Álgebra. Matrices

MATRICES • − Determinar

• − Dadas las matrices, comprobar que (BA)T = ATBT :

• − Decir, cuales de estas matrices son multiplicables y obtener el producto:

• − Si A = (aij) = (i−j) y B =(bij) = [ (−1)i+j + 2j+1 ], calcular las matrices: A+B , 2A−3B y AB siendo A,B " M3. • − Sea A " Mn . Probar que : • B = A + At es una matriz simétrica. ( Bt = B) • C = A − At es una matriz antisimetrica ( −Ct = C) • Si S = 1/2(A + At) y H = 1/2(A − At) entonces S + H = A. • − Determinar x é y para que . Sol : x=1 y=4 • − Resolver el sistema matricial : ; • − Calcular X2 − Y2 siendo ;

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• − Hallar la matriz A tal que: • − Encontrar las matrices cuadradas que conmutan con

• − Demostrar que las matrices de la forma y conmutan para cualquier valor de a, b,c, d. • − Demostrar que las matrices

y

conmutan. • − Sean A,B y C tres matrices cuadradas de orden n. ¿ Son ciertas las igualdades siguientes ? Justifícalo. • (A+B)2 = A2 + 2 AB + B2 • (A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 • (A+B+C)(A+B−C) = (A+B)2 − C2 • − Sean y . Determínese C para que B = CA. • − Determinar A " M2 tales que • A2 = I c) A2 = 0 • A2 = A ( matriz idempotente ) d) AtA = 0 • − Sea A una matriz tal que A2 = A, si B = 2A−I probar que B2 = I. • − Demostrar que si A es una matriz idempotente, es decir A2 = A , entonces B = I − A es idempotente y además A"B = B"A = 0. • − Sea A una matriz cuadrada tal que A2 = A. Demuéstrese que An=A. • − Calcular las potencias n−esimas de las matrices siguientes :

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• − Dada la matriz

, hallar B = A + A2 + A3 + .... + An. • − Dada la matriz

, calcular S = I + A2 + A3 + ..... + An + ...... • − Si A"B = A"C . ¿ Podemos asegurar que B = C ? Si A"B = 0 . ¿ Podemos asegurar que A = 0 ó B =0 ? • − Si M satisface que M"P = P"M y M"N = N"M. ¿ se cumplirá que (P"N) "M = M" (P"N) ? • − Probar que todas las potencias de una matriz diagonal también son diagonales. • − Probar que : • El producto de dos matrices simétricas no es en general una matriz simétrica. • Si C = { A"M2 / A = At y a11 = a22} el producto de dos matrices de C es una matriz de C.

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• − Demostrar que la matriz

es inversa de si misma. • − Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que A2 + A + I = 0. Probar que A es inversible y calcular su inversa. • − Si

, demostrar que A2−4A−5I = 0 y calcular A−1. (NOTA : comprobar este ejercicio 28) • − Sea A una matriz cuadrada tal que A2 = A + 2I. Se pide: • Probar que A posee inversa. • Hallar las matrices diagonales de orden 2, que verifican esta relación. • − Hállese B tal que A"B = I siendo ¿Es A inversible? • − Dada la matriz . Hallar la inversa a derecha de A. ¿ Es A invertible ? • − Dada la matriz:

en la que se verifica que x2 + y2 + z2 = 1 , determinar: i) M2 ii) P = M2 + I iii) P"M iv) Comprobar que P es idempotente. DETERMINANTES • − Determinar el valor de los siguientes determinantes: a)%−1 2 3 % b)%−1 0 0 % c)%3 −1 4 5 % d)% a b c % e)% 1 −1 6 % % 4 5 1 % % 2 1 6 % %1 −1 2 3 % %−1 2 3 % % 2 1 4 % % 6 3 1 % % 4 1 3 % %0 9 6 7 % % 4 1 6 % %−3 0 a % %2 0 0 3 % • − Calcular los determinantes por el método de Sarrus, desarrollando por los elementos de una línea y haciendo ceros. %1 −1 3% %4 2 3% %1 −3 7% %8 2 1% %2 0 −1% %2 0 1%

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• − Calcular, usando la definición de determinante:

• − Determinar el valor de "a" en los siguientes casos: a) % a −7 4 % b) %a+1 −7 0 % %−1 a 3 % = 0 % 4 0 1 % = 6 % 2 0 1 % % 3 2 a−2% • − Probar que :

para todo a"R. • − Desarrollar los determinantes de Vandermonde:

• − Demostrar que

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es múltiplo de 13, sin desarrollar el determinante. • − Justificar sin desarrollar que: a) % 1 1 1 % b) %a−b−c 2a 2a % % a b c % = 0 % 2b b−a−c 2b % = (a+b+c)3 %b+c a+c a+b% % 2c 2c c−a−b% • − Demostrar sin desarrollar que: % 1 a b+c% % 1 3 5 7 % a) % 1 b a+c% = 0 b) % 3 5 7 9 % % 1 c a+b% % 5 7 9 11% % 7 9 11 13% • − Calcular : a) %0 −1 0 0 % b) %−1 2 3 0 % %1 1 −1 0 % % 8 0 0 1 % %0 1 0 1 % % 0 1 0 0 % %0 0 1 0 % %−1 0 3 −1 % • − Demostrar aplicando las propiedades de los determinantes que

iii)

• − Calcular los determinantes: %a b c 1% a) %x y 0 0% b) %x y 0 .... 0% iii) %b c a 1% %0 x y 0% %0 x y .... 0% %c a b 1% = 0 %0 0 x y% %............% %b+c a+c a+b % %y 0 0 x% %0 0 0 .. x y% %%%% %%% %%% 1% %y 00 ... 0 x% % 2 2 2 %

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• − Sea

. Razonar que su desarrollo es un polinomio de grado menor o igual que 4. Resolver la ecuación p(x) = 0 sin desarrollar el determinante. • − Razonar que el determinante

es nulo para x=−1 , x=2 y x=3. ¿ es nulo para algún otro valor de x ? • − Demostrar que 4 es el valor máximo que puede tomar un determinante de tercer orden cuyos términos son todos +1 ó −1. • − Determinar el rango de cada una de las siguientes matrices:

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• − TEORIA. Demostrar que det (A−1) = 1 / det (A) • − Calcular la inversa de cada una de las matrices: a) %1 2% b) %2 0% c) %a b% d) %5 2 0% e) %1 0 0% %3 4% %0 1% %c d% %4 2 6% %0 1 0% %2 3 6% %0 0 4% f) % 1 3 4% g) %−2 1 4% %−2 1 0% % 0 −4 2% % 7 7 12% % 3 0 2% • − Calcular utilizando sistemas de ecuaciones la inversa de las matrices: %2 0 1% %1 0 0% %3 2 1% A = %1 2 1% B = %0 −3 8% C = %0 −1 2% %0 0 1% %0 −2 5% %1 0 2%Solucion : %2 4 −5% • − Dada la matriz

. Se pide : • Determinar el rango (A) • Comprobar que A2 − 2A + I = 0 • Calcular A−1 • − Determinar en función de ß, el rango y las inversas de las matrices: %1 1 1 % %1+ß 1 0% %3 −2 1 % A = %ß 1 ß−1% B = % 1 1 1% C = %ß 1 ß+2% %1 ß 1 % % 0 1 2ß% %0 ß+3 4 % %ß 3 −1% %ß ß+3 1% %2ß+2 3 ß % D = %0 ß+1 2% E = %2 4 −1% F = %4ß−1 ß+1 2ß−1% %4 0 1% %1 −6 0% %5ß−4 ß+1 3ß−4% F=−6+11−6; =1,2,3 8

• − Calcular el rango, según los valores de a y b:

• − Estudiar para que valores del parámetro "k" son linealmente independientes los vectores : u(6,18,−k) , v(7,−2,−4) y w(4,10,−6). Sol : k=10 • − Probar, sin desarrollar, que no puede ser dos el rango de la matriz:

• − Una matriz de 3 filas y 5 columnas. ¿ Puede ser 5 su rango ? ¿puede se 2? ¿ Puede variar el rango si se suprime una columna ? • − Una matriz tiene 3 filas y 3 columnas y su rango es 3. ¿ Como puede variar el rango si le quitamos una fila ? Si quitamos una fila y una columna ¿ podemos asegurar que el rango de la matriz resultante sea 2 ? • − Dar ejemplos de matrices A " M4x3 de forma que rango(A) = 2, 3 y 4 respectivamente. • − Si a todos los elementos de una matriz se le suma un numero ¿ Puede variar su rango ? SISTEMAS DE ECUACIONES • − Estudiar y resolver los sistemas que se proponen como ejemplo: 2x − 3y + z = 0 % x − 2y + z = 0 % x − 2y + z = 0 % 2x − y + 3z = 4 % 3x + 2y − 3z = 2 % −x + 3y − z = 1 % 4x + 2y − z = 5 % 2x + 4y − 4z = 2 % −x + 3y − z = 7 % S. comp. deter. S. comp. indet. S. incompatible 2x + y − z = 0 % x − y + z − t = 1 % x+y−z=0 % 2y + 3z = 5 % 2x + 3y − 2z + t = 3 % 2x−y+z=0 % 4z = 4 % S. doblemente indet 4x+y−z=0 % S. triangular S. homogéneo • − Estudiar y resolver los sistemas siempre que sea posible: a) 3x−2y+z=−1 % b) 2x−y=1 % c) x+3y=3 % d) 3x−y+3z=−1 % 2x+y−z=2 % x+3y=−2 % 3x+5y=7 % x+y−5z=2 % 9

x−3y+z =0 % 5x−4y=7 % 2x+4y=5 % e) x+y−z+t=4 % f) 3x−4z=−2 % g) 7x−2y+11=0 % 2x−y+3z+2t=−1 % 4y+3z=1 % 5z−y+x=0 % −4x+5y−11z−4t=11 % x+6y+5z=8/3 % 2z−x−7=0 % 2x+y−11z+33=0 % • − Resuelve el sistema a11x + a12y = b1 % a21x + a22y = b2 % y comprueba que la solución coincide con la obtenida por el método de Cramer. ¿En que condiciones? • − Resolver aplicando la regla de Cramer : a)2x+y=4 % b) 2x−3y=8 % c) x+y+z=6 % d) 3x+y+z=2 % e) x−y+2z=18 % 3x−y=2 % x+y=6 % x−y+2z=5 % 2x+2y+z=5 % 2x+4y−z= 0 % x+y−z=0 % x−y+z=0 % x−y−z= 0 % • − Dado el sistema 3x1 + 2x2 + x3 = 3 −x2 + 2x3 = 1 x1 + 2x3 = 0 • Obtener la inversa de la matriz de coeficientes. • Resolver el sistema dado. • Comprobar que X = A−1.BSolucion: 2 4 −5 10 • − Estudiar y resolver los sistemas: a) x +y +z +t = 6 b) 2x+3y−z = 1 x −y +z −t = −2 x −y −z = 2 3x−y +3z− t = 2 −x−y+3z = 0 7x−5y+7z−5t = −6 • − Resolver por el método de Gauss los sistemas: a) x−y−z = 6 b) 2x−5y+3z = −12 x+y−2z = 0 3x+2y−5z = 1 x+y+z = 12 7x−4y+2z = 0 • − Resolver por el método de Gauss los sistemas: 10

a) 3x+2y+z=1 % b) x1 + 2x2 + x3 − x4 + x5 = 5 % 5x+3y+4z=2 % 2x1 − 5x2 + 4x3 + x4 − x5 = −3 % x+y−z=1 % x1 − 4x2 + 6x3 + 2x4 + x5 = 10 % %% % % %x% % % % % % % % % c) %−1 2 3 0% %y% %−1% d) %−5 3 5% %x% %−3% % 4 1 2 −1% %z% = % 2% % 8 6 7% %y% = % 5% % 2 1 3 4% %t% % 5% % 4 −1 2% %z% % 4% %%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%% e) %4 −1 5% %x% %0% f) % 5 12 % %x% %−1% %3 2 1% %y% = %0% % 6 13 % %y% = % 3% %6 4 5% %z% %0% % 1 −5 % % % % 2% %%%%%%%%%% • − Discutir y resolver en su caso los siguientes sistemas a) x−2y = 2 b) y +at = 1 x+y = 3 y+z+t = 2 x+ay = 4 x+y = 3 • − Discutir los sistemas de ecuaciones según el valor del parámetro "a" y resolverlo en los casos en que corresponda: a) ax−2y = −1 b) x +y = −2 c) x +az = −a 2x−y−az = 1 3x+y = 2a x+y+3z = 5 −x +2z = 1 3x+ay =−1 2x+ay = 0 d) (a−1)x+ (a−1)y = a e) x+2y−5z+at = 0 f) x +az = −a ax + (a−1)y = a−l 2x−3y+2z+3t = 0 x−y−3z = 5 ax−7y+z−6t = 0 2x−ay = 0 • − Hallar "c" para que el sistema sea compatible. Resolverlo en ese caso. 11

x − 3y = 1 2x + y = 3 3x − 2y = c • − Determinar el valor de b para que el sistema sea compatible: a) bx+y−z = 1 b) bx+y+z = b2 c) 2x−2y−2z+14 = 0 f) 2x−by+4z = 4 −x+by+z = 1 x− y+z = 1 5x−2y +z −4 = 0 x +z = 2 x−y+bz = 1 3x−y−z = 1 x +y +z −9 = 0 x+ y+ z = 2 6x−y+z = 3b 2x −y+2z −b = 0 • − Estudiar según los distintos valores del parámetro ß los sistemas y resolver cuando sea posible: a) x + 2z + t = 1 % b) 3x + y + ßz = 2% c) 5x − 11y + 9z = ß% 3x − y + t = ß % −x + y + z = 1 % x − 3y + 5z = 2% 2x − y − 2z = 6 % x + 2y + 3z = 3% 2x − 4y + 2z = 1% • − Discutir según los diferentes valores de los parametros: a) 3x − 2y +az = 2% b) ax + 2y + 3z = 1% c) ax + y + z = 1% x − y + z = 0% 3x + ay + 2az = 0% x + ay + z = 1% ax + 2y −2z =−3% y + 3z = 2% x + y + az = 1% d) 3x − 2y + z = 0% e) 3x − 2y + 5z = 1% 2x + y − z = 5% ax − y + 3z = b% −5x + 8y − 5z = b% x − y + z = 3%Solucion : e) %A%=5−3a % 3 a # 5/3 % 2 b = −1/3 • − Discutir y resolver en los casos en que el sistema sea compatible: a) 5x−11y+9z = k b)) (a+1)x + 6y = 9 x−3y+5z = 2 ax +(a+2)y = a+4 2x−4y+2z = 1 • − Dados los sistemas: a) x + 3y + z = 5% b) kx + y + z = 3 % kx + 2z = 0% kx − y + z = 1 %

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ky − z = 0% kx + y − z = k−1% Determinar los valores de k para los que existe solución y para ellos hallar la solución.Solucion: b) %A%=4k ==> k # 0 (S.Cramer) k=0 rg(A)=2 • Consideremos el sistema : 2x1 − 3x2 + 5x3 = 4 % x1 − 2x2 + x3 = 0 % x1 + x2 − x3 = 1 % • Comprobar si (8,4,0) es solución. (Ojo: no sale indeterminado) • Comprobar que x1=x2=x3=1 es solución. • Obtener la soluciones del sistema homogéneo asociado. • Obtener todas las soluciones. • Directamente. • Sabiendo que : S.T. = S.P. + S.H. • − Calcula el valor de p que hace compatible el sistema: 2x + y − 4z = p % 2y − z = p % y+z=6% 3x − z = 11% • − Dado el sistema de ecuaciones (m2−1)x+ (m+1)2y = m+1 (m+1)x + (m−1)y = m+1 Se pide: a) Discutirlo, encontrando los posibles valores de "m" para que sea compatible y determinado, compatible e indeterminado e incompatible, respectivamente. b) Resolverlo en el caso en que sea compatible y determinado. • − Dado el sistema : ax+2y=1 % x+2y=3 % Calcula a y b para que sea compatible determinado. −x+3y=2 % 2x+by=0 % • − Estudiar el sistema : qx + py = 1−qp2

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pq(x+y) = −p2q2 px + qy = 1−pq2 • − Discutir y resolver los sistemas homogéneos, según los valores de k: a) 2x + ky + 4z = 0% b) 6x + 18y − kz = 0% x + y + 7z = 0% 7x − 2y − 4z = 0% kx − y + 13z = 0% 4z + 10y − 6z = 0% • − Determinar a para que el sistema tenga una solución distinta de la trivial y resolverlo: a) 2x−y +z = 0 b) −ax−y−z = 0 c) x−2y+3z = 0 d) 2x−ay+z = 0 3x−2y+3z = 0 x+ay+2z = 0 ax+y−5z = 0 2x−2y+z = 0 ax−y+ z = 0 −x +y−z = 0 3x−5y+4z = 0 4x+2y+7z = 0 ax+2y−4z = 0 • − Determinar a y b que hacen compatible el sistema: x − ay + z = 0 x+y−z=0 bx − 2y − 5z = 0 2x + y + z = 0 Resolverlo cuando sea posible. • − Determínese un sistema de tres ecuaciones lineales homogéneas con cuatro incógnitas que admita como soluciones a (1,1,0,0) , (0,1,1,0) , (1,2,1,0) u no admita como solución a (0,0,0,33).Solucion: Planteada la forma matricial AX=0 A (3x4) y X (4x1) se escriben las ecuaciones resultantes para cada solucion. Observese que la tercera es la suma de la otras dos. • − Hallar un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas que admita como soluciones a (1,2,1) y a (3,−1,2). • − Dictar problema del tipo : S.G.=S.P.+S.H. Añadir problemas de eliminación de parámetros.

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