analyse

NETWERKEN EN FILTERS Rik Pintelon

Rik Pintelon, Brussel, oktober 2005 Version 19 October 2016

1

Inhoudstabel DEEL I: Analyse van Netwerken I a Lineaire Netwerken 1. Inleiding basiselementen 1.1. Definities 1.2. Ideale 1-poorten 1.3. Ideale 2-poorten 1.4. Ideale bronnen 1.6. Basisonderstellingen 2. Matriciële formulering van de KCL-, KVL- en VAL-wetten 2.1. Inleiding 2.2. Verband tussen een netwerk en een georiënteerde graf 2.3. KCL-wet 2.4. KVL-wet 2.5. VAL-wet 2.6. Samenvatting van de vergelijkingen 2.7. Verlagen van het aantal onbekenden 2.8. Overzicht van de vergelijkingen 2.9. Matriciële oplossing van netwerken 2.10. Interpretatie van de methode van de knooppuntpotentialen 2.11. Interpretatie van de methode van de maasstromen 2.12. Uitbreiding van de methode van de knooppuntpotentialen 2.13. Uitbreiding van de methode van de maasstromen 3. De stellingen van Thévenin en Norton 3.1. Probleemstelling 3.2. Stelling van Thévenin 3.3. Stelling van Norton 3.4. Toepassing op een actieve kring 3.5. Toepassing op kringen die niet vanuit rust vertrekken 4. Studie van 2-poorten 4.1. Definitie en basisvergelijkingen 4.2. Canonieke voorstellingen van 2-poorten 4.3. Verband tussen canonieke vormen van 2-poorten 4.4. Schakelen van tweepoorten 4.5. Reciprociteit van tweepoorten 4.6. Schalingseigenschap van een impedantie en een transfer functie 4.7. Efficiënt berekenen van tweepoorten 5. Gevoeligheidsstudie van 2-poorten 5.1. Definitie en eigenschappen van de gevoeligheid 5.2. Analytisch berekenen van de gevoeligheid 5.3. Numeriek berekenen van de gevoeligheden. 5.4. Berekenen van de groepdoorlooptijd 6. Switched capacitor netwerken 6.1. Inleiding 6.2. Elementaire bouwstenen. 6.3. Oplossen van switched capacitor netwerken 6.4. Eigenschappen van switched capacitor filters

2 4 5 5 6 8 9 10 12 12 13 14 16 19 19 20 21 22 23 26 27 33 36 36 36 38 39 42 43 43 45 49 50 56 58 60 62 62 63 63 68 70 70 72 76 77

2

6.5. Vermogen dissipatie van een switched capacitor netwerk I b Niet-lineaire Netwerken 7. DC- analyse van niet lineaire netwerken 7.1. Definitie 7.2. Voorbeelden van niet lineaire elementen 7.4. Oplossen van de basisvergelijkingen 7.5. Netwerk- interpretatie van de numerieke oplossingsmethode 8. Transiënt analyse van niet lineaire netwerken 8.1. Inleiding 8.2. De toestandsveranderlijke methode 8.3. De kompanionmethode Referentiewerken

79 81 82 82 82 84 85 94 94 94 100 111

3

DEEL I: ANALYSE VAN NETWERKEN I A LINEAIRE NETWERKEN

4

1.

Inleiding basiselementen

1.1. Definities Een netwerk is een aaneenschakeling van éénpoorten, tweepoorten, …, n-poorten, die symbolisch voorgesteld worden als: i

éénpoort:

Voorbeeld: spoel, condensator, weerstand

u

i

tweepoort i1

i2 Voorbeeld: versterker

u1

u2 i1

i2

n-poort i1 u1

i1

Voorbeeld: 3-fasige transformator

i2 u2

i2

 in un

in

Een aantal ideale 1-poort en 2-poort elementen zullen verderop besproken worden. Een reële component zoals een batterij of een condensator bestaat uit een aaneenschakeling van ideale componenten.

5

1.2. Ideale 1-poorten Tijdsdomein it

weerstand

R ut

it

spoel

it

u  t  = Ri  t 

of

ut = L d it dt

of

U  p  = L  pI  p  – i  0 -  

it = C d ut dt

of

I  p  = C  pU  p  – u  0 -  

U  p  = RI  p 

L ut

condensator

Laplace-domein

C u t

Zoals uit de vergelijkingen in het Laplace-domein blijkt, bestaat er niet noodzakelijkerwijs een evenredig verband tussen de Laplace-getransformeerden van de spanning en de stroom. Bestaat er dan zoiets als een impedantie in het Laplace-vlak? Via de volgende equivalentie tonen we aan dat dit inderdaad zo is. i 0-  u t

 it

L

i 0-   0

it

L j  t  j  0 -  = 0

Elektrisch equivalent

u t

v  t  v  0 -  = 0

u  t  u  0 -   0

u 0- 

 it

C

Elektrisch equivalent

it

C ut

We bewijzen de equivalentie voor de condensator, het bewijs voor de spoel wordt als oefening overgelaten aan de lezer. De werkingsvergelijkingen van het rechterschema zijn:   I  p  = CpV  p  d  it = C vt  dt   u 0-   u t  = v t  + u 0-   U  p  = V  p  + -----------p  

(1)

6

Eliminatie van V  p  in (1) geeft u 0  I  p  = Cp  U  p  – ------------- = C  pU  p  – u  0 -    p  -

wat het gestelde bewijst. We besluiten dat het begrip impedantie bestaat in het Laplace-domein indien alle beginvoorwaarden nul zijn. Indien niet, dan moet men eerst alle geladen condensatoren vervangen door een ongeladen condensator in serie met een DC-spanningsbron, en alle spoelen waardoor een stroom vloeit op t=0, vervangen door spoelen waardoor geen stroom vloeit op t=0 met parallel daarover een DC-stroombron.

R

L

C

Impedantie R

Impedantie Lp

1Impedantie -----Cp

Opmerkingen 1) inschakelgedrag ideale 1- poorten: • condensator reageert op een plotse stroomverandering als een kortsluiting  i  t  = C d u  t   u  t  is een continue functie   dt • spoel reageert als een open klem op een plotse spanningsverandering  u  t  = L d i  t   i  t  is een continue functie   dt 2) Reële spoel of

Reële condensator

7

1.3. Ideale 2-poorten De transformator M

i1  t 

u1  t 

L1

i2  t 

u2  t 

L2

i1  0-   0 ; i2  0-   0 electrisch equivalent (als oefening) i1  t 

u1  t 

M

j1  t 

i1  0- 

j2  t 

i2  0 - 

L2

L1

i2  t 

u2  t 

Tijdsdomein  u1  t  = L1 d i1  t  + M d i2  t  dt dt   u t = M d i t + L d i t 2  2 dt 1 dt 2 Laplace-domein  U 1  p  = L 1 pI 1  p  + MpI 2  p  –  L 1 i 1  0  + Mi 2  0     U 2  p  = MpI 1  p  + L 2 pI 2  p  –  Mi 1  0 -  + L 2 i 2  0 -  

De gyrator i1  t  u1  t 

r

i2  t  u2  t 

8

Tijdsdomein  u 1  t  = – ri 2  t    u 2  t  = ri 1  t  Laplace-domein  U 1  p  = – rI 2  p    U 2  p  = rI 1  p  1.4. Ideale bronnen a) onafhankelijke bronnen (spannings- en stroombronnen) j0

E0

Et

b) gestuurde bronnen (4 soorten) soort bron 1. spanningsbron 2. spanningsbron 3. stroomsbron stroombron 4.

soort stuurgrootheid spanning stroom spanning stroom

In het eerste voorbeeld spreekt men van een spanningsgestuurde spanningsbron, vervolgens stroomgestuurde spanningsbron enz… 1.5. Rekenen met impedanties: éénvoudige voorbeelden a) Voorbeeld 1: berekenen van de overgangsverschijnselen van de volgende kring t = 0 R E

C

u  t  u  0 -   0

 R E

C

vt u 0- 

ut

9

Gebruik makend van de wet van de spanningsdeler vinden we de Laplace getransformeerde V  p  van de spanning v  t  in het equivalent schema 1   Cp  E u  0 -  E – u 0-  V  p  = -----------------------------  --- – ------------- = ---------------------------1   Cp  + R  p p  p  RCp + 1  Gezien U  p  = V  p  + u  0 -   p volgt hieruit het gezochte spanningsverloop u(t) u(t) = L – 1  U  p   = u  0 -  +  E – u  0 -    1 – e – t   RC   waarbij L – 1   de invers Laplace getransformeerde voorstelt. b) Voorbeeld 2: ingangsimpedantie van de gyrator belast met een condensator Ip Zp

Up

r

I2  p  U2  p 

C

In de onderstelling dat de initiële condities nul zijn, en gebruik makende van de werkingsvergelijkingen van de gyrator, vinden we – rI 2  p  I2  p  Up Z  p  = ------------ = --------------------- = – r 2 --------------- =  – r 2   – Cp  = r 2 Cp U2  p   r U2  p  Ip Uit de vergelijking volgt dat een gyrator belast met een condensator zich gedraagt als een spoel met waarde r 2 C . In deel 2 van de cursus zullen we zien hoe een gyrator met behulp van operationele versterkers, weerstanden, en condensatoren kan gemaakt worden. 1.6. Basisonderstellingen De volgende onderstellingen zullen veelvuldig gemaakt tijdsinvariantie, passiviteit, geconcentreerde elementen.

worden:

lineariteit,

a) Lineariteit Dit eist dat het netwerk vanuit rust vertrek (alle beginvoorwaarden zijn nul), zo niet heeft men GEEN evenredig verband tussen spanning en stroom. Let wel dat indien de beginvoorwaarden niet nul zijn de oplossing wel gevonden kan worden als de superpositie van lineaire deelproblemen. niet-lineair u lineair

i (Opmerking: lineariteit in systeemtheorie houdt in feite evenredigheid in) 10

b) Tijdinvariantie Dit eist dat alle elementwaarden onafhankelijk van de tijd zijn: R, L, C, M, r, … zijn constanten. c) Passiviteit Dit eist dat het netwerk op elk ogenblik niet meer energie teruggeeft aan de buitenwereld dan het ontvangen heeft. Voor een n-poort wordt deze eis n

 uk  t ik  t 

vermogen p  t  =

k=1 t

 p  t  dt  0

energie e  t  =

(2)

–

Bijvoorbeeld voor een spoel wordt (2): t

et =

 –

Li 2  t  L  d i  t  i  t  dt = --------------  0 dt  2

Bewijs als oefening dat de weerstand, de condensator, de transformator en de gyrator passieve elementen zijn. d) Geconcentreerde elementen In deze cursus gaan we er vanuit dat de voortplantingssnelheid van de elektromagnetische golven oneindig groot is (= theorie van de geconcentreerde elementen). Deze onderstelling is zinvol indien de golflengte geassocieerd aan de hoogste frequentie in de signalen veel groter is dan de fysische afmeting van het netwerk. Voorbeeld 1: c = 3 10 m/s     = 3 cm f = 10 GHz  8

Voorbeeld 2: 8 c = 3 10 m/s     = 6000 km f = 50 Hz 

Indien de hypothese c =  niet opgaat krijgt men effecten die aan de hand van de theorie met geconcentreerde elementen niet kan verklaren, zoals golfvoortplanting, huideffect (skineffect) in geleiders enz… (zie cursus elektromagnetisme).

11

2.

Matriciële formulering van de KCL-, KVL- en VAL-wetten

2.1. Inleiding Het doel is om tot een matriciële formulering te komen van de 3 basisvergelijkingen van een netwerk: 1) KCL- wet (Kirchoff current law) i1

i2 i1 – i2 – i3 = 0 i3

Som van de stromen naar een knoop (doorsnede) toe = 0. 2) KVL-wet (Kirchoff voltage law)

u1

u2 u1 – u2 – u3 + u4 = 0

u4

u3

Som van de spanningen in een gesloten lus = 0. 3) VAL - wet (volt- ampère law) Ep

Ip

U  p  = Z  p I  p  – E  p  Zp Up

Daar waar de KCL en KVL-wetten geldig zijn voor zowel lineaire als niet-lineaire netwerken, drukt de VAL-wet het lineaire gedrag van het netwerk uit.

12

2.2. Verband tussen een netwerk en een georiënteerde graf We voeren de equivalentie tussen een netwerk en een georiënteerde graf, en een aantal definities in via een voorbeeld, namelijk een brugschakeling. 2

2

I3 U2

U3

I5 Z2

I2

t5

Z5

3

U1

I4

Z4

3

1

I1

4

1

t4

t1

Z1

U4

0

I6

t3

Z3

U5

1

t2

6

Z6

0

t6 U6

E6 Geörienteerde graf

Netwerk Figuur 1 Definities en conventies n + 1 = totaal aantal knopen in het netwerk  n = 3  t = aantal takken in netwerk n = 6 boom = verzameling van takken zodanig dat er tussen 2 willekeurig gekozen knopen slechts 1 pad bestaat dat hen verbindt. Dit moet opgaan voor elk gekozen knopenpaar ( boom =  t 2 t 3 t 5  ) twijg = tak die tot de boom behoort  t 2 t 3 t 5  liaan = tak die niet tot de boom behoort  t 1 t 4 t 6 

13

fundamentele lus  = lus die ontstaat door bij een boom een liaan toe te voegen  1 =  t 1 t 2 t 5  orientatie tak = zin van de stroom door de tak I = t  1 vector van de takstromen I 1 I2  I6 U = t  1 vector van de takspanningen U 1 U2  U6 Merk op: Een boom bevat precies n twijgen Er zijn bijgevolg t – n lianen in een netwerk Er zijn t – n fundamentele lussen in een netwerk De georiënteerde graf bevat alle informatie i.v.m de stroomzin en spanningszin van alle takken van het netwerk. De enige informatie die ontbreekt is het verband spanning/stroom in elke tak. We kunnen dus niet verwachten dat de georiënteerde graf de VAL- wetten zal kunnen beschrijven. 2.3. KCL-wet a) De verbindingsmatrix of schakelmatrix A A is een  n + 1   t matrix

 A  ij = a ij

  1 i  t j en pijl uit knoop  =  – 1 i  t j en pijl naar knoop   0 i  tj 

voorbeeld: de brugschakeling (zie Figuur 1 § 2.2.) t1 0

A =1 2 3

     

–1 1 0 0

t2 t3 0 1 –1 0

0 0 –1 1

t4 t5 –1 0 0 1

–1 0 1 0

t6 0   –1  0  1 

(3)

b) AI = 0 beschrijft de KCL- wetten in alle knopen.

14

Bewijs (aan de hand van een voorbeeld) tr

tq

Geörienteerde graf

ts i

de i -de rij van AI = 0 is t

 aik Ik

(4)

= 0

k=1

Een term van deze som is enkel verschillend van nul indien a ik  0 . Dit betekent dat de knoop i tot tak t k behoort. (4) herleidt zich dus tot a is I s + a ir I r + a iq I q = 0 Nu is a is = 1 , a ir = 1 , a iq = – 1 zodat Is + Ir – Iq = 0

of

– Is – Ir + Iq = 0

wat precies de KCL- wet is uitgedrukt in knoop i . c) rang  A  = n We zullen aantonen dat er precies n lineaire onafhankelijke KCL- wetten zijn in een netwerk. Bewijs: Het bewijs gebeurt in 2 stappen. Eerst tonen we aan dat rang  A   n , nadien tonen we aan dat rang  A   n waaruit we dan besluiten dat rang  A  = n . • Deel 1: bewijs, rang  A   n . We stellen de schakelmatrix A op waarbij we de kolommen van A zodanig schikken dat eerst de twijgen voorkomen en nadien de lianen. Dit houdt in dat we een boom gekozen hebben. t w1 t w2 t w3  t wn t l1 t l2  tl t – n        2   1  0  n

0   0 1 1

0  0 1 ? ?

0  1 ? ? ?

        

1 ? ? ? ?

De matrix wordt als volgt opgebouwd. Kies eerst een referentieknoop 0 . Hieruit vertrekt een twijg t w1 en komt toe in een knoop die we 1 nummeren. 0

t w1

1

15

Vanuit knoop 1 of knoop 0 moet er een andere twijg t w2 van de boom vertrekken (zo niet hebben we geen boom), bijvoorbeeld:

0

1

t w1

0

1

t w1

of t w2

t w2 2

2

Twijg t w2 verbindt dus knoop 2 met knoop 0 of 1 . We gaan zo verder totdat alle twijgen opgebruikt zijn. Dit levert een driehoeksmatrix op voor de n eerste kolommen en n eerste rijen van de A matrix met op de nevendiagonaal enkel  1 . Bijgevolg is rang  A   n . • Deel 2 bewijs, rang  A   n . Gezien een tak juist 2 knopen met elkaar verbindt is de som van alle elementen van een kolom van A = 0 (zie bijvoorbeeld (3)). Bijgevolg zijn de rijen van A lineair afhankelijk en dus rang  A   n + 1 of rang  A   n wat het gestelde bewijst. d) Besluit Er zijn juist n lineair onafhankelijke KCL-vergelijkingen. Daarom beperkt men het aantal rijen van de A matrix tot n . Dit houdt in dat men de KCL-wet in de referentieknoop 0 niet uitdrukt (is lineair afhankelijk van alle andere). Voor de éénvoud gaan we ook onderstellen dat er geen ideale stroombronnen aanwezig zijn in het netwerk; indien wel dan zouden een aantal van de takstromen gekend zijn. Achteraf gaan we die beperking opheffen. 2.4. KVL-wet a) De kringenmatrix B B heeft t kolommen en een aantal rijen dat overeenkomt met het totaal aantal lussen dat gevonden kan worden in het netwerk.

 B  ij

  1  = b ij =  – 1   0 

t j   i en takzin = zin kring t j   i en takzin  zin kring tj  i

voorbeeld: de brugschakeling (zie Figuur 1 § 2.2.) Kies als boom  t 2 t 3 t 5  dan krijgen we als fundamentele lussen  1 ,  4 en  6 .  1 =  t 1 t 5 t 2  ,  4 =  t 4 t 5 t 3  , en  6 =  t 6 t 2 t 3  . De B matrix gebouwd op deze fundamentele lussen is dan

16

t1 t2 t3  1 –1 0   0 0 –1   0 1 –1

1 B = 4 6

t4

t5

t6 0 – 1 0  1 –1 0   0 0 1 

b) BU = 0 beschrijft de KVL-wetten in alle lussen Bewijs (aan de hand van een voorbeeld) Ur tr i ts

tq

Us

Uq

de i -de rij van BU = 0 is t

 bik Uk

(5)

= 0

k=1

Een term van deze som kan enkel verschillend van nul zijn indien b ik  0 . Dit betekent dat tak t k tot lus  i behoort. (5) herleidt zich dus tot b ir U r + b iq U q + b is U s = 0 Nu is b ir = 1 , b iq = 1 , b is = – 1 zodat Ur + Uq – Us = 0

of

– Ur – Uq + Us = 0

wat juist de KVL-wet is uitgedrukt in lus  i . c) rang  B  = t – n We tonen aan dat er juist t – n lineair onafhankelijke KVL-wetten bestaan in een netwerk. Bewijs: Het bewijs gebeurt in 2 stappen. Eerst tonen we aan dat rang  B   t – n . Nadien bewijzen we dat rang  B   t – n zodat we kunnen besluiten dat rang  B  = t – n . • Deel 1, rang  B   t – n . Hier maken we gebruik van de stelling van Sylvester: indien PQ = 0 met P r  s en Q s  q dan rang  P  + rang  Q   s (zie cursus lineaire algebra)

17

We zullen aantonen dat AB T = 0 waaruit dan volgt dat (stelling van Sylvester) rang  A  + rang  B   t Gezien rang  A  = n volgt hieruit dat rang  B   t – n Het element op de i -de rij, j -de kolom van AB T is t

 aik bjk

 AB T  ij =

k=1

Een term uit deze som is verschillend van 0 indien  i  tk a ik b jk  0    tk  j i

tk

j

Gezien  j een lus vormt bestaat er dus een tak t k die knoop i raakt (anders kan de lus nooit gesloten worden). i

ti

tk

j Gevolg: er bestaat een 2 e term in de som, namelijk a il b jl , die verschillend is van van nul. De som van deze 2 termen is nu gelijk aan: a ik b jk + a il b jl =  – 1   – 1  +  – 1   1  = 0 De lezer kan als oefening nagaan dat dit resultaat onafhankelijk is van de gekozen takzinnen t l , t k en de gekozen kringzin  j . • Deel 2, rang  B   t – n . Via het opbouwen van B aan de hand van fundamentele kringen tonen we aan dat er ten minste t – n onafhankelijke lussen bestaan. We kiezen een boom en schikken de kolommen van B zodat de lianen eerst voorkomen.

1 2 B = 3  t – n

        

t l1

t l2

t l3

1 0 0   0

0 1 0   0

0 0 1   0



t l  t – n  t w1 0 0 0 0  1

t w2

?



t wn         

18

Gezien de definitie van een fundamentele lus is het duidelijk dat liaan t lj enkel tot kring  j behoort en niet tot de andere fundamentele lussen. Dit verklaart de identiteitsmatrix voor de t – n eerste kolommen van B . De rang van de aldus opgebouwde matrix is t – n . Daar er nog andere onafhankelijke lussen kunnen zijn volgt hieruit dat rang  B   t – n . 2.5. VAL-wet Het verband spanning - stroom van tak t k is Ik

Ek

Zk  p 

Uk Uk = Zk Ik – Ek Indien er (mutuele) koppelingen bestaan tussen de takken moeten we dit verband uitbreiden tot: t

 Zkl Il – Ek

Uk = Zk Ik +

(6)

l = 1 lk

waarbij Z kl = M kl p in geval van mutuele koppelingen. Invoeren van de definitie Z kk = Z k laat toe (6) te herschrijven t

Uk =

 Zkl Il – Ek l=1

Of in matrix gedaante U = ZI – E waarbij Z = t  t tak impedantiematrix E = t  1 vector van de tak spanningsbronnen 2.6. Samenvatting van de vergelijkingen De matriciële vorm van de 3 wetten luidt KCL: AI = 0 KVL: BU = 0 VAL: U = ZI – E

(n vergelijkingen) (t – n vergelijkingen) (t vergelijkingen)

Er zijn dus 2t vergelijkingen en 2t onbekenden (alle takstromen en takspanningen) Voor de brugschakeling (zie Figuur 1, § 2.2.) geeft dit een 12  12 stelsel wat reeds vrij groot is voor een éénvoudig netwerk. Gezien we meestal nooit in alle takspanningen en/ of takstromen geïnteresseerd zijn loont het dus de moeite om na te gaan of we het aantal onbekenden niet beduidend kunnen verlagen. Dit is het doel van de volgende paragraaf.

19

2.7. Verlagen van het aantal onbekenden a) De knooppuntpotentialen vormen een basis voor de takspanningen: U = AT Vn waarbij V n = n  1 vector van de knooppuntpotentialen Bewijs: beschouw de k -de rij van A T U n n

 ATV

n k

=

 alk Vl

tk

i

l=1

=  a ik V i + a jk V j 

j

Uk

=   1 V i +  – 1 V j  = Uk

Voorbeeld, de brugschakeling (zie Figuur 1, § 2.2.) heeft 6 takken ( t = 6 ) en 3 vrije knopen ( n = 3 ) zodat we van 6 naar 3 onbekenden gaan. b) De liaanstromen vormen een basis voor de takstromen I = B T Il waarbij I l =  t – n   1 vector van de liaanstromen Bewijs: we vertrekken van de KCL-vergelijkingen AI = 0 Deze worden zodanig geschikt dat twijgen

lianen

A tw

Al

I tw

(7)

= 0

Il

Met A tw n  n reguliere matrix

( det A  0

bewijs, zie §

A l n   t – n  matrix I tw n  1 vector van de twijgstromen Il

 t – n   1 vector van de liaanstromen

Uitwerken van (7) geeft A tw I tw + A l I l = 0 of –1 A I I tw = – A tw l l

20

Zodat I =

–1 A I – A tw l l

=

–1 A – A tw l

Il

It – n

Il

(8)

Waarbij I t – n een  t – n    t – n  identiteitsmatrix is. Nu moeten we nog aantonen dat de matrix in het rechterlid in (8) precies B T is. Om dit aan te tonen maken we gebruik van AB T = 0 : A tw A l B tw B l 

A tw A l

T B tw

T

=0

=0

B lT



T + A BT = 0 A tw B tw l l



T = – A –1 A B T B tw tw l l

(9)

(9) laat toe om B T te schrijven als T

B =

–1 A – A tw l

It – n

Bl

(10)

Via een geschikte nummering (zie bewijs, § 2.4.c) is B l = I t – n zodat (8), (9) leidt tot I = B T Il 2.8. Overzicht van de vergelijkingen De KCL-, KVL- en VAL-wetten vormen een 2t  2t stelsel van vergelijkingen  AI = 0   BU = 0   U = ZI – E

(11)

Het aantal onbekenden ( 2t ) wordt sterk gereduceerd door de volgende betrekkingen: T  U = A Vn   I = B T Il

(12)

namelijk van 2t naar t . Indien we nu enkel geïnteresseerd zijn in de knooppuntpotentialen, kunnen we dan de liaanstromen elimineren in (11), of omgekeerd, indien we enkel I l wensen, kan dan V n geëlimineerd worden? De volgende paragraaf geeft een antwoord op deze vragen. Merk op dat we nog steeds onderstellen dat er geen ideale stroombronnen aanwezig zijn in het netwerk; een beperking die later zal weggewerkt worden.

21

2.9. Matriciële oplossing van netwerken a) Methode van de knooppuntspotentialen We wensen hier tot een stelsel in V n te komen. Manipulatie van de VAL-wet geeft: Z –1 U = Z – 1 ZI – Z – 1 E AZ –1 U = AI – AZ –1 E Rekening houdend met de KCL-wet ( AI = 0 ) wordt dit: AZ – 1 U = – AZ – 1 E Of nog (12)  AZ – 1 A T V n = – AZ – 1 E We definieren AZ –1 A T = Y n = knoopadmittantiematrix – AZ – 1 E = J n = knoopstroombronvector zodat Yn Vn = Jn

(n  n stelsel)

(13)

Opmerking: bij het afleiden van (13) hebben we stilzwijgend ondersteld dat Z – 1 = Y bestaat. Dit houdt in dat het netwerk geen ideale transformatoren bevat noch ideale spanningsbronnen (= spanningsbronnen met uitgangsimpedantie = 0). Achteraf zullen deze beperkingen weggewerkt worden. b) Methode van de maasstromen (lusstromen) We wensen een stelsel in I l op te stellen. Hiertoe moeten we V n in (11), (12) elimineren. Vermenigvuldig daartoe de VAL-wet links met B : BU = BZI – BE Rekening houdend met de KVL-wet wordt dit 0 = BZI – BE Of nog (12):  BZB T I l = BE

(14)

We definieren BZB T = Z m = kringimpedantiematrix BE = E m

= kringspanningsbronvector

Il = Im

= vector van de lus- (maas-)stromen

Zodat Zm Im = Em

(  t – n    t – n  stelsel)

22

Opmerking: Bij het opstellen van (14) hebben we stilzwijgend ondersteld dat Z bestaat. Dit is niet het geval voor netwerken die bijvoorbeeld ideale stroombronnen (= bronnen met uitgangsimpedantie =  ) bevatten. Achteraf zal deze beperking weggewerkt worden. 2.10. Interpretatie van de methode van de knooppuntpotentialen Om Y n en J n te interpreteren zullen we een bijkomende onderstelling moeten invoeren, namelijk dat Z diagonaal is. Dit sluit koppelingen tussen verschillende takken uit. Achteraf zal deze beperking weggewerkt worden. a) de knoopadmittantiematrix Y n = AZ –1 A T Het element op de i -de rij, j -de kolom van Y n is ( Z – 1 = Y )

t

 Y n  ij =



a ik Y kl a jl

k l = 1 t

=

 aik ajk Yk

 Y kl = Y k  kl 

k=1

• voor een hoofddiagonaalelement ( i = j ) wordt dit: t

 Y n  ii =

  aik  2 Yk k=1

Een term uit deze som is verschillend van nul indien a ik  0 , wat betekent dat tak t k knoop i moet raken. Bijvoorbeeld: t1 t i 3

t2  Y n  ii =  – 1  2 Y 1 +  1  2 Y 2 +  – 1  2 Y 3 = Y 1 + Y 2 + Y 3 Hieruit volgt regel 1:  Y n  ii = som van de admittanties van de takken die knoop i raken • voor een niet- diagonaal element ( i  j ) krijgen we:

23

t

 aik ajk Yk

 Y n  ij =

k=1

Een term uit deze som kan enkel verschillend van nul zijn indien a ik a jk  0

i , j  tk

i

j

tk a ik a jk =  1   – 1  = – 1

Dit laatste resultaat is onafhankelijk van de gekozen takzin t k . We besluiten dat enkel de takken gelegen tussen knopen i en j een bijdrage hebben tot de som. Hieruit volgt regel 2:  Y n  ij i  j = – (som van de admittanties van de takken gelegen tussen knopen i en j ) b) De knoopstroombronvector J n = – AZ – 1 E . Het i -de element van de vector J n is: t

 Jn i = –



a ik Y kl E l

k l = 1 t

= –

 Y kl = Y k  kl 

 aik Yk Ek k=1

Een term uit deze som kan enkel verschillend van nul zijn indien a ik  0 en Ek  0 d.w.z. er moet een tak t k bestaan die knoop i raakt en bovendien een spanningsbron bevat. Bijvoorbeeld: i

i

tk Geörienteerde graf

j

Ik

Zk

Ek Netwerk

(merk op dat E k positief gerekend wordt indien bij het kortsluiten van de tak de stroom in de takzin doet vloeien) Zodat a ik = – 1 en dus de bijdrage tot  J n  i gelijk is aan

24

Y k E k . Dit is precies de stroom geïnjecteerd in knoop i door de stroombron van het Norton equivalent van de tak: Ek  Zk Zk 

i

Ik

i

Ek Thévenin

Norton

Hieruit volgt regel 3:  J n  i = som van de stromen geïnjecteerd in knoop i door de stroombronnen. De bijdrage wordt positief gerekend indien de stroom in de knoop vloeit. Ze wordt negatief gerekend indien ze uit de knoop vloeit. Opmerking: om regel 3 toe te passen moeten we dus eerst het Norton equivalent van alle spanningsbronnen tekenen. Dit gaat niet voor ideale spanningsbronnen, wat meteen de opgelegde beperking verklaart. c) Voorbeeld, de brugschakeling (zie Figuur 1, § 2.2.) Y1 + Y2 + Y6

–Y2

–Y6

–Y2

Y2 + Y3 + Y5

–Y3

–Y6

–Y3

Y3 + Y4 + Y6

Yn =

Y6 E6 Jn =

0 –Y6 E6

Oefening: stel de schakelmatrix A op en bereken Y n , J n via de definities in (13). d) Besluit Het is dus niet nodig om A op te stellen en via de definities (13) Y n , J n uit te rekenen. Met behulp van de 3 regels kunnen we Y n en J n rechtstreeks uit het netwerk halen. e) Opmerking We kunnen de methode van de knooppuntpotentialen rechtstreeks uit de KCL-wet van een knoop halen: Z1 Z3 I 1 I 1

3

2

4

I2

E Z2 3

KCL in 1 : I 1 + I 2 + I 3 = 0

25

Nu is I1 = Y1  V2 – V1  I2 = Y2  V3 – V1  I3 = Y3  V4 – V1 + E  Zodat Y 1  V 2 – V 1  + Y 2  V 3 – V 1  + Y 3  V 4 – V 1 + E  = 0 Uitwerken geeft:  Y 1 + Y 2 + Y 3 V 1 – Y 1 V 2 – Y 2 V 3 – Y 3 V 4 = Y 3 E wat precies overeenkomt met de eerste vergelijking van Y n V n = J n . Het probleem met deze afleidingsmethode is dat ze geen informatie geeft over de rang van het stelsel. De lange afleidingsmethode bewijst dat Y n V n = J n een regulier stelsel is. 2.11. Interpretatie van de methode van de maasstromen Ook hier moeten we onderstellen dat Z diagonaal is. Dit sluit bijvoorbeeld transformatoren uit. Achteraf zal deze beperking weggewerkt worden. a) De kringenimpedantiematrix Z m = BZB T Regel 1  Z m  ii = som van de impedanties die men tegenkomt bij het doorlopen van kring  i . Regel 2  Z m  ij i  j = som van de impedanties gemeenschappelijk aan kringen  i ,  j . De impedantie wordt positief gerekend indien beide kringen ze in dezelfde zin doorlopen. Zoniet is de bijdrage negatief. b) De kringenspanningsbronvector E m = BE Regel 3  E m  i = som van de spanningsbronnen die men tegenkomt bij het doorlopen van kring  i . De bijdrage is positief indien kring en spannningsbron dezelfde zin hebben . Zoniet is de bijdrage negatief. Het bewijs van deze 3 regels wordt als oefening overgelaten aan de lezer (bewijsvoering is analoog aan deze in § 2.10.) c) Voorbeeld, de brugschakeling (Figuur 1, § 2.2.) met als boom  t 2 t 3 t 5 

Zm =

1

4

6

1

Z1 + Z5 + Z2

Z5

–Z2

4

Z5

Z4 + Z5 + Z3

Z3

6

–Z2

Z3

Z6 + Z2 + Z3

Em

0 = 0 E6

1 4 6

Oefening stel de kringenmatrix B op en bereken Z m , E m via de definities in (14). d) Besluit

26

Het is dus niet nodig om B op te stellen en via de definities (14) Z m , E m uit te rekenen. Met behulp van de 3 regels kunnen we Z m en E m rechtstreeks uit het netwerk afleiden. 2.12. Uitbreiding van de methode van de knooppuntpotentialen Om tot de 3 de regels te komen om Y n , J n rechtstreeks uit het netwerk af te leiden hebben we de volgende onderstellingen gemaakt: 1) Er zijn geen ideale stroombronnen in het netwerk (alle takstromen zijn ongekend). 2) Er zijn geen ideale spanningsbronnen, noch ideale transformatoren in het netwerk ( Z – 1 bestaat). 3) Er bestaan geen (mutuele) koppelingen tussen de takken van het netwerk ( Z is diagonaal). Deze beperkingen worden nu één voor één weggewerkt.

a) Ideale stroombronnen Indien het netwerk ideale stroombronnen bevat dan zijn er evenveel takstromen in de vector I gekend als er stroombronnen zijn. De KCL-vergelijkingen in (11) moeten dan herschreven worden als (15)

A'I ' – J = 0

met A' de n  t ' schakelmatrix van het netwerk waarbij de stroombronnen verwijderd zijn, I ' de vector van de onbekende takstromen (alle takstromen van het netwerk zonder de ideale stroombronnen), t ' = t – aantal ideale stroombronnen , en J een n  1 vector die de bijdragen van de ideale stroombronnen tot de KCL-vergelijkingen bevat. De bijdrage van een ideale stroombron wordt positief gerekend in (15) indien de stroom in de knoop wordt geïnjecteerd, zoniet is de bijdrage negatief. Vergelijking (15) wordt geïllustreerd met het onderstaande voorbeeld

i2

i1

1

a 11 i 1 + a 12 i 2 + a 13 j 0 = 0 met

a 11 = – 1 a 12 = 1 a 13 = – 1

j0 a 11 i 1 + a 12 i 2 – j 0 = 0

Vervolgens worden de VAL-vergelijkingen in (11) uitgedrukt voor alle takken die geen ideale stroombron zijn. Dit geeft dan U ' = ZI ' – E

(16)

27

met U ' een t '  1 vector van de takspanningen van het netwerk zonder de ideale stroombronnen, Z de overeenstemmende t '  t ' takimpedantiematrix, en E de overeenstemmende t '  1 vector van de takspanningsbronnen. Het verband tussen U ' en de vector van de knooppuntpotentialen V n wordt gegeven door U ' = A' T V n

(17)

Gebruik makende van (15) en (16) kunnen we I ' in (16) elimineren zoals in § 2.9.a. Dit geeft A'Z – 1 A' T V n = J – A'Z –1 E

(18)

wat een veralgemening is van (13). Merk op dat de bijdragen van de ideale stroombronnen in J op dezelfde wijze als – A'Z – 1 E rechtstreeks uit het netwerk kunnen afgeleid worden. Dit volgt rechtstreeks uit het opstellen van de KCLvergelijkingen (15).

b) Ideale spanningsbronnen Het probleem stelt zich wanneer er bijvoorbeeld een ideale spanningsbron tussen knopen i en j gelegen is. r

I1

Z3 i

j

I2

Ik Ek

I3 I4 Z4

Figuur 2 s

De vergelijkingen die het netwerk in Figuur 2 beschrijven zijn: KCL in i : I 1 + I 2 = I k KCL in j : I k = I 3 + I 4 VAL

tk : Ek = – Vi + Vj

VAL

t3 : Vj – Vr = Z3 I3

VAL

t4 : Vj – Vs = Z4 I4

28

(alle andere KCL- en VAL-wetten blijven ongewijzigd). Eliminatie van I k in de KCL vergelijkingen en van V j in de VAL-wetten geeft: KCL: I 1 + I 2 = I 3 + I 4 VAL: V i – V r = Z 3 I 3 – E k Vi – Vs = Z4 I4 – Ek Deze vergelijkingen komen juist overeen met de KCL-wet in knoop i en de VALwetten in takken t 3 en t 4 van het volgende netwerk. Z3 I1

r

I3 Ek

i

Ek I2

I4 s

Z4 Figuur 3 De overgang van figuur 2 naar figuur 3 noemt men de V-shift van een ideale spanningsbron. Dit komt wiskundig neer op het elimineren van de stroom door de ideale spanningsbron en van één van de knooppuntpotentialen van de tak waarin de bron zich bevindt. Een V-shift verlaagt het aantal onbekende knooppuntpotentialen met 1. Gezien de V-shift alle andere vergelijkingen ongewijzigd laat is de oplossing van het netwerk dezelfde (op I k , V j die geëlimineerd zijn na). Speciaal geval Z3 Z3 Ek



Ek

j0

j0 Ek

Ek

Z3

j0

29

c) (mutuele) koppelingen tussen de takken. Het idee bestaat erin om de vergelijkingen van de gekoppelde takken op te lossen naar de stromen. Vervolgens vervangt men de koppeling in het netwerk door spanningsgestuurde stroombronnen. c.1 De transformator M

I1

I2

1

3

U1

L1

L2

U2

2

4

met  U 1 = L 1 pI 1 + MpI 2   U 2 = MpI 1 + L 2 pI 2 Oplossen naar I 1 , I 2 onder de voorwaarde L 1 L 2  M 2 geeft  L2 L MM  I 1 = ------2- U 1 – -----U 2 = -------  V 1 – V 2  – -------  V 3 – V 4  p p p p   L1 L1 MM ----------------  V 3 – V 4  – -----I U U = – =  V – V2   2 2 1 p p p p 1  Waarbij  = L 1 L 2 – M 2 . Het elektrisch equivalent schema van de transformator is dan 1

3

I1

2

I2

4

30

waarbij I 1 , I 2 door bovenstaande vergelijkingen functies zijn van V 1 , V 2 , V 3 , en V 4 . De spanningsgestuurde stroombronnen hebben geen rechtstreekse bijdrage tot Y n . Hun bijdrage tot J n is: L2 M – -------  V 1 – V 2  + -------  V 3 – V 4  p p –I1 L2 M------  V – V 2  – ----- V – V4  I1 p 1 p 3 Jn = –I = L1 M 2 – -------  V 3 – V 4  + -------  V 1 – V 2  p p I2 L M ------1-  V 3 – V 4  – ----- V – V2  p p 1  We zien nu dat J n een functie wordt van de onbekende knooppuntpotentialen. Deze bijdragen moeten dus naar het linkerlid van de vergelijking Y n V n = J n gebracht worden. Deze bijdrage in Y n is dan: 1 L ------2p L2 – ------p Yn = M – ------p

2 L2 – ------p L ------2p M-----p

M- -----M -----– p p

3

4

M M – ------- ------p p M-----p L ------1p L1 – ------p

M – ------p L1 – ------p L ------1p

1 2 3 4

Merk op dat de bijdrage tot Y n symmetrisch is. c.2 De gyrator 1

I1

r

I2

3

U1

U2 2

met U 1 = – rI 2 U 2 = rI 1

4

31

Oplossen naar I 1 , I 2 geeft:   I = 1--- U = 1---  V – V  4  1 r 2 r 3   I = – 1--- U = – 1---  V – V  2  2 r 1 r 1  Het elektrisch equivalent schema van de gyrator is dan: 1

3

I1

I2

2

4

waarbij I 1 , I 2 door bovenstaande vergelijkingen functies zijn van V 1 , V 2 , V 3 , en V4 . Oefening: bepaal de bijdrage van de gyrator tot de Y n matrix (aanwijzing: volg de redenering van § c.1). d) Toepassing We berekenen de transfer functie T  p  = V out  p   V in  p  van de volgende schakeling: C1 3

2

OUT R1 V in

1

R2 C2

Z1

32

De opamp in de schakeling is ideaal ( Z in =  , Z out = 0 , A =  ), zodat het netwerk kan hertekend worden als C1 3 2

R1

1

R2 V2

C2

V in

Z1

Toepassen van de V-shift op de ideale bron V out geeft:

C1 2

R1

1

R2 V2

C2

V in

V2

Z1

Oplossen van dit laatste netwerk via de Y n V n = J n methode geeft: G1 + G2 + C1 p –G2

–G2

V1

=

G 1 V in + C 1 PV 2

C2 p + G2 V2

0

of nog, na overbrengen van de onbekende V 2 naar het linkerlid G1 + G2 + C1 p

– G2 – C1 p

V1

–G2

C2 p + G2

V2

=

G 1 V in 0

Oplossen van dit stelsel naar V 2 geeft na enig rekenen de volgende transfer functie ( V out = V 2 ) 1 T  p  = -------------------------------------------------------------------------------2 R 1 R 2 C 1 C 2 p +  R 1 + R 2 C 2 p + 1 2.13. Uitbreiding van de methode van de maasstromen Om tot de 3 regels te komen die toelaten Z m , E m rechtstreeks uit het netwerk af te leiden hebben we de volgende veronderstellingen gemaakt:

33

1) Er zijn geen ideale stroombronnen in het netwerk ( Z bestaat) 2) Er zijn geen (mutuele) koppelingen tussen de takken van het netwerk ( Z is diagonaal) Deze beperkingen worden als volgt weggewerkt. a) ideale stroombronnen Het probleem stelt zich wanneer er in een lus een ideale stroom voorkomt, bijvoorbeeld: Z1

0

Z2

J0 Figuur 4 Dit netwerk is elektrisch equivalent met:

Z1

Z2

J0

J0 Figuur 5

Het bewijs wordt als oefening overgelaten aan de lezer (aanwijzing: volg de redenering van de V-shift in § 2.12.b) De overgang van Figuur 4 naar Figuur 5 noemt men de I-shift. Speciaal geval E0 Z1

Z1

Z1

J0

E0

E0

J0

J0

J0

b) (mutuele) koppeling tussen de takken. Het idee bestaat er hier in om de vergelijkingen die de koppelingen beschrijven op te lossen naar de spanningen. Vervolgens vervangt men de koppelingen in het netwerk door stroomgestuurde spanningsbronnen, waarbij de stromen als functie van de maasstromen I m worden uitgedrukt.

34

b.1 De transformator M I1

L2

U1

I2

L2

 U 1 = L 1 pI 1 + MpI 2   U 2 = MI 1 p + L 2 pI 2

U2

U1

U2

Oefening: bereken de bijdrage tot de Z m matrix in de onderstelling dat takken t 1 , t 2 lianen zijn ( I 1 , I 2 zijn liaanstromen) b.2 De gyrator I1

r

I2

U1

U2

U1

 U 1 = – rI 2   U 2 = rI 1

U2

Oefening: bepaal de bijdrage van de gyrator tot Z m onderstellende dat I 1 , I 2 lianenstromen zijn.

35

3.

De stellingen van Thévenin en Norton

3.1. Probleemstelling Stel dat we het volgend netwerk moeten oplossen: Ix

x

Afhankelijke + onafhankelijke bronnen (a)

Afhankelijke + onafhankelijke bronnen

Ux

(b)

Figuur 6

en we enkel geïnteresseerd zijn in de spanningen en stromen van het rechterdeel (b). Om de berekeningen te vereenvoudigen zal men trachten het linkerdeel (a) te vervangen door een elektrisch equivalent schema. Dit is het achterliggende idee van de stellingen van Thévenin en Norton. De enige onderstelling die we hier maken is dat de vergelijkingen die het netwerk beschrijven lineair zijn. De stellingen zijn dus ook geldig voor lineaire verdeelde systemen zoals transmissielijnen, antennes, resonantiecaviteiten enz… (zie cursus elektromagnetisme), en kunnen ook toegepast worden in de mechanica, de akoestiek, … voor zover de systemen maar lineair zijn. 3.2. Stelling van Thévenin We doen het volgende gedachtenexperiment: vervang het rechterdeel in Figuur 6 door een onafhankelijke stroombron I x x Afhankelijke + onafhankelijke bronnen (a)

Ix Ux

Figuur 7

Gezien alle vergelijkingen die het linkerdeel (a) beschrijven niet wijzigen en bovendien de stroom in het punt x dezelfde is als in het oorspronkelijk netwerk is de oplossing van het netwerk in Figuur 7 dezelfde als deze in Figuur 6 (wat betreft de spanningen en stromen van deel (a)). Nu passen we het superpositiebeginsel toe om het netwerk in Figuur 7 op te lossen. Dit principe zegt dat de oplossing kan berekend worden door de bijdrage van elke onafhankelijke bron apart te berekenen en deze deeloplossingen bij elkaar op te tellen. Het enige dat we hierbij eisen is dat de vergelijkingen lineair zijn. Matricieel kunnen we het superpositiebeginsel als volgt aantonen. Stel dat Cx = b het netwerk beschrijft waarbij x de onbekende spanningen en stromen voorstelt, C een matrix functie van de netwerkelementen en de afhankelijke bronnen (zie § 2.12.d), en b de vector die alle onafhankelijke bronnen bevat. 36

De vector b wordt opgesplitst in de bijdrage van de K onafhankelijke bronnen K

b =

 bi i=1

De oplossing van het netwerk onder invloed van b i heten we x i x i = C –1 bi De som van de deeloplossingen is K

 xi i=1

K

= C –1  b i = C –1 b = x i=1

wat de superpositiestelling bewijst. We lossen nu het netwerk in Figuur 7 op door enerzijds de bijdrage van de onafhankelijke bronnen in (a) tot U x en anderzijds de bijdrage van de onafhankelijke stroombron I x tot U x apart te berekenen: Experiment 1: Afhankelijke + onafhankelijke bronnen

U x

(a) Experiment 2: Afhankelijke bronnen

U x 2 

Ix

 U x 2  = – Z OUT I x

(a) Gezien in experiment 2 er slechts 1 onafhankelijke bron aanwezig is, namelijk I x , moet de oplossing U x 2  rechtevenredig zijn met deze stroom. Deze evenredigheidsfactor wordt, op het teken na, de uitgangsimpedantie Z OUT van het deelnetwerk (a) genoemd. De gezochte oplossing U x is nu gelijk aan de som van de spanningen uit de 2 experimenten: U x = U x + U x 2  = U x – Z OUT I x

37

Men kan dit resultaat elektrisch als volgt voorstellen Z OUT

Ix

U x

Ux

Figuur 8 waarbij U x de open klem spanning van het deelnetwerk (a) wordt genoemd. Figuur 8 is het Thévenin equivalent van deelnetwerk (a) uit Figuur 6 en wordt gekenmerkt door 2 parameters: 1. de uitgangsimpedantie Z OUT bekomen door in (a) alle onafhankelijke bronnen weg te laten 2. de open klem spanning U x die wordt bekomen door de bijdrage van alle bronnen in (a) tot U x te berekenen bij een oneindig grote last in punt x van Figuur 6. Opmerking: 1)een bron weglaten betekent de stroom van een stroombron op nul zetten (  vervangen door open klem) en de spanningen van een spanningsbron nul maken (  vervangen door een kortsluiting) 2)in de superpositiestelling mag men de afhankelijke bronnen niet wijzigen, zoniet verandert men de C matrix en geldt de stelling niet meer. Daarom komen de afhankelijke bronnen in beide experimenten voor. 3.3. Stelling van Norton Op volledig dezelfde wijze toont men aan dat (als oefening) Afhankelijke + onafhankelijke bronnen (a)

Afhankelijke + onafhankelijke bronnen (a)

Ix

Ux

superpositie

I x0

I x = I x0 + I x 2 

Afhankelijke bronnen

I x 2 

Ux

(a)

38

Met I x0 de kortsluitstroom van deelnetwerk (a) en Ux I x 2  = – -----------Z OUT zodat Ux I x = I x0 – -----------Z OUT Men stelt dit resultaat elektrisch voor als Ix

Z OUT

I x0

Ux

Figuur 9 Figuur 9 is het Norton equivalent van deelnetwerk (a) uit Figuur 6 en wordt gekenmerkt door 2 parameters: 1. de uitgangsimpedantie Z OUT (zie stelling Thévenin) 2. de kortsluitstroom I x0 die wordt bekomen door de bijdrage van alle bronnen in (a) tot I x te berekenen wanneer een kortsluiting in punt x wordt aan gebracht. 3.4. Toepassing op een actieve kring We beschouwen de volgende actieve kring R2

R1

1 2

Zi

Z0

E

RL

VL

Figuur 10 waarbij de opamp de volgende karakteristieken heeft Z i =  ; Z 0 = R 0 en de winst A is eindig. We zullen de spanning V L over de weerstand R L op 2 manieren bereken: eerst door het volledige netwerk via de Y n V n = J n methode op te lossen, en

39

vervolgens door de stelling van Thévenin toe te passen op het linkerdeel van het netwerk gezien vanuit knoop 2 . a) Volledig oplossen van het netwerk Het equivalent schema van de actieve kring is R1

R2

1

2

R0 RL

E – AV 1

met als overeenstemmende Y n V n = J n vergelijkingen G1 + G2 –G2

–G2

V1

=

G2 + G0 + GL V2

G1 E – G 0 AV 1

of nog G1 + G2

–G2

V1

=

– G2 + G0 A G2 + G0 + GL V2

G1 E 0

Oplossen van dit stelsel via de methode van Cramer geeft: G1 E  G2 – G0 A  V L = V 2 = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- G1 + G2   G2 + G0 + GL  + G2  – G2 + G0 A 

(19)

b) Toepassen van de stelling van Thévenin Hier moeten we eerst de 2 volgende parameters berekenen: de open klem spanning in knoop 2 en de uitgangsimpedantie Z OUT . Voor de open klem spanning moeten we het volgende netwerk oplossen V 2 R1 R2 1

R0 E – AV 1

De oplossing van dit netwerk vinden we onmiddellijk als speciaal geval van (19) waarbij R L =  of G L = 0 , zodat 40

G1 E  G2 – G0 A  V 2 = ------------------------------------------------------------------------------------------------ G1 + G2   G2 + G0  + G2  – G2 + G0 A 

(20)

De uitgangsimpedantie Z OUT vinden we door de spanningsbron E kort te sluiten ( E = 0 stellen) en door een stroom j in knoop 2 te injecteren: R1

R2

1

2

R0 j – AV 1

V2 De verhouding ------ is dan de gezochte uitgangsimpedantie. Toepassen van de j Y n V n = J n methode geeft G1 + G2 –G2

–G2

V1

G2 + G0 V2

=

0 j – G 0 AV 1

of nog G1 + G2

–G2

V1

– G2 + G0 A G2 + G0 V2

= 0 j

We vinden V2 G1 + G2 Z OUT = ------ = ------------------------------------------------------------------------------------------------j  G1 + G2   G2 + G0  + G2  – G2 + G0 A 

(21)

Tenslotte vinden we de gezochte spanning V L in Figuur 10 als oplossing van Z OUT

V 2

RL

RL 1 V L = ------------------------- V 2 = ----------------------------- V 2 Z OUT + R L 1 + G L Z OUT

VL

(22)

Het is eenvoudig om na te gaan dat substitutie van (20) en (21) in (22) resultaat (19) levert. 41

3.5. Toepassing op kringen die niet vanuit rust vertrekken Beschouw een spoel waarbij i  0 -   0 . In § 1.2. op blz. 6 hebben we aangetoond deze spoel elektrisch equivalent is met een spoel waarbij op tijdstip t = 0 geen stroom doorvloeit met parallel daarover een DC stroombron van i  0 -  i 0-  u t

 it

L

it

j  t  j  0 -  = 0

elektrisch equivalent

i 0-   0

L

ut

Gebruik makend van de Stelling van Thévenin, toon aan dat het elektrisch equivalent schema kan geschreven worden als i 0-  it



L j  t 

j 0- 

Li  0 -    t 

vt

= 0

u t

it

L

elektrisch equivalent

ut

waarbij V  p   I  p  = Lp , en met   t  de Dirac functie (Aanwijzing: werk in het Laplace domein). Hoe kan je het resultaat V  p   I  p  = Lp verklaren, gezien i 0-   0 ? Ga analoog te werk voor de geladen condensator u 0- 

v  t  v  0 -  = 0

u  t  u  0 -   0

 it

C

elektrisch equivalent

it

C u t



elektrisch equivalent

Cu  0 -    t  it jt

C ut

waarbij U  p   J  p  = 1   Cp  (verklaar!). 42

4.

Studie van 2-poorten

4.1. Definitie en basisvergelijkingen Beschouw het volgende netwerk I1

I2

U1

U2

Deze schakeling wordt een tweepoort genoemd indien er geen onafhankelijke bronnen in het netwerk aanwezig zijn. Dit houdt in dat het netwerk vanuit rust moet vertrekken (alle beginvoorwaarden zijn nul). U 1 , U 2 en I 1 , I 2 worden respectievelijk de poortspanningen en de poortstromen genoemd. We zullen aantonen dat voor elke 2-poort er 2 lineaire homogene vergelijkingen in deze poortgrootheden bestaan. a) Stelling: voor elke tweepoort bestaan er 2 lineaire homogene vergelijkingen in I 1 , I 2 , U1 , U2  1 I1 + 1 I2 + 1 U1 + 1 U2 = 0   2 I1 + 2 I2 + 2 U1 + 2 U2 = 0

(23)

waarbij de coefficiënten  i ,  i ,  i ,  i , i = 1 2 enkel functie zijn van wat er in de 2-poort zelf zit (en dus onafhankelijk van wat er extern aan beide poorten wordt aangesloten). Bewijs: we lossen de 2-poort op met de Z m I m = E m methode en kiezen een boom zodanig dat de externe spanningsbronnen lianen zijn I1 U1

I2 2

1

U2

We krijgen, nadat we de invloed van de afhankelijke bronnen naar het linkerlid hebben gebracht, I1

U1

I2 Zm I 3  It – n

U2 =

0  0

Dit stelsel kan opgesplitst worden in de onbekenden die ons interesseren, namelijk I 1 en I 2 , en de onbekenden die we wensen te elimineren, namelijk I 3 , I 4 ,  , I t – n : 43

U1 U2

I1

Z m11 Z m12

I2

Z m21 Z m22

(24)

= 0  0

˜I

waarbij Z m11 een 2  2 matrix is, Z m22  t – n – 2    t – n – 2  , Z m12 ˜ 2   t – n – 2  , Z m21  t – n – 2   2 en I  t – n – 2   1 . Stelsel (24) wordt herschikt als    Z m11      Z m21   

I1 I2 I1 I2

+ Z m12 ˜I =

U1 U2

0 + Z m22 ˜I =  0

Eliminatie van I˜ in dit stelsel levert –1 Z  Z m11 – Z m12 Z m22 m21 

I1 I2

=

U1 U2

wat de stelling bewijst. b) Opmerking: in het bewijs hebben we stilzwijgend ondersteld dat Z m22 regulier is. Dit is niet zo voor elke 2-poort. In dat geval moet de stelling aangetoond worden via de Y n V n = J n methode losgelaten op:

I1

U1

U2

I2

Dit wordt als oefening overgelaten aan de lezer. c) Bijzondere gevallen 1. als t – n = 2 dan blijft de redenering opgaan met ˜I = 0

44

2. als t – n = 1 dan gaat de redenering niet meer op Z

I1

I2

U1

U2

De 2 lineaire homogene vergelijkingen zijn in dit geval: I1 = –I2    U 1 – U 2 = ZI 1 4.2. Canonieke voorstellingen van 2-poorten Al naargelang de wijze waarop de poortgrootheden I 1 , I 2 , U 1 en U 2 geschikt worden in de 2 lineaire homogene vergelijkingen (23), onderscheidt men de verschillende zogenaamde canonieke vormen. a) Z -parameters We schrijven de poortspanningen als functie van de poortstromen U1 U2

=

Z 11 Z 12 I 1

(25)

Z 21 Z 22 I 2

waarbij Z 11 , Z 12 , Z 21 en Z 22 de zogenaamde Z -parameters zijn. Z 11 en Z 22 hebben een éénvoudige fysische betekenis. Inderdaad, uit (25) volgt onmiddellijk dat U1 Z 11 = -----I1 U2 Z 22 = -----I2

I2 = 0

I1 = 0

m.a.w. Z 11 is de ingangsimpedantie van de 2-poort bij open uitgang ( I 2 = 0 )

Z 11

terwijl Z 22 de uitgangsimpedantie is van de 2-poort bij open ingang ( I 1 = 0 )

Z 22

45

Z 11 en Z 22 zijn dus fysische impedanties. De koppelparameters Z 12 en Z 21 zijn fysisch moeilijker te interpreteren daar ze het resultaat van de deling van 2 verschillende poortgrootheden zijn: U1 Z 12 = -----I2

U2 Z 21 = -----I1

U1

I1 = 0

I2 = 0

I2

U2

I1

Het volgende equivalent schema I1

Z 11

Z 22

U1

I2 U2

Z 12 I 2 Z 21 I 1

toont duidelijk aan dat Z 21 de invloed van poort 1 op poort 2 weergeeft en Z 12 de invloed van poort 2 op poort 1. Voorbeeld Z1

Z2 Z 11 = Z 1 + Z 3 Z3

Z 22 = Z 2 + Z 3 Z 12 = Z 21 = Z 3

Opmerking: voor actieve kringen gaat in het algemeen Z 12  Z 21 . Bijvoorbeeld, een versterker ontwerpt men zodanig dat poort 2 volledig bepaald wordt door poort 1, terwijl poort 2 geen invloed heeft op poort 1 ( Z 12 = 0 ). b) Y -parameters We schrijven de poortstromen als functie van de poortspanningen I1 I2

=

Y 11 Y 12 U 1

(26)

Y 21 Y 22 U 2

46

waarbij Y 11 , Y 12 , Y 21 en Y 22 de zogenaamde Y -parameters zijn. Y 11 en Y 22 hebben een éénvoudige fysische betekenis. Inderdaad, uit (26) volgt dat I1 Y 11 = -----U1 I2 Y 22 = -----U2

U2 = 0

U1 = 0

m.a.w. Y 11 is de ingangsadmittantie van de 2-poort bij kortgesloten uitgang ( U2 = 0 )

Y 11

terwijl Y 22 de uitgangsadmittantie is van de 2-poort bij kortgesloten ingang ( U 1 = 0 )

Y 22

Net zoals bij de Z -parameters hebben de koppelparameters Y 12 en Y 21 geen éénvoudige interpretatie I1 I1 Y 12 = -----U2

U2 U1 = 0

I2 I2 Y 21 = -----U1

U2 = 0

U1

Het volgende equivalent schema I1 U1

I2

Y 11

Y 12 U 2

Y 21 U 1

Y 22

U2

47

toont duidelijk aan dat Y 21 de invloed van poort 1 op poort 2 weergeeft en Y 12 de invloed van poort 2 op poort 1. Voorbeeld Z1

Z2 Y 11 =  Z 2 + Z 3    Y 22 =  Z 1 + Z 3    Z3

Y 12 = Y 21 = – Z 3    = Z1 Z2 + Z1 Z3 + Z2 Z3

c) ABCD -parameters We schrijven de uitgangsgrootheden als functie van de ingangsgrootheden U2

U1 = A B C D I1

–I2

(27)

De parameter A heeft ook een duidelijke fysische betekenis U2 A = -----U1

I1 = 0

m.a.w. de spanningswinst bij open ingang. Voorbeeld Z1 A = 1 B = –Z1 C = –1  Z2

Z2

D = 1 + Z1  Z2

d) De hybride parameters Hier schrijven we de ingangsstroom en de uitgangsspanning als functie van de 2 andere grootheden of omgekeerd. Dit levert de zogenaamde H - en G -parameters. U1 I2

=

h 11 h 12

I1

h 21 h 22 U 2

en

I1 U2

=

g 11 g 12 U 1 g 21 g 22

(28)

I2

Sommige van deze hybride parameters zijn gemakkelijk te interpreteren,

48

Bijvoorbeeld: U1 h 11 = -----I1

h 11

U2 = 0

m.a.w. de ingangsimpedantie bij kortgesloten uitgang en, I2 I2 h 21 = ---I1

U2 = 0

I1

m.a.w. de stroomwinst bij kortgesloten uitgang. e) Opmerking In hoogfrequent technieken (zie cursus elektromagnetisme) gaat men combinaties van poortgrootheden als functie van elkaar schrijven. Dit levert de zogenaamde S -parameters. 4.3. Verband tussen canonieke vormen van 2-poorten Men kan van 1 canonieke voorstelling overgaan naar een andere en omgekeerd, bijvoorbeeld uit (25) en (26) volgt onmiddellijk dat Y 11 Y 12 Y 21 Y 22

=

Z 11 Z 12

–1

Z 21 Z 22

Z 22 – Z 12

=

– Z 21 Z 11

  Z 11 Z 22 – Z 12 Z 21 

(29)

Op dezelfde wijze vinden we h 22 – h 12 g 11 g 12 g 21 g 22

– h 21 h 11 = ------------------------------------h 11 h 22 – h 12 h 21

(30)

Oefening: bewijs het verband tussen de ABCD -parameters en de Z -parameters.

A B = CD

Z 22 ------Z 12 1 – -------Z 12

Z 11 Z 22 Z 21 – ---------------Z 12 Z 11 -------Z 12

(aanwijzing: los (25) op naar U 2 , – I 2 ).

49

Uit (29) en (30) ziet men dat de overgang niet altijd bestaat, bijvoorbeeld indien Z 11 Z 22 = Z 12 Z 21 of indien h 11 h 22 = h 12 h 21 . Dit betekent dat niet elke canonieke voorstelling hoeft te bestaan voor een gegeven 2-poort. Oefening: 1) ga na of de Z - en de Y -parameters bestaan van de volgende 2-poorten. Indien ja geef dan de parameters. Z

2) bewijs het verband tussen de Z - en de H -parameters

Z 11 Z 12

=

h 12 h 21 h 12 h 11 – --------------- ------h 22 h 22

Z 21 Z 22

h 21 – ------h 22

1-----h 22

(aanwijzing: los (28) op naar U 1 , U 2 ) 4.4. Schakelen van tweepoorten Het nut van de verschillende canonieke vormen wordt duidelijk bij het schakelen van tweepoorten. Bij het schakelen van 2-poorten moeten we altijd eerst goed nagaan of elke 2-poort zich nog gedraagt als een 2-poort in de schakeling, namelijk dat de stroom die in elke poort vloeit ook gelijk is aan de stroom die eruit vloeit. a) De cascade schakeling I1

I' (1)

U1 I1

U' I'

I2

I ''

I ''

(2)

U2 I2

De cascade schakeling garandeert de 2-poort werking van elke 2-poort apart. Gebruik makende van de ABCD -parameters (27) vinden we voor tweepoort (2):

50

2 B2 U ' = A C  2  D  2  I ''

U2 –I2

2 B2 U ' = A C 2 D 2  –I '

(31)

en voor tweepoort (1): U' –I '

 1  B  1  U1 = A C1  D1  I1

(32)

zodat (31) en (32) U2 –I2

 2  B 2  A  1  B 1  U1 = A C 2  D 2  C 1  D 1  I1

Hieruit volgt de regel: De ABCD matrix van een cascade van tweepoorten is gelijk aan het product van de ABCD matrices van de tweepoorten in omgekeerde volgorde (van uitgang naar ingang) Voorbeeld: het berekenen van de ABCD-matrix van een ladder netwerk II

I Z1

Z3

Z2

III Z5

Z4

Z6

We splitsen het laddernetwerk op in elementaire tweepoorten, berekenen vervolgens de ABCD-matrix van elke tweepoort (zie § 4.2.), en maken tenslotte het product van de ABCD-matrices in omgekeerde volgorde:  ABCD  III  ABCD  II  ABCD  I b) De serie-serie schakeling I1

I2 I'

(1)

I ''

U1

U2 (2) I1

I2 51

De ingangspoorten en de uitgangspoorten zijn onderling in serie geschakeld. De serieserie schakeling garandeert niet de tweepoort werking van (1) en (2). Inderdaad, het enige dat via de KCL wet opgelegd wordt is dat I 1 + I 2 = I ' + I '' wat in het algemeen niet inhoudt dat I 1 = I ' of I 2 = I '' . Om de 2-poort werking op te leggen moeten we een ideale transformator aan één van de 4 poorten plaatsen. Doen we dit aan de ingangspoort van (1) dan wordt de schakeling I1

I1

1:1

I2

U 1 1 

(1)

U 2 1 

U1

U2 U 1 2 

(2) I1

U 2 2  I2

Een serie-serie schakeling waarbij elk deelblokje zich nog steeds gedraagt als een 2poort wordt evenwichtig genoemd. Voor een evenwichtige serie-serie schakeling vinden we met behulp van de Z -parameters (25) voor 2-poort (1): U 1 1  U 2 1 

=

1 Z 1 I Z 11 12 1 1 Z 1 I Z 21 2 22

en voor 2-poort (2): U 1 2  U 2 2 

=

2 Z 2 I Z 11 12 1 2 Z 2 I Z 21 2 22

Optellen van beide matrixvergelijkingen geeft U1 U2

 1 1 Z Z Z 2 Z 2 =  11 12 + 11 12  1 1 2 Z 2 Z 21 22  Z 21 Z 22

  I1  I  2

Hieruit volgt de regel: De Z matrix van een evenwichtige serie-serie schakeling is gelijk aan de som van de Z -matrices.

52

c) De parallel-parallel schakeling

I1

I '2

I '1

I2

(1) I ''2

U1

I ''1

U2 (2)

I1

I2

De ingangspoorten en de uitgangspoorten zijn onderling in parallel geschakeld. De parallel-parallel schakeling garandeert de 2-poortwerking van elk deelblokje niet gezien het enkel oplegt dat I ' 1 + I ' 2 = I '' 1 + I '' 2 zodat in het algemeen I' 1  I'' 1 en I' 2  I'' 2 Om de 2-poort werking te garanderen moet er een ideale transformator aan één van de 4 poorten geplaatst worden. Kiezen we bijvoorbeeld de uitgangspoort van 2-poort (1) dan wordt de schakeling

I1

1:1

I 1 1 

I2

I 1 1  U1

I 2 1  I 2 2 

I 1 2  I1

I 2 1 

(1)

(2) I 1 2 

U2 I2 I 2 2 

Via de KCL wetten kan men inderdaad éénvoudig nagaan dat de 2-poortwerking van elk deelblokje opgaat. Een parallel-parallel schakeling waarbij elk deelblokje zich gedraagt als een 2-poort wordt evenwichtig genoemd. Voor evenwichtige parallelparallel schakeling vinden we met behulp van de Y -parameters (26) voor 2-poort (1): I 1 1  I 2 1 

=

1 Y 1 U Y 11 12 1 1 Y 1 U Y 21 2 22

53

en voor 2-poort (2): I 1 2  I 2 2 

=

2 Y 2 U Y 11 12 1 2 Y 2 U Y 21 2 22

Optellen van beide matrixvergelijkingen geeft I1 I2

 1 1 Y Y Y 2 Y 2 =  11 12 + 11 12  1 1 2 Y 2 Y 21 22  Y 21 Y 22

  U1  U  2

Hieruit volgt de regel: De Y matrix van een evenwichtige parallel-parallel schakeling is gelijk aan de som van de Y -matrices. Speciaal geval Het schakelen van 3-polen is altijd evenwichtig, en van deze eigenschap wordt gebruik gemaakt om feedback versterkers te analyseren (zie Gray et al., 2001). Voorbeeld parallel-parallel schakeling

(1)

I1

I2

U1

U2 (2)

I1

I2

(bewijs dit als oefening)

54

Voorbeeld:

is de parallel-parallel schakeling van:

en

d) De serie-parallel schakeling

I1

I2

(1)

U1

U2

I1

(2)

I2

De ingangspoorten in serie, de uitgangspoorten parallel geschakeld. In het algemeen is deze schakeling niet evenwichtig. Ze wordt evenwichtig door bijvoorbeeld een ideale transformator aan de uitgangspoort van 2-poort (2) te plaatsen.

I1

(1) I2

U1

1:1 I1

(2)

U2 I2

55

Toon als oefening de volgende regel aan: De H -matrix van een evenwichtig serie-parallel schakeling is de som van de H matrices. e) De parallel-serie schakeling I2 I1

(1)

U1

U2 (2)

I1

I2 Toon als oefening de volgende regel aan: De G -matrix van een evenwichtig parallel-serie schakeling is de som van de G matrices. f) Opmerking De meest gebruikte 2-poortschakeling zijn de cascade en de parallel schakeling van 3polen. Deze zijn altijd evenwichtig zodat er geen transformatoren moeten toegevoegd worden. 4.5. Reciprociteit van tweepoorten Beschouw een eerste experiment waarbij men de ingang van de 2-poort verbindt met een spanningsbron en de uitgang van de 2-poort kortsluit. Experiment (I) I1

x

E

In een tweede experiment wordt de ingang kortgesloten en de uitgang verbonden met dezelfde spanningsbron E . Experiment (II) y

I2 E

56

De tweepoort is nu per definitie reciprook indien de stroom x in het eerste experiment gelijk is aan stroom y in het tweede experiment. Wat is de invloed van de reciprociteit op de canonieke voorstellingen van een 2-poort? Hiervoor lossen we de onbekende stromen x en y in beide experimenten op. Experiment (I)

Experiment (II)

E = Z 11 Z 12 I 1 0 Z 21 Z 22 x

0 = Z 11 Z 12 y E Z 21 Z 22 I 2

I 1 elimineren Z 21 E x = -------------------------------------Z 12 Z 21 – Z 11 Z 22

I 2 elimineren Z 12 E y = -------------------------------------Z 12 Z 21 – Z 11 Z 22

De reciprociteitseis x = y is dus voldaan indien Z 21 = Z 12 , m.a.w. de matrix van de Z -parameters moet symmetrisch zijn ( Z T = Z ). Merk op dat de gevonden uitdrukkingen voor de stromen x en y enkel geldig zijn indien det Z  0 ( Z 11 Z 22  Z 12 Z 21 ). Uit het verband Y = Z –1 volgt onmiddellijk dat een 2-poort reciprook is indien Y = Y T of Y 12 = Y 21 (toon dit aan als oefening). Oefening: 1) herneem het bewijs gebruik makende van de Y-parameters. 2) toon aan dat de 2- poort reciprook is indien det A B = 1  AD – BC = 1 CD (aanwijzing: zoek eerst het verband tussen de Z -parameters en de ABCD -parameters en druk uit dat Z 12 = Z 21 ) 3) toon aan dat RLMC-netwerken altijd reciprook zijn. (aanwijzing: stel eerst vast dat de kringenimpedantiematrix Z m symmetrisch is en pas de redenering uit § 4.1. toe) 4) toon aan dat een 2-poort reciprook is indien h 12 = – h 21 of g 12 = – g 21 (aanwijzing: stel eerst het verband op tussen de Z -parameters en de H -parameters en druk uit dat Z 12 = Z 21 )

57

4.6. Schalingseigenschap van een impedantie en een transfer functie a) Impedantie van een éénpoort 1

J0

Zp

U

0

Z  p  is opgebouwd uit verschillende elementen zoals bijvoorbeeld spoelen, weerstanden, opamps enz… . We lossen dit netwerk op via Y n V n = J n waarbij met elk element juist een tak overeenkomt. Dit geeft V1 Yn

V2  Vn

j0 =

0  0

waarbij de invloed van de afhankelijke bronnen reeds in Y n is ingebracht ( Z  p  bevat geen onafhankelijke bronnen!). Via de regel van Cramer vinden we de waarde van V 1 j0

 Y n  12  Y n  13



 Y n  1n

0 



0  Y n  n2   Y n  nn j 0  11 V 1 = ----------------------------------------------------------------------------------------------- = -----------det Y n  Waarbij  11 = cofactor element  Y n  11 en  = det Y n . Bijgevolg  11 U Z  p  = ---- = -------j0 

(33)

Nu is  11 een homogene vorm in de admittanties van graad  n – 1  en  een homogene vorm van graad n . Om dit in te zien beschouw de determinant van een 2 bij 2 en een 3 bij 3 matrix. Y1 Y2 Y3 Y4

= Y1 Y4 – Y2 Y3

58

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6

= Y1 Y5 Y9 + Y2 Y6 Y7 + Y3 Y4 Y8 – Y3 Y5 Y7 – Y1 Y6 Y8 – Y2 Y4 Y9

Y7 Y8 Y9 Indien we nu de impedantie van elk element waaruit Z  p  opgebouwd is vermenigvuldigen met een functie f  p  dan wijzigt Z  p  als f – n – 1   p  11 Z nieuw  p  = --------------------------------= f  p Z  p  f –n  p  Regel: de impedantie van de éénpoort schaalt zoals alle elementen waaruit het opgebouwd is. b) Transfer functie van een tweepoort 1

J0

2

U1

U2

0

3

Lossen we dit netwerk op via Y n V n = J n waarbij in elke tak juist 1 element zit dan krijgen we V1 Yn

V2  Vn

j0 =

0  0

waarbij Y n reeds de invloed van de afhankelijke bronnen bevat (de 2-poort bevat geen onafhankelijke bronnen!). Via de regel van Cramer vinden we de waarde van de knooppuntpotentialen V 1 , V 2 , V3  11 V 1 = J 0 -------  12 V 2 = J 0 -------  13 V 3 = J 0 ------- met  ij = cofactor element  Y n  ij en  = det Y n . 59

Hieruit volgt dat de transfer functie gelijk is aan: U2 V2 – V3  12 –  13 T  p  = ------ = ------------------ = ---------------------U1 V1  11

(34)

De transfer functie is dus de verhouding van homogene vormen van graad  n – 1  in de admittanties. Indien we nu de impedantie van elk element van een netwerk vermenigvuldigen met f  p  dan wordt de nieuwe transfer functie T nieuw  p  f – n – 1   p    12 –  13  - = T p T nieuw  p  = ---------------------------------------------------f – n – 1   p  11 m.a.w. de transfer functie wijzigt niet! Van deze eigenschap zullen we veelvuldig gebruik maken in de synthese van filters. Opmerking: voor de éénvoud hebben we de 2-poort onbelast gelaten. In geval de 2poort wel belast wordt betekent dit dat we de belasting tot de 2-poort rekenen. 4.7. Efficiënt berekenen van tweepoorten 1

2

0

3

J0

Stel dat we bijvoorbeeld de transfer functie van de 2-poort wensen uit te rekenen. Hiervoor moeten we het stelsel j0 Yn Vn =

0  0

oplossen ( Y n bevat de invloed van de afhankelijke bronnen). Dit doen we via Gauss eliminatie wat neer komt op een LU ontbinding van de matrix Y n Y n = LU

(35)

waarbij 0 L =

een onderdriehoeksmatrix

U =

een bovendriehoeksmatrix 0

L bevat de spillen gebruikt tijdens de Gauss eliminatie en U is het eindresultaat van de Gauss eliminatie.

60

De rekenkost van de ontbinding (35) is typisch 2n 3  3 flops (floating point operations). Het verder oplossen gebeurt nu als volgt L  UV n  = J n Of nog

LX = J n UV n = X

voorwaartse eliminatie (36)

terugsubstitutie

Gezien L en U driehoekige matrices zijn kosten de voorwaartse eliminatie en de terugsubstitutie elk n 2 flops in rekentijd. De totale rekentijd is dus evenredig met n3 2 ----- + 2  n 2 3 Door de externe knopen anders te nummeren kunnen we deze rekentijd reduceren. Inderdaad, neem als nummering n

n–1

J0 n–2

dan wordt (36): x1 0

x2  xn – 1 xn V1  Vn – 2

0

Vn – 1 Vn

0  = 0 0 j0

 x1 = x2 =  = xn – 1 = 0

0  =  0 xn

De voorwaartse eliminatie en de terugsubstitutie zijn dus herleid tot een aantal bewerkingen dat onafhankelijk van n is. In totaal (met de nieuwe nummering) hebben we dus 2n 3  3 flops rekentijd (    ) wat een winst van 2n 2 betekent. Opmerking: Wat we hier geïllustreerd hebben op transfer functies geldt natuurlijk ook voor de berekeningen van andere tweepoorten zoals bijvoorbeeld de Z -parameters enz…

61

5.

Gevoeligheidsstudie van 2-poorten

5.1. Definitie en eigenschappen van de gevoeligheid a) Definities Het doel hier is na te gaan wat de invloed is van een verandering van een elementwaarde (bijvoorbeeld, capaciteitswaarde) op een bepaalde 2-poort karakteristiek (bijvoorbeeld, transfer functie). De relatieve verandering die dit teweeg brengt voor een oneindig kleine relatieve verandering van de elementwaarde wordt de gevoeligheid genoemd.  x S x = --=  ln x x   ln 

(37)

Waarbij x de 2-poortgrootheid is,  de elementwaarde en S x per definitie de gevoeligheid van x t.o.v.  . Het berekenen van de gevoeligheid van bijvoorbeeld de transfer functie naar alle elementwaarden is zeer handig bij het afregelen van filters. Het laat toe om na te gaan welk element het meeste invloed heeft op de te verwezenlijken karakteristiek. Dit element moet dan met de meeste zorg gemaakt worden. Voorbeeld: bij het ontwerp van een filter beslist men weerstanden met een nauwkeurigheid van 5% te gebruiken. Stel dat de gevoeligheid van de transfer functie T t.o.v. deze weerstandswaarden 2 bedraagt. De te verwachten nauwkeurigheid van de gerealiseerde transfer functie is dan R T  T   T T R S TR = ---  --------------------  -------  S TR ------- = 2  5% = 10% T  R  R   R T R b) Eigenschappen van de gevoeligheid b.1 Gevoeligheid van de transfer functie  T =  ln T S T j  = --T  ln  T  j  = A   e j() met A    de amplitude van de transfer functie en () de overeenstemmende fase. De gevoeligheid is dan S T j  =

 ln A    + j  ()  ln   ln 

(38)

waaruit de definities volgen S A    =

 ln A     ln 

S     =

 ()  ln 

b.2 Verband gevoeligheid t.o.v. admittantie en impedantie S XY =

X = –  ln X = – S XZ  ln Y  ln Z

(39)

De 2de gelijkheid volgt uit Y = Z –1 .

62

b.3 Op dezelfde wijze als in b.2 toont men aan dat (als oefening) S XLj = S XL

(40)

S XCJ = S XC 5.2. Analytisch berekenen van de gevoeligheid

Om de gevoeligheden analytisch te kunnen uitrekenen moeten we expliciet de 2poortgrootheid als functie van de elementwaarden kennen. Dit gaat enkel voor netwerken van beperkte omvang (zie bijvoorbeeld de synthese van actieve 2de orde secties). We illustreren dit op een eenvoudig voorbeeld. V OUT R C

E

V OUT  p  1   Cp  1 T  p  = --------------------- = ----------------------------- = -------------------Ep R + 1   Cp  1 + RCp De gevoeligheid van T  p  naar de weerstandwaarde R is dan R T – RCp S TR = --= -------------------T R 1 + RCp Bij lage frequenties ( RC « 1 ) wordt dit S TR  – RCj en bij hoge frequenties ( RC « 1 ) is S TR  – 1 . 5.3. Numeriek berekenen van de gevoeligheden. a) Basisformule Voor middelgrote en grote netwerken is het onbegonnen werk om het analytisch verband tussen de 2-poortgrootheid en de elementwaarden op te stellen. In deze paragraaf en verder zullen we zien hoe we dit numeriek kunnen doen. Merk eerst op dat alle 2-poortgrootheden van een 2-poort n

n–1

I1 n–2

63

kunnen geschreven worden als functie van de uitwendige knooppuntpotentialen V n , V n – 1 en V n – 2 . Bijvoorbeeld: Vn – 1 – Vn – 2 T  p  = ------------------------------Vn Vn Z IN(p) = -----I1 Vn – 1 – Vn – 2 Z OUT(p) = ------------------------------I2 Om de gevoeligheid van deze grootheden te berekenen moeten we dus de gevoeligheid van de uitwendige knooppuntpotentialen kennen. Deze halen we uit de Y n V n = J n vergelijkingen. 0 0 Yn Vn = Jn =  I1 waarbij Y n de invloed van de afhankelijke bronnen bevat. Afleiden van dit stelsel naar de parameter  geeft: Y n V n Vn + Yn = 0   

(41)

Y n V n = – Y n– 1 V  n  Merk op dat het oplossen van het stelsel (41) naar alle elementen 2n 3  3 + n 2  t + 1  flops vergt ( n 2 t bijkomende berekeningen indien het oorspronkelijk netwerk werd opgelost naar alle knooppuntpotentialen). De rekentijd kan enorm oplopen ( t  n ). Stel nu dat  = Y , de admittantie van een tak gelegen tussen knopen k en l n

I1

n–1

k

l

Yn 0

n–2

Y

De bijdrage van deze admittantie tot Y n is k

Yn =

l

Y –Y –Y Y

k l

64

zodat k

l

Y n = 1 –1 Y –1 1

k l

en k

V1

l

Y n V = 1 –1 Y n –1 1

k l

V2  Vn

=  Vk – Vl  1 –1

=

Vk – Vl

k

– Vk + Vl

l

k l

=  Vk – Vl   1k – 1l  waarbij 1 r = eenheidsvector met overal nullen behalve op de rij Stelsel (41) wordt dan

r

waar een 1 staat.

V n = –  V k – V l Y n–1  1 k – 1 l  Y Van de vector

(42)

V n hebben we enkel de laatste 3 elementen nodig, namelijk,  V n – 2 V n V n – 1  en   

Indien we de gevoeligheid berekenen naar de admittanties van alle takken ( k l = 1 2  n ) komt dit erop neer dat we de laatste 3 rijen van Y n– 1 moeten kennen: n–2 n – 12  = –n Dit gaan we niet doen via inversie van Y n (berekentijd van de orde van n 3 ) maar via het zogenaamde adjunctnetwerk theorema. Dit theorema laat toe om op een efficiënte manier een rij van de inverse van Y n te berekenen. b) Adjunct netwerk theorema Dit theorema laat toe de k de rij van Y n–1 te berekenen zonder de inverse expliciet te vormen. Noem W kT de k de rij van Y n– 1 :

Wk =

;W kT =

65

Per definitie is W kT = 1 kT Y n– 1  W kT Y n = 1 kT of nog, na transponeren Y nT W k = 1 k m.a.w. de k de rij van Y n–1 is de oplossing van het volgende netwerk n

n–1

Y nT k 0

n–2

1A

Het netwerk dat als knoopadmittantie matrix Y nT heeft wordt het adjunctnetwerk genoemd. Indien de 2-poort reciprook is dan is Y nT = Y n en zijn beide netwerken identisch. Ze kunnen enkel van elkaar verschillen indien er afhankelijke bronnen aanwezig zijn. Het adjunct netwerk en het oorspronkelijk netwerk verschillen dus enkel in de positie van de gestuurde bronnen. c) Efficiënt numeriek berekenen van de gevoeligheid Via het adjunctnetwerk berekenen we de laatste 3 rijen van Y n– 1 : T  Yn Wn – 2 = 1n – 2  T  Yn Wn – 1 = 1n – 1   Y nT W n = 1 n

(43)

Gezien de 2-poort grootheden een functie zijn van V n – 1 – V n – 2 en niet van V n – 1 en V n – 2 afzonderlijk (zie § 5.3. moeten we enkel  V – Vn – 2  Y n – 1 V n – 1 V n – 2 en apart. Dit betekent (zie (42)) dat we niet rijen n – 2   en n – 1 van Y n–1 apart moeten kennen, maar enkel het verschil. kennen en niet

66

Bijgevolg kunnen we de eerste 2 vergelijkingen in (43) van elkaar aftrekken en moeten we slechts 2 stelsels oplossen T  Yn  Wn – 1 – Wn – 2  = 1n – 1 – 1n – 2  Y nT W n = 1 n 

Stellen we Q n =  W n – 1 – W n – 2  en P n = W n dan wordt dit T  Yn Qn = 1n – 1 – 1n – 2  T  Yn Pn = 1n

We krijgen dan voor (42) V n = – Vk – Vl   Pk – Pl  Y  V – Vn – 2  = – Vk – Vl   Qk – Ql  Y n – 1

(44)

met V k , V l de knooppuntpotentialen van knopen k en l van het oorspronkelijk netwerk. n

I1

n–1

k

0

Yn

l

n–2

Y

0 0 Yn Vn =  I1

W k , W l de knooppuntpotentialen van knopen k en l van het adjunctienetwerk waarbij een stroombron van 1 A aan de ingangspoort geschakeld is (zie (44)). n

1A

n–1

k

0

Y nT

Y

l

n–2

0 Y nT P n = 0  1

en tenslotte Q k , Q l de knooppuntpotentialen van knopen k en l van het adjunctnetwerk met een stroombron van 1 A aan zijn uitgangspoort (zie (44))

67

n

n–1

k

0

Y nT

l

1A n–2

Y

0 Y nT Q n = 0  1

Het oplossen van deze 3 netwerken vergt op het eerste zicht 3  2n 3  3 + n 2  flops: 3 maal een LU ontbinding + volledige terugsubstitutie vermits alle knooppuntpotentialen vereist zijn voor een volledige gevoeligheidsanalyse (zie § 4.7.). Niets is echter minder waar: uit de LU ontbinding van Y n halen we deze van Y nT : Y n = LU  Y nT = U T L T zodat deze slechts 1 maal moet gebeuren. Om de adjunct netwerken op te lossen moeten we dus enkel 2 terugsubstituties uitvoeren. De totale rekentijd is dus evenredig met n3 2 ----- + 3n 2 3 Een volledige gevoeligheidsanalyse vergt slecht 2n 2 bijkomende flops eens het netwerk volledig opgelost is! Voor reciproke netwerken is dit zelfs maar n 2 ( Y nT = Y n  W n = V n ) 5.4. Berekenen van de groepdoorlooptijd De groepdoorlooptijd  g is gedefinieerd als

g    = – d     d

(45)

waarbij () de fase van de transfer functie is (zie deel II van de cursus voor een fysische interpretatie van deze grootheid). Formule (45) kan numeriek berekend worden door de afgeleide numeriek te benaderen, bijvoorbeeld als:

   +   –    –    g     – -----------------------------------------------------------2

Dit vergt de kennis van de fase van de transfer functie bij 2 verschillende frequenties en dus 2  2n 3  3  flops. (    ). Via een gevoeligheidsanalyse voor alle elementen waarvan de impedantie frequentieafhankelijk is kunnen we echter (45) exact en veel sneller uitrekenen. Stel dat de frequentieafhankelijkheid enkel door de spoelen en condensatoren bepaald wordt dan is  () een functie van  w via L k  ( k = 1 2  ) en C k  ( k = 1 2  ) en     =   L 1  L 2   C 1  C 2    zodat

68

g    = –

d d d L  – d d C  (   ) = –  k  d Lk  d  d Ck  d  k d k

1 1 = – ----  S Lk  – ----  S Ck    k

k

(46)

k

 1 = – ----   S Lk +  S Ck   k k (zie (40) voor het bekomen van de laatste gelijkheid). Uitrekenen van (46) vergt ten hoogste 2n 3  3 + 3n 2 flops (de gevoeligheidsberekening naar de weerstanden moet niet doorgevoerd worden).

69

6.

Switched capacitor netwerken

6.1. Inleiding Switched capacitor netwerken zijn netwerken die uitsluitend capaciteiten, schakelaars en opamps bevatten. De schakelaars worden gestuurd met behulp van een kloksignaal. Het geheel wordt in CMOS technologie onder geïntegreerde vorm verwezenlijkt. We illustreren de werking van een switched capacitor netwerk aan de hand van een voorbeeld. C2

V OUT E

C1

In deze schakeling stelt men   waarbij  en  complementaire kloksignalen zijn  5V 0V

5V

t 

Ts ----2

Ts

3T s -------2

Ts ----2

Ts

3T s -------2

0V

t

Naargelang de stand van de 2 schakelaars onderscheidt men bijgevolg 2 topologieën in het netwerk (= de zogenaamde fasen):

70

Fase 1: C2

V OUT Et

C1

Fase 2: C2

V OUT Et

C1

In de eerste fase laadt condensator C 1 zich op tot de spanning E . Ondertussen blijft de spanning over condensator C 2 constant en bijgevolg ook de uitgangsspanning V OUT . In de tweede fase wordt de opgeladen condensator C 1 aan de opamp geschakeld en ontlaadt zich. De verandering in uitgangsspanning V OUT is in deze fase evenredig met de oorspronkelijke spanning over condensator C 1 . De equivalente schema's met initieel ongeladen condensatoren zijn Fase 1 Ts V OUT(– -----) 2 C2

Et

C1

Ts V OUT(t) = V OUT(– -----) 2

71

Fase 2 Ts V OUT(– -----) 2

C2

Ts C1 Ts V OUT(t) = V OUT(– -----) – ------ E  ----- 2 C2  2 

C1 Ts E  -----  2

Dit geeft het volgende spanningsverloop voor V OUT V OUT  t 

t Ts – ----2

0

Ts ----2

Ts

3T s -------2

2T s

De spanning is discontinu op de schakelmomenten. Dit is ook geldig voor de ladingen opgestapeld in de condensatoren ( Q = CU ). Het begrip stroom heeft hier geen zin gezien i = dQ  dt oneindig groot wordt op de schakelmomenten. De analyse van switched capacitor netwerken kan dus niet via de klassieke aanpak gebeuren. De exacte aanpak vereist het gebruik van de Z -getransformeerde (zie cursus complexe analyse en cursus systeem theorie). Dit zou ons echter te ver brengen, vandaar dat we in deze cursus gekozen hebben voor een benaderde analyse die echter alle fundamentele eigenschappen (of bijna alle) van switched capacitor netwerken blootlegt. De aanpak is gebaseerd op het begrip equivalente stroom die weergeeft hoeveel lading er per klokperiode T s van 1 punt naar een ander is gevloeid: Q i eq = -------Ts Dit heeft zin indien de spanningen bijna niet variëren over een klokperiode (= beperking op de spectrale inhoud van de aangelegde signalen). 6.2. Elementaire bouwstenen. De schakelaars en condensatoren worden niet zomaar lukraak bij elkaar gegooid. Men gaat ze in weldoordachte structuren bijeenbrengen en wel zodanig dat men telkens een soort weerstand tracht te maken. We geven nu een lijst van veelgebruikte zogenaamde switched capacitorweerstanden.

72

a) De serieweerstand

i

j

C

De serieweerstand realiseert een weerstand tussen knopen i en j . De term serie duidt er hier op dat de condensator in “serie” staat met deze knopen. Om het equivalent schema te vinden, berekenen we de netto- ladingsoverdracht van knoop i naar knoop j gedurende een periode T s . Fase 1:

i

j

Q1 C U Er vloeit een lading Q 1 = CU van i naar j (de condensator was ongeladen op 't einde van de vorige fase) Fase 2:

i

j

Q2

De condensator is kortgesloten in deze zodat Q 2 = 0 Het bilan is dus Q = Q 1 + Q 2 = CU Q  i eq = -------- = Cf s U T2

1-  f = --- s T s

1 of nog U = -------- i eq Cf s 1 m.a.w. R eq = -------Cf s

(47)

formule (47) komt overeen met onze intuïtie: hoe sneller we schakelen ( T s  0  f s   ) hoe meer lading er overgepompt wordt van i naar j en dus hoe

73

kleiner de equivalente weerstand. Ook hoe groter de capaciteit C hoe meer lading er kan opgestapeld worden en dus hoe kleiner E eq . Het equivalent schema wordt dan i

j

1 R eq = -------Cf s b) De parallelweerstand j

i

C

waarbij

De parallelweerstand realiseert een weerstand tussen knopen i en j . De term parallel duidt erop dat de condensator in “parallel” staat t.o.v. deze knopen. We berekenen weer de netto-ladingsoverdracht van i naar j over 1 klokperiode T s . Fase 1: i

i

Q1

Q1 Vj

U

C

C Vj

Q 1 = CU = C  V i – V j  Fase 2: j

j

Q2 Vi

C

Q2 U

C Vi

Q 2 = CU = C  V i – V j 

74

De netto balans is dan Q = Q1 = Q2 = C  Vi – Vj   i eq = Cf s U 1  R eq = -------Cf s

(48)

Merk op dat resultaat (48) bekomen werd door te onderstellen dat in beide fasen V i en V j dezelfde zijn. Zo niet Q 1  Q 2 en gaat de redenering niet op. Het equivalent schema wordt i

j

1 R eq = -------Cf s c) De bilineaire weerstand

i

j

C



i

j

1 R eq = ----------4Cf s Bewijs als oefening het equivalent schema. d) Varianten

Va

1 R eq = -------Cf s

i

C Vb

i

 Va – Vb j

j

Va

i

1 R eq = -------Cf s i

–Va

Bewijs als oefening deze equivalente schema's.

75

6.3. Oplossen van switched capacitor netwerken Het oplossen van switched capacitor netwerken gebeurt in 2 stappen. Eerst lokaliseren we de elementaire van switched capacitor bouwstenen en vervangen ze door hun equivalente weerstand. Vervolgens lossen we het bekomen RC-netwerk op met de klassieke matriciële aanpak, bijvoorbeeld de Y n V n = J n methode. a) 1e orde laagdoorlaat filter

IN OUT C2 C1

IN

1 R eq = ---------C1 fs

OUT C2

Als transfer functie vinden we onmiddellijk (de uitgang is onbelast) V OUT  p  1 1 T  p  = --------------------- = --------------------------- = -------------------V IN  p  1 + R eq C 2 p C2 p 1 + ------ --C1 fs

(49)

Het equivalent schema voor een switched capacitor weerstand is een goede benadering van het werkelijk gedrag indien de spanningen (quasi) niet varieren over 1 klokperiode T s . Dit legt een beperking op de hoogste frequentie die aanwezig mag zijn in de aangelegde signalen, maar ook op de ingebouwde filtertijdskonstanten (zie overgangsverschijnselen). De filtertijdconstante voor het 1e orde laagdoorlaat filter is C2  = R eq C 2 = ------ T s C1 Indien nu C 2 » C 1 dan is  » T s zodat de overgangsverschijnselen traag variëren over een klokperiode. In dit geval voorspelt het RC equivalent schema goed de werkelijkheid. Indien echter C 2  C 1 dan is   T s en gedraagt het switched capacitor zich niet zoals het RC- equivalent schema.

76

b) 2e orde filter C3

C2 C6

C5

C1 C4

IN

OUT

Stel het equivalent RC netwerk op en toon aan dat: C1 p – ------  --- C 6  f s V OUT  p  T  p  = --------------------- = ---------------------------------------------------------V IN  p  C2 C5  p  2 C3  p  ------------ --- + ------ --- + 1 C 4 C 6  f s C 6  f s

(50)

6.4. Eigenschappen van switched capacitor filters Uit de uitdrukkingen van de transfer functies (49) en (50) volgt dat 1. de coëfficiënten van de transfer functie zijn enkel functies van de verhouding van de capaciteitswaarden (homogene veeltermen in teller en noemer van dezelfde graad), bijvoorbeeld: C2 C5 ------------C4 C6 2. T  p  is een functie van p  f s , m.a.w. de frequentie wordt geschaald met de klokfrequentie f s . p T  p  = f  ---  f s De gevolgen hiervan zijn 1. voor de eerste vaststelling: 1.1. switched capacitor netwerken hebben onder geïntegreerde vorm een uitstekende temperatuurstabiliteit (~ ppm/°C ). Dit komt omdat onder geïntegreerde vorm er voor elke capaciteitswaarde geldt dat C k = C k0 f  T  waarbij C k0 de waarde bij kamertemperatuur is en f  T  de temperatuursafhankelijkheid voorstelt. Deze is dezelfde voor alle 77

capaciteitswaarden daar ze allen door middel van hetzelfde integratieproces gemaakt zijn en ze op dezelfde temperatuur staan (zie kleine afmetingen chip). Bijgevolg is C 20 f  T C 50 f  T  C2 C5 C 20 C 50 ------------- = -------------------------------------- = ----------------C4 C6 C 40 f  T C 60 f  T  C 40 C 60 temperatuursonafhankelijk en dus ook T  p  . 1.2. systematische integratiefouten op de capaciteitswaarden beïnvloeden de transfer functie niet. Inderdaad, gezien alle C k -waarden d.m.v. hetzelfde proces gerealiseerd worden hebben ze dezelfde relatieve systematische fout C k = C k0  waarbij C k de gerealiseerde waarde is, C k0 de gewenste waarde en  de relatieve afwijking. Bijgevolg is C2 C5 C 20 C 50  C 20 C 50 ------------- = ------------------------ = ----------------C4 C6 C 40 C 60  C 40 C 60 onafhankelijk van de integratiefout  en dus ook T  p  . 2. T  p  = f  p  f s   we beschikken via f s over een lineaire schaalfactor van de frequentie, waarmee we naar believen de frequenties kunnen uittrekken of inkrimpen. Hierbij wijzigt de amplitude en fase karakteristiek niet. Bijvoorbeeld, A

: fs : fs  2

f 500 Hz 1 kHz

2 kHz

3 kHz

Indien we de klokfrequentie f s halveren dan nemen we dezelfde amplitude waar bij de helft van de frequentie: f f2 A  --- = A  ---------- fs fs  2 Hetzelfde geldt voor de fase. Als toepassing op het wijzigen van f s hebben we 1. afregelen van het filter 2. filters met regelbare doorlaatband

78

Opmerking: Het trapvormig karakter van het uitgangssignaal van een switched capacitor netwerk kan niet voorspeld worden met behulp van het RC- equivalent schema. Hiertoe moet men de exacte aanpak via de Z -transformatie gebruiken. Correct gebruik van een switched capacitor filter vereist dus eerst laagdoorlaat filtering van het ingangssignaal (hypothese dat signaal niet varieert over een klokperiode moet voldaan zijn) en achteraf laagdoorlaat filteren van het uitgangssignaal (om de trappen weg te werken). antialias filter

Switched capacitor filter

Reconstructie filter

Om eenvoudig analoge filters (1e orde RC) te kunnen gebruiken als anti-alias en reconstructie filters heeft men er baat bij om de klokfrequentie f s veel groter dan de bandbreedte f 0 van het switched capacitor filter te kiezen. f ---s- » 1 f0 6.5. Vermogen dissipatie van een switched capacitor netwerk Gezien een switched capacitor netwerk geen enkele weerstand bevat zou men op het eerste gezicht denken dat het geen vermogen dissipeert. Niets is echter minder waar. Het dissipeert evenveel vermogen als zijn RC- equivalent (voor zover de equivalentie opgaat). We tonen dit aan op het volgende éénvoudig netwerk. 1 R eq = -------Cf s

E

C



E

Het equivalent schema voorspelt een vermogen dissipatie in de weerstand R eq van E2 P = -------- = E 2 Cf s R eq De gedissipeerde energie over één klok periode is dan PT s = E 2 C

(51)

We zullen nu het vermogenverbruik over één klokperiode van het switched capacitornetwerk berekenen. Daarvoor voeren we een willekeurig kleine weerstand  in (zo niet vloeit er op t = 0 een oneindig grote stroom)

79

Fase 1: 

it

E

C

Het is éénvoudig na te gaan dat E i  t  = --- e – t  c  E2  P  t  = i 2  t  = ------ e –2t  c  De energie gedissipeerd over 1 klokperiode is dan Ts e 1  ----- =  2

Ts  2



CE 2 P  t  dt = ----------  1 – e –Ts   c   2

0

Stel nu C « T s  e –Ts   c  « 1 Ts CE 2  lim e 1  ----- = ---------2 2 0 Fase 2: 



C

E E

De situatie van fase 2 is identiek aan deze in fase 1 zodat Ts CE 2  lim e 2  ----- = ---------2 0  2 De totale energie dissipatie is bijgevolg 2 CE 2- CE --------+ ---------- = CE 2 2 2

en is identiek aan (51).

80

I B NIET-LINEAIRE NETWERKEN

81

7.

DC- analyse van niet lineaire netwerken

7.1. Definitie Onder DC analyse van niet lineaire netwerken verstaan we het berekenen van het regimeantwoord van het niet lineaire netwerk onder een constante excitatie. De spoelen worden bijgevolg vervangen door een kortsluiting en de condensator door een open klem.   In DC regime bevat het netwerk enkel DC bronnen, weerstanden en niet lineaire (tijdsonafhankelijke) elementen. 7.2. Voorbeelden van niet lineaire elementen a) De diode q

------ u i = i s  e kT – 1  

i U

U

De diode kan ook beschouwd worden als een niet lineaire spanningsgestuurde stroombron. b) De bipolaire npn transistor F iF

C

R iR

iC

iE iR

iB

u CB

iC

iE

E  C

E

iF u EB

iB

u CB

B

u EB

B q----u EB

i F = i sF  e kT 

– 1 

q

------ u CB i R = i sF  e kT – 1  

i E = i F –  R i R = f e  u EB u CB  i c = i R –  F i F = f c  u EB u CB  De bipolaire transistor kan beschouwd worden als 2 niet lineaire spanningsgestuurde stroombronnen.

82

c) Besluit Daar we de niet lineaire elementen kunnen vervangen door niet lineaire spanninggestuurde DC stroombronnen, wordt het DC analyse probleem herleid tot het oplossen van een netwerk dat lineaire DC bronnen bevat (onafhankelijke en afhankelijke), weerstanden en niet-lineaire spanningsgestuurde DC stroombronnen. 7.3. Opstellen van de basisvergelijkingen a) Het netwerk dat enkel lineair afhankelijk en/of afhankelijke DC stroombronnen bevat kan opgelost worden met de methode van de knooppuntpotentialen. Dit geeft Gn Vn = Jn + Hn  Vn 

(52)

waarbij G n de knoopconductantiematrix is die de bijdrage van de lineaire gestuurde DC bronnen omvat, J n de bijdrage van de lineaire onafhankelijke bronnen bevat, en H n  V n  de bijdrage van de niet lineaire spanningsgestuurde stroombronnen. (52) is een niet-lineaire algebraïsche vergelijking in V n . De volgende vragen stellen zich 1. bestaat er een oplossing? 2. is de oplossing uniek? 3. hoe berekenen we de oplossing(en)? Om het bestaan en de uniciteit van de oplossing te garanderen zullen we onderstellen dat H n  V n  een bijectieve functie is. Achteraf zullen we nagaan wat er gebeurt indien hieraan niet voldaan is. b) Voorbeeld L1

R1 E

R3

C R2

DC-analyse

R1 E

R3 R2

83

R1

1

iD

E

R3 2

R2

q

iD

------  V 1 – V 2  = i s  e kT – 1   q

G1 + G3 0 0

V1

=

G2 V2

G1 E

+

------  V 1 – V 2  – i s  e kT – 1   q

0

------  V 1 – V 2  i s  e kT – 1

7.4. Oplossen van de basisvergelijkingen In het algemeen kan (52) niet expliciet opgelost worden naar V n . Dit moet dan numeriek gebeuren met behulp van bijvoorbeeld de methode van Newton-Raphson (zie cursus numerieke analyse). Deze methode lost het stelsel F  Vn  = 0 op via de volgende iteratieve vergelijking V nP + 1 = V nP –  F'  V nP   – 1 F  V nP  waarbij V nP de schatting is van de oplossing in de P de stap en V nP + 1 de nieuwe schatting is. Toegepast op (52) met F  Vn  = Gn Vn – Jn – Hn  Vn 

en

F'  V n  = G n – H n  V n

geeft dit Gn –

H n  V nP

 V nP + 1 – V nP  = – G n V nP + J n + H n  V nP 

of nog Gn –

H n  V nP

V nP + 1 = J n + H n  V nP  –

H n

V nP P  Vn

(53)

(53) is de iteratieve Newton-Raphson formule voor (52). 84

Merk op dat het rechterlid in (53) enkel functie is van V nP net zoals de matrix G n – H n  V n in het linkerlid. We kunnen bijgevolg een netwerk interpretatie geven aan vergelijking (53) (zie verder). Dit netwerk noemen we het kompanionnetwerk. (53) convergeert naar de gezochte oplossing van (52) indien de startwaarden V n0 voldoende dicht bij de oplossing liggen (zie cursus numerieke analyse). In dat geval is de convergentie bovendien kwadratisch. Via fysisch inzicht in de werking van het netwerk kunnen we meestal startwaarden vooropstellen die voldoende dicht in de buurt van de oplossing liggen. 7.5. Netwerk- interpretatie van de numerieke oplossingsmethode We zullen in deze paragraaf aantonen dat met (53) een netwerk overeenstemt dat onmiddellijk uit het oorspronkelijke netwerk kan afgeleid worden. a) Niet-lineaire weerstand k

l

u

k

u

l

 i = hu i = hu De bijdrage van deze niet- lineaire weerstand tot H n is Hn  Vn  = –h  u  hu

k

(54)

l

met u = V k – V l . De afgeleide van deze vector naar V n is k

 H V  =  Vn n n

–

l

h h –  Vk  Vl

h  Vk

h  Vl

k

l

Rekening houdend met h U =  hU =  h U  G U   Vk  Vk U U h U =  hU = –  h  U  = –G  U   Vl  V U U l wordt dit  H  V  = –G  U  G  U   Vn n n G  U  –G  U 

(55)

Substitutie van (54) en (55) in (53) geeft:

85

k

–

H n  V nP

H n  V nP  –

=

l

G P –G P

k

–GP G P

(56)

l

H n

P P P P = – i – G U  V n  V nP iP – GPUP

k

(57)

l

waarbij G P = G  U P  , i P = h  U P  en U P = V kP – V lP . We zien onmiddellijk dat (56) een weerstand met conductantie G P gelegen tussen knopen k en l is, en dat (57) een onafhankelijke DC stroombron voorstelt gelegen tussen knopen k en l . Het kompanion netwerk is bijgevolg k

l

up + 1 i' P + 1

kompanionnetwerk

GP iP – GPuP Merk op dat het deel overeenkomstig de lineaire elementen van het oorspronkelijk netwerk ongewijzigd blijft. Enkel het niet-lineaire element wordt vervangen door zijn zogenaamde kompanionmodel. Voor een niet lineaire weerstand is dit uP + 1 u i' P + 1 i = hu GP iP – GPuP niet-lineaire weerstand

kompanionnetwerk

Het kompanion model is geen equivalent schema van het niet lineaire element. Het laat enkel toe om onmiddellijk het kompanion netwerk op te stellen vanuit het oorspronkelijk netwerk. Oplossen van dit kompanion netwerk levert de iteratieve Newton-Raphson vergelijkingen (53). Het kompanion model kan grafisch geïnterpreteerd worden als de raaklijn aan de niet lineaire curve i = h  U  in het punt  u P i P  :

86

i

i = hu

iP

GP u

0

uP

i

Inderdaad, de vergelijking van de raaklijn aan i = h  u  in het punt  u P i P  is i – iP = GP  u – uP  Deze raaklijn snijdt de as u = 0 in i i = i P – G P u P wat precies de stroom is van de stroombron in het kompanionmodel. Het kompanionmodel is dus een lokale linearisatie (geldig voor kleine variaties) van de niet-lineaire weerstand wat G P verklaart. Gezien echter bij nulspanning toch nog een stroom i vloeit moet er parallel over deze conductantie een stroombron geplaatst worden. b) Niet lineaire weerstand functie van 2 spanningen r k

u2 u1

s

r

l

k

u2 u1

 i = h  u 1 u 2 

s l

i = h  u 1 u 2 

Op gelijkaardige wijze vinden we Hn  Vn  =

– h  u 1 u 2 

k

h  u 1 u 2 

l

H n –G1 G1 –G2 G2 =  Vn G1 –G1 G2 –G2 k

l

r

k l

s

87

met  h  u 1 u 2   u1

G 1 = G 1  u 1 u 2  =

G 2 = G 2  u 1 u 2  =  h  u 1 u 2   u2 u1 = Vk – Vl u2 = Vr – Vs zodat –

H n

=

 V nP

G 1P – G 1P G 2P – G 2P – G 1P G 1P – G 2P G 2P k

H n  V nP  –

k

H n

VP = P n

 Vn

l

r

(58)

l

s

–  i P – G 1P U 1P – G 2P U 2P 

k

i P – G 1P U 1P – G 2P U 2P

l

(59)

Toon als oefening aan dat (58) en (59) aanleiding geven tot het volgende kompanion model U 2P + 1 r k

s

U 1P + 1

l

J 1 = G 2 U 2P + 1 G 1P

J 2 = i P – G 1P U 1P – G 2P U 2P J1 J2

waarbij J 1 een spanningsgestuurde stroombron is en J 2 een onafhankelijke stroombron. Dit kompanion model kan grafisch geïnterpreteerd worden als het raakvlak in het punt  i P u 1P u 2P  aan de niet-lineaire karakteristiek i = h  u 1 u 2 

88

. i iP i = h  u 1 u 2  u 2P

0

u2

u 1P u1

Raakvlak

c) Besluit Om een DC-analyse uit te voeren volstaat het dus om elk niet lineair element te vervangen door zijn kompanionmodel en het bekomen kompanionnetwerk op te lossen via de Y n V n = J n methode. Dit levert dan de iteratieve Newton-Raphson vergelijkingen. De startwaarden voor het iteratief schema haalt men uit fysisch inzicht in het netwerk. Merk op dat de diode als een niet lineaire weerstand kan beschouwd worden (§ a) en de bipolaire transistor als 2 weerstanden functie van 2 spanningen (§ b) d) Voorbeeld 1: q

------ u i = i s  e kT – 1

i

R E

u

Kompanionnetwerk i' P + 1

1

V 1P + 1

R E

GP

i P – G P V 1P

q P  - V1 q- ---- G P = ----i s e kT kT   q- P ---- V1  kT P – 1  i = is  e  

89

Oplossen van dit netwerk geeft  G + G P V 1P + 1 = GE – i P + G P V 1P of GE – i P + G P V 1P V 1P + 1 = --------------------------------------G + GP

(60)

Indien E  0 kunnen we als startwaarden V 10 = 0.6 V nemen (diode in geleiding). We kunnen dit netwerk ook grafisch oplossen via de vergelijkingen u = E – Ri q

------ u i = i s  e kT – 1  

i E --R

i = i0 + G0  u – u0 

q

------ u i = i s  e kT – 1  

G0

i0 i1 i' 1

u0 u1

u

E–u i = -----------R

E

Het kompanionmodel uitgerekend in de startwaarden u 0 i 0 is de raaklijn aan de diodekarakteristiek in het punt  u 0 i 0  . Deze rechte snijdt de belastingslijn u = E – Ri in het punt  u 1 i' 1  . Dit is de oplossing van het eerste kompanionnetwerk (eerste iteratie in (60) met P = 0 ). Om de volgende iteratie stap te zetten berekenen we eerst en trekken de raaklijn door het punt  u 1 i 1  enz… . We zien dat we zeer snel konvergeren naar het snijpunt van u = E – Ri q

------ u i = i s  e kT – 1  

Opmerking: 1. wanneer we uitgeconvergeerd zijn is i' = i ( i'  = i  ) d.w.z. dat de stroom die door het kompanionmodel vloeit gelijk is aan de werkelijke stroom door het niet lineaire element. 2. in geval van een tunneldiode is het verband spanning stroom niet bijectief. De kompanion methode gaat nog steeds op doch we weten niet op voorhand hoeveel oplossingen er zijn.

90

i i = h u

u Tunneldiode

Belastingslijn

i

i = hu

Belastingslijn u Niet bijectief verband i = h  u 

e) Voorbeeld 2: R1 1

2

D1

iD1 R2

iD2

D2

R E

91

Vervangen we elke diode door zijn kompanionmodel dan krijgen we R1 V 1P + 1

V 2P + 1

1

2

G 1P

G 2P

------ u 1P q = ------ i s e kT kT q

------ u 2P q G 2P = ------ i s e kT kT P – G Pu P J 1P = i D1 1 1

J 1P R2

q

G 1P

P – G Pu P J 2P = i D2 2 2

J 2P

u 1P = V 1P – V 2P u 2P = V 2P

R

E Met als knooppuntvergelijkingen G 1 + G 1P + G

– G 1 – G 1P

V 1P + 1

=

– G 1 – G 1P G 1 + G 2 + G 1P + G 2P V 2P + 2

GE – J 1P J 1P – J 2P

Numeriek voorbeeld: R = 800 , R 1 = 60 , R 2 = 100 , E = 10V , q----= 40V – 1 en i s = 1nA kT Als startwaarden kiezen we u 10 = u 20 = 0.4V (de dioden geleiden). Hieruit volgt dat V 20 = 0.4V V 10 = 0.8V en dat waaruit u 11 = V 11 – V 21 = 0.38916V u 21 = V 21 = 0.39626V en i D1 1 = 5.7592mA i D1 2 = 7.6505mA G 11 = 0.23037 – 1 G 21 = 0.30602 – 1

92

i D0 1 = i D0 2 = 8.8861mA G 10 = G 20 = 0.35544 – 1 1 0.37336 – 0.37211 V 1 = 0.14579 – 0.37211 0.73756 V 21 0



V 11 V 21

= 0.78541V 0.39626V

De tweede iteratiestap levert ons 2 0.24828 – 0.24703 V 1 = 96.390mA – 0.24703 0.56305 V 22 29.721mA



V 12 V 22

= 0.78220V 0.39597V

waaruit u 12 = V 12 – V 22 = 0.38623V u 22 = V 22 = 0.39597V en i D2 1 = 5.1227mA i D2 2 = 7.5632mA G 12 = 0.20491 – 1 G 22 = 0.30253 – 1 De derde iteratiestap levert 3 0.22283 – 0.22158 V 1 = 86.520mA – 0.22158 0.53410 V 23 38.203mA



V 13 V 23

= 0.78202V 0.39596V

Indien we het eindresultaat op 4 beduidende cijfers wensen kunnen we hier de iteratie afbreken.

93

8.

Transiënt analyse van niet lineaire netwerken

8.1. Inleiding Er zijn 3 mogelijke aanpakken met elk hun voor- en nadelen: 1. Uitschrijven van KCL, KVL en niet lineaire VAL wetten. Dit levert 2t vergelijkingen met 2t onbekenden. Indien gebruik gemaakt wordt van integratiemethoden die rekening houden met het groot aantal nullen in de KCL en KVL wetten (= schrale integratiemethoden) is het grote niet lineaire differentiaal stelsel hanteerbaar. Over deze aanpak zullen we niet verder uitwijden. 2. De toestandsveranderlijken methode (state variable approach). Het voordeel is dat we tot een differentiaalstelsel komen met minimale afmetingen:  dx  = F  x y u u·  t  dt   G  x y u u·  t  = 0  met x de vector van de toestandsvergelijkingen, y de vector van de tussenveranderlijken die niet expliciet geëlimineerd kunnen worden en u de vector van de onafhankelijke bronnen. Het nadeel is het opstellen van het differentiaalstelsel. 3. de kompanionmethode die als voordeel heeft dat de vergelijkingen rechtstreeks uit het oorspronkelijke netwerk kan afgeleid worden. Wat het aantal vergelijkingen betreft ligt deze beduidend lager dan 2t (1e aanpak), maar ligt meestal hoger dan de toestandsveranderlijke methode. 8.2. De toestandsveranderlijke methode a) Definitie: De orde van een systeem (netwerk) is gelijk aan het totaal aantal onafhankelijke energiestokeringsmogelijkheden. De orde van een systeem (netwerk) komt overeen met de orde van het differentiaalstelsel dat het systeem (netwerk) beschrijft. Voorbeeld: R et

i(t)

L

C

U

Li 2 Magnetische energie ------- in spoel  2    orde = 2 2 Cu Electrische energie --------- in condensator  2

94

b) Afhankelijke (oneigenlijke) energiestokeringsmogelijkheden b.1 Afhankelijkheid in de stromen L2

L1 i1

i2 j0

j 0 is gekend en dus kunnen we bijvoorbeeld i 2 uitdrukken als functie van i 1 en j 0 : i 2 = – i 1 – j 0 . Hieruit volgt dat de energie opgeslagen in spoel L 2 kan afgeleid worden uit de energie opgeslagen in spoel L 1 en de waarde van de stroom j 0 : L 2 i 22 L2  i1 + j0 2 ---------- = --------------------------2 2 L 2 L 1 i 12 L2 j0 L 1 i 12 L 2 j 02 = ----- ---------- + 2 ---------- sgn  i 1  --------- + ---------L1 2 2 2 L1 We zeggen dat L 1 de eigenlijke spoel en L 2 de oneigenlijke spoel is (keuze kan net andersom gemaakt worden). De afhankelijkheid (oneigenlijkheid) treedt ook op wanneer een doorsnede gevonden wordt waar enkel spoelen en stroombronnen in aankomen L3

L1

j0

L2

b.2 Afhankelijkheid in de spanningen C1

e0  t 

u1

u2

C2

95

e 0  t  is gegeven en dus kunnen we bijvoorbeeld u 2 uitdrukken als functie van e 0  t  en u 1 : u 2 = e 0  t  – u 1 . Hieruit volgt dat de energie opgeslagen in condensator C 2 afgeleid kan worden uit deze opgeslagen in condensator C 1 en de waarde van de spanning e 0  t  C 2 u 22 C 2  e 0(t) – u 1  2 ------------ = -----------------------------------2 2 C2 C 1 u 12 C 1 C 1 u 12 2 2 ----= e (t) – ------ C 2 e 0(t)sgn(u 1) ------------ + ------ -----------2 0 C2 2 C1 2 We zeggen dat C 2 de oneigenlijke (afhankelijke) condensator en C 1 de eigenlijke (onafhankelijke) condensator is. b.3 De meest voorkomende oneigenlijkheden zijn van het type b.1 en b.2. Netwerken die gestuurde (afhankelijkheden) bronnen bevatten kunnen oneigenlijkheden (afhankelijkheden) hebben die niet tot het type b.1 en b.2 behoren. c) Regels voor het opstellen van de toestandsvergelijkingen 1. Bepalen van de orde van het netwerk (opsporen van de oneigenlijkheden): orde is gelijk aan de som van het aantal eigenlijke spoelen en condensatoren. 2. Keuze van de toestandsveranderlijken: neem de spanning over de eigenlijke condensator en de stroom door de eigenlijke spoelen als toestandsveranderlijken. 3. Vervang de eigenlijke condensatoren en de spoelen door respectievelijk spanning- en stroombronnen: C



uC

uC

L

 iL

iL

4. Vervang de oneigenlijke condensatoren en de spoelen door respectievelijk stroom- en spanningsbronnen. Voorbeeld 1: zie b.1. L2

 i2 = – i1 – j0 u L2 = – L 2

di 1 dj 0 – L2 dt dt

Voorbeeld 2: zie b.2. C2

u2 = e0  t  – u1

 i C2 = C 2

de 0 du 1 – C2 dt dt

96

5. los het resistieve netwerk op met de Y n V n = J n methode en bereken de stroom door elke weerstand. 6. Bereken de stroom door elke eigenlijke condensator en de spanning over elke eigenlijke spoel:  de dj du di du  i c = C C = f  e 0  t  j 0  t  u C i L 0 0 C L  dt dt dt dt  dt    di L de 0 dj 0 du C di L = g  e 0  t  j 0  t  u C i L     uL = L dt dt dt dt dt   waarbij de termen de 0  dt , dj 0  dt , du C  dt en di L  dt in het rechterlid enkel voorkomen indien er oneigenlijkheden zijn. d) Voorbeelden d.1 Netwerken met oneigenlijkheden C2 R1 e0  t 

Orde = 2

u C2

u C1

C1

u C3

C3

R2

Kies u C1 , u C3 als toestandsveranderlijken, zodat j = C2 i R1

R1

du C1 du C3 – C2 dt dt

1

2

i C1 e0  t 

u C1

i R2

i C3 u C3

R2

Oplossen van het resistieve netwerk levert V 1 = u C1 V 2 = u C3 En dus e 0  t  – u C1 i R1 = -------------------------R1 u C3 i R2 = -------R2

97

De stromen door de eigenlijke condensatoren zijn te schrijven als functie van deze stromen.  i C1 = i R1 – j   i C3 = j – i R2 e 0  t  u C1 du C1 du C3  du C1 = ------------ – -------- – C 2 + C2  C1 R1 R1 dt dt  dt   du C3 du C1 du C3 u C3 – C2 = C2 – ------- C3 dt dt R2  dt Oplossen van dit stelsel naar du C1  dt en du C3  dt geeft C2 C2 + C3 C2 + C3  du C1 = – ------------------- u C1 – ---------- u C3 + ------------------- e 0  t   R1  R2  R1  dt  C1 + C2  du C3 C2 C2 = – ---------- u C1 – ------------------- u C3 + ---------- e 0  t   R1  R2  R1  dt met  = C 1 C 2 + C 2 C 3 + C 1 C 3 d.2 Netwerk zonder oneigenlijkheden R1

1

iL

L i R3 Orde = 2

R2

et

R3 uC

C

Als toestandsveranderlijken kiezen we u C en i L . Het netwerk wordt bijgevolg: iL R1 i 1 R1

i R3 Orde = 2 R2

et

R3 uC

98

Oplossen van dit resistieve netwerk via Y n V n = J n geeft  G 1 + G 2 V 1 = G 1 e  t  + G 2 u C – i L

(61)

En i R1 = G 1  e  t  – V 1  i R2 = G 2  V 1 – u C 

(62)

i R3 = i L De stroom door de eigenlijke condensator en de spanning over de eigenlijke spoel is dan i C = i R2

(63)

u L = V 1 – R 3 i R3 Substitutie van (61) en (62) in (63) resulteert in R1 R1 R2 R2  di L = –  R 3 + ------------------ i L + ------------------ u C + ------------------ e  t   L  R 1 + R 2 R1 + R2 R1 + R2  dt   du C uC R1 e t = – ------------------ i L – ------------------ + -----------------C d t R + R R + R R  1 2 1 2 1 + R2

d.3 Niet-lineair netwerk iL

L

uC

et

R

Orde = 2

iL iD

et

uD

iC

uL uC

iR R

met i D = i s  e q   kT  uD – 1  99

uC uC    i R = ----- i C = i L – -----R  R  i = i u = et – u – u L D C D  L  du C uC C = i L – -----R  dt   di L kT-  i D ln ----- + 1 + e  t   L d t = – u C – ---- is  q 

8.3. De kompanionmethode We zullen hier voor de eenvoud onderstellen dat de dynamische elementen lineair zijn. Uitbreiding van de theorie naar netwerken met niet-lineaire dynamische elementen is zonder meer mogelijk. Het idee van de kompanionmethode bestaat erin om de eerste orde differentiaalvergelijkingen die het verband tussen de stroom en de spanning van de dynamische elementen uitdrukken, numeriek te integreren. Dit numeriek integreren kan op een groot aantal manieren gebeuren (zie cursus numerieke analyse). Hier kiezen we voor impliciete integratieformules. Beschouw bijvoorbeeld dx = f  x t  dt integreren van t 1 naar t 2 geeft t2

t2

dx  d t dt =

 f  x t  dt

t1

t1

Passen we de trapeziumregel toe op het rechterlid dan bekomen we t2 – t1 x  t 2  – x  t 1    f  x  t 2  t 2  + f  x  t 1  t 1   -------------2 Stellen we nu t k = k  h met h de integratiepas dan wordt dit h x  t + 1   x  t  + ---  x·  t + 1  + x·  t   2

(64)

Dit is een impliciete formule gezien het een niet-lineaire vergelijking in x  t + 1  is ( x·  t + 1  = f  x  t + 1  t  ). We kunnen op een eenvoudige manier aantonen dat (64) een 2de orde integratie methode is. Bewijs

100

Taylorreeksontwikkeling met restterm van x  t + 1  en x·  t + 1  geeft h2 h3 x  t + 1  = x  t  + hx·  t  + ----- x  2   t  + ----- x  3    1  2 6 h2 x·  t + 1  = x·  t  + hx  2   t  + ----- x  3    2  2 met  1  2   t t + 1  . Trekken we nu van de eerste vergelijking h  2 keer de tweede af dan krijgen we h h2 h3 x  t + 1  – --- x·  t + 1  = x  t  + hx·  t  + ----- x  2   t  + ----- x  3    1  2 2 6 h3 h h2 – --- x·  t  – ----- x  2   t  – ----- x  3    2  2 2 4 of nog 1 h 1 x  t + 1  = x  t  + ---  x·  t + 1  + x·  t   + h 3  --- x  3    1  – --- x  3    2  6  2 4 Gezien  1   2 =ˆ  kunnen we de restterm benaderen door –  h 3  12 x  3     zodat h3 h x  t + 1  = x  t  + ---  x·  t + 1  + x·  t   – ------ x  3     2 12

(65)

Vergelijken we nu (65) met (64) dan kunnen we besluiten dat de trapeziumregel exact is voor veeltermen tot en met graad 2. (de restterm is dan nul). a) Kompanionmodel voor de condensator Passen we integratieformule (64) toe op i U

C

i=C

du du --1  = -i dt dt C

dan vinden we h u t + 1 – u t = -------  i t + 1 + i t  2C

(66)

101

In (66) zijn de onbekenden u t + 1 en i t + 1 gezien we (bij onderstelling) u t en i t reeds kennen. We kunnen (66) interpreteren d.m.v. een netwerk

i

ut + 1

h h = ------- i t + 1 +  u t + ------- i t  2C 2C 

h-----2C

u

h u t + ------- i t 2C

Dit netwerk noemen we het trapezoïdaal kompanionnetwerk van de condensator. Merk op dat een andere integratieregel aanleiding geeft tot een ander kompanionmodel. (zie verder) b) Kompanionmodel voor de spoel i u

L

u=L

di di 1  = --- u dt dt L

Toepassen van (64) geeft h i t + 1 – i t = ------  u t + 1 + u t  2L of nog h h i t + 1 = ------ u t + 1 +  i t + ------ u t 2L 2L

(67)

Hiermee stemt het volgende netwerk overeen it + 1 ut + 1

2L -----h

h i t + ------ u t 2L

Dit netwerk noemen we het trapezoïdaal kompanionmodel van de spoel. Een andere integratieregel geeft een ander kompanionmodel (zie verder). c) Oplossen van lineaire dynamische netwerken Het idee bestaat erin om alle dynamische elementen op tijdstip t + 1 te vervangen door hun kompanionmodel. Op die manier wordt het dynamisch vraagstuk herleid tot 102

een statisch (DC) probleem met als onbekenden de waarde van de spanning en stromen op tijdstip t + 1 en als gekenden de waarden van de spanningen en stromen op (alle) vorige tijdstippen  t t – 1  0  :

jt

jt + 1

 et

Lineair dynamisch netwerk

et + 1

Lineair DC probleem op tijdstip t + 1

Toepassen van de Y n V n = J n methode op dit netwerk geeft dan G n V nt + 1 = J nt + 1 + j nt

(68)

waarbij de knoopconductantiematrix G n de bijdrage van de gestuurde bronnen omvat, J nt + 1 de onafhankelijke bronnen weergeeft en j nt de bijdrage is van de kompanionmodellen. (68) is een recursieformule d.w.z. dat elke stap een oplossing geeft, terwijl in een iteratieformule elke stap ons dichter bij de oplossing brengt. De startwaarden van (68) worden als volgt berekend: alle condensatoren worden vervangen door spanningsbronnen en alle spoelen door stroombronnen: G n V n0 = J n0

103

c.1 Voorbeeld 1

i3

2H

2

i1

i2 1F

1

1F

1

h--2

1

et

t+1 jt

1

1 et + 1

2

4--h

h --2 u 1t

u 2t

Met h j t = i 3t + ---  V 1t – V 2t  4 h u 1t = V 1t + --- i 1t 2 h u 2t = V 2t + --- i 2t 2

2 h h 2--- t t 1 + --- + --– --u1 – j t+1 t + 1 V h 4 4 1 = e + h t+1 h 2 h 2 0 – --1 + --- + --- V 2 j t + --- u 2t h 4 4 h

104

De startwaarden worden bekomen als de oplossing van i 30 1

1

2

V 10

V 20

1

e0

We vinden i 20 = i 30 – V 20 i 10 = e 0 – V 10 – i 30

d) Oplossen van niet lineaire dynamische netwerken. Het oplossen gebeurt in 2 stappen: eerst herleiden we het niet lineair DC probleem door op tijdstip t + 1 alle spoelen en condensatoren te vervangen door hun kompanionmodel. Het niet-lineaire DC probleem wordt vervolgens herleid tot een lineair DC probleem door alle niet-lineaire elementen te vervangen door hun kompanionmodel (zie § 7.). Schematisch kunnen we dit als volgt voorstellen:

Niet-lineair dynamisch netwerk op tijdstip t J t

e t

105

invoeren tijdskamponionmodel op tijdstip t + 1

jt + 1

Niet-lineair DC-probleem op tijdstip t + 1 . Onbekende spanningen en stromen: u t + 1 , i t + 1 .

et + 1

kompanionmodel niet-lineaire elementen

jt + 1

et + 1

Lineair DC-probleem op tijdstip t + 1 , en iteratie p+1. Onbekende spanningen en stromen: u t + 1 p + 1 , i t + 1 p + 1

Toepassen van de Y n V n = J n methode op dit netwerk geeft dan G np V nt + 1 p + 1 = J nt + 1 + j nt + I nt + 1 p waarbij G n de bijdragen omvat van de lineaire weerstanden, de weerstanden van de tijdscompanionmodellen, de weerstanden van de companionmodellen van de niet lineaire elementen, de lineaire gestuurde bronnen, en eventueel gestuurde bronnen van de companionmodellen van de niet lineaire elementen (zie niet lineaire weerstand functie van twee spanningen op blz. 87); J nt + 1 de onafhankelijke bronnen; j nt de bronnen in de tijdscompanionmodellen; en I nt + 1 p de bronnen in de companionmodellen van de niet lineaire elementen.

106

d.1 Voorbeeld iR  t 

R

V1  t 

1

iD t 

et

iC  t 

Niet-lineair dynamisch netwerk

C

t+1 i Rt+ 1

R

1

V 1t + 1 i t + 1 C i Dt+ 1

Niet-lineair statisch (DC) netwerk

h-----2C

et + 1

h V 1t + ------- i Ct 2C

kompanionmodel diode i' Rt+ 1 P + 1

R

1

V 1t + 1 P + 1

i' Ct+ 1 P + 1

i' Dt+ 1 P + 1 et + 1

j Dt+ 1 P

G Dt+ 1 P

h-----2C

Lineair DC netwerk

h V 1t + ------- i Ct 2C

Met j Dt+ 1 P = i Dt+ 1 P – G Dt+ 1 P V 1t + 1 P q

G Dt+ 1 P

------ V 1t + 1 P q = ------ i s e kT kT q- t + 1 P ----V1

i Dt+ 1 P = i s  e kT 

– 1 

Toepassen van de Y n V n = J n methode geeft 2C  G + G t + 1 P + 2C ------- V 1t + 1 P + 1 = Ge t + 1 – j Dt+ 1 P + ------- V 1t + i Ct D  h h

(69)

107

Dit is een recursieve iteratie formule: op het nieuwe tijdstip t + 1 (= recursiestap) moeten we itereren over P en de oplossing van het niet lineaire DC-probleem vinden. Als startwaarden voor de iteratie gebruiken we V 1t + 1 0 = V 1t q- t ----V1

i Dt+ 1 0 = i s  e kT  G 1t + 1 0

– 1 

q

q ------ V1t = i s ------ e kT kT

Na convergentie van de iteratie over P krijgen we V 1t + 1 = V 1t + 1  . De stromen op tijdstip t + 1 berekenen we uit het kompanionmodel. Voor de condensator, h h V 1t + 1 = V 1t + ------- i Ct + ------- i Ct+ 1 2C 2C 2C  i Ct+ 1 = -------  V 1t + 1 – V 1t  – i Ct h en voor een spoel (67), h h i t + 1 =  i t + ------ u t + ------ u t + 1   2L 2L Hiermee zijn alle gegevens beschikbaar om t te vervangen door t + 1 in (69) (= recursiestap). Als startwaarden voor de iteratie over p gebruiken we V 1t + 2 0 = V 1t + 1 enz… tot dat we alle tijdstippen afgelopen hebben. De startwaarden ( t = 0 ) voor de recursie halen we uit R

i R0 i D0 V 10

e0

wat een niet-lineair DC probleem is dat iteratief opgelost wordt. e) Uitbreidingen e.1 Andere integratieregels Gebruiken we Euler's regel om de afgeleide in dx = f  x t  dt numeriek te benaderen dan krijgen we t + 1 – xt x-------------------- = f  x t  h

108

of x t + 1 = x t + hx· t Dit wordt voor de condensator



h u t + 1 = u t + ---- i t C

h u t + ---- i t C

ut + 1

en voor de spoel it + 1



h i t + 1 = i t + --- u t L

h i t + ---- u t C

Dit zijn de zogenaamde Euler companionmodellen voor de condensator en de spoel. Gebruiken we de methode van Gear om dx = f  x t  dt te integreren dan krijgen we 1 2 4 x t + 1 = – --- x t – 1 + --- x t + --- hx· t + 1 3 3 3 Toon als oefening aan dat dit een 2e orde integratiemethode is. Het voordeel van deze methode t.o.v. de trapeziumregel is dat ze geschikt is om netwerken op te lossen waarvan de tijdsconstanten grote ordes van elkaar verschillen. Ze is echter niet zelfstartend. De methode van Gear geeft voor de condensator: it + 1 1 4 2h u t + 1 =  – --- u t – 1 + --- u t + --- ---- i t + 1  3  3 3C



ut + 1

2--- --h3C 4--- t 1--- t – 1 u – u 3 3

109

en voor de spoel it + 1



1 4 2h i t + 1 =  – --- i t – 1 + --- i t + --- --- u t + 1  3 3  3L

3--- L --2h

4--- t 1--- t – 1 i – i 3 3

e.2 Integratie methoden met veranderlijke pas Meestal wensen we het antwoord te kennen op een zeker equidistant tijdsgrid. Dit grid komt meestal niet overeen met de integratiepas h die nodig is om de vergelijkingen met een beperkte fout te integreren. Hiervoor gebruikt men dan methoden met veranderlijke integratiepas. h t

t+1

t+2

h2 h2 Het idee bestaat erin om 2 maal van t naar t + 1 te integreren: éénmaal met pas h en éénmaal met pas h  2 . Dit levert 2 resultaten op voor x  t + 1  : h  x  t + 1 h  h-- x  t + 1 h  2  2  = x  t + 1 h  – x  t + 1 h  2  Uit het verschil ˜ integratiepas h berekend

wordt dan een nieuwe

h˜ = f    orde integratiemethode rekennauwkeurigheid  Indien nu h˜  h dan betekent dit dat de integratie met pas h binnen de rekennauwkeurigheid liggen en dat we de stap kunnen zetten. Is echter h˜  h dan zijn de integratiefouten met pas h te groot t.o.v. de rekennauwkeurigheid en moeten we de pas reduceren tot h˜ . De procedure wordt herhaald totdat aan het criterium h˜  h voldaan is.

110

REFERENTIEWERKEN N. Balabanian, T.A. Bickart, Electrical Network Theory. John Wiley and Sons, New York (USA), 1969. W.K. Chen, The Analysis of Linear Systems. McGraw-Hill, New York, 1963. W. K. Chen (ed.), The Circuit and Filters Handbook. CRC Press & IEEE Press, 1995. M. Hasler and J. Neirynck, Nonlinear circuits. Artech House, Norwood, 1986. P. Gray, P. Hurst, S. Lewis and R. Meyer, Analysis and Design of Analog Integrated Circuits. John Wiley and Sons, fourth edition, 2001. S. Seshu and M.B. Reed, Linear Graphs and Electrical Networks. Addison-Wesley, London (UK), 1961. M.E. Van Valkenburg, Network Analysis. Prentice-Hall, 1964. J. Vlach, Computerized approximation and synthesis of Linear Networks. Joh Wiley & Sons, New York, 1969. A. Ralston and P. Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis. McGraw-Hill, Singapore, 1984.

111