ACERCA DE LA EPISTEMOLOG´IA DE LA ´ MATEMATICA Alberto Campos Profesor Universidad Nacional de Colombia Bogot´ a D.C, Colombia
[email protected] Al parecer, el primero en haber utilizado el t´ermino epistemolog´ıa pudo ser J. F. Ferrier (Institutes of Metaphysics 1854). Sin embargo, en Alemania exist´ıa, por lo menos desde 1791, la expresi´on “Teor´ıa del conocimiento”, que es lo que etimol´ogicamente designa el vocablo forjado con componentes griegos. Epistemolog´ıa es la rama de la filosof´ıa que estudia el origen, la estructura, los m´etodos y la validez del conocimiento, dice el Diccionario de Filosof´ıa, de Runes. Una buena descripci´on de epistemolog´ıa de la matem´atica es la de conocimiento del conocimiento matem´atico, donde desde luego, conocimiento desempe˜ na el papel que le corresponde en dos niveles diferentes. As´ı, epistemolog´ıa toma un cariz cr´ıtico, que no ha de causar extra˜ neza dado que la filosof´ıa es ante todo un cuestionamiento de cuanto tenga que ver con las creaciones humanas. No hay acuerdo en cuanto a las partes de la epistemolog´ıa, dado que los puntos que se analizan difieren seg´ un la disciplina que se estudia. As´ı, al tratar la epistemolog´ıa de la matem´atica es preferible enfocar los siguientes cinco aspectos: g´enesis, estructura, funci´on, m´etodo, problemas. Se hace, en seguida, un somero comentario acerca de cada uno de ellos. Se menciona, inicialmente, la historia de los primeros indicios de matem´atica. Las sociedades humanas incipientes se desarrollan si se organizan. La distribuci´on de tareas, de contribuciones, de tierras, de granos dan origen a la aritm´etica y a una geometr´ıa “para las necesidades del comercio” como dec´ıan despectivamente los griegos m´as ilustres. As´ı fue en el centro de europa, en Mesopotamia, en Egipto, en India, en China, en el M´exico de aztecas o de mayas, o en el Per´ u de los incas. Dif´ıcil establecer la antig¨ uedad de tales procedimientos utilitarios. Puede aseverarse que surgen en cada una de tales civilizaciones seg´ un su peculiar capacidad
Memorias XV Encuentro de Geometr´ıa y III de Aritm´ etica
pr´actica y de interiorizaci´on. Solamente, los griegos pensaron realmente en una organizaci´on secuenciada de tales conocimientos. Supuestos algunos de ellos, los griegos logran obtener los dem´as, mediante reglas fijas que paulatinamente van a constituir la l´ogica. Quiz´a fue m´as capital para la constituci´on de la matem´atica el que, ateni´endose a tales reglas fijas, los griegos alcanzan conocimientos de los que no dispon´ıan. estos dos pasos primordiales impulsaron el desenvolvimiento de los principios hasta convertirse en un procedimiento inagotable. Cada nuevo conocimiento va sugiriendo nuevas cuestiones interesantes. Cuando no haya m´as preguntas en una vertiente determinada, la rama correspondiente de la matem´atica se extingue. El segundo aspecto epistemol´ogico tiene que ver con la estructuraci´on que hayan alcanzado las respuestas a una secuencia de cuestiones. Actualmente, el enfoque m´as sistem´atico de lo que se conoc´ıa en matem´atica hacia mediados del siglo XX, es el expuesto mediante estructuras matem´aticas por la escuela francesa llamada Bourbaki. El tercer aspecto epistemol´ogico tiene que ver con la funci´on de la matem´atica. Los seres humanos aprenden para desempe˜ narse convenientemente en la sociedad en la que conviven. Diversos adiestramientos est´an a la disposici´on de individuos de un conglomerado, generalmente con capacidades muy diferentes: literarios, art´ısticas, manuales, artesanales, filos´oficas, altamente t´ecnicas algunas, otras eminentemente pr´acticas. Entre las habilidades que requieren un dominio m´as refinado por la precisi´on con la que hay que aplicar sus procedimientos est´a la matem´atica. Es una actividad, por excelencia, educativa; empero, no es la u´nica; puede ser mucho m´as agradable lograr la maestr´ıa en ajedrez; no obstante, la matem´atica, que posee tambi´en un cariz l´ udico, es utilizable en grado sumo en diversas tareas que hay que resolver para la organizaci´on de una sociedad; es la raz´on de que la matem´atica sea asignatura indispensable en todo plan de estudios y no lo sea el ajedrez. Una de las posibilidades de la comunicaci´on entre los seres humanos, es la de ocuparse de enunciados que se siguen necesariamente de enunciados anteriores. A ello se dedica la matem´atica. Su preocupaci´on mayor, no son las cosas como son, ello lo estudian otras ciencias, sino las cosas como deben ser, si se prefijan ciertas reglas. Estos barrimtos de argumentaci´on llevan a mostrar que la matem´atica en un plan de estudios no es cuesti´on de lujo o de elecci´on de elites sino instrumento de trabajo indispensable mirando a la sociedad humana desde diversos a´ngulos. Un cuarto aspecto es el m´etodo, igualmente desde diferentes puntos de vista. El universal que indagaba Descartes para conducir bien su raz´on y para perquisi94
´ tica Acerca de la Epistemolog´ıa de la Matema
cionar con ´exito en la filosof´ıa y en las ciencias. Un matem´atico, en principio, ha de ocuparse o en ense˜ nar su ciencia o en resolver problemas que pueden ser de poca o de mucha dificultad. Los de poca, tienen m´etodos conocidos de soluci´on; para los de gran dificultad puede que haya que inventar la manera de resolverlos. Por otra parte, Hilbert mismo consideraba paradigm´atica, es decir, digna de imitaci´on, la actitud del matem´atico frente a una dificultad. Lo mismo han pensado l´ogicos como Russell. Y diferentes fil´osofos elaboraron sus sistemas mirando de reojo hacia la matem´atica. En particular Kant discurri´o ampliamente acerca de la constituci´on misma de la matem´atica para poder decidir sobre su pregunta capital de si la metaf´ısica es ciencia, as´ı como de la posibilidad para la filosof´ıa de inspirarse en los m´etodos eficientes de la matem´atica con el fin de que en metaf´ısica no se contentaran con crecimientos como los de la espuma sino que persiguieran adquisiciones duraderas, como Elementos, de Euclides. Finalmente, hay el aspecto de los problemas. Los hay estrictamente epistemol´ogicos: fundamento l´ogico, p´erdida de la certidumbre, naturaleza de la demostraci´on, relaci´on entre matem´atica y experiencia, estatuto ontol´ogico de los entes matem´aticos. Igualmente digna de consideraci´on epistemol´ogica es la actitud del matem´atico al hacer consistir su ciencia en el desenvolvimiento de ella mediante soluci´on de problemas, seg´ un la concepci´on de Hilbert. Cu´an lejos est´a el profano en matem´atica de entender lo que hace todo el d´ıa el matem´atico cuando lo considera inactivo porque el profano cree que la matem´atica se reduce a aquellas operaciones en las que sol´ıa naufragar en sus a˜ nos de educaci´on b´asica y media. Si solo eso fuera la matem´atica, m´as valdr´ıa que no existiera. Nociones de epistemolog´ıa o filosof´ıa de la matem´atica son indispensables para los matem´aticos en menesteres m´as all´a de los de “definici´on, teorema, demostraci´on”. Preguntas capitosas de su actividad: C´omo llegu´e hasta la matem´atica? Por qu´e contin´ uo en ella? Cu´al es la funci´on social o acad´emica de mi actividad como docente o como investigador? Cu´ales son los problemas, que no puedo obviar, en cuanto al alcance del conocimiento matem´atico? Cu´ales son los l´ımites de mi ciencia? Cu´al es la posici´on de la matem´atica entre las otras ciencias?
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