5 – Lois de probabilités discrètes – Espérance mathématique – Loi

5 – Lois de probabilités discrètes – Espérance mathématique – Loi binomiale Activité 1 : Modéliser une expérience aléatoire à l’aide d’une loi de probabilité discrète On considère l’expérience aléatoire qui consiste à lancer trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. A partir de cette expérience, un jeu est proposé avec les règles suivantes :
Le joueur mise 5 € ;  S’il obtient 3 Piles, alors il empoche 12 € ; S’il obtient exactement 2 Piles, alors il empoche 7 € ; S’il obtient exactement 1 Pile, alors il empoche 2 € ; S’il obtient 0 Pile, alors il n’empoche rien. On voudrait modéliser ce jeu à l’aide d’un univers et d’une loi de probabilité adaptée. 1 – On appelle « gain algébrique » la somme réellement empochée par le joueur (gain – perte). Donner les gains algébriques possibles pour ce jeu : ................................................................................. 2 – Compléter le tableau suivant : Gain algébrique

x1 =

x2 =

x3 =

x4 =

Probabilité

p1 =

p2 =

p3 =

p4 =

On a défini ci-dessus une loi de probabilité appelée loi de probabilité discrète. Définition 6.5.1 : Soit E = { x1 , x2 , ... , xn } l’univers d’une expérience aléatoire. Si toutes les issues sont des nombres réels, alors on dit que la loi de probabilité ci-dessous est discrète. Issue

x1

x2

…

xn

Probabilité

p1

p2

…

pn

On appelle espérance mathématique de cette loi de probabilité, le nombre E défini par : E = ...................................................................... On appelle variance de cette loi de probabilité le nombre V, défini par : V = .............................................................................................. On appelle écart type de cette loi de probabilité le nombre σ , défini par : σ = ............... Exemple : On s’intéresse toujours à la loi de probabilité discrète définie ci-dessus. 1 – Calculer l’espérance mathématique de la loi de probabilité ci-dessus. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ 2 – Quel sens peut-on donner à ce nombre ? _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________

3 – Calculer la variance et l’écart type de la loi de probabilité ci-dessus. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ Définition 6.5.2 : Expérience de Bernoulli – Loi de Bernoulli [Bernoulli – mathématicien suisse (1654 – 1705)] Une expérience de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues appelées

()

succès ( S) et échec S , de probabilités respectives p et …… La loi de probabilité ci-dessous est appelée loi de Bernoulli de paramètre p. Issue

S

Probabilité

p

S …………

Activité 2 : Etude d’un exemple de loi binomiale On considère l’expérience aléatoire e qui consiste à lancer un dé à 6 faces bien équilibré. On appelle S (succès) l’événement « Obtenir un 6 ». On répète 3 fois cette expérience aléatoire dans des conditions d’indépendance. 1 – Représenter cette expérience aléatoire à l’aide d’un arbre pondéré. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ 2 – Déterminer la loi de probabilité associée au nombre de succès. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ Cette loi de probabilité s’appelle la loi binomiale de paramètres 3 et

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Définition 6.5.3 : Loi binomiale La loi de probabilité associée au nombre de succès dans la répétition de n expériences de Bernoulli de paramètre p identiques et indépendantes s’appelle la loi binomiale de paramètres n et p. On la note B ( n ; p ) . Exercice résolu : Un voyageur prend tous les matins le train sans payer. Le prix du billet est de 4,5 €, celui de l'amende est de 30 €. A chaque voyage, il a une probabilité p =

1 de se faire contrôler. 5

On suppose que les contrôles sont indépendants et que le voyageur fait 4 voyages par semaine. a) Déterminer la loi de probabilité associée au nombre de contrôles subis par la voyageur en une semaine. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ b) En déduire la loi de probabilité associée au prix payé par le voyageur en une semaine. _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ c) Calculer l’espérance mathématique de cette dernière loi de probabilité. Que peut-on en déduire ? _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________