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I Funktionen

Check-out: Klausurvorbereitung – Selbsteinschätzung Checkliste „Funktionen“

Testaufgaben

1. Ich kann die Begriffe rund um den Funktionsbegriff erklären und anwenden.

Kann ich schon

Hilfen im Buch, die man bei Problemen nacharbeiten kann

Trainingsaufgaben (Seitenangaben im Buch)

1

Übersicht auf S. 8

S. 37 A. 1 und S. 38 A.14 in Auszügen

2. Ich kann anhand des Graphen erkennen, ob sie zu einer Funktion gehören können oder nicht.

2

Text zu Fig. 1 und Fig. 2 auf S. 8

S. 10 A. 6

3. Ich kann die Gleichung einer Geraden in der Form y = m · x + n bestimmen.

3

Beispiel 1 auf S. 11

S. 37 A. 3; S. 199 A. 2d) (Fig. 1) und S. 199 A. 3 a)

4. Ich kann die Steigung einer Geraden bestimmen, wenn der Steigungswinkel gegeben ist, und umgekehrt.

4

S. 40 Tipp zu A. 25 auf dem Rand

S. 40, A. 25

5. Ich kann den Schnittpunkt von zwei Geraden bestimmen, die in der Form y = m · x + n gegeben sind.

5

6. Ich kann quadratische Gleichungen mithilfe der pq-Formel lösen.

6

Beispiel 2 auf S. 12

S. 37 A. 4 und S. 199 A. 4 b)

7. Ich kann Nullstellen von Geraden und Parabeln berechnen und die Ergebnisse mithilfe des GTR überprüfen.

7

Beispiel 2 auf S. 12

S. 37 A. 4

8. Ich kann Schnittpunkte von Geraden und Parabeln berechnen und die Ergebnisse mithilfe des GTR überprüfen.

8

S. 37 A. 4(1) und (2)

9. Ich kann mithilfe von quadratischen und linearen Funktionen Anwendungskontexte beschreiben und Probleme im Anwendungskontext lösen.

9

S. 39 A.19 und 20 sowie S. 40 A. 23

10. Ich kann den Verlauf des Graphen von Potenzfunktionen der Form f (x) = a · x n skizzieren und zeichnen.

10

Merkkasten sowie die Figuren unten auf der S. 14

S. 40 A. 21

11. Ich kann bei einer ganzrationalen Funktion f das Verhalten für x gegen unendlich und x gegen minus unendlich bestimmen.

11

Merkkasten und Beispiel auf S. 19

S. 37 A.2

© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2014 | www.klett.de | Alle Rechte vorbehalten Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.

Da bin ich fast sicher

Ich bin noch unsicher

Kann ich noch nicht

S. 37 A. 4 (1) und (2) und S. 199 A. 4 a)

Autor: Thorsten Jürgensen-Engl

Checkliste „Funktionen“

Testaufgaben

12. Ich kann am Funktionsterm ablesen, ob der Graph einer ganzrationalen Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Kann ich schon

Hilfen im Buch, die man bei Problemen nacharbeiten kann

Trainingsaufgaben (Seitenangaben im Buch)

12

Merkkasten 2 auf S. 22 und Beispiel 1 auf S. 23

S. 37 A.8 und S. 45 A. 7

13. Ich kann rechnerisch ermitteln, ob der Graph einer Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse bzw. punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

13

Merkkasten 1 auf S. 22 und Beispiel 2 auf S. 23

S. 37 A.9

14. Ich kann am Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion ablesen, wie viele Nullstellen der Graph höchstens hat.

14

S. 27 oben: Text zu „Anzahl von Nullstellen“

S. 39 A.16 und S. 45 A. 8

15. Ich kann erkennen, wann die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion durch Ausklammern und Ablesen bestimmt werden können und die Berechnung durchführen.

15

Text auf S. 26 und Merkkasten auf S. 27

S. 37 A.5 und 6 sowie S. 45 A. 1

16. Ich kann erkennen, wann die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion mittels Substitution bestimmt werden können und die Berechnung durchführen.

16

Text auf S. 26 sowie Merkkasten und Beispiel 1 auf S. 27

S. 37 A.7

17. Ich kann bei gegebenen Funktionsgleichungen beschreiben, durch welche Transformationen man den Graphen der einen Funktion aus dem Graphen der anderen Funktion erhält.

17

Merkkasten auf S. 32 und Beispiel 1 auf S. 33

S. 37 A. 10 und S. 45 A. 5

18. Ich kann zu einem gegebenen Funktionsgraphen den Funktionsterm angeben, wenn von einer transformierten Funktion der Graph und der Term bekannt sind.

18

Merkkasten auf S. 32 und Beispiel 2 auf S. 33

S. 38 A.12 und S. 45 A. 5

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Da bin ich fast sicher

Ich bin noch unsicher

Kann ich noch nicht

Autor: Thorsten Jürgensen-Engl

I Funktionen

Check-out: Klausurvorbereitung – Test- und Trainingsaufgaben 1 a) Drücken Sie die Aussagen in mathematischer Kurzschrift aus. (1) Die Funktion g nimmt an der Stelle 5 den Funktionswert 12 an. (2) Die Zahl 3 gehört nicht zur Definitionsmenge der Funktion f. (3) Alle Funktionswerte der Funktion g sind positiv. b) Beschreiben Sie unter Verwendung der Fachsprache, was man unter einer Definitionslücke versteht. c) Geben Sie für die Funktion f mit f (x) = 5 2 die Definitionsmenge an und skizzieren Sie den Graphen 1 x

mithilfe des GTR.

2 Entscheiden Sie, ob der abgebildete Graph zu einer Funktion gehören kann. Begründen Sie Ihre Antwort. a)

b)

c)

3 a) Bestimmen Sie die Gleichungen der abgebildeten Geraden in der Normalform y = m · x + n. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden in der Form y = m · x + n. (I) m = 2; die Gerade verläuft durch P (3 | 7) (II) m = − 1,5; die Gerade verläuft durch Q (− 1 | − 4) c) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A und B verläuft, in der Form y = m · x + n. (I) A (2 | 4); B (3 | 8) (II) A (6 | − 2); B (9 | − 9)

4 a) Bestimmen Sie die Steigung der Geraden mit dem Steigungswinkel . (I)  = 60° (II)  = 150° b) Bestimmen Sie den Steigungswinkel  der Geraden (I) g mit y = 2 x + 3.

(II) h mit y = − x + 4.

5 Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden f und g bei a) zeichnerisch und bei b) rechnerisch. a) f mit y = 3 x − 4 und g mit y = − 2 x + 6

b) f mit y = − 2 x + 11 und g mit y = 5 x + 1

6 Geben Sie die Lösungen der quadratischen Gleichungen an. a) x2 − 13 x + 7 = 0 c) 1,5 x2 + 36 = 5 x

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b) 3 x2 − 4 x − 4,4 = 0 d) 3 x2 = 5 x − 25 2

2

24

Autor: Thorsten Jürgensen-Engl

7 Bestimmen Sie die Nullstellen der angegebenen Funktionen. a) g (x) = 2 x + 2

b) f (x) = 4 x2 − 16

c) f (x) = x2 − 24 x

d) f (x) = 2 x2 − 4 x − 6

8 Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Funktionen f mit f (x) = x2 + 5 x + 4 und g mit g (x) = 0,5 x + 1. 9 Die Flugkurve eines Speers kann mithilfe der Funktion h mit h (x) = − 0,02 x2 + 0,8 x + 1,8 beschrieben werden x und h (x) in m . a) Was bedeutet h (0) im Anwendungskontext? b) Wie weit fliegt der Speer? c) Wie hoch ist der Speer in seinem höchsten Punkt?

10 a) Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen der Funktion f mit f (x) = 0,25 x5. b) Wie muss man die „Y-Bereiche“ beim GTR einstellen, damit der Graph im Intervall − 4 ≤ x ≤ 2 vollständig zu sehen ist?

11 Bestimmen Sie das Verhalten von f für x   . a) f (x) = 3 x7 − 4 x4 + 5

b) f (x) = 0,25 x5 − 8 x6 − x

12 Untersuchen Sie die Symmetrieeigenschaft des Graphen der Funktion f. a) f (x) = − x10 + 0,6 x8 + 10

b) f (x) =

13 Untersuchen Sie die Funktion f mit f (x) =

1 3

· x5 + 2 x − 7

x x2  1

c) f (x) = 2 x9 − x3 + x

auf Symmetrie.

14 Ermitteln Sie, wie viele Nullstellen die Funktion f höchstens hat. a) f (x) = x5 − 3 x2 + 3

b) f (x) = 3 x2 − 0,5 x6 + x3 + 8000

15 Entscheiden Sie zunächst, ob man die Nullstellen der Funktion f durch Ablesen bzw. durch Ausklammern ermitteln kann und bestimmen Sie diese, wenn eines dieser Verfahren funktioniert. a) f (x) = x (x − 4) (2 x + 8) b) f (x) = 12 x − 3 x3 c) f (x) = x3 + 13 x4 + 8

16 Entscheiden Sie zunächst, ob man die Nullstellen der Funktion f mithilfe des Substitutionsverfahrens ermitteln kann und bestimmen Sie diese, wenn das Verfahren funktioniert. b) f (x) = 1 x4 − 3 x2 + 2

a) f (x) = x4 + 2 x3 + 5

4

c) f (x) = x6 − 10 x3 + 9

17 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x3 − 4 x. Geben Sie an, wie man den Graphen der Funktion g mit





g (x) = − 2  (x  3)3  4 (x  3) aus dem Graphen der Funktion f erhält.

18 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = − x4 + 2 x2. Man erhält in der nachfolgenden Abbildung den Graphen von g, wenn man den Graphen von f in y-Richtung streckt und verschiebt. Beschreiben Sie die Streckung und Verschiebungen.

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Autor: Thorsten Jürgensen-Engl

I Funktionen

Check-out: Klausurvorbereitung – Test- und Trainingsaufgaben – Lösungen 1 a) (1) f (5) = 12; (2) Df =

\ {3} und (3) W g = + b) Eine Definitionslücke stellt im Definitionsbereich einen x-Wert dar, für den die Funktion nicht definiert ist – das heißt, für den man keinen Funktionswert bestimmen kann. c) Aus 1 − x2 = 0 bzw. x = + 1 oder x = − 1 ergeben sich die Definitionslücken x1 = 1 und x2 = − 1. Demnach ist Df = \ {− 1; 1}.

2 a) Der Graph gehört zu einer Funktion, da jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet ist. b) Der Graph gehört nicht zu einer Funktion, da es x-Werte gibt, denen mehrere y-Werte zugeordnet sind (es gibt zur y-Achse parallele Geraden, die den Graphen mehrfach schneiden). c) Der Graph gehört nicht zu einer Funktion, da es bei x = 1 (zwei Kästchen in positive x-Richtung) einen x-Wert gibt, dem mehrere y-Werte zugeordnet sind (hier schneidet die zur y-Achse parallele Gerade, den Graphen mehrfach).

3 a) f mit y = x + 2; g mit y = − 2 x + 4; h mit y = − 1 x + 1 3

b) (I) y = 2 x + 1

(II) y = − 1,5 x − 5,5

c) (I) y = 4 x − 4

(II) y = −

4 a) (I) m ≈ 1,73

(II) m ≈ − 0,58

7 3

x + 12

b) (I)  ≈ 63,43°

(II)  ≈ − 45° = 135°

5 a) zeichnerische Lösung: S (2 | 2)   b) rechnerische Lösung: S  10 57  .  7

7 

6 a) x1 ≈ 12,44 und x2 ≈ 0,56

b) x1 ≈ 2,05 und x2 ≈ − 0,71

c) Es gibt keine Lösungen.

d) x = 5 (Es gibt nur eine Lösung.)

7 a) x = − 1

c) x1 = 0 und x2 = 24

b) x1 = − 2 und x2 = 2 Überprüfung mithilfe des GTR über die „zero“-Funktion.

6

d) x1 = − 1 und x2 = 3

8 Die Schnittpunkte liegen bei den Stellen x1 ≈ − 0,814 und x2 ≈ − 3,686. Damit erhält man die Schnittpunkte als Näherungswerte: S1 (≈ − 0,814 | ≈ 0,593) und S2 (≈ − 3,686 | ≈ − 0,843). Überprüfung mithilfe des GTR, indem man die neue Funktion d (x) = f (x) − g (x) eingibt und von dieser neuen Funktion die Nullstellen mithilfe der „zero“-Funktion bestimmt. (Denn aus f (x) = g (x) folgt durch Umformen f (x) − g (x) = 0.)

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Autor: Thorsten Jürgensen-Engl

9 a) h (0) = 1,8 entspricht der Höhe des Speers bei einer Entfernung von 0 m vom Abwurfpunkt. Also entsprechen 1,8 m der Abwurfhöhe, die beim Speerwurf etwa der Kopfhöhe des Werfers entspricht. b) Die Nullstellen der Funktion sind x1 ≈ 42,14 und x2 ≈ − 2,14. Für den Speerwurf ist nur die Nullstelle x1 interessant, da x2 negativ ist. Der Speer wird also etwa 42,14 m weit geworfen. c) Die Höhe am höchsten Punkt entspricht dem y-Wert des Scheitelpunktes von h. Die Scheitelpunktsform lautet: h (x) = − 0,02 (x − 20)2 + 9,8. Demnach hat der Speer in seinem höchsten Punkt eine Höhe von 9,8 m.

10 a) Für negative x-Werte liegen die Funktionswerte im negativen Bereich und für positive x-Werte liegen die Funktionswerte im positiven Bereich. Der Graph verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems O (0 | 0). b) f (− 4) = − 256 und f (2) = 8. Demnach muss die y-Achse von ca. − 260 bis 10 dargestellt werden.

11 a) f (x)  +  für x  +  und f (x)  −  für x  −  b) f (x)  −  für x  +  und f (x)  −  für x  − 

12 a) Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse (gerade Funktion). b) Der Graph ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. c) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

13 Der Graph der Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0 | 0), da f (− x) = − f (x) gilt. 14 a) höchstens 5 Nullstellen

b) höchstens 6 Nullstellen

15 a) Die Nullstellen sind x1 = 0, x2 = 4 und x3 = − 4. b) Die Nullstellen sind x1 = 0, x2 = 2 und x3 = − 2. c) Bei dieser Funktion kann man weder das Verfahren des Ablesens noch das des Ausklammerns anwenden.

16 a) Das Substitutionsverfahren ist hier nicht anwendbar. b) x1 ≈ – 3,36; x2 ≈ 3,36; x3 ≈ – 0,84; x4 ≈ 0,84 2

c) x1 = 1 und x2 = 3 3 ≈ 2,0801

17 Der Graph von f wird an der x-Achse gespiegelt, mit dem Faktor 2 gestreckt und um 3 Einheiten nach rechts verschoben.

18 Man erhält den Graphen von g, indem man den Graphen von f mit dem Faktor 2 in y-Richtung streckt und anschließend um zwei Einheiten nach unten verschiebt. Es ist g (x) = 2 · (– x4 + 2 x2) – 2.

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