Angle plat - WordPress.com

Trigonométrié 1. Angles orientés 1.1.

Congruence de deux angles modulo 2π 𝛽 = 𝛼 + 2𝑘𝜋 ⇔ 𝛼 ≡ 𝛽 (2𝜋)

1.2.

Propriétés

1.2.1. Angles remarquables Angle plat : (𝑢 ⃗ , 𝑣 ) ≡ 0 (2𝜋) Angle nul : (𝑢 ⃗ , −𝑢 ⃗ ) = (−𝑢 ⃗ ,𝑢 ⃗ ) ≡ 𝜋 (2𝜋) 1.2.2. Relation de Chasles (𝑢 ⃗ ,𝑤 ⃗⃗ ) = (𝑢 ⃗ , 𝑣 ) + (𝑣 , 𝑤 ⃗⃗ ) 1.2.3. Conséquences (𝑣 , 𝑢 ⃗ ) ≡ −(𝑢 ⃗ , 𝑣 ) (2𝜋) (−𝑢 ⃗ , −𝑣 ) ≡ (𝑢 ⃗ , 𝑣 ) (2𝜋) (−𝑢 ⃗ , 𝑣 ) ≡ (𝑢 ⃗ , 𝑣 ) + 𝜋 (2𝜋)

2. Trigonométrie 2.1.

Propriétés cos(𝑥) ∈ [−1,1] sin(𝑥) ∈ [−1,1] cos(𝑥 + 2𝜋) = cos 𝑥 sin(𝑥 + 2𝜋) = sin 𝑥

𝑐𝑜𝑠²𝑥 + 𝑠𝑖𝑛²𝑥 = 1

2.2.

Angles associés

2.2.1. Relation entre x et -x cos (−𝑥) = cos 𝑥 sin(−𝑥) = − sin 𝑥 2.2.2. Relation entre x et son complémentaire 𝜋 cos ( − 𝑥) = sin 𝑥 2 𝜋 sin ( − 𝑥) = cos 𝑥 2 2.2.3. Relation entre x et son supplémentaire cos(𝜋 − 𝑥) = − cos 𝑥 sin(𝜋 − 𝑥) = sin 𝑥 2.2.4. Relation entre x et π+x cos(𝜋 + 𝑥) = − cos 𝑥 sin(𝜋 + 𝑥) = − sin 𝑥 2.2.5. Relation entre x et π/2 +x 𝜋 cos ( + 𝑥) = −sin 𝑥 2 𝜋 sin ( + 𝑥) = cos 𝑥 2

2.3.

Sinus, cosinus et tangentes d’angles usuels

𝑥

0

sin 𝑥

0

cos 𝑥

1

tan 𝑥

0

2.4.

𝜋 6 1 2 √3 2 √3 3

𝜋 4 √2 2 √2 2 1

𝜋 3 √3 2 1 2 √3

𝜋 2 1 0

Equations trigonométriques cos 𝑥 = 𝑎 𝑒𝑡 𝑎 = cos 𝛼 cos 𝑥 = cos 𝛼 ⇔ 𝑥 = 𝛼 + 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = −𝛼 + 2𝑘𝜋 sin 𝑥 = 𝑏 𝑒𝑡 𝑏 = sin 𝛽 sin 𝑥 = sin 𝛽 ⇔ 𝑥 = 𝛽 + 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = 𝜋 − 𝛽 + 2𝑘𝜋

2.5.

Nombre de solutions dans une équation trigonométrique 𝑥𝑘 = 𝛼 +

2𝑘𝜋 𝑛

Où 𝛼 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢, 𝑛 ∈ ℕ∗ 𝑒𝑡 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑛𝑢𝑒, 𝑘 ∈ ℤ Cette égalité conduit à n solutions sur]-π, π] pour les trouver, il suffit de remplacer k par 0, 1, 2,…, n-1