Análisis matemático con Maple

ANÃLISIS MATEMÃTICO II Trabajo Práctico Nº2 Práctica Nº5 4.a − Dada

, graficar su imagen > r[t]:=[3*cos(t^3),3*t^3,3*sin(t^3)],t=0..(2*Pi)^(1/3),u=0..1;

> with(plots): > plot3d(r[t],axes=normal,numpoints=5000);

21.a − Calcular el vector gradiente de la siguiente expresión:

1

en

> f:=(x,y)−>exp(x*y)*cos(x)*sin(y);

> with(linalg): > simplify(grad(f(x,y),[x,y]));

> eval(%,[x=Pi/4,y=Pi]);

25 − Una carga puntual, de valor q, ubicada en el origen, produce un potencial V: a − Encontrar la ley V=V(r) > V:=r−>k*q/(abs(r));

> V:=(x,y,z)−>k*q/sqrt(x^2+y^2+z^2);

b − Verificar que V es solución de la ecuación de Laplace:

> with(linalg): > Vxx:=diff(V(x,y,z),x$2);

> Vyy:=diff(V(x,y,z),y$2);

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> Vzz:=diff(V(x,y,z),z$2);

> Laplace:=Vxx+Vyy+Vzz;

> simplify(Laplace);

Con esto queda comprobado que: 31 − Para el punto , el diferencial de la variable, dr, y las funciones que siguen a continuación, calcule el diferencial dz y compare con el correspondiente incremento de la función:

Diferencial de la función: > z:=(x,y)−>ln(x^2+y^2);

> with(liesymm): > setup(x,y);

> dz:=d(z(x,y));

> eval(dz,[x=1,y=0,d(x)=−0.1,d(y)=0.31]);

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Incremento de la función: > Delta:=(z,x,y,dx,dy)−>z(x+dx,y+dy)−z(x,y);

> Delta(z,1,0,−0.1,0.31);

Práctica Nº6 3 − Dada la función compuesta z=ln sen , donde , hallar z'=

> z:=(x,y)−>ln(sin(x/sqrt(y)));

> r:=t−>[3*t^2,sqrt(t^2+1)];

> with(linalg): > zr:=dotprod(grad(z(x,y),[x,y]),diff(r(t),t),orthogonal);

> factor(zr);

> eval(%,[x=3*t^2,y=sqrt(t^2+1)]);

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42 − Siendo " "y" " funciones de e obtenga en el sistema:

> F1[1](x,y,u,v):=0; > F1[2](x,y,u,v):=0;

> F1[1]:=(x,y,u,v)−>u+x+y−v; > F1[2]:=(x,y,u,v)−>v*exp(u)+sin(x*v)−1;

> with(liesymm): > setup(x,y,u,v);

> solve({d(F1[1](x,y,u,v))=0,d(F1[2](x,y,u,v))=0},{d(v),d(u)});

> collect(op([1,2],%),[d(x),d(y)]);

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> u[y]:=eval(%/d(y),[d(x)=0]);

49 − Considerar que e son las variables independientes y que las demás variables quedan definidas en función de esas dos, a través del sistema que se indica a continuación. Obtener las derivadas parciales de primer orden de todas las demás variables dependientes del sistema.

> F[1](x,y,z,u,v):=0; > F[2](x,y,z,u,v):=0; > F[3](x,y,z,u,v):=0;

> F[1]:=(x,y,z,u,v)−>a*cos(u)*cos(v)−x; > F[2]:=(x,y,z,u,v)−>b*sin(u)*cos(v)−y; > F[3]:=(x,y,z,u,v)−>c*sin(v)−z;

> with(liesymm): > setup(x,y,z,u,v);

> dF:=solve({d(F[1](x,y,z,u,v))=0,d(F[2](x,y,z,u,v))=0,d(F[3](x,y,z,u,v))=0},{d(z),d(u),d(v)});

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> dz:=collect(op([1,2],dF),[d(x),d(y)]);

> z[x]:=expand(eval(dz/d(x),[d(y)=0]));

> z[y]:=expand(eval(dz/d(y),[d(x)=0]));

> du:=collect(op([2,2],dF),[d(x),d(y)]);

> u[x]:=expand(eval(du/d(x),[d(y)=0]));

> u[y]:=expand(eval(du/d(y),[d(x)=0]));

> dv:=collect(op([3,2],dF),[d(x),d(y)]);

> v[x]:=expand(eval(dv/d(x),[d(y)=0]));

> v[y]:=expand(eval(dv/d(y),[d(x)=0]));

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59 − Determine los puntos extremales y verifique si los mismos constituyen puntos de ensilladura, máximos o mÃ-nimos relativos: > F:=(x,y)−>x^2*y^2;

> with(linalg): > G:=grad(F(x,y),[x,y]);

> solve({G[1]=0,G[2]=0},{x,y});

Combinando este resultado se obtiene: > P[1]:=[0,0]; P[2]:=[0,y]; P[3]:=[x,0];

>MD2:=(f,x,y)−> matrix([[diff(f,`$`(x,2)),diff(f,x,y)],[diff(f,y,x), diff(f,`$`(y,2))]]);

> eval(MD2(F(x,y),x,y),[y=0,x=x]);

> det(%); 8

> eval(MD2(F(x,y),x,y),[x=0,y=y]);

> det(%);

> eval(MD2(F(x,y),x,y),[x=0,y=0]);

> det(%);

Hay 3 extremos relativos, pero no se pueden determinar de esta manera, por lo tanto se procede a determinarlos en forma gráfica: > with(plots): > plot3d(F(x,y),x=−2..2,y=−2..2,view=−2..5,orientation=[−20,45],numpoints=2000,axes=normal);

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Como se puede ver en la gráfica, los 3 extremos relativos encontrados son mÃ-nimos relativos, donde: "( )¹(0,0) à \ es mÃ-nimo relativo "( )¹( )à \ es mÃ-nimo relativo "( )¹( )à \ es mÃ-nimo relativo 10

61 − Ãdem al ejercicio anterior para: > F:=(x,y)−>x^2+y^2+2*x*y−x−y−5;

> with(linalg): > G:=grad(F(x,y),[x,y]);

> solve({G[1]=0,G[2]=0},{x,y});

De este resultado se obtiene: > P:=(x,−x+1/2);

> MD2:=(f,x,y)−>matrix([[diff(f,`$`(x,2)),diff(f,x,y)],[diff(f,y,x),diff(f,`$`(y,2))]]);

> eval(MD2(F,x,y),[x=−y+1/2,y=y]);

> det(%);

Una vez más encontramos un extremo no determinable de esta manera, entonces se analiza la gráfica:

> plot3d(F(x,y),x=−10..10,y=−10..10,view=−6..5,orientation=[−110,60],numpoints=2000,axes=normal,style=patchconto

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Se puede ver en la grafica que f(x,y) es constante a lo largo de toda una recta. Dicho valor constante es: > simplify(F(P));

Se puede comprobar, completando cuadrados, que: > F(x,y)=((x+y)−1/2)^2−21/4;

> F_1:=(x,y)−>(x+y−1/2)^2−21/4;

> F_1(P);

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Se puede ver a simple vista que si ( )¹ el primer miembro de la suma será mayor que cero (ya que está elevado al cuadrado). \ à P es mÃ-nimo relativo, donde P es el conjunto de puntos pertenecientes a la recta

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