7 Probabilités

7 Probabilités 7.1 Probabilité conditionnelle Définition : Soient A et B deux événements dans un univers E donné, A étant de probabilité non nulle : P (A) 6= 0, la probabilité de l’événement B sachant A est le nombre noté PA (B) et défini par : PA (B) =

P (A ∩ B) P (A)

La probabilité de B sachant A est la probabilité que l’événement B soit réalisé sachant que l’événement A est déjà réalisé.

Remarques : • Dans une situation d’équiprobabilité des événements élémentaires il suffit de compter le nombre d’événements élémentaires de A ∩ B et de A. Leur quotient est égal à PA (B). • Si P (B) 6= 0, alors on définit de même : PB (A) =

P (A ∩ B) . P (B)

Exemple : Une urne contient 4 boules blanches numérotées de 1 à 4 et 7 boules noires numérotées de 1 à 7, toutes indiscernables au toucher. On appelle B l’événement « tirer une boule blanche », N l’événement « tirer une boule noire », P l’événement « tirer une boule portant un numéro pair » et I l’événement « tirer une boule portant un numéro impair ». 4 7 5 6 On a : P (B) = ; P (N ) = ; P (P ) = et P (I) = . 11 11 11 11 La probabilité de tirer une boule portant un numéro pair sachant qu’elle est blanche est égale à : 2 P (P ∩ B) 1 2 PB (P ) = = 11 = = . 4 P (B) 4 2 11 La probabilité de tirer une boule blanche sachant qu’elle porte un numéro pair est égale à : PP (B) = 2 2 P (B ∩ P ) 11 = . = 5 P (P ) 5 11 Propriétés : La probabilité conditionnelle est une loi de probabilité. Soient A et B deux événements tels que P (A) 6= 0, alors : 0 6 PA (B) 6 1 et

PA (B) + PA (B) = 1

P (A ∩ B) P (A ∩ B) P (A ∩ B) + P (A ∩ B) + = , P (A) P (A)
P (A)
or P (A∩B)+P (A∩B) = P (A ∩ B) ∪ P (A ∩ B) +P (A ∩ B) ∩ P (A ∩ B) et (A∩B)∪P (A∩B) = A, et de plus, comme P (A) + 0 = 1.  B et B sont disjoints, (A ∩ B) ∩ P (A ∩ B) est vide, donc de probabilité nulle, par suite PA (B) + PA (B) = P (A)

Preuve : PA (B) + PA (B) =

Exemple : En prenant l’exemple ci-dessus et ses notations, on a bien : PB (P ) + PB (P ) = PB (P ) + PB (I) =

1 1 + =1 2 2

3 4 3 4 P (P ∩ N ) P (I ∩ N ) De même PN (P ) = = 11 = et PN (I) = = 11 = = PN (P ) 7 7 P (N ) 7 P (N ) 7 11 11 3 4 et on a PN (P ) + PN (P ) = + = 1. 7 7 24

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7. Probabilités

prog 2011

Utilisation d’un tableau A

A

Total

B

P (A ∩ B)

P (A ∩ B)

P (B)

B

P (A ∩ B)

P (A ∩ B)

P (B)

Total

P (A)

P (A)

1

Exemple : Pour l’exemple ci-dessus on obtient :

P I Total

B

N

Total

2 11 2 11 4 11

3 11 4 11 7 11

5 11 6 11 1

7.2 Arbres pondérés On peut représenter une expérience par un arbre pondéré. Si on place l’événement A au premier niveau de l’arbre on obtient :

P (A)

P (A)

PA (B)

B : P (A ∩ B) = P (A) × PA (B)

PA (B)

B : P (A ∩ B) = P (A) × PA (B)

PA (B)

B : P (A ∩ B) = P (A) × PA (B)

PA (B)

B : P (A ∩ B) = P (A) × PA (B)

A

A

Remarque : La somme des probabilités de toutes les branches issues d’un même nœud est égale à 1 : P (A) + P (A) = 1, PA (B) + PA (B) = 1, PA (B) + PA (B) = 1. Propriété : Si A et B sont deux événements de probabilités non nulles, alors : P (A ∩ B) = P (A) × PA (B) = P (B) × PB (A) La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin. P (A ∩ B) P (A ∩ B) et PB (A) = , P (A) P (B) ce qui donne immédiatement la double égalité P (A ∩ B) = P (A) × PA (B) = P (B) × PB (A).  Preuve : Par définition des probabilités conditionnelles : PA (B) =

Remarque : Si on place l’événement B au premier niveau de l’arbre on obtient :

P (B)

P (B)

PB (A)

A : P (A ∩ B) = P (B) × PB (A)

PB (A)

A : P (A ∩ B) = P (B) × PB (A)

PB (A)

A : P (A ∩ B) = P (B) × PB (A)

PB (A)

A : P (A ∩ B) = P (B) × PB (A)

B

B

Avec les deux arbres on retrouve bien les deux façons de calculer P (A ∩ B). Exemple : En reprenant l’exemple ci-dessus et ses notations on obtient l’arbre suivant :

math4bac

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7. Probabilités 2/4

4 11

B

7 11

N

2/4 3/7 4/7

prog 2011

2 2 4 × = 11 4 11 2 2 4 × = I : P (B ∩ I) = 11 4 11 7 3 3 P : P (N ∩ P ) = × = 11 7 11 7 4 4 I : P (N ∩ I) = × = 11 7 11 P : P (B ∩ P ) =

Propriété des probabilités totales (admise) : Si A1 , A2 , . . . , An sont des événements de probabilités non nulles, incompatibles deux à deux et tels que leur réunion soit égale à l’univers E, alors pour tout événement B, on a : P (B) = P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B) + . . . + P (An ∩ B) c’est-à-dire : P (B) = P (A1 ) × PA1 (B) + P (A2 ) × PA2 (B) + . . . + P (An ) × PAn (B) La probabilité d’un événement est la somme des probabilités de tous les chemins conduisant à cet événement.

Exemple : Pour l’exemple ci-dessus et ses notations, on obtient : 2 3 5 P (P ) = P (B ∩ P ) + P (N ∩ P ) = + = 11 11 11 et 4 6 2 + = P (I) = P (B ∩ I) + P (N ∩ I) = 11 11 11 Dans un arbre pondéré on peut avoir plus de deux branches issues d’un même nœud suivant la situation modélisée. Exemple : La répartition des différents groupes sanguins dans la population est la suivante : groupe O : 45 %, groupe A : 40 %, groupe B : 11 % et groupe AB : 4 %. Une seconde caractéristique du sang est importante : c’est le facteur Rhésus, positif (Rh+) ou négatif (Rh−). La population mondiale est approximativement répartie conformément au tableau suivant : (en %) Rh+ Rh− Total

O 38 7 45

A 34 6 40

B 9 2 11

AB 3 1 4

Total 84 16 100

P (A ∩ Rh+) 0,34 17 = = = 0,85 ; . . . P (A) 0,4 20 On construit ainsi l’arbre pondéré suivant :

Calcul de PA (Rh+) =

math4bac

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7. Probabilités 0,84

Rh+ : P (O ∩ Rh+) = 0,45 × 0,84 = 0,38

0,16

Rh− : P (O ∩ Rh−) = 0,45 × 0,16 = 0,07

0,85

Rh+ : P (A ∩ Rh+) = 0,40 × 0,85 = 0,34

0,15

Rh− : P (A ∩ Rh−) = 0,40 × 0,15 = 0,06

0,82

Rh+ : P (B ∩ Rh+) = 0,11 × 0,82 = 0,09

0,18

Rh− : P (B ∩ Rh−) = 0,11 × 0,18 = 002

0,75

Rh+ : P (AB ∩ Rh+) = 0,04 × 0,75 = 0,03

0,25

Rh− : P (AB ∩ Rh−) = 0,04 × 0,25 = 0,01

prog 2011

O 0,45 0,40

0,11

A

B

0,04

AB

Probabilités totales pour le calcul de P (Rh−) : P (Rh−)

math4bac

= =

P (O) × PO (Rh−) + P (A) × PA (Rh−) + P (B) × PB (Rh−) + P (AB) × PAB (Rh−) 0,45 × 0,16 + 0,40 × 0,15 + 0,11 × 0,18 + 0,04 × 0,25 = 0,16

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