une classe de 31 élèves, il y a 16 filles, et parmi elles 4 filles font de l’allemand. Dans cette classe, 11 élèves font de l’allemand. Les autres font de l’espagnol. On choisit un élève au hasard. Écrire les probabilités demandées sous forme de fraction. On appelle • A l’évènement « l’élève choisi étudie l’allemand » • F l’évènement « l’élève choisi est une fille » 1. 2. 3. 4. 5.

Décrire l’évènement A et calculer sa probabilité. Décrire l’évènement F et calculer sa probabilité. Décrire l’évènement P (A ∩ F ) et calculer sa probabilité. Compléter le tableau ci-dessous par des probabilités sous forme de fractions. Quelle est la probabilité que l’élève choisi soit un garçon qui fait de l’espagnol ? A

A

Total

F F Total 2de – Mathématiques

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I EXERCICES – page I-3

Chapitre 13 – Probabilités

5 On lance une pièce de monnaie deux fois de suite. 1. Tracer un arbre pour indiquer toutes les possibilités. 2. Toutes ces possibilités ont la même probabilité. (a) Déterminer la probabilité d’obtenir deux fois pile. (b) Déterminer la probabilité d’obtenir une seule fois pile.

Exercices d’application Les exercices qui suivent ont pour but d’appliquer ce qui a été étudié à l’occasion des exercices précédents, c’est à dire – la propriété de probabilité concernant la réunion et l’intersection d’évènement – les diagrammes de Venn, les tableaux ou les arbres. À vous de trouver ce qui est le plus utile pour chaque exercice.

6 Dans une assemblée, 30 % des personnes boivent du thé, 80 % du café, et 95 % boivent du thé ou du café (ou les deux). On choisit une personne au hasard. Calculer la probabilité que cette personne boive du thé et du café.

7 Dans un garage, on classe les voitures vendues en catégorie A : de 0 à 4 ans et catégorie B : plus de 4 ans. Il y a – 78 Clio dont 32 sont de catégorie A ; – 60 Renault 5, toutes de catégorie B ; – 38 Mégane de catégorie A et 8 Méganes de catégorie B. On choisit une voiture au hasard. 1. Calculer la probabilité que la voiture choisie soit une Clio de plus de 4 ans. 2. Calculer la probabilité que la voiture choisie soit une voiture qui a entre 0 et 4 ans.

8 Au restaurant, deux amis choisissent chacun un plat du jour et un dessert. Ils ont le choix parmi trois plats du jour et deux desserts. Quelle est la probabilité que les deux choisissent le même menu ?

9 Dans un groupe, il a 60 % d’hommes. On sait aussi que 9 % des personnes du groupe sont des hommes qui parlent espagnol et que 8 % des personnes du groupe sont des femmes qui parlent espagnol On choisit une personne au hasard dans ce groupe. 1. Calculer la probabilité que la personne choisie soit un homme ne parlant pas espagnol. 2. Calculer la probabilité que la personne choisie ne parle pas espagnol.

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I EXERCICES – page I-4

Chapitre 13 – Probabilités

10

Algorithmique, simulation, probabilité

Algorithme Entrée : n Traitement : c prend la valeur 0 (initialisation) Pour des valeurs de k de 1 à n de 1 en 1 a prend la valeur d’un nombre aléatoire entre 1 et 3 b prend la valeur d’un nombre aléatoire entre 1 et 3 s prend la valeur a + b Si s = 4, le nombre c prend la valeur c + 1 Fin du Pour c f prend la valeur n Sortie : f 1. Exécuter l’algorithme ci-dessus avec n = 10 en complétant ci-dessous. a

3

2

3

3

3

3

3

1

1

2

b

2

2

2

2

3

3

3

2

3

3 f = ...

s s = 4? c

0

2. Cet algorithme calcule la fréquence d’apparition d’un évènement après une expérience aléatoire répétée n fois. (a) Décrire cette expérience aléatoire. (b) Décrire l’évènement. 3. Calculer la probabilité de cet évènement. Indication : tracer un arbre. 4. Si on répète un grand nombre de fois cette expérience aléatoire, la fréquence d’apparition de l’évènement est proche de la probabilité. (a) Programmer cet algorithme à la calculatrice. (b) Exécuter cet algorithme avec n = 100. (c) Comparer avec la probabilité.

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II COURS – page II-1

Chapitre 13 – Probabilités

II

Cours

1

Vocabulaire

Exemple 1 On lance un dé et on note le numéro obtenu. Les issues possibles sont {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. 1 Il y a 1 chance sur 6 d’obtenir le 4, autrement dit la probabilité d’obtenir le 4 est . 6 Vocabulaire Lancer un dé et noter le numéro obtenu est une expérience aléatoire. L’ensemble de toutes les issues possibles de cette expérience aléatoire s’appelle l’univers et on le note souvent Ω. Dans le cas du lancer du dé, l’univers Ω est donc {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. « Obtenir le numéro 4 » est un évènement que l’on écrit par exemple A. La probabilité p est une fonction qui associe à un évènement un nombre entre 0 et 1. 1 Dans notre exemple, on écrit : p(A) = . 6

2

Équiprobabilité

Le programme de athématiques de seconde indique qu’un élève doit savoir déterminer la probabilité d’événements dans des situations d’équiprobabilité. 1 Dans notre exemple précédent (lancer de dé), la probabilité d’obtenir 4 est égale à mais la proba6 1 bilité d’obtenir le 1 ou d’obtenir le 2, le 3, le 5, le 6 est aussi égale à parce que les six numéros ont 6 la même probabilité d’être obtenu. On dit que c’est une situation d’équiprobabilité. Exemple 2 On lance un dé et on note le numéro obtenu, et on appelle B l’évènement : « le numéro obtenu est pair », autrement dit B = {2 ; 4 ; 6}. 3 1 1 1 p(B) = p({2}) + p({4}) + p({6}) = + + = . 3 3 3 6 On définit en fait une probabilité de la façon indiquée ci-dessous. Définition La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent. Le calcul de probabilité de l’exemple 2 s’écrit plus simplement : 1 3 p(B) = = . 6 2 Cela nous donne un exemple de la propriété ci-dessous. Propriété Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un évènement est égale à

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nombre de cas favorables . nombre de cas possibles

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II COURS – page II-2

Chapitre 13 – Probabilités

3

Intersection et réunion d’évènement

Définitions • l’intersection de deux évènements A et B qui s’écrit A ∩ B est l’évènement tel que les évènements A et B se produisent simultanément. • la réunion de deux évènements A et B qui s’écrit A ∪ B est l’évènement tel que les évènements A ou B se produisent (l’un ou l’autre ou les deux). Propriété Pour deux évènement A et B, on a la propriété suivante : p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B). Le programme de mathématiques de seconde indique qu’un élève doit connaître et exploiter la formule p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B).

4

Diagrammes, tableaux, arbres

Le programme de mathématiques de seconde indique que pour les calculs de probabilités, on utilise des arbres, des diagrammes ou des tableaux. Diagramme de Venn : voir l’exercice sur fiche no 2. Tableau de probabilité : voir l’exercice sur fiche no 4. Arbre : voir l’exercice sur fiche no 5.

5

Modèles définis à partir de fréquences observées.

Le programme de mathématiques de seconde indique qu’un élève doit savoir utiliser des modèles définis à partir de fréquences observées. Voir les exercices sur fiche no 6 et 9.

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