3. Fiche leçon

Probabilités 1

Exemples d’expérience Pile ou face

Jeu de dé

Roue

Ces 3 jeux ont plusieurs résultats possibles. Ces résultats sont appelées issues : pile ou face pour la pièce ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ou 6 pour le dé et 1 ; 2 ou 3 pour la roue. Ces 3 jeux sont aussi des expériences aléatoires. Définition 1 Une expérience est aléatoire si elle a plusieurs issues possibles que l’on ne peut pas prévoir. Cette expérience dépend totalement du hasard (du latin alea “jeu de dé, hasard”). Définition 2 Un événement, s’il est réalisé, est constitué d’une ou plusieurs issues. Dans l’exemple du dé, “obtenir un nombre pair” est un événement réalisé par trois issues : 2 ; 4 et 6. Dans l’exemple de la roue, “obtenir un nombre pair” est un événement réalisé par une seule issue : 2. Définition 3 Un événement qui ne peut se réaliser est appelé un événement impossible Un événement dont on est sûr qu’il se réalise est appelé un événement certain. Dans l’exemple du dé, “obtenir 0” est un événement impossible. Dans l’exemple de la roue, “obtenir un nombre inférieur ou égal à 3” est un événement certain.

2

Notion de probabilité On a lancé un dé équilibré une vingtaine de fois et on a noté les résultats dans un tableau. Faces Effectifs Fréquence

1 2 0,1

2 0 0

3 4 0,2

4 4 0,2

5 6 0,3

6 4 0,2

Total 20 1

On pourrait penser qu’on ne peut jamais obtenir le nombre 2. Pour le vérifier on veut lancer un grand nombre de fois le dé. La solution la plus simple est de simuler cette expérience avec un tableur. Voici les résultats obtenus.

En répétant un grand nombre de fois l’expérience, la fréquence d’apparition de chacune des faces tend à se stabiliser vers 0,17 environ. Il y a 1 chance sur 6 d’obtenir une face précise, autrement dit 61 = 1 ÷ 6 ≈ 0, 167. On dit que la probabilité d’obtenir un certain résultat (par exemple : 4) est de 61 . Définition 4 Lors d’une expérience aléatoire, la probabilité d’obtenir un certain résultat correspond à la fréquence de réalisation de ce résultat si on effectuait cette expérience un très grand nombre de fois. Définition 5 Si toutes les issues d’une expérience aléatoire ont la même probabilité d’être réalisée, on parle d’ équiprobabilité.

3

Evénements contraires, incompatibles

Définition 6 L’événement contraire d’un événement A est constitué de tous les événements qui ne réalisent pas A. Dans l’exemple du dé, l’événement contraire de ”obtenir un nombre inférieur ou égal à 4” est l’événement “obtenir un nombre strictement supérieur à 4” Définition 7 Deux événements sont incompatibles si ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Dans l’exemple de la pièce, les événements “Obtenir Pile “ et “Obtenir Face” sont incompatibles.

4

Calcul de probabilités

4.1

Probabilité d’une issue

Propriété 1 La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1. La somme des probabilités de toutes les issues d’une expérience aléatoire est égale à 1. Dans l’exemple de la pièce, on a P (pile) =

4.2

1 2

et P (f ace) = 12 . On a

1 2

+

1 2

=1

Probabilité d’un événement

Propriété 2 La probabilité d’un événement réalisé par plusieurs issues est égal à la somme des probabilités de chacune de ses issues. C’est un nombre compris entre 0 et 1. En pratique, on dénombre le nombre d’issues qui constituent l’événement et le nombre d’issues possibles de l’expérience. nombre d0 issues qui constituent l0 evenement La probabilité est alors : nombre d0 issues possibles Dans l’exemple de la roue, La probabilité de l’événement E=“obtenir un nombre inférieur ou égal à 2” est égal à effet : P (obtenir 1) = 48 et P (obtenir 2) = 83 . D’où P (E) = 48 + 38 = 87

7 8.

En