6 Probabilités : loi binomiale

6 Probabilités : loi binomiale 6.1 Loi de probabilité Définition (rappel) : Une expérience est dite aléatoire si on connait toutes les issues possibles A1 , A2 , . . . , An , et que l’on ne sait pas quelle issue va se produire. Exemples : • Lorsqu’on lance un dé cubique à six faces il y a six issues possibles : 1, 2, 3, 4, 5 et 6. • Pour une pièce de monnaie il y en a deux : Pile et Face. Définition (rappel) : Une expérience aléatoire est munie d’une loi de probabilité, lorsqu’à chaque issue Ak est associée un nombre noté p(Ak ), appelé probabilité de Ak , tel que : pour tout k, 0 6 k 6 n, 0 6 p(Ak ) 6 1 et p(A1 ) + p(A2 ) + . . . + p(An ) = 1 Exemples : • Pour le dé les événements sont équiprobables, donc : p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = 1 P (5) = P (6) = . 6 1 • De même pour la pièce de monnaie : p(P ) = p(F ) = . 2 • Pour une punaise, si P est l’événement « la punaise retombe la pointe vers le haut », on peut écrire : p(P ) + p(P ) = 1, mais p(P ) et p(P ) ne sont a priori pas égaux (ces probabilités doivent être déterminées statistiquement pour chaque type de punaise).

6.2 Expérience de Bernoulli On rencontre souvent des expériences aléatoires à deux issues, dites binaires (comme la pièce de monnaie ou la punaise, ou encore « obtenir un multiple de 3 » en lançant un dé cubique à six faces). On parle de succès si l’événement attendu est réalisé ou d’échec dans le cas contraire. Définition : Une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une S appelée succès de probabilité p, l’autre S appelée échec de probabilité (1 − p), s’appelle une expérience de Bernoulli de paramètre p.

Définition : Deux expériences aléatoires sont dites indépendantes si le résultat de l’une n’influe pas le résultat de l’autre.

Exemples : • Si on appelle succès l’événement « Pile » lorsqu’on lance une pièce de monnaie, il s’agit d’une expérience de Bernoulli de paramètre 12 . En répétant cette expérience on obtient une suite d’expériences aléatoire indépendantes, car le résultat d’un lancer n’a aucune incidence sur les autres lancers. • Si on considère une urne contenant une proportion p de boules blanches, le reste étant constitué de boules noires, et que l’on appelle succès le fait de tirer une boule blanche, il s’agit d’une 18

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expérience de Bernoulli de paramètre p. Lorsque l’on répète l’expérience après avoir remis la boule tirée, on réalise une série d’expériences indépendantes. Si au contraire on ne remet pas la boule tirée, il y a une incidence du premier tirage sur les suivants : dans ce cas les expériences successives ne sont pas indépendantes. Dans le cas où l’urne comporte 3 boules blanches et 2 noires on peut représenter les deux tirages successifs avec ou sans remise par les deux arbres suivants : avec remise

sans remise

3/5

2/4

B

B

3/5

3/5

2/4

et

3/5 2/5

B

N

2/5

B 2/5

N

N

3/4

B

1/4

N

N

N

2/5

B

6.3 Loi binomiale Définition : • L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p s’appelle un schéma de Bernoulli de paramètres n et p. • La variable entière X égale au nombre de succès obtenus au cours de ces n épreuves s’appelle la variable aléatoire associée au schéma de Bernoulli de paramètres n et p. • La loi de probabilité associée à la variable aléatoire X s’appelle la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n ; p). Exemples : • Dans l’urne précédente contenant 3 boules blanches et 2 boules noires on considère le tirage d’une boule blanche comme un succès. On répète 6 fois de suite la même expérience en réintroduisant dans l’urne la boule après chaque tirage. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, c’est-à-dire de boules blanches tirées, suit la loi binomiale de Å le nombre ã 3 3 paramètres n = 6 et p = : B 6 ; . 5 5 • La variable aléatoire X qui compte le nombre de « pile » Å obtenusã lors de 20 lancers successifs 1 d’une pièce de monnaie (équilibrée) suit la loi binomiale B 20 ; . 2 Cas simples : n = 2 ou n = 3 Pour n = 2 ou n = 3 il est facile de modéliser par un arbre un tel schéma de Bernoulli de paramètres n et p : p p

S

P (X = 2) = P ({SS}) = p2

S

P (X = 1) = P ({SS,SS}) = 2pq

S

P (X = 0) = P ({S S}) = q 2

S q

p

q S

q

S

On constate que : P (X = 2) + P (X = 1) + P (X = 0) = p2 + 2pq + q 2 = (p + q)2 = 1

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p p

S

S q

p

q

S S

S q

S

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p

S

q p

S S

P (X = 3) = P ({SSS}) = p3

q p

S S

P (X = 2) = P ({SSS,SSS,SSS}) = 3p2 q

q p

S S

q

S

P (X = 1) = P ({SS S,SSS,S SS}) = 3pq 2 P (X = 0) = P ({S S S}) = q 3

On peut vérifier que : P (X = 3) + P (X = 2) + P (X = 1) + P (X = 0) = p3 + 3p2 q + 3pq 2 + q 3 = (p + q)3 = 1. Lorsque n est supérieur le fonctionnement est identique. Pour calculer la probabilité d’obtenir k succès sur n expériences de Bernoulli avec un paramètre p, il faut compter toutes les issues composées de k succès et n − k échecs. D’après la propriété des arbres pondérés chacune de ces issues a la même probabilité pk q n−k . Pour cela on utilise la calculatrice. Exemples : • Pour 6 tirages d’une boule blanche sur 3 parmi 5, avec remise, la variable aléatoire X égale au nombre de boules blanches tirées suit une loi binomiale : P (X = 0) ≈ 0,0041, P (X = 1) ≈ 0,0369, P (X = 2) ≈ 0,1382, P (X = 3) ≈ 0,2765, P (X = 4) ≈ 0,3110, P (X = 5) ≈ 0,1866, P (X = 6) ≈ 0,0467, P (X 6 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) ≈ 0,4557, P (X > 4) = 1 − P (X < 4) = 1 − P (X 6 3) ≈ 0,5443. Théorème (admis) : Si la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p, B(n ; p), alors son espérance mathématique est E(X) = np. Exemples : • Pour 6 tirages d’une boule blanche sur 3 parmi 5, l’espérance mathématique est 3 6 × = 3,6. 5 • Pour 20 lancers d’une pièce de monnaie, l’espérance mathématique du nombre de « pile » (ou 1 « face ») est de E(X) = 20 × = 10. 2

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