33 Exercices - Variables aléatoires.nb

33 Exercices - Variables aléatoires.nb

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Variables aléatoires 1) Soit X une VAR à valeurs dans {0,1,2} telle que EHXL = 1 et V HXL =

1 . Déterminer la loi de X . 2

2) On lance simultanémant deux dés à 6 faces et on note X la valeur absolue de la différence des numéros obtenus. Déterminer la loi de X , calculer E HXL et V HXL. 3) Soit X une VAR suivant la loi B Hn, pL. Quel est l’entier k œ 80, ..., n< tel que P HX = kL soit maximum ? 4) Soit X une VAR telle que X ~ B Hn, pL. calculer E J

1 N et E IX 2 M. X+1

5) Soient X et Y deux VAR indépendantes suivant la loi U H81, ..., n 0, calculer E HZL avec Z = 2n aX . 2

7) On lance 4 fois une pièce équilibrée et on note X et Y le nombre total de PILE et de FACE obtenus. Les VAR X et Y sont-elles indépendantes ? 8) Soient X et Y deux VAR indépendantes suivant la même loi de Bernouilli B HpL. a) Déterminer la loi du couple HS, DL = HX + Y, X - YL

b) Les VAR S et D sont-elles indépendantes ? n

9) Soit X une VAR sur HW, PL telle que X HWL = 80, ..., n kL › HY b pLL et en déduire la loi du couple HX, YL. d) Répondre aux mêmes questions lorsque les tirages ont lieu simultanément et sans remise. 19) Soit p œD 0, 1@. Une secrétaire effectue n appels téléphoniques indépendants vers n personnes. A Chaque appel, la probabilité d’obtenir le correspondant est p. On note X le nombre de correspondants obtenus. Après ses n appels, la secrétaire téléphone une seconde fois et dans les mêmes conditions aux n - k personnes qu’elle n’a pas réussi à joindre la première fois. On note Y le nombre de correspondants obtenus lors de cette seconde série d’appels et on appelle Z = X + Y le nombre total de correspondants obtenus lors des deux appels. a) Calculer la loi de X, E HXL et V HXL . b) Pour k, q œ 80, ..., n