4 Polariserat ljus

4

Polariserat ljus

Uppgift 4.1 (Pedrotti–Pedrotti 14–6) Write the equations for the electric fields of the following waves in exponential form: ~ a) A linearly polarized wave traveling in the x–direction. The E–vector ◦ makes an angle of 30 relative to the y–axis. b) A right elliptically polarized wave traveling in the y–direction. The major axis of the ellipse is in the z–direction and is twice the minor axis. c) A linearly polarized wave traveling in the xy–plane in a direction making an angle of 45◦ relative to the x–axis. The direction of polarization is the z–direction.

l¨ osning till uppgift 4.1 ~ a) Om v˚ agen propagerar i positiva x–axelns riktning, m˚ aste E–vektorn ~ ligga i yz–planet. Eftersom vinkeln mellan E–vektorn och y–axeln ¨ar θ = 30◦ , s˚ a beskrivs det elektriska f¨altet av ! Ã√ 3E E 0 0 ~ = (E0 cos θˆ yˆ + zˆ ei(kx−ωt) . E y + E0 sin θˆ z )ei(kx−ωt) = 2 2 F¨ or linj¨ art polariserat ljus har Ey och Ez samma fas φ, s˚ a vi kan anta att φ = 0. b) Det generella uttrycket f¨or en elliptiskt polariserad, h¨ogerroterande v˚ ag l¨ angs positiva y–axeln ¨ar £ ¤ ~ = zˆAeiφz + x ˆBeiφx ei(ky−ωt) . E Vi vet dessutom att storaxeln skall vara dubbelt s˚ a l˚ ang som lillaxeln, a formen A = 21 B. Jonesvektorn b¨or kunna skrivas p˚ ¸ ¸ · · A E0x . = Bei² E0z 1

F¨ or att v˚ agen skall vara h¨ogerroterande (sett fr˚ an positiva y–axeln) m˚ aste skillnaden i fas vara ² = ψz − ψx = +π/2. Jonesvektorn m˚ aste allts˚ a vara ¸ ¸ · ¸ · ¸ · · 1 A −i 1 . =i = = 2 2i 2e+iπ/2 Be+iπ/2 Det elektriska f¨ altet ¨ ar allts˚ a ~ = E0 (−iˆ E x + 2ˆ z ) ei(ky−ωt) . c) V˚ agen breder ut sig i xy–planet med θ = 45◦ vinkel mot x–axeln. V˚ agvektorn ¨ ar allts˚ a k ~k = kx x ˆ + ky yˆ = k cos θˆ x + k sin θˆ y = √ (ˆ x + yˆ) . 2 V˚ agen ¨ ar polariserad i z–riktningen, s˚ a det elektriska f¨altet ges av h i ~ = E0 zˆ exp i~k · ~r − iωt E · µ ¶¸ k = E0 zˆ exp i √ (ˆ x + yˆ) · (xˆ x + y yˆ + z zˆ) − ωt 2 ¶¸ · µ k = E0 zˆ exp i √ (x + y) − ωt . 2 Uppgift 4.2 (Pedrotti–Pedrotti 14–11) Using the Jones calculus, show that the effect of a HWP on light linearly polarized at inclination angle α is to rotate the plane of polarization through an angle of 2α. The HWP may be used in this way as a “laser–line rotator”, allowing the plane of polarization of a laser beam to be rotated without having to rotate the laser. L¨ osning till uppgift 4.2 Jonesmatrisen f¨or en HWP (med vertikal SA) och Jonesvektorn f¨ or linj¨ art polariserat ljus (med lutningen α) ¨ar ¶ µ 1 0 e−iπ/2 0 −1 respektive µ

cos α sin α

¶

.

Ljusets tillst˚ and efter att det passerat plattan erh˚ alles genom multiplikation av jonesmatrisen och jonesvektorn µ ¶µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 0 cos α cos α cos (−α) −iπ/2 −iπ/2 −iπ/2 e =e =e . 0 −1 sin α − sin α sin (−α) Denna vektor beskriver linj¨ art polariserat ljus med vinkel −α. Plattan har allts˚ a roterat det polariserade ljusets vinkel 2α. 2

Uppgift 4.3 (Pedrotti–Pedrotti 14–13) Light linearly polarized with a horizontal transmission axis is sent through another linear polarizer with TA at 45◦ and then through a QWP with SA horizontal. Use the Jones matrix technique to determine and describe the product light.

L¨ osning till uppgift 4.3

Det polariserade ljuset beskrivs av Jonesvektorn ¸ · 1 . 0

Jonesmatriserna f¨ or en linj¨ ar polarisator med 45◦ vinkel och en QWP med horisontell SA a¨r · ¸ 1 1 1 2 1 1 respektive e

iπ/4

·

1 0

0 −i

¸

.

Den effektiva Jonesmatrisen erh˚ alles genom att de tv˚ a matriserna multipliceras med varandra · ¸ · ¸ · ¸ eiπ/4 1 1 1 1 1 1 0 = eiπ/4 · −i −i 0 −i 2 1 1 2 Den effektiva Jonesmatrisens verkan p˚ a det linj¨art polariserade ljuset ges allts˚ a av · ¸ · ¸ · ¸ eiπ/4 eiπ/4 1 1 1 1 · = . −i −i 0 −i 2 2 Ljuset som passerat systemet ¨ar allts˚ a cirkul¨art polariserat och h¨ogerroterande. Intensiteten hos ljuset var initialt 12 + 02 = 1. Efter att ljuset passerat systemet har intensiteten sjunkit till (1/2)2 + (1/2)2 = 1/2 dvs. h¨alften. Uppgift 4.4 (Pedrotti–Pedrotti 14–14) A light beam passes consecutively through (1) a linear polarizer with TA at 45◦ clockwise from vertical, (2) a QWP with SA vertical, (3) a linear polarizer with TA horizontal, (4) a HWP with FA horizontal , (5) a linear polarizer with TA vertical. what is the nature of the product light?

3

L¨ osning till uppgift 4.4 Efter att ljuset passerat den f¨orsta plattan erh˚ alles en Jonesvektor µ µ ¶ ¶ 1 1 cos 45◦ . =√ sin 45◦ 1 2 Effekten av de andra plattorna p˚ a Jonesvektorn a¨r i tur och ordning: µ ¶ µ ¶ µ ¶ e−iπ/4 1 1 1 1 0 −iπ/4 √ √ e = , 1 i 0 i 2 2

e

−iπ/2

e−iπ/4 √ 2

¶

µ

1 0

0 0

µ

1 0

0 −1

µ

0 0

¶ 0 1

¶

=

µ

1 0

e−i3π/4 √ 2

µ

µ

e−iπ/4 √ 2

¶

1 i

e−iπ/4 √ 2

µ

1 0

¶

,

¶

e−i3π/4 = √ 2

µ

1 0

¶

1 0

¶

¶

=

µ

0 0

och,

.

Inget ljus kommer s˚ aledes ut ur systemet. ·

¸ 1 i Uppgift 4.5 (Pedrotti–Pedrotti 14–17) show that the matrix −i 1 represents a right–circular polarizer, converting any incident polarized light into right circularly–polarized light. What is the proper matrix to represent a left– circular polarizer? L¨ osning till uppgift 4.5 L˚ at oss unders¨oka hur Jonesmatrisen p˚ averkar den mest allm¨ anna Jonesvektorn µ ¶µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 i A (A − C) + iB D + iB = = −i 1 B + iC −(A − C)i + B −Di + B µ ¶ 2 2 1 D +B = −(D2 + B 2 )i (D − iB) µ ¶ D2 + B 2 1 = −i (D − iB) Matrisen ger s˚ a ledes en h¨ogerpolariserad Jonesvektor vilket skulle visas. P˚ a samma s¨ att g˚ ar det att visa att matrisen ¶ µ 1 −i i 1 ger v¨ ansterpolariserat ljus.

4

Uppgift 4.6 (Pedrotti–Pedrotti 15–1) Initially unpolarized light passes in turn through three linear polarizers with transmission axes at 0◦ , 30◦ , and 60◦ , respectively, relative to the horizontal. What is the irradiance of the product light, expressed as a percentage of the unpolarized light irradiance? L¨ osning till uppgift 4.6 Det ing˚ aende ljuset ¨ar opolariserat. Antag att dess intensitet ¨ ar I0 . Efter den f¨orsta polarisatorn ¨ar intensiteten fortfarande I0 . Intensiteten efter den andra och tredje polarisatorn kan vi ber¨akna med hj¨alp av Malus lag I0 cos2 θ, I= 2 d¨ ar θ ¨ ar vinkeln mellan transmissionsaxlarna f¨or tv˚ a p˚ a varandra f¨oljande polarisatorer. Ljusets intensitet efter att det passerat den andra polarisatorn ¨ar allts˚ a à √ !2 I0 3 I0 3 2 ◦ I= cos 30 = = I0 . 2 2 2 8 Den tredje polarisatorn ¨ ar vinklad 30◦ i f¨orh˚ allande till den andra och dess intensiteten ges d¨ arf¨ or av à √ !2 3I0 3 3 9 I= cos2 30◦ = I0 I0 . = 8 8 2 32 Intensiteten efter den tredje polarisatorn ¨ar allts˚ a 9/32 av den ursprungliga. De tre polarisatorerna sl¨ appte med andra ord igenom 28.1% av det opolariserade ljuset. Uppgift 4.7 (Pedrotti–Pedrotti 15–2) At what angles will light, externally and internally reflected from a diamond–air interface, be completly linearly polarized? For diamond, n = 2.42.

L¨ osning till uppgift 4.7 d˚ a

Det reflekterade ljuset blir fullst¨andigt polariserat θr + θp = 90◦ , 5

d¨ ar θr och θp betecknar ljusets vinkel efter att det brutits respektive den polariserande vinkeln eller Brewstervinkeln. L˚ at n1 och n2 beteckna brytningsindexen f¨ or de tv˚ a olika medierna. Enligt Snells lag n1 sin θp = n2 sin θr = n2 sin (90◦ − θp ) = n2 cos θp g¨ aller att tan θp =

n2 . n1

F¨ or externt reflekterat ljus, dvs. ljuset g˚ ar fr˚ an luft in i diamant, ¨ar Brewstervinkeln µ ¶ 2.42 θp = tan−1 = 67.5◦ . 1 Brewstervinkeln f¨ or internt reflekterat ljus d¨aremot ¨ar ¶ µ 1 = 22.5◦ . θp = tan−1 2.42 Uppgift 4.8 (Pedrotti–Pedrotti 15–4) How thick should a half–wave plate of mica be in an application where laser light of 632.8 nm is being used? Appropriate refractive indices for mica are 1.599 and 1.594. L¨ osning till uppgift 4.8 Fasskillnaden skall vara π mellan komponenter av ljuset som kommer in ⊥ respektive k med glimmerplattans optiska axel. Den optiska v¨ agskillnaden ¨ ar ∆ = |n⊥ − nk |d och fasskillnaden ges av ∆φ =

2π |n⊥ − nk |d. λ0

Plattans tjocklek d ges allts˚ a av d=

λ0 ∆φ . 2π|n⊥ − nk |

Eftersom ∆φ = π f¨ or en halvv˚ agsplatta, s˚ a m˚ aste glimmerplattans tjocklek vara d=

λ0 π 632.8 · 10−9 = = 6.33 · 10−5 m. 2π|n⊥ − nk | 2|1.599 − 1.594|

Uppgift 4.9 (Pedrotti–Pedrotti 15–7) A number of dichroic polarizers are available, each of which can be assumed perfect, that is, each passes 50% of the incident unpolarized light. Let the irradiance of the incident light on the first polariser be I0 .

6

a) Using a sketch, show that if the polarizers have their transmission axes set at an angle θ apart, the light transmitted by the pair is given by µ ¶ I0 I= cos2 θ. 2 b) What percentage of the incident light energy is transmitted by the pair when their transmission axes are set at 0◦ and 90◦ , respectively? c) Five additional polarizers of this type are placed between the two described above, with their transmission axes set at 15◦ , 30◦ , 45◦ , 60◦ , and 75◦ , in that order, with the 15◦ angle polarizer adjacent to the 0◦ polarizer, and so on. Now what percentage of the incident light energy is transmitted?

L¨ osning till uppgift 4.9 ~ a) Antag att E–vektorn ligger i xy–planet och att y–axeln ¨ar TA f¨or den f¨ orsta polarisatorn. Efter att det opolariserade ljuset passerat polarisatorn sjunker ljusets intensitet till I = I0 /2. Om den andra polarisatorns TA bildar en vinkel θ mot y–axeln, ges det elektriska f¨altets amplitud A av projektionen A = A0 cos θ, d¨ ar A0 betecknar f¨ altets amplitud innan ljuset passerat polarisatorn. Intensiteten hos ljuset I ¨ar proportionell mot det elektriska f¨altets amplitud i kvadrat, I ∝ A2 ∝ cos2 θ. Ljusets intensitet efter att det passerat de tv˚ a polarisatorerna ¨ ar s˚ aledes µ ¶ I0 I= cos2 θ. 2 b) F¨ or polarisatorn med transmissionsaxel α = 90◦ kommer inget ljus igenom plattan eftersom cos 90◦ = 0.

7

c) L˚ at oss nu unders¨ oka hur mycket ljus som passerar en uppst¨allning av polarisatorer vilkas transmissionsaxel ¨ar vinklade, 0◦ , 15◦ , 30◦ , 45◦ och 75◦ i f¨ orh˚ alande till y–axeln. Den f¨orsta polarisatorn sl¨apper igenom I = I0 /2. Varje annan polarisator har sin transmissionsaxel vriden 15◦ i f¨orh˚ allande till den f¨ oreg˚ aende. Ljusets intensitet efter att det passrerat systemet av polarisatorer ges d¨ arf¨or av I0 I0 I0 ¡ 2 ◦ ¢6 12 (cos 15◦ ) = · 0.66 = 0.33 · I0 cos 15 = 2 2 2

En tredjedel av ljusets sl¨apps allts˚ a igenom systemet av polarisatorer. Uppgift 4.10 (Pedrotti–Pedrotti 15–9) Determine the angle of deviation between the two emerging beams of a Wollaston prism constructed of calcit and with wedge angle of 45◦ . Assume sodium light.

L¨ osning till uppgift 4.10 Kalcit (CaCO3 ) ¨ar dubbelbrytande och har f¨or Natriumljus brytningsindexen nk = 1.4864 och n⊥ = 1.6584. F¨or kalcit g¨aller allts˚ a att n⊥ > nk . L˚ at oss f¨olja en str˚ ale av ljus som faller vinkelr¨at mot prismat. Brytningsvinkeln blir noll d˚ a str˚ alen g˚ ar fr˚ an luft till kalcit. D˚ a ljuset bryts mellan kilarna av kalcit kommer ljuset brytas olika beroende p˚ a ljusets polarisation. L˚ at oss f¨ orst betrakta ljus vars polarisationsriktning ¨ar parallell med optiska axeln (OA) i den f¨orsta kilen (l). Brytningsvinkeln α1 d˚ a ljuset bryts mellan kalcitkilarna ges av Snells lag nk sin 45◦ = n⊥ sin α1 ⇔ sin α1 =

8

nk 1 1.4864 1 √ = √ = 0.634, n⊥ 2 1.6584 2

vilket implicerar att α1 = 39.33◦ . Brytningsvinkeln f¨or ljuset som l¨amnar prismat ges ˚ aterigen av Snells lag n⊥ sin γ1 = 1 · sin β1 , d¨ ar vinkeln γ1 = 45◦ − α1 = 5.67◦ kan erh˚ allas ur figuren. Vinkeln β1 ges allts˚ a av sin β1 = 1.6584 · sin 5.67◦ = −0.954 ⇔ β1 = 9.43◦ . L˚ at oss nu betrakta ljus vars polarisationsriktning a¨r vinkelr¨at med optiska axeln (OA) i den f¨ orsta kilen (•). Brytningsvinkeln α2 d˚ a ljuset bryts mellan kalcitkilarna ber¨ aknas med Snells lag n⊥ sin 45◦ = nk sin α2 ⇔ α2 = 52.09◦ . D˚ a ljuset l¨ amnar prismat ges brytningsvinkeln av nk sin γ2 = 1 · sin β2 , d¨ ar γ2 = α2 − 45◦ = 7.09◦ kan erh˚ allas ur figuren. Vinkeln β2 ges allts˚ a av sin β2 = 1.4864 · sin 7.09◦ = 0.183 ⇔ β2 = 10.57◦ . Prismats deviation ¨ ar s˚ aledes δ = β1 + β2 = 20.0◦ . Uppgift 4.11 (Pedrotti–Pedrotti 15–10) A beam of linearly polarized light is changed into circularly polarized light by passing it through a slice of crystal 0.003 cm thick. Calculate the difference in the refractive indices for the two rays in the crystal, assuming this to be the minimum thickness showing the efect for a wavelength of 600 nm. Skecth the arrangement, showing the OA of the crystal, and explain why it occurs.

9

L¨ osning till uppgift 4.11 F¨or att linj¨art polariserat ljus ska bli cirkul¨art polariserat m˚ aste det passera en “Phase retarder” som allm¨ant kan beskrivas av en Jonesmatris · i² ¸ e x 0 . 0 e−i²y L˚ at oss studera effekten av en QWP p˚ a linj¨art polariserat ljus med Ex = Ey ¸ · ¸ ¸ · · 1 eiπ/4 1 0 1 1 iπ/4 √ √ · e = . 0 −i −i 2 1 2

Om linj¨ art polariserat ljus passerar en QWP erh˚ alles allts˚ a cirkul¨art polariserat ljus. F¨ or en QWP ¨ ar fasskillnaden ∆φ = π/2. Fasskilnaden f¨or plattan ges av µ ¶ 2π , ∆φ = |n⊥ − nk |d λ d¨ ar plattans tjocklek och λ ljusets v˚ agl¨angd. Skillnaden mellan brytningsindexen ¨ ar allts˚ a (600 · 10−9 ) · (π/2) λ∆φ = = 5 · 10−3 . ∆n = 2πd 2π · 3.0 · 10−5 Uppgift 4.12 (Pedrotti–Pedrotti 15–11) Light is incident on a water surface at such an angle that the reflected light is completly linearly polarized. a) What is the angle of incidence? b) The light refracted into the water is intercepted by the top flat surface of a block of glass with index of 1.50. The light reflected from the glass is completly linearly polarized. What is the angle between the glass and water surfaces? Sketch the arrangement, showing the polarization of the light at each stage.

L¨ osning till uppgift 4.12 a) Den polariserande vinkeln eller Brewstervinkeln ges av ¶ µ µ ¶ 1.33 nvatten −1 −1 = tan θp = tan = 53.1◦ . nluft 1 10

b) Brewstervinkeln f¨or ljuset som polariseras av reflektionen mot glasblocket i vattnet a¨r ¶ ¶ µ µ 1.50 nglas = tan−1 θp0 = tan−1 = 48.4◦ . nvatten 1.33 Vi s¨ oker vinkeln α mellan vattenytan och glasets yta. Vid Brewsterspridning g¨ aller villkoret att θr + θp = 90◦ , vilket inneb¨ar att vinkeln efter att ljuset brutits i vattenytan ¨ar θr = 90◦ − θp . Det g¨aller dessutom att α + γ = 90◦ och γ + θp + θp0 = 180◦ , vilket medf¨or att α = θp + θp0 − 90◦ = 11.5◦ .

Uppgift 4.13 (Pedrotti–Pedrotti 15–16) a) A thin plate of calcite is cut with its OA parallel to the plane of the plate. What minimum thickness is required to produce a quarter–wave path difference for sodium light of 589 nm? b) What color will be transmitted by a zircon plate, 0.0182 mm thick, when placed in a 45◦ orientation between crossed polarizers? L¨ osning till uppgift 4.13 a) F¨ or en QWP ska den optiska v¨agskillnaden vara d|n⊥ − nk | = 11

λ , 4

d¨ ar λ betcknar ljusets v˚ agl¨angd. F¨or CaCO3 ¨ar brytningsindexen n⊥ = 1.6584 och nk = 1.4864. Den minsta tjocklek som plattan kan ha ¨ar s˚ aledes d=

λ 589 = = 856 nm. 4|n⊥ − nk | 4|1.6584 − 1.4864|

b) F¨ or att ljus skall g˚ a igenom zirkonplattan m˚ aste den vara en halvv˚ agsplatta, dvs. rotera polariserat ljus 90◦ . Villkoret f¨or HWP ¨ar d|n⊥ − nk | =

λ + mλ, 2

d¨ ar m = 0, 1, 2, . . . De v˚ agl¨angder som plattan sl¨apper igenom ges av λ

=

d|n⊥ − nk | 0.0182 · 10−3 |1.968 − 1.923| = m + 12 m + 12

=

819 · 10−9 819 = nm. 1 m+ 2 m + 12

V˚ agl¨ angderna motsvarande m = 0, 1 och 2 ¨ar 1638 respektive 546 och 328 nm. Endast 546 nm ¨ ar synligt ljus, n¨amligen gr¨ont.

12