Angle inscrit dans un cercle

A

Angle inscrit dans un cercle

B B

I) Définition : 1) Angle inscrit dans un cercle (figures 1 et 2) a est un angle On dit que AMB inscrit dans le cercle si les côtés de l'angle [MA] et [MB] sont deux cordes de ce cercle.

M

M

fig. 1 A

fig. 2

On dit que l'angle inscrit a AMB intercepte l'arc de cercle c AB (représenté en gras sur le dessin). 2) Angle au centre associé à un angle inscrit (figures 3 et 4) O étant le centre du cercle, on dit que a AOBest l'angle au centre associé à

M

a car il intercepte le l'angle inscrit AMB même arc de cercle c AB. Remarque : Dans la figure 4, a AOB devrait logiquement

b car s'écrire AOB

il

est

supérieur à 180°.

O

O

B A B

A

M

fig.4

fig. 3

II) Démontrons une propriété : a MAO a et OBM. a Soient a, b et c les mesures respectives en degrés de OAB, a OMB a et a 1) Exprimer en fonction de a, b ou c les mesures des angles AMO, OBA en expliquant pourquoi, puis inscrire le résultat sur le dessin. M

2) Compléter : La somme des angles d’un triangle donne ……° a = ……° - (a donc AOB OAB + a …… ) ; a = 180° - 2…. donc AOB

O 3) Compléter : Dans le triangle MAB, c

a a a AMB+ MBA+ BAM = ……°, donc (b + c) + (… + …)

b

+ (… + …) = 180° ; donc 2a + 2… + 2… = 180° ; donc 2a = 180° - 2… – 2….

a

B

A

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Et puisque, d'après 2), a AOB= 180° - 2a, a AOB = 180° - (180° - …… – ……) = 180° - 180° + …… + …… = …… + …… . a = … + … , donc a Or AMB AOB = 2 × a …… .

PROPRIÉTÉ : L'angle au centre est toujours le double de l'angle inscrit auquel il est associé. M

Question : Pouvez vous retrouver grâce à cela la propriété : "Lorsqu'on relie un point d'un cercle aux extrémités d'un de ses diamètres, on obtient toujours un triangle rectangle." ?

O

A

B

III) Exercices : E

A 70° O

F

H

B 1) Calculer a BOC. 3)

120° O

C

2) Calculer les angles a HEF , a EFH et a EHF .

M

N

a en fonction de a a) Exprimer RMP ROP. aen fonction de a b) Exprimer RNP ROP. a et a c) Que peut-on dire des angles RMP RNP ? d) En utilisant les termes du cours, expliquer dans quel cas deux angles inscrits dans le même cercle sont égaux…

4) On donne a ACD = 47°, a CAB = 28° et a BDA = 62°. En déduire les

O R P

A B

mesures des anglesa ABD, a BDC et a ACB. Puis calculer ou déduire les

P

mesures des angles a DPC, a CPB, a BPA, a APD, a DAP et a DBC (les dimensions du dessin ne sont pas respectées…). D

C

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Correction : II) Le triangle AOB est isocèle en O car OA et OB sont des rayons du cercle. Comme dans un triangle isocèle, les angles de la base opposée au sommet principal sont égaux, a a = c et AMO a = b. OBA = a OAB = a. De même, on pourrait démontrer que OMB a = 180°, donc l'angle inscrit Question : Lorsque [AB] est un diamètre, l'angle au centre AOB a AMB = 180° ÷ 2 = 90°. Donc AMB est rectangle en M. III)

1) a BOC = 140°.

2)

L'angle

inscrit

a EFH

a

pour

angle

au

centre

a EOH.

Donc a EFH = 120° ÷ 2 = 60°. D'autre part, l'angle inscrit a EHF a pour angle au centre a EOF . Donc a EHF = 90° ÷ 2 = 45°. Dans le triangle EHF, a HEF= 180° - 60° - 45° = 75°.

a = ROP a ÷ 2 = RNP a. Deux angles sont égaux "lorsqu'ils interceptent le même arc" 3) RMP (ici c RP ). a 47°; BDC= a 28° ; a a 105° ; a 4) ABD= ACB= 62°; DPC= CPB= 75° ; a BPA= 105° ; a APD= 75° ; a DAP= 43° et a DBC= 43°.

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