ANLEITUNG ZUM PHYSIKPRAKTIKUM HS2015

Physikalisches Institut Praktikum f¨ ur Studierende der Physik und Astronomie

ANLEITUNG ZUM PHYSIKPRAKTIKUM STAMMNUMMER: 654 Prof. Peter WURZ

¨ STUDIERENDE IM 3. SEMESTER FUR MIT HAUPTFACH PHYSIK ODER ASTRONOMIE

HS2015 http://www.space.unibe.ch/physprak/

Inhaltsverzeichnis 1 Organisation und Regeln fu ¨ r das Praktikum 1.1 Verbindliche Regeln f¨ ur das Praktikum . . . . 1.1.1 Organisation des Praktikums . . . . . 1.1.2 Testat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Verschiedenes . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Bemerkungen zum Praktikum . . . . . . . . . 1.2.1 Praktikumsbericht . . . . . . . . . . . 1.3 Support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

9 11 11 11 11 12 12 13

2 Statistische Verteilungen 2.1 Messungen und Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Mittelwert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Klassenbildung und H¨ aufigkeit . . . . . . . . . . . . 2.4 Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Zentraler Grenzwertsatz. Verteilung des Mittelwerts 2.6 Lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Standardfehler der Sch¨atzung . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

15 17 17 18 18 18 19 20 21 22 24 25

3 Fehlerrechnung 3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Wieso messen wir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Grenzen der Messgenauigkeit und Zweck der Fehlerrechnung . . . . 3.1.4 Direkte und indirekte Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Klassifizierung der Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Systematische und statistische Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Fehler der Beobachtungsgr¨ossen und Fehler indirekter Messungen . . 3.2.3 Absolutfehler und Relativfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Statistischer Fehler der Beobachtungsgr¨osse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Streuen der Messwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Der Durchschnitt als Sch¨atzwert des wahren Wertes der Messgr¨osse 3.3.3 Die Standardabweichung als Mass f¨ ur die Streuung der Messwerte .

. . . . . . . . . . . . .

31 33 33 33 33 33 34 34 34 35 35 35 35 36

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

4

INHALTSVERZEICHNIS

3.4

3.5

3.3.4 Fehler des Mittelwertes“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ” 3.3.5 Darstellung der Messergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . Fortpflanzung der Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Problemstellung bei indirekten Messungen . . . . . . . . . . 3.4.2 Fehlerfortpflanzungsgesetz von Gauß . . . . . . . . . . . . . Zusammenstellung der Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Direkte Beobachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Indirekte Beobachtung: Fehler zusammengesetzter Gr¨ossen

4 Bestimmung der elektrischen 4.1 Einleitung . . . . . . . . . . 4.2 Theorie . . . . . . . . . . . 4.3 Versuchsaufbau . . . . . . . 4.4 Versuchsaufgaben . . . . . . 4.4.1 Methode I . . . . . . 4.4.2 Methode II . . . . . 4.4.3 Methode III . . . . . 4.4.4 Erg¨ anzung . . . . . 4.4.5 Fehlerabsch¨ atzungen 5 Photoelektrischer Effekt 5.1 Einleitung . . . . . . . . . . 5.2 Theorie . . . . . . . . . . . 5.3 Versuchsaufbau . . . . . . . 5.3.1 Prinzip . . . . . . . 5.3.2 Messung sehr kleiner 5.3.3 Material . . . . . . . 5.4 Versuchsaufgaben . . . . . .

Elementarladung nach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Str¨ome . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

36 37 38 38 38 43 43 43

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

47 49 49 49 51 51 52 52 53 53

. . . . . . .

57 59 59 60 60 61 61 61

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65 67 67 67

. . . . . . . . . . .

69 70 70 70 71 71 72 73 73 74 74

Millikan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

6 Radioaktivit¨ at 6.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Aktivit¨ at, Z¨ ahlratenmessung, Poissonverteilung . . . . 6.1.2 Wechselwirkung der Kernstrahlung mit Materie . . . . 6.1.3 Nachweis der Kernstrahlung mit Hilfe eines GeigerM¨ uller-Z¨ ahlrohres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Versuchsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 1. Halbtag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 2. Halbtag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Ausz¨ uge aus der Isotopentabelle . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Massenabsorptionskoeffizient von Blei . . . . . . . . . 6.3.3 χ2 -Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Einheiten der Radioaktivit¨at und des Strahlenschutzes 6.3.5 Durch Strahlung verursachte biologische Sch¨aden . . . 6.3.6 Strahlenschutz und nat¨ urliche Strahlenbelastung . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

INHALTSVERZEICHNIS

5

7 Elektronik I: Passive Schaltungen 7.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Der elektrische Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Der Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Die Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4 Komplexe Darstellung von Wechselspannungen und -str¨omen 7.2.5 Rechenregeln f¨ ur komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.6 Kapazit¨ at im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.7 Induktivit¨ at im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.8 Widerstand im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.9 Verst¨ arkung im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.10 Anwendung auf Grundschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Versuchsaufbau und -aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Der Frequenzgenerator (FG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Das digitale Speicheroszilloskop (DSO) . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Praktische Aufgaben zum Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Aufgaben zum Hochpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.5 Bandpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.6 Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79 81 81 81 81 82 82 83 84 84 85 86 86 98 98 99 99 105 106 106

8 Elektronik II: Aktive Schaltungen 8.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Der Transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Der Operationsverst¨ arker . . . . . . . . . . . 8.2.4 Der Logarithmierer . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Versuchsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Testschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Dimensionieren eines Logarithmierers . . . . 8.3.3 Aufnahme der Kennlinie des Logarithmierers 8.3.4 Spitzenwertgleichrichter . . . . . . . . . . . . 8.3.5 Hochpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.6 Abschlussmessung . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.7 Zusatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

107 109 109 110 111 112 114 116 116 117 118 118 118 119 119

9 Magnetische Hysteresis 9.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Versuchsaufgaben . . . . . . . . . . . 9.2.1 Messung der Magnetisierung 9.2.2 Auswertung . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

121 123 125 125 130

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

10 Dopplereffekt 133 10.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 10.2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 10.2.1 Ruhender Sender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6

INHALTSVERZEICHNIS

10.2.2 Bewegter Sender . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 Bewegter Beobachter . . . . . . . . . . . . ¨ 10.2.4 Die Schallmauer und der Uberschall . . . 10.2.5 Schallgeschwindigkeit in Abh¨angigkeit der ¨ 10.3 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Versuchsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 Fraunhoferbeugung 11.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 11.2.1 Uberlegungen zur Grenze der geometrischen 11.2.2 Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.4 Fraunhofer Beugung . . . . . . . . . . . . . ¨ 11.3 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Versuchsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.1 Vorbereitung des Versuchs . . . . . . . . . . 11.5.2 Bedienungsanleitung f¨ ur das Programm . . 11.5.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Akustik 12.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Die Schallwahrnehmung mit 12.2.2 Das Ohr . . . . . . . . . . . 12.2.3 Die Fouriertransformation . 12.2.4 Der Gong . . . . . . . . . . 12.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . 12.3.1 Inventarliste . . . . . . . . . 12.3.2 Datenakquisitionsprogramm 12.3.3 Spielprogramm . . . . . . . 12.4 Versuchsaufgaben . . . . . . . . . . 12.4.1 Analyseprogramm . . . . . 12.4.2 Detailierte Auswertung . .

. . . . . . dem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . Ohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A Labview A.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Was ist LabVIEW? . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Aufbau von LabVIEW . . . . . . . . . . . . . A.3.1 Front Panel . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2 Block Diagram . . . . . . . . . . . . . A.3.3 Connector und Icon . . . . . . . . . . A.4 Wie startet man LabVIEW und wie geht man A.5 Richtlinien zum Gebrauch der Macs . . . . . A.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mit den . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

136 137 137 138 139 140 146

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

147 149 149 150 151 152 153 156 157 157 158 159 165

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

167 169 169 173 176 177 182 182 182 182 183 185 185 187

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Macs um? . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

191 193 193 193 193 194 194 194 194 194

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

INHALTSVERZEICHNIS

A.6.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6.2 Ein- und Ausgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6.3 Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6.4 Kontinuierliche Generierung von Zufallszahlen . . . A.6.5 Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung A.6.6 Histogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.7 Hilfefunktionen und Debugging . . . . . . . . . . . . . . . . A.8 Datenerfassung mit LabVIEW . . . . . . . . . . . . . . . . A.8.1 Immediate Nonbuffered Acquisition . . . . . . . . . A.8.2 Timed Buffered Acquisition . . . . . . . . . . . . . . A.8.3 Timed Buffered Continuous Acquisition . . . . . . . A.9 Versuchsaufgabe: Pulsmessung u ¨ber Lichtabsorption . . . . A.9.1 Idee und Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.9.2 Anleitung zur Programmierung . . . . . . . . . . . .

7

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

194 196 197 198 202 203 204 204 205 207 207 208 208 210

Kapitel 1

Organisation und Regeln fu ¨ r das Praktikum

¨ DAS PRAKTIKUM 1.1. VERBINDLICHE REGELN FUR

1.1 1.1.1

11

Verbindliche Regeln fu ¨ r das Praktikum Organisation des Praktikums

• Das Praktikum wird in Gruppen an jeweils einem Nachmittag pro Woche durchgef¨ uhrt. Zwei Studenten/-innen arbeiten gemeinsam an einem Versuch. • Die Studierenden bleiben ein Semester lang in der gleichen Praktikumsgruppe. Die Assistierenden f¨ uhren dauernd Kontrolle u uhrten Versuche, die Pr¨asenz ¨ber die ausgef¨ und die Anerkennung der Versuchsberichte aller Studierenden ihrer Gruppe. • Das Praktikum findet w¨ ochentlich statt und beinhaltet 3 Stunden Arbeit und 15 Minuten Pause. Die Blockzeiten sind einzuhalten. • Das Praktikum soll in der ersten oder zweiten Semesterwoche beginnen. Die Assistierenden k¨ onnen nach Bedarf f¨ ur einzelne Versuche zwei Praktikumsnachmittage verwenden. • Das Praktikum endet nachdem alle Versuche ausgef¨ uhrt sind. Wichtig: Alle Ausnahmen von diesen Regeln m¨ ussen von einem Leiter des Praktikums bewilligt werden bevor die Studierenden informiert werden.

1.1.2

Testat

• Die Studierenden f¨ uhren jeden Versuch durch. • Jeder Praktikumsversuch inklusive des Berichts wird von den Assistierenden beurteilt. F¨ ur ein positives Testat m¨ ussen alle Versuche positiv durchgef¨ uhrt werden. Die Testatnote ist der Mittelwert u ¨ber alle Einzelnoten.

1.1.3

Verschiedenes

• Ein Versuch gilt als durchgef¨ uhrt wenn das entsprechende Experiment am Praktikumsnachmittag durchgef¨ uhrt, ein Praktikumsbericht erstellt, und allf¨allige nachtr¨agliche Erg¨anzungen des Berichts gemacht worden sind. • Die Dispensation von Versuchen aufgrund von Vorkenntnissen ist nach Absprache mit dem Praktikumsleiter m¨ oglich. • Wer allenfalls einen Versuch nicht mit seiner Gruppe durchf¨ uhren kann, orientiert fr¨ uhzeitig die Assistentin oder den Assistenten, damit die Ausf¨ uhrung des Experiments mit einer anderen Gruppe organisiert werden kann. • Bitte Absenzen so fr¨ uh wie m¨ oglich mitteilen, damit ein Ersatztermin gefunden werden kann. Absenzen sind nur in gut begr¨ undeten F¨allen erlaubt. • Alle Versuche sind zuhause vorzubereiten. Die Einleitung im Praktikumsheft ist dann bereits gemacht. Die Leiter des Praktikums.

¨ DAS PRAKTIKUM 1. ORGANISATION UND REGELN FUR

12

1.2 1.2.1

Bemerkungen zum Praktikum Praktikumsbericht

• Ziel des Praktikumsberichts ist die knappe, aber pr¨azise und vollst¨andige Dokumentation des Versuches und dessen Auswertung. Anhand eines Praktikumsberichts sollten die Versuche reproduziert werden k¨onnen. • Alle Informationen geh¨ oren ins Praktikumsheft. Es d¨ urfen keine losen Bl¨atter oder Ringordner verwendet werden. • Typische Gliederung: – Titelzeile mit Versuchstitel, Autoren und Datum – Einleitung ∗ Ziel des Versuchs

∗ Zusammenstellung der f¨ ur die Auswertung ben¨otigten Formeln mit Erkl¨arungen inkl. Formeln f¨ ur Fehlerrechnung. Verwendete Symbole einf¨ uhren. ∗ Theoretische Aufgaben – Versuchsaufbau und -durchf¨ uhrung ∗ Versuchsaufbau mit Skizze, Ger¨atenummern und Beschreibung

∗ Beschreibung, wie und was gemessen wurde

∗ Messergebnisse als Tabelle der direkten Messwerte mit Einheiten und den abgesch¨ atzten Fehlern der Messwerte. Noch keine Auswertung. – Auswertung der Messungen ∗ Statistische Auswertung der Messgr¨ossen und die daraus hergeleiteten Gr¨ossen inkl. Fehlerrechnung ∗ Tabellarische und/oder grafische Darstellung der Ergebnisse und ihrer Fehler, wenn m¨ oglich zusammen mit den erwarteten Ergebnissen aus der Theorie. Grafische Darstellungen sind als Computergrafik mit korrekter Achsenbeschriftung und Fehlerbalken zu erstellen. – Diskussion ∗ Stimmen die Ergebnisse im Rahmen ihrer Fehler mit den Vorhersagen der Theorie u ¨berein? Wenn nein: Wo liegen m¨ogliche Fehlerquellen, die in der Fehlerrechnung nicht ber¨ ucksichtigt wurden? ∗ Allenfalls zus¨ atzliche Kommentare und Anmerkungen, z.B. zu Schwierigkeiten w¨ ahrend der Messung, die (aus Zeitmangel oder wegen technischer Probleme) nicht behoben werden konnten. – Literaturverzeichnis (wenn zus¨atzliche Literatur nebst dem Praktikumsskript verwendet wurde)

1.3. SUPPORT

1.3

13

Support

Das Physikpraktikum f¨ ur die unterschiedlichen Studieng¨angefindet im U2 des Geb¨audes der Exakten Wissenschaften in den R¨ aumen 801A - C, 701A - C, 811 - 814 und 819 statt. F¨ ur den Support des Praktikums d.h. Organisation und Bereitstellen der Versuche, Reparaturen etc. ist Herr F. Marbacher (Tel. 37 85) zust¨andig. Im Notfall vertritt ihn Herr U. Lauterburg (Tel. 44 88). Weil die zur Verf¨ ugung stehenden R¨ aumlichkeiten f¨ ur die Praktika sehr beschr¨ankt sind, ist ein t¨agliches Umstellen und Neueinrichten der Versuchsanordnungen notwendig. Damit der Arbeitsaufwand in einem vern¨ unftigen Rahmen bleibt, ist das Support-Personal auf die Mithilfe der beteiligten AssistentInnen und StudentInnen angewiesen. Dabei sind die folgenden Richtlinien zu beachten: F¨ ur die nicht vor dem Semester festgelegten Praktika m¨ ussen die gew¨ unschten Versuche mindestens eine Woche vor der Durchf¨ uhrung am St¨opselbrett im 1. UG mit Angabe der Anzahl ben¨otigter Versuche (St¨ opselindex) gesteckt werden. Dies gilt sowohl f¨ ur Theoriestunden ohne Experimente wie auch f¨ ur ausfallende und nachzuholende Praktikas. Die maximal m¨ogliche Anzahl Versuchsanordnungen pro Experiment ist der Tabelle neben dem St¨opselbrett zu entnehmen. Allenfalls sind die Priorit¨ aten unter den Assistenten abzusprechen, dies stets unter Ber¨ ucksichtigung der festen Zuteilungen f¨ ur MedizinerInnen, Veterin¨armedizinerInnen, BiologInnen und PharmazeutInnen. Die weisse Tafel gegen¨ uber dem H¨orsaal 099 bei der Loge, zeigt die Raumzuteilung f¨ ur den jeweiligen Tag unter dem Namen der PraktikumsassistentInnen oder der Gruppenbezeichnungen an. Wir bitten die verantwortlichen AssistentInnen • die Studierenden vor dem Experimentieren gr¨ undlich u ¨ber die Handhabung der aufgestellten Apparate und Ger¨ ate zu informieren. • zu schauen, dass die Versuche sorgf¨altig durchgef¨ uhrt und die Apparaturen schonend behandelt werden. • die defekten Ger¨ ate sofort zur Reparatur in den Vorbereitungsraum 903 zu bringen oder ausserhalb der Arbeitszeiten den Defekt mit einem Zettel markiert kurz zu beschreiben. Aus Zeitgr¨ unden k¨ onnen beim Aufstellen der Versuche keine umf¨anglichen Funktionskontrollen s¨ amtlicher Apparate gemacht werden. • nach Abschluss der Praktika daf¨ ur zu sorgen, dass die Versuche in ihren urspr¨ unglichen Zustand gebracht werden, d.h. die Ger¨ate gem¨ass Inventarlisten in die K¨asten einordnen, fest angeschlossene Netzkabel unter die Traggriffe der Ger¨ate rollen und die Experimentierkabel in die Kabelrechen h¨angen, damit nachfolgende Gruppen die Experimente, Tische und R¨ aume in einem ordentlichen Zustand vorfinden. • die Ger¨ ate nicht aus dem Praktikum zu entfernen. Zur Vorbereitung und zum Ausprobieren, stehen die Versuche und R¨aume im Prinzip ausserhalb des normalen Stundenplans zur Verf¨ ugung (Herren Marbacher oder Lauterburg fragen). • zu schauen, dass Messinstrumente, Ger¨ate und Pulte nicht beschriftet plus Snacks und Drinks nur ausserhalb der R¨ aume konsumiert werden.

14

¨ DAS PRAKTIKUM 1. ORGANISATION UND REGELN FUR

• Nach dem Praktikum Fenster und T¨ uren abzuschliessen. Wir hoffen auf eine gute Zusammenarbeit im Sinne aller Beteiligten.

Kapitel 2

Statistische Verteilungen fu andigen Gebrauch im Praktikum ¨ r den st¨

2.1. MESSUNGEN UND FEHLER

2.1

17

Messungen und Fehler

Wir unterscheiden zwei grunds¨ atzlich verschiedene Arten von Messungen: • Vergleichsmessungen, z. B. Messen einer L¨ange, Masse oder Zeit. Sie liefern Werte aus einem kontinuierlichen Wertebereich, also Werte aus Q bzw. R. • Z¨ahlmessungen, z. B. Anzahl β − -Zerf¨alle in 1 Gramm 3 H pro Sekunde. Sie liefern Werte aus einem diskreten Wertebereich, also Werte aus N. Wir beschr¨ anken uns hier auf direkte Messungen, indirekte werden unter dem Stichwort Fehlerfortpflanzung im Skript zur Fehlerrechnung (s. Kapitel 3) behandelt. Eine physikalische Gr¨ osse kann durch Messung nie genau bestimmt werden, denn diese ist immer mit einem Fehler behaftet. Trotzden ist die Annahme wesentlich, dass die Gr¨osse einen eindeutigen Wert, den wahren Wert“ µ hat, auch wenn dieser der Messung grunds¨atzlich ” unzug¨anglich ist. Die Quellen der Messfehler werden wiederum im Skript zur Fehlerrechnung behandelt.

2.2

Mittelwert und Varianz

Betrachten wir eine Serie von n Messungen, welche die Werte x1 , x2 , . . . xn geliefert habe. Dabei beobachten wir meist eine H¨ aufung dieser Werte um einen bestimmten Wert x: n

1X x= xi n

(2.1)

i=1

x heisst arithmetischer Mittelwert der n Werte xi ; er ist ein guter Sch¨atzwert f¨ ur den wahren Wert µ in dem Sinne, dass die Summe der Abweichungsquadrate S 2 minimal wird: 2

S =

n X i=1

(xi − x)2 = Min. ⇔ x = x

(2.2)

Als Mass f¨ ur die durchschnittliche Abweichung der xi von x verwenden wir die Varianz n

s2 =

n

1 X 1 X 2 xi − nx2 ) ( (xi − x)2 = n−1 n−1 i=1

(2.3)

i=1

Ihre positive Wurzel s heisst Standardabweichung der Werte xi . Sie hat die gleiche Dimension wie die Variable x und ist ein Mass f¨ ur die Breite der Verteilung der Messwerte xi um den Mittelwert x. Bemerkung: Der Nenner n−1 in Gleichung (2.3) (statt n, wie man vielleicht erwarten k¨onnte) ist die Anzahl Freiheitsgrade der Summe der n Quadrate (xi − x)2 . Die n Freiheitsgrade der n unabh¨angigen Messungen werden durch die Bedingung in Gleichung (2.2) um Eins reduziert (s. [4], S. 39, 168 ff).

18

2.3

2. STATISTISCHE VERTEILUNGEN

Klassenbildung und H¨ aufigkeit

Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Vergleichsmessung einen ganz bestimmten Wert x zu erhalten, ist vom Mass Null. Es ist deshalb einfacher, den Wertebereich in Intervalle (Klassen) zu unterteilen und nach der Wahrscheinlichkeit zu fragen, mit der ein Messwert in eine bestimmte Klasse f¨ allt, denn diese wird eine endliche Zahl sein. Wir teilen also den Wertebereich in uhren sollen, d.h. xrj = xlj+1 . Alle Messwerte xi m Intervalle Ij [xlj , xrj ], wobei sich diese ber¨ mit xlj < xi < xrj betrachten wir danach als gleich und ordnen ihnen einen einheitlichen Wert xj zu, z.B. die Klassenmitte xj = (xlj + xrj )/2. Die Anzahl fj der n Messwerte, welche in die Klasse j fallen, heisst absolute Klassenh¨aufigkeit. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung den Wert xj zu finden, betr¨ agt also pj = fj /n

(2.4)

pj heisst auch relative Klassenh¨ aufigkeit. ¨ Zeige, dass die Normierungsbedingung Ubung: n X

pj = 1

(2.5)

j=1

erf¨ ullt ist. Die Normierungsbedingung sagt aus, dass bei einer Messung mit Wahrscheinlichkeit Eins ein beliebiger Wert gemessen wird. ¨ Ubung: Zeige, dass sich Mittelwert und Varianz mit Hilfe der pj folgendermassen schreiben lassen: m X x= pj x j (2.6) j=1 m

n X pj (xj − x)2 s = n−1 2

(2.7)

j=1

2.4 2.4.1

Wahrscheinlichkeitsverteilungen Allgemeines

Zeichnet man die pj als Funktion der xj auf, erh¨alt man das Wahrscheinlichkeitsdiagramm. Dieses geht im Grenzwert n → ∞ und xlj → xrj ∀j, d.h. f¨ ur beliebig viele Messungen und beliebig schmale Klassen, in die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ϕ(x) u ¨ber. Vorsicht: ϕ(x) ist nicht die Wahrscheinlichkeit, den Wert x zu messen! Sinnvoll ist nur die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, einen Wert im (infinitesimalen) Intervall [x, x + dx] zu finden. Diese ist nat¨ urlich auch infinitesimal und betr¨agt dp(x) = ϕ(x)dx

(2.8)

Die Wahrscheinlichkeit, einen Messwert xi im Intervall [xlj , xrj ] zu erhalten, wird durch Integration ermittelt:

2.4. WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN

p(xlj

< xi ≤

xrj )

=

Z

19

xrj

ϕ(x)dx

(2.9)

xlj

Ebenso betr¨ agt die Wahrscheinlichkeit f¨ ur x i < x j Z xj p(xi < xj ) = ϕ(x)dx

(2.10)

−∞

Die Normierungsbedingung (Gleichung (2.5)) bleibt nat¨ urlich beim Grenz¨ ubergang erhalten, also Z ∞ ϕ(x)dx = 1 (2.11) −∞

Etwas anders liegen die Verh¨ altnisse bei Z¨ahlmessungen: Da nur eine abz¨ahlbare Zahl von Resultaten in Frage kommt, ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung diskret und die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung (Z¨ ahlung) ein ganz bestimmtes Resultat ni zu erhalten, endlich: p(ni ) = ϕi

(2.12)

Die Normierungsbedingung lautet in diesem Fall ∞ X

ϕi = 1

(2.13)

i=0

¨ Ubung: Wie lauten bei Z¨ ahlmessungen die analogen Ausdr¨ ucke f¨ ur die Gleichungen (2.9) und (2.10)?

2.4.2

Normalverteilung

Die Erfahrung zeigt, dass bei Vergleichsmessungen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen oft folgende Bedingungen erf¨ ullen: • Messwerte xi mit kleinen Abweichungen εi = xi − x vom Mittelwert x sind h¨aufiger als solche mit grossen εi und sehr grosse εi kommen praktisch nicht vor. • Man findet etwa gleich h¨ aufig positive wie negative Abweichungen εi , d.h. die Verteilung ist symmetrisch um x. Eine analytische Funktion mit diesen Eigenschaften ist z.B. ϕ(x) = N e−(x−a)

2 /(2 σ 2 )

,

(2.14)

falls die beiden Parameter a und σ mit dem Mittelwert x bzw. der Standardabweichung s der Messwerte identifiziert werden. N ist nicht etwa ein freier Parameter, sondern festgelegt durch die Forderung, dass ϕ(x) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sein soll und deshalb die Normierungsbedingung erf¨ ullen muss, also Z ∞ 1 ϕ(x)dx = 1 ⇔ N = √ (2.15) 2πσ −∞

20

2. STATISTISCHE VERTEILUNGEN

¨ Ubung: Zeige dies! Die so erhaltene Wahrscheinlichkeitsverteilung ϕ(x; a, σ) = √

1 2 2 e−(x−a) /(2 σ ) 2πσ

(2.16)

heisst Normal- oder Gaußverteilung. In vielen F¨allen ist die Annahme gerechtfertigt, dass die Resultate von Vergleichsmessungen gem¨ass (2.16) verteilt sind. Die beiden Parameter a und σ haben einfache geometrische Deutungen: W¨ahrend a den Ort des Maximums angibt, liegen die beiden Wendepunkte bei a ± σ. 2σ wird deshalb auch als Breite der Verteilung bezeichnet. Die Summenfunktion Φ(x; a, σ) gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei der Messung einer normalverteilten Gr¨ osse einen Wert xi ≤ x zu finden: Z x ′ ′ ϕ(x ; a, σ)dx (2.17) Φ(x; a, σ) = p(xi ≤ x) = −∞

Dieses lntegral ist nicht elementar; man findet aber die Funktion Φ(x) in Tabellen,1 jedoch nur f¨ ur a = 0 und σ = 1. ¨ Ubung: Zeige, dass man durch eine geeignete Variablentransformation die Summenfunktion Φ(x; a, σ) f¨ ur beliebige Werte von a und σ aus den tabellierten Werten f¨ ur a = 0 und σ = 1 berechnen kann. Die Wahrscheinlichkeit, einen Messwert im Intervall a ± ξ zu finden, l¨asst sich mit Φ schreiben als p(a − ξ < xi ≤ a + ξ) = Φ(a + ξ; a, σ) − Φ(a − ξ; a, σ) = 1 − 2Φ(a − ξ; a, σ)

(2.18)

W¨ahlt man ξ = σ, 2σ oder 3σ, findet man ξ=σ:

p(a − σ < xi ≤ a + σ)

= 68.27%

ξ = 2σ : p(a − 2σ < xi ≤ a + 2σ) = 95.45%

(2.19)

ξ = 3σ : p(a − 3σ < xi ≤ a + 3σ) = 99.73%

d.h. gut 2/3 der Messwerte einer normalverteilten Gr¨osse liegen innerhalb einer ±1σ-Umgebung um den Mittelwert a und weniger als drei Promille ausserhalb einer ±3σ-Umgebung!

2.4.3

Binomialverteilung

Experimente, f¨ ur deren Ausgang nur zwei M¨oglichkeiten existieren, f¨ uhren auf die Binomialverteilung. Beispiele: • M¨ unzenwurf: Zahl oder nicht Zahl • W¨ urfel: Sechs oder nicht Sechs • Zeitmessung: t < 1 s oder t ≥ 1 s 1

z.B. Bronstein und Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, Harri Deutsch, Thun, 1982, oder Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical functions, Dover, New York 1968

2.4. WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN

21

Ereignis A treffe mit der Wahrscheinlichkeit w ein, das dazu komplement¨are Ereignis A wegen der Normierungsbedingung also mit Wahrscheinlichkeit 1 − w. Was ist nun die Wahrscheinlichkeit pn (k), bei n voneinander unabh¨angigen Messungen (z.B. M¨ unzenw¨ urfen usw.) genau k mal (in beliebiger Reihenfolge) das Resultat A zu finden? pn (k) ist das Produkt aus der Wahrscheinlichkeit pn (k, geordnet), k mal das Resultat A in einer bestimmten Reihenfolge zu bekommen, und der Anzahl M der m¨oglichen Reihenfolgen, mit denen man in n Messungen k mal das Resultat A erh¨alt. Da die Ereignisse unabh¨angig sind, ist pn (k, geordnet) das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten: pn (k, geordnet) = wk (1 − w)n−k

Die Anzahl der Reihenfolgen (Permutationen) ist:   n! n M= = k k!(n − k)!

(2.20)

(2.21)

Die gesuchte Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet demnach

n! wk (1 − w)n−k (2.22) k!(n − k)! Durch Vergleich mit dem binomischen Lehrsatz sieht man, dass sie bereits normiert ist, d.h. sie erf¨ ullt die Bedingung pn (k) = M × pn (k, geordnet) =

n X

pn (k) = 1

(2.23)

k=0

(siehe auch [1]). Die Binomialverteilung ist unhandlich und wird deshalb wo immer m¨oglich durch die Normaloder die Poissonverteilung approximiert. Eine N¨aherung durch die Normalverteilung ist m¨oglich f¨ ur grosse n und nichtextreme w (d.h. w weder zu nahe bei 0 noch bei 1). ¨ Beweis: s. [4], Anhang 1 (gute Ubung f¨ ur den Umgang mit unendlichen Reihen).

2.4.4

Poissonverteilung

Die Poissonverteilung tritt immer dann auf, wenn die Wahrscheinlichkeit w eines Ereignisses klein und die Anzahl n der Messungen gross ist. Beispiele: • Anzahl Druckfehler pro Buchseite • Anzahl Sechser pro Ziehung des Zahlenlottos • Anzahl Zerf¨ alle in 1 Gramm

210 Pb

pro Sekunde

Sie ist wie die Binomialverteilung diskret und asymmetrisch, da sie nur f¨ ur Werte aus N0 definiert ist. Ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet pm (k) =

mk −m e k!

(2.24)

22

2. STATISTISCHE VERTEILUNGEN

Sie hat den einzigen Parameter m = wn, der Mittelwert und Varianz zugleich darstellt (d.h. √ m ist proportional zur Breite der Verteilung). Der Faktor e−m ergibt sich u ¨brigens aus der Normierungsbedingung, denn es ist ∞ X mk k=0

k!

= em

(2.25)

also ∞ X

pm (k) = em e−m = 1

(2.26)

k=0

Oft wird die Poissonverteilung zur Approximation der Binomialverteilung ben¨ utzt. Dies ist immer dann m¨ oglich, wenn n gross und w klein ist (konkret heisst dies etwa n > 8 und W < 1/8). Dies ist bei den meisten Z¨ahlexperimenten erf¨ ullt, weshalb sie f¨ ur ihre Analyse das wichtigere (und einfachere) Werkzeug darstellt. ¨ Ubung: Erstelle Wertetabellen der Binomialverteilung mit n =4, w =1/4; n =8, W =1/8 und n =100, W =1/100 f¨ ur jeweils einige k und vergleiche sie mit der Poissonverteilung mit m =1. Zeige dann: lim lim

n→∞ w→0



n k



wk (1 − w)n−k =

(nw)k −nw e k!

(2.27)

Hinweis: Die Grenzwerte sind so auszuf¨ uhren, dass nw konstant bleibt. ¨ (schwierig): Zeige, dass die Poissonverteilung f¨ ur grosse m (d.h. etwa m > 8) in die Ubung √ Normalverteilung mit Mittelwert m und Standardabweichung m u ¨bergeht: mk −m 1 2 e =√ e−(k−m) /(2m) m→∞ k! 2πm lim

(2.28)

Verwende dabei zur Approximation der Fakult¨at die Stirling-Formel k! ≃

√

2πk k k exp(−k +

1 ) 12k

(2.29)

¨ Abbildung 2.1 zeigt eine Ubersicht u ¨ber die verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Zusammenh¨ ange zwischen ihnen. In Abbildung 2.2 sind Beispiele der Verteilungsfunktionen graphisch dargestellt.

2.5

Zentraler Grenzwertsatz. Verteilung des Mittelwerts

F¨ uhrt man eine Serie von n Messungen mehrmals durch, so wird man nat¨ urlich nicht jedesmal den gleichen Mittelwert finden, sondern diese werden auch gem¨ass einer Wahrscheinlichkeitsverteilung um den wahren Wert verteilt sein. Der Mittelwert x von n Messungen xi ist also wie diese mit einem Fehler behaftet; man findet durch anwenden des Fehlerfortpflanzungsgesetzes auf die Formel f¨ ur den Mittelwert (Gleichung (2.1))

2.5. ZENTRALER GRENZWERTSATZ. VERTEILUNG DES MITTELWERTS

23

Binominalverteilung: n gross, p nicht extrem

ϕ(k; n, w) =





n k

wk (1 − w)n−k

✲ a = nw, σ 2 = nw(1 − w)

k→x ❄

❄

Normalverteilung:

n gross, w klein m = nw

1 2 2 ϕ(x; a, σ) = √ e−(x−a) /(2σ ) σ 2π

❄

✻

Poissonverteilung: ϕ(k; m) =

m gross ✲ a = m, σ 2 = m

mk −m e k!

k→x

Abbildung 2.1: Zusammenfassung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen

sx =

"

 n  X ∂x 2 i=1

∂xi

s2x

#1/2

" #1/2 n X 1 1 (xi − x)2 = √ sx = n(n − 1) n

(2.30)

i=1

wo sx der Fehler der Einzelmessung sei (siehe Gleichung (2.3)). Bei n Messungen verkleinert √ sich der Fehler also um einen Faktor 1/ n. Dies bedeutet, dass der Mittelwert durch Vergr¨ossern der Messserie beliebig nahe zum wahren Wert µ gebracht werden kann. Satz: (Zentraler Grenzwertsatz) Die Mittelwerte xi einer mehrmals wiederholten Messserie sind in jedem Fall n¨aherungsweise normalverteilt um den wahren Wert µ, und zwar unabh¨angig vom jeweiligen Verteilungsgesetz der Einzelmessungen. Die G¨ ute der N¨aherung ist proportional der Anzahl Einzelmessungen.

24

2. STATISTISCHE VERTEILUNGEN

Beweis: Siehe z.B. [3], S. 119 ff. Dies erlaubt uns analoge Aussagen f¨ ur den Mittelwert von beliebig verteilten Messungen wie f¨ ur die normalverteilte Einzelmessung (Gleichung (2.19)):

p(µ − sx < x ≤ µ + sx ) = 68.27%

p(µ − 2sx < x ≤ µ + 2sx ) = 95.45%

(2.31)

p(µ − 3sx < x ≤ µ + 3sx ) = 99.73% Ebenso gilt die Umkehrung: p(x − sx < µ ≤ x + sx ) = 68.27%

(2.32)

usw., d.h. der unbekannte wahre Wert liegt mit Wahrscheinlichkeit 2/3 im Intervall [x − sx , x + sx ]. Als Standardfehler bezeichnet man u ¨blicherweise die 68 %-Fehlergrenze (auch 1σFehler genannt). Als Ergebnis einer Serie von Einzelmessungen schreibt man also x = x ± sx

(2.33)

und meint damit den 1σ-Fehler, wenn nicht etwas anderes angegeben wird. Bei Z¨ahlmessungen, deren Werte poissonverteilt sind, kann dieses Verfahren sogar noch vereinfacht werden: Anstatt viele Messungen u ¨ber kurze Zeiten zu machen, k¨onnen wir uns mit einer einzigen entsprechend ausgedehnten Messung begn¨ ugen. Aus dem so erhaltenen Wert m kann nat¨ urlich kein Mittelwert berechnet werden; wir m¨ ussen ihn deshalb direkt als Sch¨atzung f¨ ur den wahren Wert µ nehmen. Die Standardabweichung σ ist jedoch vorerst unbekannt. Wir wissen aber ¨ (siehe Ubung 2.4.4), dass die Poissonverteilung f¨ ur grosse m in eine Normalverteilung mit √ √ Mittelwert m und Standardabweichung m u ¨bergeht. m ist deshalb ein guter Sch¨atzwert f¨ ur σ (sogar ein besserer als m f¨ ur µ). Der Absolutfehler dieser Z¨ahlmessung mit Resultat m √ onnen wir das Resultat angeben als ist also s= m, und damit k¨ M =m±

√

m

(2.34)

(68 %-Fehlerschranke). ¨ Eine ausgedehnte Messung einer poissonverteilten Gr¨osse habe das Resultat m erUbung: √ geben, ihr Fehler ist also s= m. Zeige, dass eine Unterteilung dieser Messung in n Einzelmessungen mit m1 + m2 + . . . + mn = m (mi seien die Resultate der Einzelmessungen) auf √ uhrt. (Verwende dazu das Fehlerfortpflanzungsgesetz.) denselben Fehler m f¨

2.6

Lineare Regression

Oft wissen wir aus der Theorie oder stellen aus den Resultaten fest, dass zwei gemessene Variablen x und y einer Serie von n Messungen einen (ev. n¨aherungsweisen) linearen Zusammenhang erf¨ ullen. Es stellt sich daher das Problem, eine Gerade y = ax + b

(2.35)

2.6. LINEARE REGRESSION

25

zu finden, welche die n Datenpaare (xi , yi ) m¨oglichst gut approximiert. Eine solche Gerade is leicht zu finden, falls • die Fehler sx vernachl¨ assigbar und • die Fehler sy unabh¨ angig von x und y sind. Andernfalls ist das Vorgehen komplizierter, siehe z.B. [3], S. 315 ff. Als optimale Gerade definieren wir jene, f¨ ur welche die Quadratsumme der (senkrecht zur x-Achse) gemessenen Differenzen zwischen Datenpunkt und Gerade minimal wird, also D=

n X i=0

[y(xi ) − yi ]2 =

n X i=0

(axi + b − yi )2 = Min.

(2.36)

Die beiden freien Parameter a und b werden durch die Extremalbedingung dD = 0 festgelegt: ∂D =0 ; ∂a Ausf¨ uhren der partiellen Ableitungen f¨ uhrt auf

a

n X

x2i

+b

xi =

i=1

i=1

a

n X

∂D =0 ∂b

n X

xi + b n =

n X

i=1 n X

(2.37)

x i yi

(2.38)

yi

i=1

i=1

und damit ergibt sich f¨ ur die Parameter der Regressionsgeraden

a = b =

P P P x i y i − x i yi P P n x2i − ( xi )2 P P 2 P P y i x i − x i x i yi P P , n x2i − ( xi )2 n

(2.39)

wobei alle Summen u ¨ber i = 1 bis n laufen.

Bemerkung: Wie erw¨ ahnt werden die Abst¨ande zur Bildung der Quadratsumme D senkrecht zur x-Achse gemessen, da die sx als vernachl¨assigbar angenommen wurden. Diese Voraussetzung ist im Praktikum normalerweise erf¨ ullt, muss in der Praxis aber immer gepr¨ uft werden.

2.6.1

Standardfehler der Sch¨ atzung

Weil die Regressionsgerade durch das Verfahren der kleinsten Quadrate (3.36) gebildet wird, geht sie durch den Mittelpunkt der Variablen (x, y). Die mittlere (und auch totale) gemessene Differenz zwischen den Datenpunkten und der Regressionsgerade ist somit gleich Null. n

n

i=1

i=1

1X 1X [y(xi ) − yi ] = di = d = 0 n n

(2.40)

26

2. STATISTISCHE VERTEILUNGEN

Die durch die Regressionsgerade definierten Werte liefern nur im Durchschnitt richtige Resultate, einzelne Datenpunkte werden von ihr u ¨ber- beziehungsweise untersch¨atzt (liegen oberhalb oder unterhalb der Regressionsgeraden). Wichtig ist jedoch nicht, dass die Sch¨atzungen im Durchnitt richtig sind, sondern dass auch jede davon so nahe wie m¨oglich am wahren Wert liegt. Als Indikator daf¨ ur kann die Quadratsumme D verwendet werden, die ja gerade die Abweichungen der prognostizierten Werte von den wahren Werten angibt. Um den Einfluss der Anzahl Messungen zu eliminieren wird noch durch deren Anzahl dividiert. Pn d2 D = i=1 i (2.41) n n Weil d = 0 gilt, kann man obige Gleichung auch umschreiben zu n

n

n

i=1

i=1

i=1

1X 2 1X 2 1X 2 di = [di − 0] = di − d n n n

(2.42)

Der letzte Term entspricht dabei der Varianz der Differenzen (Residuen). Oft wird die Quadratsumme nicht durch die Anzahl Messungen n dividiert sondern durch ( n − k ), wobei k die Anzahl freier Variablen ist. Die Quadratwurzel daraus wird Standardfehler der Sch¨atzung genannt und berechnet sich f¨ ur die lineare Regression folgendermassen r D sy = (2.43) n−2 Mit x und b als freien Variablen in der Geradengleichung.

Auch der Regressionskoeffizient a kann mehr oder weniger um seinen wahren Wert schwanken. Als Mass daf¨ ur l¨ asst sich wieder dessen Varianz verwenden. Diese kann jedoch nicht direkt gebildet werden, da der wahre Wert von a nicht bekannt ist. Stattdessen kann mit der folgenden Absch¨ atzung gearbeitet werden. Var(d) Var(x) · n p sa = Var(a) r 1 D sa = σx n

Var(a) =

(2.44) (2.45) (2.46)

wo σx die Standardabweichung der xi und D die Quadratsumme aus Gleichung (2.36) ist. Der Fehler sb des Achsenabschnitts b kann nicht unabh¨angig von sa angegeben werden, denn die Regressionsgerade geht immer durch den Punkt (x, y). ¨ Beweise dies! Ubung: Daher ist durch die Angabe von sa das Intervall bereits bestimmt, in dem b liegen kann. ¨ Aus der Theorie sei bekannt, dass eine Serie von Datenpunkten (xi , yi ) durch eine Ubung: Gerade durch den Ursprung approximiert werden k¨onne. Finde analog dem oben skizzierten

2.6. LINEARE REGRESSION

27

Verfahren den Parameter a der Geradengleichung y = ax,

(2.47)

welche die Wertepaare (xi , yi ) optimal approximiert. (Die Bedingungen an die Fehler sx , sy seien erf¨ ullt.) Die Voraussetzung b = 0 wird bei einigen Versuchen des Praktikums gemacht (z.B. Saite, Kreisel).

28

2. STATISTISCHE VERTEILUNGEN

Wahrscheinlichkeitsdichte

Binominalverteilung n=4 w = 0.5 m=2

0.3

n = 200 w = 0.01 m=2

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0.0

0.0 0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

5 k

k

6

7

8

9

10

Poissonverteilung Wahrscheinlichkeitsdichte

0.25

m = 10

m=2

0.20

0.20

0.15

0.15

0.10

0.10

0.05

0.05

0.00

0.00 0

1

2

3

4

5 k

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 k

Normalverteilung a=2 σ = a1/2

0.30 0.25 Wahrscheinlichkeitsdichte

0.25

a = 10 σ = a1/2

0.30 0.25

0.20

0.20

0.15

0.15

0.10

0.10

0.05

0.05

0.00 -5

0

5 x

10

5

10 x

Abbildung 2.2: Graphische Darstellungen zu den Wahrscheinlichkeitsverteilungen

15

20

0.00 25

Literaturverzeichnis [1] E. Kreyszig (1991), Statistische Methoden und ihre Anwendungen, Vandenhoek & Ruprecht, G¨ ottingen [Bibliothek ExWi: KAE 233]. [2] P. R. Bevington und D. K. Robinson (2003), Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences, McGraw-Hill, New York. [3] S. Brandt (1992), Datenanalyse: mit statistischen Methoden und Computerprogrammen, B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim [Bibliothek ExWi: KAE 205].

Kapitel 3

Fehlerrechnung fu andigen Gebrauch im Praktikum ¨ r den st¨

3.1. EINLEITUNG

3.1 3.1.1

33

Einleitung Wieso messen wir?

Die Physik will die Natur mit mathematischen Mitteln m¨oglichst genau und vollst¨andig beschreiben. Aus gemessenen Daten sollen Theorien (physikalische Gesetze) entwickelt werden. Diese Gesetze sollen durch verschiedene Messungen immer wieder u uft werden. Das ¨berpr¨ Messen und die Interpretation von Messungen sind zentrale Punkte der Physik.

3.1.2

Voraussetzungen

Beim Messen physikalischer Gr¨ ossen nehmen wir immer gewisse Voraussetzungen als gegeben an. Wichtige Voraussetzungen, die stillschweigend als richtig angenommen werden, sind: • Die physikalischen Gesetze gelten global und zu allen Zeiten. • Es gibt Messeinheiten, die weder vom Ort noch von der Zeit abh¨angig sind. • Es existiert ein wahrer und eindeutiger Wert f¨ ur jede Messgr¨osse. Mit derartigen Fragen und dem Problem, wie weit der Mensch u ¨berhaupt f¨ahig ist, Dinge wirklich sicher wahrzunehmen, besch¨aftigt sich die Erkenntnistheorie, ein Zweig der Philosophie.

3.1.3

Grenzen der Messgenauigkeit und Zweck der Fehlerrechnung

Braucht auch ein guter Physiker, der keine Fehler macht, die Fehlerrechnung zu kennen? Einerseits hat wohl sogar Albert Einstein hin und wieder einen Fehler gemacht. Anderseits wird hier das Wort Fehler“ in einem ganz anderen Sinn verwendet. Fehler“ steht hier f¨ ur ” ” gesch¨atzte Abweichung vom wahren Wert“. Den wahren Wert kennen wir nie genau. Die ” Fehlerrechnung soll ein Mass f¨ ur die zu erwartende Abweichung der Messergebnisse vom wahren Wert“ liefern. Die Abweichungen sind eine Folge der beschr¨ankten Genauigkeit jeder ” Messung. Die Fehlerrechnung gibt auf folgende Fragen eine Antwort: • Entspricht ein Resultat innerhalb der Fehlergrenzen dem u uften Gesetz? ¨berpr¨ • Welche Messfehler liefern den Hauptbeitrag zum Gesamtfehler? • Wie muss die Methode verbessert werden, wenn der Fehler verkleinert werden soll? Der Ausdruck Fehlerrechnung“ ist zwar allgemein u uhrend: Einer¨blich, aber teilweise irref¨ ” seits geht es nicht um Fehler im u ¨blichen Sinn, anderseits findet man mit Rechnen allein die Antwort auf die oben aufgef¨ uhrten Fragen nicht.

3.1.4

Direkte und indirekte Messungen

L¨angen, Zeiten, Kr¨ afte und einiges mehr k¨onnen wir direkt an relativ einfachen Messger¨aten ablesen. Solche Messungen nennen wir direkte Messungen. Wollen wir die mittlere Fallgeschwindigkeit eines Apfels vom Ast auf den Boden bestimmen, m¨ ussen wir die H¨ohe des Astes und die Fallzeit messen und die mittlere Fallgeschwindigkeit aus den Messergebnissen ausrechnen. Die Bestimmung der Fallgeschwindigkeit ist eine indirekte Messung. Mit direkten Messungen ermittelte Gr¨ ossen heissen auch Beobachtungsgr¨ossen. Beobachtungsgr¨ossen

34

3. FEHLERRECHNUNG

m¨ ussen immer unmittelbar und ohne vorherige Umrechnung im Protokoll notiert werden, damit die wichtige Forderung nach Reproduzierbarkeit eines Experiments erf¨ ullt werden kann. W¨ urden nur die Resultate indirekter Messungen notiert, w¨are es sp¨ater unm¨oglich, allf¨allige Rechen- oder Programmierfehler zu finden! Schon die Umrechnung einer gemessenen Frequenz auf die Periode bedeutet, dass diese nur indirekt gemessen wurde.

3.2 3.2.1

Klassifizierung der Fehler Systematische und statistische Fehler

Bei einem Experiment unterscheiden wir ph¨anomenologisch zwei Arten von Fehlern: Der statistische Fehler sorgt daf¨ ur, dass der gemessene Wert zuf¨allig um den tats¨achlichen Wert einer Gr¨osse schwankt, wenn dasselbe Experiment mehrmals durchgef¨ uhrt wird. Der statistische Fehler l¨asst sich mit Methoden der Statistik quantifizieren (Mittelwert aus den Einzelmessungen bilden) und durch Wiederholen des Experiments reduzieren. Systematische Fehler verf¨alschen dagegen das Messresultat in einer nicht-zuf¨alligen Weise. Eine Fehlerrechnung aufgrund der verschiedenen Fehlerquellen ist n¨otig, um deren Effekt auf das Endergebnis abzusch¨atzen. Beispiel: Bestimmung der Energie eines schwingenden Pendels durch Messung der Amplitude des ersten Ausschlags, den das Pendel nach dem Anstossen ausf¨ uhrt. Zum einen werden wir die Amplitude nie ganz genau ablesen k¨onnen. Wiederholen wir die Messung, werden wir jedesmal ein etwas anderes Resultat erhalten. Je h¨aufiger wir die Messung wiederholen, desto genauere Aussagen u ¨ber die Amplitude k¨onnen wir machen. Zum andern l¨asst sich nicht vermeiden, dass nach dem Anstossen das Pendel bereits w¨ahrend des ersten Ausschlags einen Teil seiner kinetischen Energie durch Luftreibung verliert. Dies ist ein systematischer Fehler; er wird nicht kleiner, auch wenn wir noch so oft messen. Systematische Fehler sind schwieriger zu erkennen, da sie bei Wiederholen des Experiments nicht zu einem anderen Messergebnis f¨ uhren m¨ ussen. Beispiele sind Vernachl¨assigung kleiner Einfl¨ usse (Luftwiderstand bei Fallversuchen), Fehler an Messger¨aten oder grobfahrl¨assige Fehler wie die Verwechslung von Einheiten oder das Einstellen eines falschen Messbereichs. ¨ Bei grobfahrl¨ assigen Fehlern hilft nur eines: Uberpr¨ ufen und evtl. Wiederholen der Messung. F¨ ur alle anderen F¨ alle nehmen wir f¨ urs Anf¨angerpraktikum an, dass die Fehler klein im Verh¨altnis zum Resultat sind und dass die verschiedenen Fehlerquellen (egal ob systematisch oder statistisch) voneinander unabh¨angig sind. Unter diesen Bedingungen kann der Einfluss von systematischen wie von statistischen Fehlern aufs Resultat mittels Fehlerfortpflanzungsgesetz (s. Abschnitt 3.4) abgesch¨ atzt werden. Es ist ein wesentliches Ziel des Anf¨ angerpraktikums, die Suche nach Fehlern und den Umgang mit ihnen zu u urte Quellen systematischer Fehler sollten unbedingt im ¨ben. Aufgesp¨ Versuchsprotokoll erw¨ ahnt werden.

3.2.2

Fehler der Beobachtungsgr¨ ossen und Fehler indirekter Messungen

Wie sich die Fehler der direkten Messungen auf den Fehler der daraus berechneten indirekten Messung auswirken, beschreibt das Fehlerfortpflanzungsgesetz (vgl. Abschnitt 3.4).

¨ 3.3. STATISTISCHER FEHLER DER BEOBACHTUNGSGROSSE

3.2.3

35

Absolutfehler und Relativfehler

Ein Fehler kann in den Einheiten der Messgr¨osse ( Absolutfehler“) oder als (dimensionsloser) ” Bruchteil des der gemessenen Gr¨ osse ( Relativfehler“) angegeben werden. Bei der Anwen” dung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes erweist sich die Rechnung mit relativen Fehlern oft als einfacher.

3.3 3.3.1

Statistischer Fehler der Beobachtungsgro ¨sse Streuen der Messwerte

Beispiel: Wir bestimmen die Tourenzahl eines Grammophontellers, wenn 33 RPM eingestellt sind. Mit einer Stoppuhr, welche Hundertstelsekunden anzeigt, messen wir 20 Mal die Zeit, in welcher der Teller eine Umdrehung macht: Laufnummern 1 1.77 6 2 1.85 7 3 1.91 8 4 1.79 9 5 1.79 10

(1. . . 20) und gemessene Zeiten (in s) 1.82 11 1.78 16 1.85 1.76 12 1.81 17 1.72 1.86 13 1.73 18 1.84 1.85 14 1.81 19 1.82 1.81 15 1.84 20 1.93

Vermutlich l¨ auft das Grammophon regelm¨assig, aber wir starten und stoppen die Zeit nur auf etwas weniger als eine Zehntelsekunde genau, weswegen wir fast jedesmal einen anderen Wert ablesen. Als zusammenfassendes Resultat unserer zwanzig Messungen sollten wir aber einen Sch¨atzwert f¨ ur die wahre Umlaufszeit angeben. Mit einer weiteren Zahl sollte das Streuen der Messwerte quantitativ beschreiben werden.

3.3.2

Der Durchschnitt als Sch¨ atzwert des wahren Wertes der Messgr¨ osse

Unsere Sch¨ atzung der Messgr¨ osse (z.B. Umlaufszeit des Grammophontellers“) sollte m¨oglichst ” ” nahe“ beim unbekannten wahren Wert liegen. Der am h¨aufigsten gebrauchte Sch¨atzwert ist das arithmetische Mittel der Messwerte, der sogenannte Durchschnitt“. ”

x ¯ :=

N P

xi

i=1

N

(3.1)

xi : Werte der Einzelmessungen N : Anzahl der Messungen oder Umfang der Stichprobe“ ” Je gr¨osser N , desto n¨ aher wird x ¯ im Allgemeinen beim wahren Wert liegen. Je mehr Messungen wir also ausf¨ uhren, desto besser wird unsere Sch¨atzung, sofern keine systematischen Fehler vorliegen. Der Durchschnitt ist nur eine von mehreren m¨oglichen Definitionen eines Mittelwerts. Andere Beispiele, die aber hier nicht definiert werden: Median oder Zentralwert, h¨aufigster Wert, usw.

36

3. FEHLERRECHNUNG

3.3.3

Die Standardabweichung als Mass fu ¨ r die Streuung der Messwerte

Definition der Standardabweichung Als Mass f¨ ur die Streuung der einzelnen Messwerte wird am H¨aufigsten die sogenannte Standardabweichung verwendet: v u N u 1 X t (xi − x ¯ )2 (3.2) sx := N −1 i=1

xi : Werte der Einzelmessungen x ¯: Durchschnitt der Stichprobe N : Anzahl der Messungen oder Umfang der Stichprobe“ ”

Ausser von der Standardabweichung sx spricht man auch von ihrem Quadrat, der Varianz s2x . Die Standardabweichung ist nicht vom Umfang der Stichprobe abh¨angig, wenn alle Messungen nach der gleichen Methode ausgef¨ uhrt werden. Die Standardabweichung wird etwa auch Feh” ler der Einzelmessung“ genannt. Als Absolutfehler hat sie dieselbe Einheit wie die Messwerte.

Aufgabe 1: Berechne den Durchschnitt und die Standardabweichung f¨ ur das Beispiel in 3.3.1. [L¨osung: x ¯ = 1.817 s, sx = 0.053 s] Aufgabe 2: P Zeige, dass die Summe (xi − c)2 am kleinsten wird f¨ ur c = x ¯. Was bedeutet das?

Spezialf¨ alle

Es gibt F¨ alle, wo die Standardabweichung offensichtlich kein vern¨ unftiges Resultat f¨ ur die Streuung der Messwerte liefert. Beispiele: • Der Zeiger der Stoppuhr springt jeweils um eine ganze Zehntelsekunde. • Digitale Messger¨ ate zeigen oft nur so viele Stellen an, wie ihrer Eichgenauigkeit entspricht. Der Raster der m¨ oglichen Anzeigewerte ist bei diesen Ger¨aten so grob, dass kleine Schwan¨ kungen der Messwerte gar nicht bemerkt werden. Ubrigens kann meistens aus der Feinheit des Rasters ungef¨ ahr auf die Genauigkeit eines Ger¨ates geschlossen werden.

3.3.4

Fehler des Mittelwertes“ ”

Wir haben den Durchschnitt einer Stichprobe bestimmt. K¨onnen wir voraussagen, wie stark die Durchschnitte vieler weiterer Stichproben gleichen Umfangs streuen werden? Die Streuung dieser Durchschnitte w¨are ein Mass f¨ ur die zu erwartende Abweichung unseres Durchschnitts vom wahren Wert, d. h. f¨ ur den Fehler unseres mit Hilfe einer Stichprobe bestimmten Durchschnitts. Wir erwarten, dass der Durchschnitt aus mehreren Messungen

¨ 3.3. STATISTISCHER FEHLER DER BEOBACHTUNGSGROSSE

37

tendenziell weniger vom - unbekannten - wahren Wert abweicht als eine einzelne Messung; das ist auch der Grund, warum wir eine Gr¨osse mehrmals messen m¨ ussen. √ Durchschnitte aus je N Messungen streuen um 1/ N weniger stark als die Einzelmessungen. Wir schreiben also den “Fehler des Mittelwerts” als v u u sx¯ := t

N

X 1 1 (xi − x ¯ )2 = √ sx N (N − 1) N i=1

(3.3)

Aufgabe 3: Berechne den Fehler des Mittelwerts“ im Beispiel in Unterabschnitt 3.3.1! ” [L¨osung: sx¯ = 0.0118 s]

3.3.5

Darstellung der Messergebnisse

Als Resultat einer mehrmaligen Messung der Gr¨osse x werden der Durchschnitt x ¯ der Stichprobe sowie dessen f¨ ur weitere Messungen vorausgesagte Streuung sx¯ , genannt Fehler des ” Mittelwerts“, angegeben. Der Fehler l¨asst sich meistens auf ein bis zwei signifikante Stellen absch¨atzen. Mittelwert und Fehler sollen mit gleich vielen Dezimalstellen geschrieben werden.

Erkl¨ arung: Die folgenden Ausdr¨ ucke haben zwei signifikante Stellen“: 0.0012, 0.012, 0.12, 1.2, 12. ”

Sowohl zum Durchschnitt ( Mittelwert“) als auch zum Fehler des Mittelwerts geh¨oren Ein” heiten. Die Einheit ist f¨ ur beide dieselbe wie f¨ ur die Messgr¨osse.

Beispiel: Umlaufszeit des Plattentellers: T = (1.817 ± 0.012) s Die Streuung der Mittelwerte kann auch als relativer Fehler angegeben werden: T = 1.817 s ±0.65 % Bemerkung: Als Messung“ k¨ onnen wir, statt jede einzelne der Beobachtungen, auch die Gruppe von N ” Beobachtungen ansehen, die das Resultat T¯ f¨ ur die Gr¨osse T liefert. Darum ist es sinnvoll, als Fehler des Resultats immer den Fehler des Mittelwerts“ anzugeben. ”

38

3.4 3.4.1

3. FEHLERRECHNUNG

Fortpflanzung der Fehler Problemstellung bei indirekten Messungen

In den wenigsten F¨ allen wird in einem Experiment die gesuchte Gr¨osse unmittelbar gemessen werden k¨ onnen. Meistens m¨ ussen wir verschiedene Gr¨ossen messen und sie mit Hilfe mehr oder weniger komplizierter Formeln verkn¨ upfen, um das gesuchte Resultat zu erhalten. Wie wirken sich nun die Streuungen der direkten Messungen einzelner Gr¨ossen auf das Resultat der indirekten Messung aus?

3.4.2

Fehlerfortpflanzungsgesetz von Gauß

¨ Die folgenden Uberlegungen helfen, das Gaußche Fehlerfortpflanzungsgesetz zu verstehen. Nur eine unabh¨ angige Gr¨ osse Wir haben in einer Serie von N Messungen einer Beobachtungsgr¨osse den Mittelwert x ¯ und seinen Fehler sx¯ bestimmt. Es stellt sich nun die Frage, welchen Wert wir f¨ ur eine von x abh¨angige Gr¨ osse f (x) (indirekte Messung) angeben sollen. Wir k¨onnten nat¨ urlich die fi := f (xi ) rechnen und den Mittelwert f¯ dieser N Funktionswerte onnte dann aus den fi bestimmt werden. angeben. sf¯, der Fehler von f¯, k¨ ¯ und Gesucht ist aber eine Methode, die es erlaubt, f¯ und sf¯ n¨aherungsweise direkt aus x sx¯ zu berechnen. Man kennt n¨ amlich nicht immer alle Messwerte xi , aus welchen x ¯ und sx¯ berechnet worden sind. Die ersten zwei Terme der Entwicklung von f (x) in eine Taylorreihe erf¨ ullen f¨ ur kleine dx die N¨aherung (siehe Abb. 3.4.2): f (x + dx) ∼ = f (x) + f ′ (x) dx

(3.4)

Das heisst: Sind an der Stelle x die Werte der Funktion f (x) und ihrer Ableitung f ′ (x) ≡ df /dx bekannt, so l¨ asst sich der Funktionswert an einer Nachbarstelle x + dx nach obiger Formel ann¨ahern. Die N¨ aherung wird umso besser, je kleiner die Abst¨ande dx sind. Da wir (hoffentlich!) in den meisten F¨allen nicht mit grossen Fehlern zu arbeiten haben werden, kann diese Formel bei unserem Problem helfen: Mit den Abk¨ urzungen gilt nach Taylor:

dxi := xi − x ¯

x) + dfi f (xi ) ∼ = f (¯

und

df dfi := dxi dx x=¯x

N¨aherung f¨ ur f (¯ x): N 1 X ¯ Bei der Mittelbildung f = f (xi ) verschwindet die Summe der Abweichungen dxi . N i=1

3.4. FORTPFLANZUNG DER FEHLER

39

f (x+dx) df = f ' (x) d dx

f (x)

x

x+dx

Abbildung 3.1: Erste N¨ aherung nach Taylor

Deshalb gilt:

x) f¯ ∼ = f (¯

(3.5)

N¨aherung f¨ ur sf¯: N

s2f¯

1 1 X ∼ 1 1 = (fi − f¯)2 = N N −1 N N −1 i=1

Das heisst:

s2f¯

∼ =



2 df s2x¯ dx x=¯x

oder



2 X N df (dxi )2 dx x=¯x

(3.6)

i=1

df ∼ sx¯ sf¯ = dx x=¯x

(3.7)

Wird einmal nur der zahlenm¨ assige Wert von sf¯ gesucht, kann die Formel von Taylor wie folgt verwendet werden (sx¯ anstelle von dx setzen): x + sx¯ ) − f (¯ x)| sf¯ ∼ = |f (¯

(3.8)

Anwendung auf ausgew¨ ahlte Funktionen f (x) f (x) = ax

(a = const) df =a dx x=¯x

(3.9)

40

3. FEHLERRECHNUNG s2f¯ ∼ = a2 s2x¯

oder

sf¯ ∼ = |a| sx¯

1 f (x) = x df 1 =− 2 dx x=¯x x ¯

(3.10)

1 1 s2f¯ ∼ oder sf¯ ∼ = 4 s2x¯ = 2 sx¯ x ¯ x ¯ Das Resultat sieht in beiden F¨ allen (Gleichungen (3.9) und (3.10)) einfacher aus, wenn mit dem relativen statt mit dem absoluten Fehler gerechnet wird: sf¯ sx¯ ∼ = ¯ |¯ x| |f |

(Die relativen Fehler sind einander gleich!) f (x) = x b

(3.12)

¯b f¯ ∼ =x

(3.13)

df = b¯ x b−1 dx x=¯x

s2f¯ ∼ ¯ b−1 )2 s2x¯ = (b x sf¯ sx¯ ∼ = |b| ¯ |¯ x| |f | ur: Berechne sf¯ und sf¯/|f¯| selber f¨

(3.11)

oder

sf¯ ∼ ¯ b−1 | sx¯ = |b x

(3.14) (3.15)

(|b|-facher Relativfehler!)

(3.16)

f (x) = sin x

(3.17)

f (x) = cos x

(3.18)

f (x) = ex

(3.19)

f (x) = 5x2 + k f (x) = ax2 − bx

(k konstant)

(3.20)

(a, b konstant)

(3.21)

Zwei oder mehrere unabh¨ angige Gro ¨ssen Etwas schwieriger wird es, wenn die zu berechnende Gr¨osse f von zwei mit Fehlern behafteten Beobachtungsgr¨ ossen x und y abh¨ angt: f = f (x, y) Die Formel von Taylor lautet hier (f¨ ur kleine dxi , dyi ): x, y¯) + dfi wobei: f (xi , yi ) ∼ = f (¯ ∂f ∂f dfi = dx + dyi i y=¯ y y=¯ y ∂x x=¯ ∂y x=¯ x x

(3.22) (3.23)

3.4. FORTPFLANZUNG DER FEHLER

41

Erkl¨ arung: ∂f /∂x heisst partielle Ableitung“ der Funktion f (x, y, z, . . .) nach der Varia” blen x. Partiell ableiten bedeutet: Wir bilden von einer Funktion f (x, y, z, . . .) die Ableitung nach einer Variablen und halten dabei die u ¨brigen Variablen fest. (Wir k¨onnen anschliessend nach einer anderen Variablen ableiten und wiederum die u ¨brigen als Konstanten betrachten, usw.)

Man kann nach dem Muster von Unterabschnitt 3.4.2 selber herleiten, dass somit:  2 2  ∂f ∂f  s2x¯ +   s2y¯ x, y¯) und s2f¯ ∼ f¯ ∼ = f (¯ = ∂x y=¯y ∂y y=¯y x=¯ x

(3.24)

x=¯ x

W¨are sy¯ = 0, so h¨ atten wir den zuerst behandelten Fall der Abh¨angigkeit von nur einer Variable 2  ∂f 2 2 ∼ (3.25) s2x¯ (Definition des Symbols sf¯(x) ) sf¯ ≡ sf¯(x) = ∂x x=¯x

Man kann f¨ ur den Fall zweier Variablen auch schreiben: s2f¯(x,y) = s2f¯(x) + s2f¯(y) s2f¯(x)

2 ∂f ∼  s2x¯ = y=¯ y ∂x x=¯ x 

und

wobei:

s2f¯(y)

(3.26)

2 ∂f ∼  s2y¯ = y=¯ y ∂y x=¯ x 

(3.27)

uhrende Fehler sf¯(y) In einem Satz: Der von sx¯ herr¨ uhrende Fehler sf¯(x) und der von sy¯ herr¨ werden quadratisch addiert, was den Fehler sf¯ von f¯ ergibt. Das ist das Fehlerfortpflanzungsgesetz von Gauß f¨ ur f (x, y). Die Erweiterung auf den Fall, wo f von mehr als zwei Variablen abh¨angt, l¨asst sich erraten (und beweisen): s2f¯(x,y,z,...) = s2f¯(x) + s2f¯(y) + s2f¯(z) + . . . (3.28) Das ist die praktisch wichtigste Form des Gaußchen Fehlerfortpflanzungsgesetzes: Zuerst wird der von jeder Eingangsgr¨ osse (x, y, z, . . .) herr¨ uhrende Fehler einzeln formelm¨ assig und numerisch erfasst; anschliessend werden die numerischen Werte quadratisch addiert, um den numerischen Fehler des Schlussresultates zu berechnen. Anwendung auf ausgew¨ ahlte Funktionen f (x, y) = x + y

s2f¯ = s2x¯ + sy2¯

(3.29)

¯ + y¯ f¯ ∼ =x ∂f ∂f =1 =1 y=¯ y y=¯ y ∂x x=¯ ∂y x=¯ x x

(Quadratische Addition der absoluten Fehler!) Suche selber:

f (x, y) = x − y

f (x, y) = x · y f¯ ∼ ¯ · y¯ =x

(3.30) (3.31)

42

3. FEHLERRECHNUNG ∂f = y¯ y=¯ y ∂x x=¯ x

∂f =x ¯ y=¯ y ∂y x=¯ x

s2f¯ = y¯2 · s2x¯ + x ¯2 · s2y¯

Vereinfachung:

s2f¯ s2y¯ s2x¯ = + x ¯2 y¯2 f¯2 Das heisst, dass hier die relativen Fehler quadratisch addiert werden! x (3.32) y Konkretes Beispiel: Wir wollen mit Hilfe eines mathematischen Pendels die Erdbeschleunigung g bestimmen. Wie genau k¨ onnen wir das? (vgl. DMK/DPK, S. 181) Suche selber:

Aus

 1/2 L T = 2π g

f=

T : Schwingungsdauer

(3.33)

4π 2 L d. h. g = g(L, T ) T2 Wir messen L und T , die mit den Fehlern sL und sT behaftet sind. folgt

g=

Bemerkung: Die Sch¨ atzwerte f¨ ur L und T sowie ihre Fehler haben wir zwar aus einer Mittelwertbildung erhalten, aber f¨ ur die Fehlerfortpflanzung spielt das keine Rolle (Siehe Bemerkung ¯ T¯, s ¯ und s ¯ . unter 3.3.5!). Wir schreiben deshalb L, T , sL und sT statt L, T L Aufgabe 4: • Wie schreibt man das Messresultat nach vorigem Beispiel auf, wenn mit folgenden Zahlenwerten gerechnet wird: T = (2.00 ± 0.02) s,

L = (99.8 ± 0.3) cm

√ • Streuung der Mittelwerte: In Unterabschnitt 3.3.4 steht sx¯ = sx / N . Beweise dies mit Hilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetzes von Gauß! Bemerkungen zum Fehlerfortpflanzungsgesetz von Gauß • Der Fehler des Endresultats ist kleiner als die Summe der Fehler der einzelnen Messgr¨ossen: sf < sf (x) + sf (y) • Die partiellen Ableitungen geben das Gewicht“ an, das der Fehler der entsprechenden ” Messgr¨ osse bei der Berechnung des Gesamtfehlers hat. • Ohne auf den Geltungsbereich weiter einzugehen, wollen wir annehmen, dass das Gaußche Fehlerfortpflanzungsgesetz immer angewandt werden darf, sofern die betrachteten Gr¨ossen nicht voneinander abh¨ angig sind. • Oft wirkt sich die Streuung einer Beobachtungsgr¨osse viel st¨arker auf das Endresultat aus als die Streuung der u ¨brigen Beobachtungsgr¨ossen, so dass diese vernachl¨assigt werden k¨ onnen. Eine grobe Absch¨atzung erspart oft m¨ uhsames Rechnen!

3.5. ZUSAMMENSTELLUNG DER FORMELN

3.5

43

Zusammenstellung der Formeln

3.5.1

Direkte Beobachtung

Durchschnitt oder arithmetischer Mittelwert x ¯=

N 1 X xi N i=1

N : Anzahl Messungen oder Umfang der Stichprobe“ ”

(3.34)

Standardabweichung Standardabweichung der Einzelmessungen oder Fehler der Einzelmessung“: ” v uN uX 1 t (x − x sx = √ ¯ )2 i N − 1 i=1 Standardabweichung der Durchschnitte oder Fehler des Mittelwerts“: ” v uN uX 1 t (x − x ¯ )2 sx¯ = p i N (N − 1) i=1

(3.35)

(3.36)

Relativer Fehler des Mittelwerts“: ”

rx¯ =

3.5.2

sx¯ sx¯ ≡ · 100% |¯ x| |¯ x|

(3.37)

Indirekte Beobachtung: Fehler zusammengesetzter Gro ¨ssen

Zwischen einer Messgr¨ osse x und ihrem gesch¨atzten Wert (z. B. x ¯) wird im Folgenden nicht mehr unterschieden. (Siehe Bemerkung unter 3.3.5!) Streuung s von f (allgemein) Fehlerfortpflanzungsgesetz s2f = s2f (x) + s2f (y) + . . . ≡



∂f ∂x

2

s2x +



∂f ∂y

2

s2y + . . .

(3.38)

Die Werte der partiellen Ableitungen werden dabei an der Stelle (x = x ¯, y = y¯) berechnet. Spezialf¨ alle Summe und Differenz f =x+y

und s2f = s2x + s2y

f =x−y

(3.39) (3.40)

Produkt und Quotient f =x·y

und

f=

x y

und

f=

y x

(3.41)

44

3. FEHLERRECHNUNG

 Potenz

sf f

2

=

 s 2 x

x

+



sy y

2

(3.42)

f = xa

(3.43)

sf sx = |a| |f | |x|

(3.44)

Literaturverzeichnis [1] P. R. Bevington und D. K. Robinson (2003), Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences, McGraw-Hill, New York. [2] DMK/DPK/DCK (2013), Formeln, Tabellen, Begriffe, orell f¨ ussli, Z¨ urich. [3] W.H. Gr¨ anicher (1994), Messung beendet - was nun?, Stuttgart. [4] E. Kreyszig (1991), Statistische Methoden und ihre Anwendungen, Vandenhoek & Ruprecht, G¨ ottingen [Bibliothek ExWi: KAE 233].

Kapitel 4

Bestimmung der elektrischen Elementarladung nach Millikan

http://www.nobel.se/physics/laureates/1923/millikan-bio.html

4.1. EINLEITUNG

4.1

49

Einleitung

Am Anfang des 20. Jahrhunderts wurde die Quantelung der elektrischen Ladung erst vermutet (Faradaysche Gesetze der Elektrolyse, atomarer Aufbau der Materie, ...). Millikan bestimmte 1911 [1] erstmals direkt die Elementarladung e, indem er die Fallgeschwindigkeit elektrisch ¨ opfchen im Feld eines luftgef¨ geladener Oltr¨ ullten Plattenkondensators mass. Er fand dabei, dass die beobachteten Ladungen innerhalb einer Messgenauigkeit von 0.2% immer ganze positive oder negative Vielfache einer Ladung e waren. In der Absolutmessung von e irrte er sich aber wegen eines systematischen Fehlers (Viskosit¨at der Luft) um nahezu 1%. Eine m¨oglichst genaue Kenntnis der Naturkonstanten e ist f¨ ur die Physik von grosser Bedeutung: Die St¨ arke der elektromagnetischen Wechselwirkung h¨angt direkt von der Gr¨osse des Ladungsquants e ab. In vielen Formeln der Atom-, Kern-, Elementarteilchen- und Festk¨orperphysik tritt daher e explizit auf. Der zur Zeit empfohlene Wert von e betr¨agt [2] e = 1.6021764(87) × 10−19 C Die Ziffern in Klammern entsprechen dem Standardfehler in den letzten Stellen des Zahlenwertes. e ist positiv, die Ladung eines Elektrons ist also −e.

4.2

Theorie

In einem luftgef¨ ullten Kondensator mit horizontal justierten Platten werden durch einen ¨ Zerst¨auber Oltr¨ opfchen (Radius r = (5 . . . 10) × 10−7 m) hineingeblasen und bei Dunkelfeldbeleuchtung mit einem Mikroskop beobachtet. Zur Verhinderung von Luftturbulenzen innerhalb des Kondensators ist dieser aussen mit einer Wand abgeschlossen, in welche Fenster zur Beobachtung und Beleuchtung, sowie ein Loch f¨ ur den Druckausgleich und den Zerst¨auber ¨ opfchen durch Zerreissen (Reibungselekeingef¨ ugt sind. Beim Zerst¨ auben werden einige Oltr¨ ¨ ist ein Isolator) elektrisch aufgeladen. Atome von ungeladenen Tr¨opfchen k¨onnen trizit¨at; Ol auch mittels γ-Strahlen ionisiert werden, und wegen des Herausfliegens einzelner Elektronen aus den Tr¨ opfchen bleibt eine nichtverschwindende Gesamtladung zur¨ uck. Besteht nun zwischen den Kondensatorplatten ein elektrisches Feld, so bewegen sich die ¨ opfchen je nach Richtung der Vektorsumme von Gravitationskraft, Auftrieb und elekOltr¨ trostatischer Kraft nach oben oder nach unten.

4.3

Versuchsaufbau

Abbildung 4.1 stellt den Millikanversuch schematisch dar und definiert die verwendeten Symbole und Abk¨ urzungen, Abbildungen 4.2 und 4.3 zeigen den Aufbau des Experiments, wie wir es durchf¨ uhren. ~ ausgesetzt, stellt sich wegen der Luftrei¨ opfchen der Ladung q = Ne im Feld E Wird ein Oltr¨ bung nach kurzer Zeit eine konstante Geschwindigkeit ~v ein, und die Summe von Schwerkraft, elektrostatischer Kraft, Auftrieb und Reibungskraft verschwindet. ~ +A ~ + F~r = ~0 m~g + q E

(4.1)

50 4. BESTIMMUNG DER ELEKTRISCHEN ELEMENTARLADUNG NACH MILLIKAN

Abbildung 4.1: Schema und Symboltabelle

Da alle Kr¨ afte und Bewegungen zueinander parallel sind, gen¨ ugt eine eindimensionale Betrachtung. Es gen¨ ugt also, die Vertikal-Komponenten der Vektoren zu betrachten: 4π 3 4π 3 r ρ g + qE − r ρL g + Fr = 0 3 3

(4.2)

In der obigen Formel fehlt noch die explizite Form der Luftreibung. Als erster Ansatz bietet sich das Stokessche Gesetz (nachzulesen bei [3]) an. Das Reynoldsche Kriterium Re =

2 r ρL v ≤ Rekrit ≈ 0.4 η

(4.3)

ist f¨ ur die auftretenden Geschwindigkeiten bei weitem erreicht. Die Luftstr¨omung um das ¨ Oltr¨opfchen w¨ are daher laminar. Die Grundvoraussetzung des Gesetzes von Stokes, n¨amlich die Bewegung einer Kugel in einem homogenen Kontinuum, ist nicht erf¨ ullt, denn die Tr¨opfchenradien sind nicht viel gr¨ osser als die mittlere freie Wegl¨ange l in Luft ( l = 7×10−8 m bei Normalbedingungen). Die Stokessche Formel bedarf daher einer Korrektur, f¨ ur die das Verh¨altnis l /r massgebend ist. Nach Cunningham [4] soll die makroskopisch gemessene Viskosit¨at η durch den Wert ηc = η (1+A rl )−1 ersetzt werden, wobei A eine empirisch zu bestimmende Konstante ist. Setzt man f¨ ur l die indirekt proportionale Druckabh¨angigkeit ein, so erh¨alt man: B −1 ηc = η (1 + ) ; B = 8.266 × 10−3 Pa m (4.4) pr η c wird also f¨ ur kleinere r kleiner. Somit kann die Beziehung 4.2 durch die explizite Angabe der Reibungskraft vervollst¨ andigt werden. U 4π 3 r (ρ − ρL ) g + q − 6 π ηc r v = 0 3 d

(4.5)

4.4. VERSUCHSAUFGABEN

51

Im Experiment sind alle Gr¨ ossen der Gl. 4.5 ausser r und der gesuchten Tr¨opfchenladung q bekannt oder k¨ onnen leicht gemessen werden. Um nun q zu bestimmen, m¨ ussen mit demselben Tr¨opfchen mindestens zwei Messungen bei verschiedenen Bedingungen durchgef¨ uhrt werden. Die einzige einfach zu ver¨ andernde Gr¨osse ist die Spannung u ¨ber dem Kondensator. Es gibt also je nach spezieller Wahl des Parameters U , unterschiedliche Messmethoden. Diese sind in Abschnitt 4.4 beschrieben.

4.4

Versuchsaufgaben

Bestimme die elektrische Elementarladung des Elektrons mittels der drei nachfolgend aufgef¨ uhrten Methoden und gib dazu einen vern¨ unftigen, m¨oglichst kleinen Fehler an. F¨ uhre die Messungen nach einem dir vorg¨ angig erstellten Arbeitsplan durch.

4.4.1

Methode I

Zuerst wird E so gew¨ ahlt, dass das Tr¨opfchen schwebt (v = 0): E = E s = Us /d (Us : Schwebespannung). Gem¨ ass der Richtungskonvention in Abb. 4.1 ist U dann positiv, wenn das Potential der oberen Kondensatorplatte gr¨osser ist als das der unteren. Mit der zweiten Messung bestimmt man f¨ ur dasselbe Tr¨ opfchen die konstante Fallgeschwindigkeit v 0 ohne elektrisches Feld, wozu die Fallzeit t 0 f¨ ur eine bekannte Wegl¨ange s 0 gemessen wird. Je eingesetzt in die

Abbildung 4.2: Skizze des Versuchsaufbaus

52 4. BESTIMMUNG DER ELEKTRISCHEN ELEMENTARLADUNG NACH MILLIKAN

Gleichung 4.5 erh¨ alt man folgendes System: U 4π 3 r (ρ − ρL ) g + q = 0 3 d

4π 3 r (ρ − ρL ) g − 6 π ηc r v = 0 3 Aus 4.7 l¨ asst sich r isolieren: r=3

s

ηc (r) s0 2 (ρ − ρL ) g t0

Setzt man diesen Ausdruck in 4.6 ein und isoliert q, so ergibt sich:   1/2  1 d ηc (r) s0 3/2 q = −18 π t0 2 (ρ − ρL ) g Us

(4.6) (4.7)

(4.8)

(4.9)

Nun h¨angt η c nach 4.4 von r ab. Man muss also noch aus Gleichungen 4.4 und 4.7 oder 4.8 durch Iteration oder explizites L¨ osen r und η c berechnen und den gefundenen Wert f¨ ur η c in Gl. 4.9 einsetzen. W¨ urde man die drei Gleichungen 4.4, 4.6 und 4.7 formal l¨osen, indem man r und η c elimimiert, w¨ urde der Ausdruck f¨ ur q un¨ ubersichtlich. Es empfiehlt sich daher, in einem ersten Schritt r aus 4.4 und 4.7 zu berechnen.

4.4.2

Methode II

Bei dieser Methode wird die konstante Tr¨opfchengeschwindigkeit ohne und mit einem nichtverschwindenden, aber sonst beliebigen elektrischen Feld gemessen. Die Geschwindigkeiten seien v 0 = s 0 /t 0 bei E = 0 und v = s/t bei E = U /d . Gem¨ass Richtungskonvention in Abb. 4.1 ist bei einer Aufw¨ artsbewegung s negativ. Die Messung von v 0 bei E = 0 ist f¨ ur beide Methoden notwendig, deshalb kann Gl. 4.8 u ¨bernommen und in 4.5 eingesetzt werden. Dies ergibt:  1/2     ηc (r) s0 3/2 d t0 s 1 q = −18 π 1− (4.10) t0 2 (ρ − ρL ) g U s0 t

4.4.3

Methode III

Bei der Methode III misst man die Tr¨opfchengeschwindigkeit f¨ ur zwei betragsm¨assig gleich grosse Feldst¨ arken, welche einmal parallel, einmal antiparallel zu g und mindestens so gross sind, dass sich die Bewegungsrichtung umkehrt. In einem Fall bewegt sich das Tr¨opfchen mit v u = s u /t u bei Uu nach oben (up), im anderen mit v d = s d /t d bei Ud nach unten (down). Nach Voraussetzung ist immer Uu = -Ud . W¨ahlt man als messtechnische Vereinfachung zudem s u = -s d , so erh¨ alt man aus Gleichung 4.5 f¨ ur die beiden F¨alle das folgende System: up: down:

4π 3 r (ρ − ρL ) g − q 3 4π 3 r (ρ − ρL ) g + q 3

Ud sd + 6 π ηc r = 0 d tu Ud sd − 6 π ηc r = 0 d td

Durch Addition der Gleichungen 4.11 und 4.12 erh¨alt man den Tr¨opfchenradius r : s   1 ηc (r) sd 1 3 − r= 2 (ρ − ρL ) g td tu

(4.11) (4.12)

(4.13)

4.4. VERSUCHSAUFGABEN

53

Durch Subtraktion von Gl. 4.11 und 4.12 sowie Einsetzen von Gl. 4.13 erh¨alt man: s    ηc3 (r) s3d 1 1 1 1 9π d − + q= 2 Ud (ρ − ρL ) g td tu td tu

4.4.4

(4.14)

Erg¨ anzung 3/2

In allen drei Methoden ist q proportional zu η c . Die Fehlerbetrachtung (siehe Abschnitt 4.4.5) wird zeigen, dass die Viskosit¨ at besonders genau bekannt sein sollte. Neben der Korrektur f¨ ur die kleinen Tr¨ opfchenradien muss ber¨ ucksichtigt werden, dass die Viskosit¨at von Gasen temperaturabh¨ angig, in erster N¨aherung aber nicht druckabh¨angig ist. Damit wird η = η0 · (1 + α · T ) F¨ ur Luft ist:

4.4.5

η0 α

= 1.708×10−5 kg/ms = 2.37×10−3 (o C)−1

(4.15)

18 o C ≤ T ≤ 54 o C

Fehlerabsch¨ atzungen

Gib auf die folgenden Fragen eine begr¨ undete Antwort: • Welche der drei Methoden ist zur Bestimmung von q am geeignetsten? • Bei der Berechnung der relativen Genauigkeit von q treten die relativen Fehler einiger Gr¨ ossen mit hohem Gewicht auf. Diese Gr¨ossen m¨ ussen daher besonders sorgf¨altig gemessen und ihre m¨ ogliche Temperaturabh¨angigkeit ber¨ ucksichtigt werden. Welche Gr¨ossen sind das? • Welchen Einfluss hat die Korrektur von Cunningham? • Aus konstruktiven Gr¨ unden kann die Lufttemperatur in der Millikanzelle nicht gemessen werden. Gen¨ ugt es stattdessen, die Lufttemperatur im Raum, etwa vor und nach dem Praktikum zu messen? ¨ opfchen durch seine Oberfl¨achenspannung so stark komprimiert, dass eine • Wird das Oltr¨ ¨ Korrektur der Oldichte n¨ otig ist? (fakultativ) • Ist es g¨ unstiger, die Ladungen einiger Tr¨opfchen immer mit allen drei Methoden zu bestimmen, oder sollen stattdessen mehr Tr¨opfchen mit je nur einer Methode gemessen werden?

54 4. BESTIMMUNG DER ELEKTRISCHEN ELEMENTARLADUNG NACH MILLIKAN

Abbildung 4.3: Versuchsanordnung

Literaturverzeichnis [1] R. A. Millikan (1911), Phys. Rev. 32, 349. [2] Committee on Data for Science http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?e

and

Technology

(CODATA

2006),

[3] H. Vogel (1995), Gerthsen Physik, 18. Auflage, Springer Verlag, Berlin/Heidelberg [Bibliothek ExWi: ODA 206]. [4] C. N. Davies (1945), Proceedings of the Physical Society, Vol. 57, Issue 4, 259.

Kapitel 5

Photoelektrischer Effekt

5.1. EINLEITUNG

5.1

59

Einleitung

In diesem Versuch soll mit Hilfe des Photoeffekts die Gr¨osse h/e gemessen werden, wobei h das Planck’sche Wirkungsquantum und e die Elementarladung ist. Der Literaturwert betr¨agt: h = 4.1357 × 10−15 V s e

5.2

(5.1)

Theorie

Wird eine metallische Oberfl¨ ache beleuchtet, k¨onnen durch das Licht Elektronen herausgeschlagen werden. Man hat folgende Beobachtungen gemacht: 1. Die Energie der emittierten Elektronen h¨angt linear von der Frequenz des Lichts ab. 2. F¨ ur jedes Material existiert eine Grenzfrequenz. Hat das eingestrahlte Licht eine kleinere Frequenz als diese Grenzfrequenz, so k¨onnen keine Elektronen emittiert werden. 3. Die Anzahl (pro Fl¨ ache und Zeit) emittierter Elektronen ist direkt proportional zu der Intensit¨ at des einfallenden Lichts. Es existiert also insbesondere kein Zusammenhang zwischen Intensit¨at des Lichts und der Energie der Elektronen! Diese Beobachtungen finden ihre Interpretation in der Quantennatur des Lichts: Das elektromagnetische Feld ist gequantelt in Photonen, d.h. in Energiepakete mit der Energie: hc (5.2) E = hν = λ ν und λ ist die Frequenz bzw. die Wellenl¨ange des Lichts, und h ist das Planck’sche Wirkungsquantum. Beim Austritt aus der Metalloberfl¨ ache m¨ ussen die Elektronen ein Potential Φ u ¨berwinden, ben¨otigen also die Austrittsarbeit W = eΦ (work function). Φ ist im Prinzip eine Materialkonstante des Metalls, h¨ angt aber stark von Verunreinigunen an der Oberfl¨ache ab. In unserem Praktikum ist es nicht m¨ oglich, Φ genau zu bestimmen. Damit ein Elektron durch Absorption eines Photons das Metall verlassen kann, muss gelten hν > eΦ

(5.3)

¨ Den Uberschuss erh¨ alt das Elektron als kinetische Energie [1]: 1 hν = eΦ + me v 2 2

(5.4)

1921 erhielt Albert Einstein f¨ ur diese theoretische Voraussage des Photoeffektes den Nobelpreis. Der Effekt war 1914 von Millikan experimentell best¨atigt worden [2]. Ein vernachl¨assigbarer Teil der Energie muss vom Metallgitter aufgenommen werden, da sonst der Impulssatz nicht erf¨ ullt ist. Die kinetische Energie Ee der austretenden Photoelektronen kann als Funktion der Frequenz des Lichts gemessen werden: 1 Ee = me v 2 = hν − eΦ 2

(5.5)

60

5. PHOTOELEKTRISCHER EFFEKT

Die Steigung der erwarteten Geraden ist h. In diesem Praktikum wird Ee mit der Gegenfeldmethode bestimmt: Man schaltet gegen¨ uber dem beleuchteten Metall (Kathode) eine Anode auf die Spannung U und misst den Photostrom I(U ), der dazwischen durch das Vakuum fliesst. Mit zunehmenden U nimmt der Strom ab, bis schliesslich bei U0 der Photostrom I(U0 ) = 0 ist. U0 entspricht also gerade dem Potential welches die emittierten Elektronen noch zu u ogen. Aus Gl. 5.5 folgt: ¨berwinden verm¨ U0 = Ee /e = (h/e)ν − Φ

(5.6)

Mit der Messung von U0 bei verschiedenen Frequenzen kann man also nur h/e, nicht aber h selbst bestimmen.

5.3 5.3.1

Versuchsaufbau Prinzip

Eine Quecksilberdampflampe (Hg-Lampe) sendet Licht in mehreren scharfen Wellenl¨angen aus. Damit jeweils nur Licht einer Wellenl¨ange zur Photozelle gelangt, m¨ ussen zwischen Lampe und Photozelle geeignete Filter angeordnet werden. Die Elemente der Photozelle (Photokathode und Anode) sind in einem evakuierten Glaskolben eingebaut. Zur Messung des Photostromes m¨ ussen folgende Elemente in einem Stromkreis in Serie geschaltet werden: • Photozelle • regelbare Spannungsquelle • Amp`eremeter Die Spannung u ¨ber der Photozelle wird mit einem Voltmeter gemessen. Ampèremeter

A Photokathode

V

-

e

Voltmeter Anode

Abbildung 5.1: Einfachstes Schaltschema einer Photor¨ ohre

5.4. VERSUCHSAUFGABEN

5.3.2

61

Messung sehr kleiner Str¨ ome

Die in diesem Versuch zu messenden Str¨ome liegen im Bereich von 1 nA bis zu einigen µA. Die kleinstm¨ oglichen Str¨ ome, die mit einem u ¨blichen Drehspulinstrument gemessen werden k¨onnen, liegen in der Gr¨ ossenordnung von 1 µA. F¨ ur kleinere Str¨ome bieten sich folgende M¨oglichkeiten an: • Galvanometer • Elektrometerr¨ ohrenverst¨ arker • Gleichstromverst¨ arker mit Halbleiterelementen F¨ ur uns dr¨ angt sich die letzte der genannten M¨oglichkeiten auf, wobei eine Verst¨arkerschaltung mit Operationsverst¨ arkern verwendet wird. Ein besonderes Augenmerk beim Messen kleiner Str¨ome verdient das Ph¨ anomen der St¨orpulse durch Fremdfelder. Durch u ¨berall vorhandene Wechselfelder (z.B. von Netzkabeln, Eisenbahnfahrleitungen, usw.) werden in elektrischen Leitern Str¨ ome induziert, welche die Messungen um so mehr st¨oren, je kleiner der zu messende Strom ist. Das Problem kann zum Teil gel¨ost werden, indem ein m¨oglichst grosser Anteil der elektrischen Leiter einer Schaltung in einem Faradayschen K¨afig gelegt wird. F¨ ur elektrische Leitungen verwendet man deshalb weitgehend abgeschirmte Kabel, bei denen der zentrale stromf¨ uhrende Leiter von einem auf Massepotential liegenden Drahtgeflecht umgeben ist.

5.3.3

Material

Im Anf¨angerpraktikum steht folgendes Material zur Verf¨ ugung: • Quecksilberdampflampe mit Speiseger¨at • Vier Filter, jeweils durchl¨ assig f¨ ur die Wellenl¨angen der Hg-Linien 405 nm (violett Nr. 46833), 436 nm (blau Nr. 46832), 546 nm (gr¨ un Nr. 46807), 578 nm (gelb Nr. 46830) • Photozelle RCA 934 • Regelbares Gleichspannungsger¨at • Gleichstromverst¨ arker mit Digitalanzeige-Element • Digitalvoltmeter zur Messung der Spannung u ¨ber der Photozelle (Vorsicht: Das Umschalten des Spannungsbereiches des Voltmeters ¨andert dessen Eingangswiderstand, deshalb sollte das Ger¨ at nicht im “Auto”-Mode betrieben werden.

5.4

Versuchsaufgaben

Ziel des Versuchs ist die m¨ oglichst genaue Bestimmung der Gr¨osse h/e und die Absch¨atzung der Genauigkeit des Resultats. F¨ ur jede Linie aus dem Hg-Spektrum (violett, blau, gr¨ un und gelb) kann der Photostrom im Stromkreis nach Abb. 5.2 als Funktion der Spannung u ¨ber der Photozelle gemessen werden. Damit erh¨ alt man vier Kurven Ii = Ii (U ) (i: Index f¨ ur die versch. Filter). Damit nicht

62

5. PHOTOELEKTRISCHER EFFEKT

Abbildung 5.2: Effektives Schaltschema

unn¨otig viele Punkte gemessen werden m¨ ussen, ist es sinnvoll, sich genau zu u ¨berlegen, welcher Spannungsbereich besondern kritisch ist (s. Abschnitt 5.2). Aus den vier gemessenen Kurven Ii (U ) muss m¨oglichst genau jene Spannung abgelesen werden, bei welcher aus der Kathode herausgeschlagene Elektronen die Anode gerade nicht mehr ereichen k¨ onnen. Diese Spannung liegt im Bereich −2.5V < U0 < 0V ; die Messpunkte sollten im kritischen Bereich jeder Frequenz sehr dicht liegen. Das Ablesen wird erschwert durch die Tatsache, dass auch aus der Anode Photoelektronen austreten. Diese werden bei U < 0 zur Kathode beschleunigt und erzeugen einen negativen Strom von wenigen nA. Die Spannung U0 liegt nun dort, wo die Kurven vom negativen S¨attigungswert anzusteigen beginnen, d.h. wo der Kathodenstrom Ii (U ) nicht mehr durch den Anodenstrom verf¨alscht wird. Sie ist f¨ ur jede Kurve nach einem m¨ oglichst einheitlichen Kriterium zu bestimmen. Dazu k¨onnte es g¨ unstig sein, die Kurven auf eine gemeinsame Skala zu normieren. Die vier Spannungen U0 (ν) sollten auf einer Geraden mit Steigung h/e liegen (Gleichung 5.6). Das Ergebnis dieses Versuches, d.h. die Bestimmung von h/e erfolgt nun, indem diese Gerade durch einen least-squares-fit“ berechnet wird; weiterhin ist deren Fehler σh/e aus den ” Einzelfehlern σU0 zu bestimmen (vgl. Kapitel 2).

Literaturverzeichnis [1] A. Einstein (1905), Ann. Physik 17, 132. [2] R. A. Millikan (1916), Phys. Rev. 7, 355.

Kapitel 6

Radioaktivit¨ at

6.1. THEORIE

6.1

67

Theorie

Die Theorie zum Versuch (Aufbau von Atomkernen, Radioaktivit¨at, Zerfallsgesetz, Zerfallsarten) ist in der Vorlesung Physik II behandelt worden.

6.1.1

Aktivit¨ at, Z¨ ahlratenmessung, Poissonverteilung

Definition: Die Aktivit¨ at A einer Quelle ist definiert als die Anzahl Zerf¨alle pro Zeiteinheit. Die Einheit ist [A] = 1 Becquerel = 1 Bq = 1 Zerfall pro Sekunde. Eine veraltete Einheit ist 1 Curie = 1 Ci = 3.7 × 1010 Zerf¨alle pro Sekunde ≃ Aktivit¨at von 1 g Radium. Wiederholt man Aktivit¨ atsmessungen mehrmals, so sieht man, dass die gemessenen Raten streuen, auch wenn man das Zeitintervall ∆t noch so genau messen kann. Dies liegt an der statistischen Natur des Zerfallprozesses. Man kann f¨ ur den einzelnen Kern nie den genauen Zeitpunkt des Zerfalls angeben, sondern nur die Zerfallswahrscheinlichkeit f¨ ur ein bestimmtes Zeitintervall. Die gemessene Rate ist also eine zuf¨allige Gr¨osse. Nun stellt sich die Frage, was die zugeh¨ orige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist. Die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Eintreffen eines Ereignisses bei einem Zufallsexperiment sei p. Die Frage, wie gross die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei N Versuchen das Ereignis genau k-mal eintrifft, f¨ uhrt auf die Binomialverteilung (oder binomische Verteilung, vgl. Skript Statistische Verteilungen“). Ableitung: Man kennt die Wahrscheinlichkeit p f¨ ur das Zerfallen ” eines einzelnen Kerns im Intervall ∆t. Eine Quelle von N instabilen Kernen entspricht N zugleich ausgef¨ uhrten Versuchen mit je einem Kern. Voraussetzung: ∆t ≪ T 1 . Damit ¨andern 2 N und p praktisch nicht mit der Zeit, und p ≪ 1 (Grenzfall, siehe unten) ist ebenfalls erf¨ ullt. Die zuf¨allige Gr¨ osse k = Anzahl Zerf¨alle im Intervall ∆t“ ist also binomial verteilt: ”   N k P (k) = p (1 − p)N −k . (6.1) k F¨ ur den Grenzfall N → ∞, p → 0 (Mittelwert µ = N p = konstant) geht die Binomialverteilung in die Poissonverteilung u ¨ber: pµ (k) =

µk −µ e . k!

(6.2)

Beim Ausmessen einer radioaktiven Quelle besteht das Problem darin, aus der gemessenen Anzahl Impulse k im Intervall ∆t den unbekannten Mittelwert µ zu sch¨atzen. Es l¨asst sich zeigen, Mittelwert mit einer Wahrscheinlichkeit von 68% im Intervall √ dass der √ unbekannte   k − k, k + k liegt. Diese Aussage gilt exakt f¨ ur N → ∞. Der relative Fehler wird mit wachsender Impulszahl k kleiner: √ k 1 ∆k = =√ . (6.3) k k k

6.1.2

Wechselwirkung der Kernstrahlung mit Materie

γ-Strahlung In Materie verliert ein γ-Quant seine Energie durch Photoeffekt, Comptonstreuung und Paarbildung.

¨ 6. RADIOAKTIVITAT

68

1. Der Photoeffekt ist dominant bei Energien Eγ ≤ 50 keV. Das γ-Quant verschwindet; es wird ein Elektron herausgeschlagen (meist aus der K-Schale, falls Eγ gr¨osser ist als die Bindungsenergie der K-Elektronen). Eγ = hν = Bindungsenergie des Elektrons + Ekin (e− )

(6.4)

2. Beim Comptoneffekt findet ein elastischer Stoss eines Quants mit einem freien Elektron statt. Das gestreute Quant hat eine kleinere Energie als das ungestreute, d.h. eine gr¨ossere Wellenl¨ ange. Die an das Elektron abgegebene Energie kann mit Energie- und Impulssatz berechnet werden. 3. Die Paarbildung findet bei Energien > 1 MeV statt. Aus elektromagnetischer Strahlung entsteht in der N¨ ahe eines schweren Kerns Materie: ein Elektron und ein Positron. Eγ muss gr¨ osser sein als die Ruheenergien von e+ und e− zusammen. Nach dem Abbremsen zerstrahlt das e+ zusammen mit einem e− zu zwei γ-Quanten von je 0.51 MeV. Die γ-Strahlung wird von Materie mehr oder weniger gut absorbiert. Denkt man sich einen Absorber (z.B. ein St¨ uck Blei) in d¨ unne Schichten der Dicke dx zerlegt, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein auf eine bestimmte Schicht treffendes Photon darin eine Reaktion eingeht, f¨ ur alle Schichten gleich (unabh¨angig von x). dJ = −µ J dx ,

(6.5)

wobei J die Photonenflussdichte (Photonen pro m2 und Sekunde) ist. Somit gilt J = J0 e−µx = J0 e

−µ ρx ρ

= J0 e−µm ρx

(6.6)

µ wird linearer Absorptionskoeffizient genannt und ist abh¨angig von der γ-Energie. µm = µ/ρ ist der Massenabsorptionskoeffizient (in cm2 /g, Abb. 6.4). Die Dicke“ eines Ab” sorbers wird dann als dρ (in g/cm2 ) angegeben. β-Strahlung Im Unterschied zum Photon macht das Elektron beim Durchgang durch Materie sehr viele Reaktionen. In inelastischen St¨ ossen mit H¨ ullenelektronen verliert es seine Energie in vielen kleinen Portionen. Da die Reaktionswahrscheinlichkeit von der Energie abh¨angt, ist sie in jeder Schicht ein wenig anders. Zudem sind die von einer Quelle beim Absorber eintreffenden Elektronen nicht monoenergetisch, sondern haben ein kontinuierliches Energiespektrum; somit ist ein kompliziertes Absorptionsgesetz zu erwarten. α-Strahlung Auch α-Strahlen verlieren ihre Energie durch viele St¨osse mit H¨ ullenelektronen. α-Strahlen sind monoenergetisch und werden kaum gestreut (mα ≫ me ). Deshalb haben sie in Materie eine einheitliche Reichweite (z.B. 42 mm in Luft, 62 µm in Gewebe f¨ ur Eα = 6 MeV).

6.1. THEORIE

69

Abbildung 6.1: Geiger-M¨ uller-Z¨ ahlrohr

6.1.3

Nachweis der Kernstrahlung mit Hilfe eines GeigerMu ahlrohres ¨ ller-Z¨

Ein Geiger-M¨ uller-Z¨ ahlrohr besteht im Prinzip aus zwei Elektroden, einem zumeist zylindrischen Rohr und einem in der Achse des Rohres gespannten Draht (Abb. 6.1). Beim Durchgang von α-, β- und γ-Strahlen wird das F¨ ullgas (meistens ein Edelgas) ionisiert. Die Elektronen wandern im angelegten Feld zum Draht und die positiven Ionen zur Wand. Das Z¨ahlrohr kann als geladener Kondensator aufgefasst werden. Die Ladungsverschiebung durch die wandernden Elektronen und Ionen erzeugt an der Anode einen negativen Spannungspuls, der verst¨ arkt, invertiert und registriert wird. In einem gegebenen Strahlungsfeld h¨angt die Impulsrate, die ein Geiger-M¨ uller-Z¨ahlrohr angibt, von der angelegten Spannung ab (Abb. 6.2). Unterhalb der Schwellenspannung US kann keine Entladung ausgel¨ost werden. Die Schwellenspannung ist abh¨ angig von der Energie der Teilchen. Oberhalb der Einsatzspannung UE ist die Z¨ ahlrate nicht mehr von der Energie der Teilchen abh¨angig und in einem bestimmten Bereich ( Plateau“) von der Z¨ ahlrohrspannung unabh¨angig. Die Betriebsspannung UB ” wird im Plateaubereich gew¨ ahlt.

US

UE

Abbildung 6.2: Charakteristik eines Geiger–M¨ uller–Z¨ ahlrohrs. US : Schwellenspannung; UE : Einsatzspannung.

¨ 6. RADIOAKTIVITAT

70

6.2 6.2.1

Versuchsaufgaben 1. Halbtag

1. Was f¨ ur Strahlen emittieren die im Praktikum vorhandenen Quellen? Welche Energie haben die emittierten Teilchen (bei β-Strahlen Emax angeben)? (vgl. Anhang) 2. Stelle die Differentialgleichung f¨ ur den Mutter–Tochter-Zerfall von 90 Sr → 90 Y → 90 Zr auf und l¨ ose sie unter der Annahme, dass NSr (t = 0) = NSr (0), NY (t = 0) = 0. Trage ASr (t) und AY (t) auf und diskutiere das Ergebnis. Wann ist ASr = AY ? 3. Bestimme die Einsatzspannung des Z¨ahlrohrs mit Hilfe einer γ- und einer β-Quelle. Die Einsatzspannung sollte in beiden F¨allen gleich sein. Miss einige Punkte im Plateau (U ≤ UE + 100 V). Die Z¨ ahlrate sollte wegen Z¨ahlverlusten (Totzeit!) nie mehr als −1 50 s betragen. Stelle die Z¨ ahlrohrcharakteristik graphisch dar (mit den statistischen Fehlern). 4. Nimm bei der Betriebsspannung UB = UE + 20 V zwei Poissonverteilungen gem¨ ass folgender Anleitung auf: (a) In 5 s sollen ca. 2 Impulse gez¨ahlt werden. Bei einigen Z¨ahlrohren gen¨ ugt dazu schon der Nulleffekt, bei den andern variiert man den Abstand der Quelle vom Rohr und die Absorberdicke so lange, bis man die richtige Rate hat. Miss ca. 100 mal 5 s lang und trage die Resultate direkt auf H¨auschenpapier auf. (b) Dasselbe wie oben, nur sollen jetzt im Mittel ca. 10 Impulse in 5 s gez¨ahlt werden.

6.2.2

2. Halbtag

1. Miss die Einsatzspannung Ihres Z¨ahlrohres. 2. Miss bei der Betriebsspannung den Nulleffekt auf 5% genau. Der Nulleffekt hat folgende Ursachen: (a) Kosmische Strahlung; (b) Umgebungsstrahlung und Strahlung aus Z¨ahlrohrmaterial von nat¨ urlich vorkommenden oder k¨ unstlichen instabilen Isotopen (z.B. 40 K). 3. Miss die Absorption der Strahlung der 60 Co-Quelle durch Blei. Variiere die Absorberdicke in geeigneten Schritten bis zu einer Absorberdicke von 30 mm. Stelle die NettoZ¨ahlrate (gemessene Rate minus Nulleffekt) auf halblogarithmischem Papier graphisch dar. Trage bei jedem Punkt den statistischen Fehler der Netto-Z¨ahlrate ein. Gib eine kurze Interpretation der Messresultate und berechne den Massenabsorptionskoeffizienten µ/ρ; vergleiche diesen mit den Werten in Anhang 6.3.2. 4. Miss die Absorption der Strahlung aus der 90 Sr/90 Y-Quelle durch Aluminium. Stelle die Netto-Z¨ ahlrate mit statistischem Fehler auf halblogarithmischem Papier graphisch dar und interpretiere die Messresultate.

6.3. ANHANG

6.3 6.3.1

71

Anhang Auszu ¨ ge aus der Isotopentabelle 60

Entity

31

7

99.88%

V

3

% 9

.9

89

62

0.12%

0.59 ps

Vek 3711

2

0.30 ps

%2 10 0.0 %6 70 0.0

0.002%

ke

% 58 .9 9 %5 70 0.0

0

%2 00 00 0.0

5.27 a

Co

27

1 Vek 3331

Beta Zerfall

0.71 ps

Gamma Zerfall

0

stabil

60

Ni

28

Abbildung 6.3: Ausz¨ uge aus LNE – LNHB/CEA Table de Radionuclides

¨ 6. RADIOAKTIVITAT

72

6.3.2

Massenabsorptionskoeffizient von Blei

Massenabsorptionskoeffizient (cm2/g)

10

1

0.1

0.01 0.1

1

10

γ Energie (MeV) Abbildung 6.4: Massenabsorptionskoeffizient von Blei. Quelle: National Institute of Standards and Technology; http://physics.nist.gov/PhysRefData/XrayMassCoef/ cover.html

6.3. ANHANG

6.3.3

73

χ2 -Verteilung f 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

χ21−0.05 7.8 9.5 11.1 12.6 14.1 15.5 16.9 18.3 19.7 21.0 22.4 23.7 25.0 26.3

f 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

χ21−0.05 27.6 28.9 30.1 31.4 32.7 33.9 35.2 36.4 37.7 38.9 40.1 41.3 42.6 43.8

Tabelle 6.1: χ2 -Verteilung

6.3.4

Einheiten der Radioaktivit¨ at und des Strahlenschutzes

Aktivit¨ at Unter der Aktivit¨ at A eines radioaktiven Stoffes versteht man die Anzahl der Zerf¨alle pro Zeiteinheit. SI-Einheit der Aktivit¨ at: 1 Becquerel = 1 Bq = 1 Zerfall/s. Veraltete Einheit: 1 Curie = 1 Ci = 3.7 × 1010 Bq Absorbierte Dosis Die absorbierte Dosis (Energiedosis) D gibt die in einem Masseelement dm = ρ dV absorbierte dE Energie dE an. Somit ist D = dm . Die Definition dieser Gr¨osse ist unabh¨angig von der Art der Wechselwirkung der Strahlung und dem Absorbermaterial. SI-Einheit der Dosis: 1 Gray = 1 Gy = 1 J/kg. Veraltete Einheit: 1 Rad (Radiation absorbed dose) = 1 rd = 0.01 GY Ionendosis Unter der Ionendosis J versteht man die pro kg trockene Luft erzeugte Ladungsmenge eines Vorzeichens. SI-Einheit der Ionendosis: 1 Coulomb/kg = 1 C/kg. Veraltete Einheit: 1 R¨ ontgen = 1 R = 2.58 × 10−4 C/kg.

¨ 6. RADIOAKTIVITAT

74 ¨ Aquivalentdosis

¨ Die Aquivalentdosis H in einem Gewebe oder Organ T ist die Energiedosis in diesem Gewebe oder Organ, multipliziert mit dem Strahlungs-Wichtungsfaktor wR f¨ ur die betreffende Strahlungsart (H = wR D). Strahlungen mit hoher Ionisationsdichte (α-Teilchen, Sekund¨arprotonen bei Neutronenbestrahlung) haben bei gleicher absorbierter Dosis eine st¨arkere biologische Wirkung als die Strahlungen mit niedriger Ionisationsdichte (R¨ontgen, γ, β). Grosse Ionisationsdichte zerst¨ ort das durchstrahlte Material sehr stark. SI-Einheit der Aequivalentdosis: 1 Sievert = 1 Sv. Veraltete Einheit: 1 rem (radiation equivalent for man) = 0.01 Sv. Einige Beispiele f¨ ur den Strahlungs-Wichtungsfaktor wR : R¨ ontgen, γ, M¨ uonen, β Protonen Neutronen α, Spaltprodukte, schwere Kerne

1 10 5 - 15 20

(In der Literatur sind z.T. leicht voneinander abweichende Werte zu finden.) Effektive Dosis Die einzelnen Organe und Gewebe des Menschen haben verschiedene Strahlungsempfindlichkeit. Den einzelnen Organen werden daher Gewebe-Wichtungsfaktoren wT zugeteilt. Die Sum¨ ¨ me aller so gewichteten Aquivalentdosen ist die effektive Dosis E (fr¨ uher effektive Aquivalentdosis). X X wR DR (6.7) E= wT Organ T

6.3.5

Strahlungsart R

Durch Strahlung verursachte biologische Sch¨ aden

¨ a) Genetische Sch¨ aden: Ver¨ anderung der Gene in den Erbzellen = Mutation (Anderung der Reihenfolge der Basen in der Nukleins¨aure). b) Somatische Sch¨ aden: z.B. Kataraktbildung im Auge; R¨otung der Haut (sehr schwer heilend). Zellen sind besonders empfindlich w¨ahrend der Teilung (Foetus). Biologische Wirkung einer einmaligen Ganzk¨orperbestrahlung (R¨ontgenstrahlen): < 0, 25 Sv 1 Sv > 5 Sv

6.3.6

keine akuten Strahlensch¨aden Strahlenkrankheit letal (t¨odlich) in fast allen F¨allen

Strahlenschutz und natu ¨ rliche Strahlenbelastung

Vorschriften betreffend Strahlenschutz findet man in der Strahlenschutzverordnung 1994 des Bundes (http://www.admin.ch/ch/d/sr/c814 501.html). Von den folgenden Grenzwerten ausgenommen sind die nat¨ urlichen Dosisbeitr¨age und die Anwendungen ionisierender Strahlung in der Medizin; Radon ist ebenfalls nat¨ urlichen Ursprunges. • f¨ ur beruflich strahlenexponierte Personen gilt: – 20 mSv pro Jahr effektive Dosis darf nicht u ¨berschritten werden;

6.3. ANHANG

75

¨ – die Grenzwerte der Aquivalentdosis sind 150 mSv pro Jahr f¨ ur die Augenlinse und 500 mSv pro Jahr f¨ ur Haut, H¨ande und F¨ usse. – besondere Regelungen gelten f¨ ur junge Personen und Frauen. • f¨ ur nichtberuflich strahlenexponierte Personen gilt der Grenzwert f¨ ur die effektive Dosis von 1 mSv pro Jahr. In Tabelle 6.2 ist die durchschnittliche Strahlenbelastung der Bev¨olkerung in der Schweiz f¨ ur das Jahr 1997 zusammengestellt (aus: Umweltradioaktivit¨at und Strahlendosen in der Schweiz, Bundesamt f¨ ur Gesundheit, 1997). Beim Vergleich zwischen den medizinisch bedingten und den nat¨ urlichen Strahlenbelastungen muss ber¨ ucksichtigt werden, dass in der Medizin wesentlich h¨ohere Dosisleistungen zur Anwendung kommen, so dass deren Wirksamkeit im Vergleich zur Wirkung der nat¨ urlichen Strahlung gr¨ osser sein kann.

Effektive Dosis [mSv/yr] Natu ¨ rliche Quellen externe Strahlung (terrestrische und kosmische Strahlung Radon und Folgeprodukte Nahrung (v.a. 40 K) Total Ku ¨ nstliche Quellen R¨ontgendiagnostik Nuklearmedizin Leuchtziffern, TV, Rauchen beruflich Strahlenexponierte Nuklearindustrie, KKW, Tschernobyl, Kernwaffentests Durchschnittliche Gesamtdosis

Schwankungsbereich [mSv/yr]

0.9

0.5 - 2

1.6 0.4 2.9

0.3 - > 20 0.2 - 0.5

1 0.04 0.1 20 0.2

4

Tabelle 6.2: Nat¨ urliche und k¨ unstliche radioaktive Quellen.

76

¨ 6. RADIOAKTIVITAT

6.3. ANHANG

77

Kapitel 7

Elektronik I: Passive Schaltungen

7.1. EINLEITUNG

7.1

81

Einleitung

In diesem Praktikumsversuch sollen die Grundkenntnisse von passiven elektronischen Schaltungen erarbeitet werden. Ziel ist es, mit Widerst¨anden, Kondensatoren und Spulen vertraut zu werden und einfache Schaltungen verstehen zu lernen. Im weiteren soll die Handhabung von modernen Speicheroszilloskopen und Frequenzgeneratoren erlernt werden. Das zweite Elektronikpraktikum wird auf den hier erarbeiteten Kenntnissen aufbauen.

7.2

Theorie

¨ Der Theorieteil ist vor dem Praktikumsnachmittag zu lesen und die darin gestellten Ubungen zu l¨osen.

7.2.1

Der elektrische Widerstand

Wird u ¨ber einen Leiter eine zeitlich konstante Spannung U angelegt, dann fliesst im Leiter der Strom I. Der elektrische Widerstand R des Leiters wird dann definiert durch: R = U/I. Im allgemeinen Fall ist der elektrische Widerstand eines Leiters abh¨angig vom Strom, der durch ihn fliesst. Man kann dann auch den differentiellen Widerstand r = ∂U/∂I angeben. Ist ein Widerstand in einem Gleichstromnetzwerk stromunabh¨angig, dann heisst R Ohm’ scher Widerstand und es gilt das Gesetz von Ohm: U = RI, wo R eine Konstante ist. Metallische Leiter sind bei konstant gehaltener Temperatur in guter N¨aherung Ohm’ sche Widerst¨ande.

7.2.2

Der Kondensator

Ein Kondensator ist ein Schaltelement, das sich durch die Eigenschaft auszeichnet, elektrische Ladung zu speichern. Dieses Speicherverm¨ogen nennt man Kapazit¨at C des Kondensators. Sie charakterisiert den Kondensator vollst¨andig und wird folgendermassen definiert: C=

Q , U

[C] = F = Farad

(7.1)

Q ist die gespeicherte Ladung und U ist die Spannung u ¨ber dem Kondensator. In der Elektrotechnik ist es u angige Gr¨ossen mit kleinen Buchstaben und zeitlich konstante ¨blich, zeitabh¨ Gr¨ossen mit grossen Buchstaben zu bezeichnen. Somit kann die Ladung des Kondensators durch den in ihm fliessenden Strom ausgedr¨ uckt werden: q(t) =

Z

t

i(t′ )dt′ ,

[q(t)] = C = Coulomb

(7.2)

0

Gleichung (7.2) beinhaltet die Randbedingung, dass der Kondensator zur Zeit t = 0 ungeladen ist. Mit Gleichung (7.1) ergibt sich somit f¨ ur die Spannung u ¨ber dem Kondensator q(t) 1 u(t) = = C C

Z

t

i(t′ )dt′ ,

[u(t)] = V

(7.3)

0

und damit u(t) ˙ =

1 i(t) C

(7.4)

82

7. ELEKTRONIK I: PASSIVE SCHALTUNGEN

In einem Kondensator fliesst also nur dann ein Strom, wenn sich die angelegte Spannung ¨andert. Dies bringt uns in das Gebiet des Wechselstroms. Es stellt sich auch die Frage, wie der elektrische Widerstand eines Kondensators zu definieren sei. Gleichung (7.4) l¨asst uns vermuten, dass der Widerstand umso kleiner wird, je st¨arker sich die Spannung zeitlich ¨andert, doch dies wird sp¨ ater noch ausf¨ uhrlicher behandelt werden. Mit Gleichung (7.4) kann auch die im Kondensator gespeicherte Energie berechnet werden: WC =

CU 2 , 2

[WC ] = J

(7.5)

¨ Ubung 1: Leite Gleichung (7.5) her.

7.2.3

Die Spule

Beginnt ein Strom durch eine Spule zu fliessen, wird ein Magnetfeld aufgebaut und somit Energie gespeichert. Wird der Strom nun verkleinert und somit das Magnetfeld abgebaut, wird die gespeicherte Energie wieder frei. Dies geschieht, indem eine Spannung induziert wird, die den Strom aufrecht zu erhalten versucht. Diese induzierte Spannung ist proportional zur Strom¨anderung: d ˙ u(t) = L i(t) = Li(t) (7.6) dt Der Proportionalit¨ atsfaktor L heisst Induktivit¨at der Spule und wird in der Einheit H (= Henry) angegeben. Eine Spule gibt dem Strom also eine gewisse Tr¨agheit“. Die gespeicherte ” Energie ist proportional zum Quadrat des Stromes, der durch die Spule fliesst: WL =

7.2.4

LI 2 , 2

[WL ] = J

(7.7)

Komplexe Darstellung von Wechselspannungen und -str¨ omen

Zur Darstellung zeitabh¨ angiger Gr¨ossen verwenden wir Kleinbuchstaben und f¨ ur zeitunabh¨angige Gr¨ ossen Grossbuchstaben. Dies entspricht der in der Elektronik allgemein u ¨blichen Notation. Wechselspannungen und -str¨ome werden meist durch Sinusfunktionen dargestellt: ˆ sin(ωt + φ) u(t) = U

bzw.

i(t) = Iˆ sin(ωt + φ)

(7.8)

mit ˆ , Iˆ = Scheitelwerte U ω = Kreisfrequenz φ = Phase Diese Sinusfunktionen k¨ onnen nun durch komplexwertige Exponentialfunktionen ersetzt werden, womit sich diese Schaltungen sehr einfach berechnen lassen: ˆ ej(ωt+φ) u(t) = U ˆ ejφ ejωt = U ˆ ejωt = U ˆ sin(ωt) ˆ cos(ωt) + j U = U

(7.9)

7.2. THEORIE

83

In der Elektronik wird j an Stelle des in der Mathematik gebr¨auchlichen i als Symbol f¨ ur die imagin¨ are Einheit verwendet, um Verwechslungen mit der Stromst¨arke vorzubeugen. Der ¨ Ubersicht halber sind in diesem Skriptum komplexwertige Variablen unterstrichen dargestellt. ˆ einbezogen werden, wobei gilt: Die Phase φ kann also in die komplexwertige Amplitude U ˆ | = |U ˆ ejφ | = U ˆ |U

(7.10)

Die Einschr¨ ankung auf sinusf¨ ormige Str¨ome und Spannungen ist keine wirkliche Einschr¨ankung, denn eine beliebige periodische Funktion kann in ihre Fourierkomponenten entwickelt werden, welche dann einzeln untersucht werden k¨onnen. Nichtperiodische Funktionen werden mittels Fouriertransformation in ein Frequenzspektrum zerlegt und weiterbearbeitet. Mit der komplexen Darstellung erh¨ alt man auf einfache Art die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom bei Schaltungen, die Kapazit¨ aten und Induktivit¨aten enthalten, wie in den n¨achsten Abschnitten gezeigt wird. Zudem l¨ asst sich der elektrische Widerstand, wie er in Abschnitt 7.2.1 definiert wurde, direkt f¨ ur Wechselstr¨ome verallgemeinern.

7.2.5

Rechenregeln fu ¨ r komplexe Zahlen

Bevor wir nun daran gehen einfache Schaltungsnetzwerke zu berechnen, wollen wir die wichtigsten Rechenregeln f¨ ur komplexe Zahlen wiederholen. Die komplexe Zahl Z ist in diesem Abschnitt nicht unterstrichen. Gegeben ist die komplexe Zahl Z = R + jX, dann heisst Z

=

R − jX

konjugiert Komplexes,

R

=

Re(Z)

=

X

=

=

tan φ

=

|Z|

=

Im(Z) Im(Z) Re(Z) √ R2 + X 2

|Z| cos φ |Z| sin φ

Realteil, Imagin¨arteil, Phasenwinkel und Betrag von Z.

Weiter gilt: |Z|2

ZZ

=

1 j

=

Z1 + Z2

=

Z1 + Z2

Z1 · Z2

=

Z1 · Z2

|Z1 Z2 | Z1 Z2

= =

−j

|Z1 ||Z2 |

gilt nicht f¨ ur die Addition

|Z1 | |Z2 |

¨ Ubung 2: Beweise die letzte Gleichung. Br¨ uche komplexer Zahlen erweitert man oft mit dem konjugiert Komplexen des Nenners, um

84

7. ELEKTRONIK I: PASSIVE SCHALTUNGEN

reelwertige Nenner zu erhalten, was weitere Berechnungen vereinfacht: Z1 Z2

= = =

7.2.6

R1 + jX1 R2 + jX2 (R1 + jX1 )(R2 − jX2 ) (R2 + jX2 )(R2 − jX2 ) R1 R2 + X1 X2 + j(−R1 X2 + R2 X1 ) (R2 2 + X2 2 )

= R + jX

Kapazit¨ at im Wechselstromkreis

Als erstes Beispiel berechnen wir in komplexer Darstellung den Strom, der in einem Kondensator fliesst, wenn eine Wechselspannung ˆ ejωt u u(t) = U ¨ber dem Kondensator anliegt. Aus Gleichung (7.4) erhalten wir:

d u(t) dt ˆ ejωt = Cjω U

C

u(t)

Abbildung 7.1: Kondensator

i(t) = C

=

ˆ jωt , Ie

wobei

ˆ jωC Iˆ = U

= jωCu(t) π ˆ ejωt = ωCej 2 U π

ˆ ej(ωt+ 2 ) = ωC U

(7.11)

π

Der Faktor j = ej 2 bedeutet offenbar eine Phasenverschiebung des Stromes um + π2 (= 90◦ ) gegen¨ uber der Spannung, d.h. der Strom eilt der Spannung um π2 voraus.

7.2.7

Induktivit¨ at im Wechselstromkreis

Auf analoge Weise erhalten wir die Spannung an einer Indkutivit¨at, durch die ein Strom ˆ jωt fliesst. Aus Gleichung (7.6) ergibt sich: i = Ie d i(t) dt ˆ jωt = Ljω Ie

u(t) = L

= jωLi(t) ˆ ejωt , = U

wobei

ˆ = IjωL ˆ U

(7.12)

7.2. THEORIE

85

ˆ ejωt wird Bei vorgegebener Spannung u(t) = U i(t) = =

u(t) jωL u(t) −j π e 2 ωL

(7.13)

π

Der Faktor 1j = e−j 2 bedeutet eine Phasenverschiebung des Stromes um − π2 (= −90◦ ) gegen¨ uber der Spannung, d.h. der Strom folgt der Spannung mit einem Phasenwinkel von π2 nach.

7.2.8

Widerstand im Wechselstromkreis

Analog zum Ohm’ schen Widerstand im Gleichstromkreis kann der Wechselstromwiderstand im Wechselstromkreis definiert werden: Z=

u(t) , i(t)

[Z] = Ω = Ohm.

(7.14)

Z ist im allgemeinen Fall komplexwertig und wird in der Elektronik Impedanz genannt. Die oben behandelten Bauelemente haben folgende Impedanzen, wie durch Einsetzen der Spannungen und Stromst¨ arken von Gleichung (7.11) bzw. Gleichung (7.12) in Gleichung (7.14) leicht nachgerechnet werden kann: ZR

=

R

ohmscher Widerstand

ZC

=

1 jωC

kapazitiver Widerstand

ZL

=

jωL

induktiver Widerstand

Die Impedanzen im Wechselstromkreis k¨onnen nun genau gleich behandelt werden, wie Widerst¨ande im Gleichstromkreis, d.h. serielle Impedanzen werden einfach addiert, parallele Impedanzen invers addiert. ¨ Ubung 3: Berechne die Impedanzen zwischen A und B, B und C und A und C.

R C A

R

L

C

B

L

C

86

7.2.9

7. ELEKTRONIK I: PASSIVE SCHALTUNGEN

Verst¨ arkung im Wechselstromkreis

Abbildung 7.2 zeigt das Schaltbild eines Vierpols. Ein Vierpol ist eine Schaltung, bei der an zwei Polen eine Eingangsspannung uin angelegt werden kann und an den anderen zwei Polen eine Ausgangsspannung uout abgegriffen werden kann.

u in

u out

Abbildung 7.2: Vierpol

F¨ ur einen Vierpol definieren wir die komplexe Verst¨arkung wie folgt: V

= = =

uout (t) uin (t) ˆ Uout ej(ωt+φout ) ˆin ej(ωt+φin ) U ˆout U ej(φout −φin ) ˆin U

= |V |ej(φout −φin ) = |V |ejφ

(7.15)

φ ist die Phasenverschiebung zwischen Eingangs- und Ausgangssignal. Eilt die Ausgangsspannung der Eingangsspannung voraus, ist φ positiv. F¨ ur den Betrag der Verst¨arkung schreiben wir einfach |V | = V . In der Elektrotechnik wird die Verst¨arkung fast ausschliesslich in logarithmischer Gr¨ osse angegeben. Statt V schreiben wir dann V ∗ : ˆ Uin

V ∗ = 20 log Uˆout = 20 log V

[V ∗ ] = dB = dezibel

(7.16)

Bei passiven Schaltungen gilt immer Uout < Uin , d.h. die Verst¨arkung V ∗ ist immer negativ. Darum wird manchmal die D¨ ampfung A∗ (engl.: attenuation) definiert, die dann positiv ist: A∗ = −20 log

ˆout U = −20 log V, ˆin U

[A∗ ] = dB

(7.17)

Wir werden sehen, dass die Verst¨ arkung einer √ komplexen Schaltung frequenzabh¨angig ist. Die Frequenz, bei der die Verst¨ arkung V = 1/ 2 betr¨agt, heisst Grenzfrequenz νg . Bei der Grenzfrequenz ist die Leistung des Ausgangs auf die H¨alfte abgesunken, da die Leistung proportional zu U 2 ist. Weiterhin betr¨agt die Verst¨arkung bei der Grenzfrequenz in der Dezibel–Skala V ∗ ≈ −3dB oder die D¨ampfung A∗ ≈ 3dB.

7.2.10

Anwendung auf Grundschaltungen

Der Tiefpass Das Schaltbild eines Tiefpasses ist in Abbildung 7.3 widergegeben. Der Tiefpass u ¨bertr¨agt tiefe Frequenzen unver¨ andert. F¨ ur hohe Frequenzen hingegen, wird der Kondensator leitend und die Ausgangsspannung entsprechend abgeschw¨acht. Darum werden hohe Frequenzen ged¨ampft und phasenverschoben. Der Tiefpass hat auch eine integrierende Eigenschaft, wie

7.2. THEORIE

87

i(t) R u in(t)

uout(t)

C Abbildung 7.3: Einfachster Tiefpass

auch aus Gleichung (7.3) zu erkennen ist. Dies ist jedoch nicht mit dem Integrator (Operationsverst¨ arkerschaltung) zu verwechseln. Wir wollen nun die D¨ampfung dieses Tiefpasses berechnen. Da Widerstand und Kondensator in Serie geschaltet sind, ist der Strom im Stromkreis (wenn kein Strom u ¨ber den Ausgang abfliesst): uin (t) uin (t) = Z tot ZR + ZC Mit diesem Strom wird die Spannung u ¨ber dem Kondensator berechnet: i(t) =

uout (t) = Z C i(t)

(7.18)

(7.19)

Die Verst¨ arkung wird also V

uout (t) uin (t) Z C i(t) (Z C + Z R )i(t) ZC (Z C + Z R )

= = =

(Spannungsteilergesetz)

1 jωC

=



1 jωC

+R



1 1 + jωRC

=

=

1 − jωRC 1 + (ωRC)2

(7.20)

Daraus ergeben sich Betrag und Phase der Verst¨arkung: V =

√

1 1+ω 2 R2 C 2

bzw.

φ = arctan(−ωRC)

(7.21)

Beide Gr¨ ossen sind frequenzabh¨ angig. Die Grenzkreisfrequenz erhalten wir aus 1 1 Vg = √ = p 2 1 + ωg 2 R 2 C 2

⇒

ωg =

1 RC

= 2πνg

(7.22)

Die D¨ampfung f¨ ur ω < ωg ist vernachl¨assigbar. F¨ ur ω > ωg steigt die D¨ampfung rasch an. Somit kann man mit einem Tiefpass unerw¨ unschte Frequenzen oberhalb der Grenzfrequenz d¨ampfen, man spricht von einem Filter. Die Phasenverschiebung bei der Grenzfrequenz ist φg = arctan(−ωg RC) = −45◦

(7.23)

88

7. ELEKTRONIK I: PASSIVE SCHALTUNGEN

log( -2

ν/νg)

= log(

-1

0

ω /ωg) 1

2

0

0 -3

-10

] ) V( g ol

B

-20

-1

*

d[ V

-30

νg -2

-40

ο

ϕ[ ]

0

ϕ [π]

0.0

-45

-0.5

-90 1

10

100

1000

ν [kHz] ur RC = 10−5 s. Die obere Kurve zeigt den Frequenzgang Abbildung 7.4: Bode–Diagramm des Tiefpasses f¨ des Betrages der Verst¨ arkung, die untere Kurve den der Phase. Die Grenzfrequenz ist ebenfalls eingezeichnet. Beachte ausserdem die Beschriftungen der logarithmischen Achsen. Im Falle von log(V ) besteht kein Problem, da V eine dimensionslose Gr¨ osse ist. Da man eine dimensionsbehaftete Gr¨ osse nicht logarithmieren sollte, wurde bei der oberen x–Achse durch eine Einheit der entsprechenden Dimension dividiert und dann erst logarithmiert. Bei der unteren x–Achse wurde dieses Problem umgangen, indem nicht die aufzutragenden Wert logarithmiert wurden, sondern nur die Achse logarithmisch eingeteilt wurde. Bei der Interpretation der unteren y–Achse ist eine gewisse Vorsicht geboten: der Minimalwert bei –0.5 bedeutet −0.5 · π = −90◦ .

7.2. THEORIE

89

D¨ampfung und Phasenverschiebung des RC-Tiefpasses sind in Abbildung 7.4 in einem sogenannten Bode–Diagramm dargestellt. Frequenz und D¨ampfung sind darin, wie in der Elektronik u u r ω < ωg ¨blich, logarithmisch dargestellt. Die D¨ampfung ist, wie bereits erw¨ahnt, f¨ klein, insbesondere da die menschlichen Sinne logarithmisch wahrnehmen. Die Asymptote f¨ ur hohe Frequenzen kann mit Gleichung 7.21 bestimmt werden.

V V∗

1 , ωRC = 20 log(V ) ≈ −20 log(ωRC),

≈

ω > ωg ω > ωg

(7.24)

Einsetzen der Grenzkreisfrequenz nach Gleichung 7.22 ergibt:

V ∼ = −20 log ∗



ω ωg



= −20 log(ω) + 20 log(ωg ),

ω > ωg

(7.25)

Die Steigung dieser Asymptote erhalten wir durch Differenzieren von V ∗ nach log(ω):

m=

∂V ∗ = −20 dB/Dekade ∂ log(ω)

(7.26)

Die Einheit dB/Dekade kommt zustande, weil die Vergr¨osserung des Nenners um eine Einheit einer Verzehnfachung (Dekade) der Kreisfrequenz entspricht:

log(ω) + 1 = log(10ω)

(7.27)

Eine Einheit der oberen (linearen) x–Achse, ist also gleich einer Frequenzdekade“. Filter, wel” che heutzutage in der Elektronik verwendet werden, bestehen aus komplizierten Schaltungen und haben Flankensteilheiten von 80–120dB/Dekade. ¨ Ubung 4: Wieviele dB/Oktave sind −20dB/Dekade (Oktave = Frequenzverdopplung)?

90

7. ELEKTRONIK I: PASSIVE SCHALTUNGEN

Der Hochpass Der Hochpass u agt hohe ¨bertr¨ Frequenzen unver¨ andert, hingegen werden tiefe Frequenzen ged¨ampft und phasenverschoben. Die Schaltung ist in Abbildung 7.5 widergegeben. Der Hochpass wird wegen seiner differenzierenden Eigenschaften auch Differenzierglied genannt.

C u in(t)

R

uout(t)

Abbildung 7.5: Einfachster Hochpass

Die differenzierenden Eigenschaften sind Bode–Diagramm des Tiefpasses f¨ ur RC = 10−5 s aus Gleichung (7.4) ersichtlich: die Ausgangsspannung wird u ¨ber einen Ohm’schen Widerstand abgegriffen und ist darum im Grunde eine Messung des Stromes, und dieser Strom ist nach Gleichung (7.4) proportional zum Differential der Spannung u ¨ber dem Kondensator. Die in der Praxis tats¨ achlich verwendeten Differenzierer basieren allerdings auf Verst¨arkerschaltungen. Wie beim Tiefpass berechnen wir die Verst¨arkung aus der Spannungsteilerformel:

V

= = =

=

uout (t) uin (t) ZR (Z c + Z R ) R   1 jωC + R 1

1−

=

j ωRC

1+ 1+

j ωRC
2 1 ωRC

=

ωRC(ωRC + j) (ωRC)2 + 1

(7.28)

1 ωRC

(7.29)

Daraus ergibt sich der Betrag der Verst¨arkung und die Phase:

V =

1 q

1+

1 ω 2 R2 C 2

φ = arctan




Bei hohen Frequenzen strebt V gegen 1. Bei tiefen Frequenzen wird die Verst¨arkung proportional zur Frequenz: V ≈ ωRC. F¨ ur die Grenzkreisfrequenz erhalten wird wiederum 1 1 Vg = √ = q 2 1 + ωg 2 R1 2 C 2 wie beim Tiefpass.

⇒

ωg =

1 RC

= 2πνg

(7.30)

7.2. THEORIE

91

ωRC 0.01

=

ν/νg

0.1

=

1

ω /ωg 10

100

0

0 -3 -10

] ) V(

-20

-1

g ol

B *

d[ V

-30

νg -2

-40

90

ϕ [π]

0.5

45

0.0

] [

ϕ

o

0 1

10

100

1000

ν [kHz] Abbildung 7.6: Bode–Diagramm des Hochpasses f¨ ur RC = 10−5 s. Die beiden Kurven zeigen wiederum Betrag und Phase der Verst¨ arkung. Die Grenzfrequenz ist auch eingezeichnet.

92

7. ELEKTRONIK I: PASSIVE SCHALTUNGEN

Die Phasenverschiebung bei der Grenzfrequenz ist φg = arctan



1 ωg RC



= 45◦

(7.31)

Der Frequenzgang der D¨ ampfung und der Phasenverschiebung eines RC-Hochpasses sind in Abbildung 7.6 dargestellt. Die Asymptote f¨ ur tiefe Frequenzen ist   ω ∗ ∼ = 20 log(ω) − 20 log(ωg ) (7.32) lim V = 20 log(ωRC) = 20 log ω→0 ωg Die Steigung dieser Asymptote erhalten wir wiederum durch Differenzieren: m=

∂V ∗ = 20 dB/Dekade ∂ log(ω)

(7.33)

Man erkennt in Abbildung 7.6, dass unterhalb der Grenzfrequenz die Verst¨arkung mit 20 dB/Dekade zunimmt und danach rasch abflacht. Tiefpass und Hochpass k¨onnen auch mit Spulen statt Kondensatoren realisiert werden. ¨ Ubung 5: Wie k¨ onnte die Schaltung f¨ ur einen Hochpass bzw. Tiefpass mit Spulen realisiert werden? Wie sieht der Phasengang einer solchen Schaltung aus?

Tiefpass aus Spule und Ohm’schem Widerstand

Hochpass aus Spule und Ohm’schem Widerstand

Der Bandpass

A

A’

C1

V

R1 u in(t)

C2

B

R2

uout(t)

B’

Abbildung 7.7: Einfacher Bandpass

Durch passende Reihenschaltung eines Tief- und Hochpasses erhalten wir einen Bandpass, d.h. ein Filter, das sowohl die hohen, als auch die tiefen Frequenzen wegfiltert. Ein m¨oglicher

7.2. THEORIE

93

Bandpass ist in Abbildung 7.7 dargestellt. Um die gegenseitige Beeinflussung von Hoch- und Tiefpass zu vermeiden, wurde ein Entkopplungsverst¨arker mit Verst¨arkung V = 1 zwischengeschaltet. Dies macht auch die Berechnung dieser Schaltung einfacher. Die Gesamtverst¨arkung kann dann einfach als Produkt der Einzelverst¨arkungen des Tiefpasses und des Hochpasses berechnet werden. Bei hohen Frequenzen wird die Impedanz von C1 sehr klein und somit uout kurzgeschlossen. Bei tiefen Frequenzen fliesst kein Strom durch C2 und somit ist die Spannung uout = 0. R1 dient auch als Schutzwiderstand, da sonst bei hohen Frequenzen ¨ uin kurzgeschlossen w¨ urde. Ublicherweise wird in der Elektronik der Kondensator C1 bei ′ ′ A B ohne Zwischenverst¨ arker geschaltet, was Vorteile im Phasengang der Schaltung hat (s. Wien-Robinson Filter, Wien-Robinson Oszillator). Die Berechnung der Verst¨arkung wird dann etwas komplizierter. ¨ Ubung 6: Berechne die komplexe Verst¨arkung, den Betrag der Verst¨arkung und die Phase der Verst¨ arkung des obigen Bandpasses unter der Annahme, dass ein Zwischenverst¨arker vorhanden ist (s. Abbildung 7.7). L¨ osung: F¨ ur die Verst¨ arkung ergibt sich   1 − j ωR C − 1 1 ωR2 C2 1 V = = 2  2 1 (1 + jωR1 C1 )(1 + jωR2 C2 ) R1 C1 1 1+ R + ωR C − 1 1 ωR2 C2 2 C2 1+

R1 C1 R2 C2

(7.34)

Dies ist der L¨ osung der Schaltung ohne Entkopplungsverst¨arker recht a¨hnlich: V =

R1 R2

1 + (1 + jωR1 C1 )(1 +

1 jωR2 C2 )

(7.35)

Aus Gleichung (7.34) erhalten wir f¨ ur den Betrag und die Phase der Verst¨arkung: 1  R1 C1 + ωR1 C1 − 1+ R 2 C2   1 − ω 2 R1 C1 R2 C2 φ = arctan ωR1 C1 + ωR2 C2

V

=

r

2

1 ωR2 C2

ωR2 C2 2 = q 2 2 2 (ω R1 C1 + 1)(ω 2 R2 2 C2 2 + 1) (7.36)

Aus Gleichung (7.36) k¨ onnen wir die Frequenz mit maximaler Verst¨arkung berechnen: ¨ Ubung 7: Berechne aus Gleichung 7.36 die Frequenz ωmax , bei der die Verst¨arkung maximal wird. L¨ osung: ωmax =

√

1 R1 C1 R2 C2

(7.37)

Die Bandbreite B des Bandpasses ist durch die Differenz der Frequenzen, bei denen die Verst¨arkung 3dB unter den Maximalwert gesunken ist, gegeben. Wenn νgH ≪ νgT erf¨ ullt ist

94

7. ELEKTRONIK I: PASSIVE SCHALTUNGEN

Ω = ω /ωmax= ν/νmax 0.01

0.1

1

1

B

5

10

100 0 -3

-3 dB

3

-10

]

2

V

B -20

0.1

d[ * V

5 3

-30

2 0.01

-40

νgT

νgH

90

o 0

0

-0.5

] [

ϕ

ϕ [π]

0.5

-90 1

10

ν [kHz]

100

1000

Abbildung 7.8: Bode–Diagramm des Bandpasses, berechnet mit den Werten R1 = R2 = 1kΩ, C1 = 1nF und C2 = 100nF. Der Bandpass ohne Entkopplungsverst¨ arker (gestrichelte Linie) zeigt eine gr¨ ossere D¨ ampfung, als derjenige mit Entkopplungsverst¨ arker. Aus den Werten der Impedanzen resultieren die Grenzfrequenzen ωgT = 10ωmax und ωgH = 0.1ωmax .

7.2. THEORIE

95

(wie in Abbildung 7.8), sind diese Frequenzen fast genau die Grenzfrequenz von Tief- und Hochpass. Darum betr¨ agt die Bandbreite:   1 1 1 − (7.38) B ≈ νgT − νgH = 2π R1 C1 R2 C2 In Abbildung 7.8 sind Frequenzgang von Betrag und Phase der Verst¨arkung im Bode–Diagramm eingezeichnet. Der Schwingkreis

R u in(t)

L C

uout(t)

Abbildung 7.9: Parallelschwingkreis

Ein geschlossener Stromkreis, der nur eine Kapazit¨at und eine Induktivit¨at enth¨alt, heisst unged¨ampfter Schwingkreis (kein Widerstand in der Schaltung). Wird dieser Schwingkreis angestossen, indem man f¨ ur kurze Zeit eine Spannung anglegt, beginnen Strom und Spannung mit einer charakteristischen Resonanzfrequenz sinusf¨ormig zu schwingen. Strom und Spannung haben dabei eine Phasenverschiebung von 90◦ . Die Energie im Schwingkreis wird dadurch vom Kondensator auf die Spule und wieder zur¨ uck u ¨bertragen. Der Schwingkreis kann aber auch fest mit einer Wechselspannung betrieben werden und verh¨alt sich dann wie eine normale Impedanz (Abbildung 7.9). Der vorgeschaltete Widerstand R sch¨ utzt nur die Stromquelle. Anschaulich ist klar, dass bei sehr hohen Frequenzen der Kondensator leitend und die Impedanz somit null wird. Bei sehr tiefen Frequenzen wird die Spule leitend und die Impedanz wird wieder null. In beiden F¨allen bricht also die Spannung Uout zusammen. Bei mittleren Frequenzen sind aber beide Bauteile schlecht leitend und es kann sich eine Spannung Uout aufbauen. Erstaunlich und vom Gleichstrom her ungew¨ohnlich ist aber, dass sich die beiden parallel geschalteten endlichen Impedanzen zu einer unendlichen Gesamtimpedanz addieren“ k¨ onnen, wie die folgende Rechnung zeigt: ” ¨ Ubung 8: Berechne die Impedanz eines unged¨ampften Parallelschwingkreises. Bei welcher Frequenz (Resonanzfrequenz) wird die Impedanz unendlich? L¨ osung: ωR =

√1 LC

(7.39)

Die Verst¨ arkung der Schaltung von Abbildung 7.9 kann wieder mit der Spannungsteilerformel berechnet werden: ¨ Ubung 9: Berechne den Frequenzgang der Verst¨arkung, des Betrags und der Phase der Verst¨arkung.

96

7. ELEKTRONIK I: PASSIVE SCHALTUNGEN

Ω = ω /ωR= ν/νR 0.01

0.1

1

10

100 0

1

-3

5 3

]

2

V

B -20

0.1

d[ * V

5 3 2 -40

0.01 2

R C/L=0.01

90

2

R C/L=1

2

R C/L=100

o

0

0

-0.5 0.01

] [

ϕ

ϕ [π]

0.5

-90 0.1

1

10

100

Ω = ω /ωR= ν/νR Abbildung 7.10: Bode–Diagramm des Parallelschwingkreises. Die drei Kurven entsprechen den Werten f¨ ur R2 C/L = 0.01, R2 C/L = 1 und R2 C/L = 100.

7.2. THEORIE

97

L¨ osung:

V

=

1 jR ωC −

1 ωL




=

+1

1 q
1 2 1 + R2 ωC − ωL    1 − ωC φ = arctan R ωL

|V | =

=

=

1 ωL


− ωC
1 2 1 + R2 ωC − ωL 1 q 2 2 1 + RωC2 (ω 2 − ωR 2 )2  
RC 2 2 ω − ωR − arctan ω 1 + jR

(7.40)

¨ Ubung 10: Transformiere die Funktion 7.40 in den ω/ωR –Raum, damit die Funktionen in einem Bode–Diagramm mit nur noch einer verallgemeinerten“ x–Achse ω/ωR (Abbildung ” 7.10) eingezeichnet werden k¨ onnen. Lo ¨sung:

|V | =

1 s

1+


ωR 2 R2 C L ω

φ = arctan −R

r



C ωR L ω

ω ωR

2



2 −1

ω ωR

2

!!

−1

(7.41)

Betrag und Phase der Verst¨ arkung sind im Bode–Diagramm (Abbildung 7.10) eingezeichnet. Aus Gleichung 7.41 ist ersichtlich, dass der Faktor R2 C/L die Kurvenform im Bode– Diagramm vollst¨ andig bestimmt. Im Bode–Diagramm sind drei Kurven f¨ ur verschiedene Wer2 te von R C/L eingezeichnet.

98

7.3

7. ELEKTRONIK I: PASSIVE SCHALTUNGEN

Versuchsaufbau und -aufgaben

S¨amtliches Material, das wir f¨ ur die Versuchsaufgaben verwenden, ist in Abbildung 7.11 zusammengestellt. Die passiven Schaltungen, um die es in diesen Experimenten geht, werden auf dem Steckbrett (Bildmitte in Abb. 7.11) zusammengesetzt und vermessen. Learning by ” doing“ liegt heutzutage im Trend, darum werden der Frequenzgenerator (FG) und das digitale Speicheroszilloskop (DSO) hier nur kurz beschrieben. Die genaue Funktionsweise wird quasi nebenbei beim L¨ osen der praktischen Aufgaben erlernt. Hinweis: Bringt einen Memorystick mit ins Praktikum, damit ihr eure Daten abspeichern und mit nach Hause nehmen k¨ onnt. Es werden keine Memorysticks vom Praktikum zur Verf¨ ugung gestellt!

Abbildung 7.11: Materialzusammenstellung f¨ ur den Elektronik-Versuch

7.3.1

Der Frequenzgenerator (FG)

Der digitale Frequenzgenerator liefert uns die Wechselspannung uin (t). Die Amplitude und die Frequenz k¨ onnen u ¨ber ein Tastenfeld digital eingegeben werden. Der FG liefert verschiedene Signalformen, wie z.B. Rechtecksignale, Dreiecksignale u.a., wir werden in erster Linie Sinussignale verwenden. Als Besonderheit erlaubt uns dieser FG Frequenzdurchl¨aufe (frequency

7.3. VERSUCHSAUFBAU UND -AUFGABEN

99

sweeps), d.h. es kann ein Frequenzbereich in einer w¨ahlbaren Geschwindigkeit durchlaufen werden.

7.3.2

Das digitale Speicheroszilloskop (DSO)

Das DSO (Tektronix DPO2024B) dient zum Vermessen von Spannungen, insbesondere k¨onnen zeitliche Verl¨ aufe von Spannungen untersucht und digital verarbeitet/gespeichert werden. DSOs k¨onnen meist zwei bis vier Spannungen gleichzeitig aufzeichnen. In unserem Fall sind das uin (t) und uout (t). Das von uns verwendete DSO kann zudem einen Screenshot vom Bildschirm direkt ausdrucken, den Screenshot auf einen Memorystick speichern oder auch die Kurven als Datei abspeichern.

7.3.3

Praktische Aufgaben zum Tiefpass

Bau eines Tiefpasses

R= 1k Ω FG

u in(t)

uout(t) C= 10nF

X Y

KO

• Baue auf dem Steckbrett einen Tiefpass nach oben stehendem Schaltplan auf. • Schliess den FG und das DSO an. Beachte, dass die Abschirmungen der Koaxkabel u ¨ber das DSO bzw. FG intern geerdet werden. Kontrolliere darum vor dem Anschalten, dass die Spannung des FG (also die Potentialseite oder Seele des Koaxkabels) nicht durch eine Abschirmung des DSO geerdet bzw. kurzgeschlossen wird. Vermessen der Grenzfrequenz • Berechne die Grenzfrequenz dieses Tiefpasses nach Gleichung 7.22: Ergebnis: νg = • Erzeuge mit dem FG eine Sinusspannung mit einer Amplitude von 3V und der oben berechneten Grenzfrequenz. Stell die Eingangs- und Ausgangsspannung auf dem DSO dar und erlerne dabei die Funktionsweise des DSO:

100

7. ELEKTRONIK I: PASSIVE SCHALTUNGEN

FG und DSO initialisieren FG initialisieren Grenzfrequenz eingeben Dimension der Grenzfrequenz Speichern Amplitudeneingabe w¨ ahlen Amplitude 3 Vpp eingeben (= ±3V) CH1 & CH2 anzeigen Coupling f¨ ur CH1 & CH2 einstellen Probe Setup f¨ ur CH1 & CH2 einstellen DSO initialisieren (Autosetup) Zeitachse auf 20µs einstellen Skala der Eingangsspannung verstellen ebenso f¨ ur die Ausgangspannung Kurven vertikal verschieben auf das Eingangssignal triggern

Ger¨at FG

DSO

Tastenfeld DATA ENTRY DATA ENTRY DATA ENTRY DATA ENTRY DISPLAY DATA ENTRY Vertical Display Display Horizontal Vertical Vertical Vertical Trigger Display Display

Tasten SHIFT INIT 15.9 ∆ (kHz) SHIFT STORE AMPL 3 ∆ (Vpp) Menu 1 & 2 Coupling=DC 1X Autoset Scale=20µs Scale 1=1V Scale 2=1V Position 1 & 2 Menu Source=1 Mode=Normal

• Vermiss die D¨ ampfung bei der Grenzfrequenz, indem du mit Hilfe des Cursors die Amplituden der Eingangs- und Ausgangsspannung bestimmen: Kurven ausmessen erneut die Grundeinstellung w¨ahlen Kurven auf gleicher Skala darstellen Zeitachse geeignet w¨ ahlen Kurven geeignet positionieren Cursor einschalten (hor. & vert.) horizontaler Cursor w¨ ahlen Eingangsspannung messen Kanal wechseln Ausgangsspannung messen Uout von Spitze zu Spitze messen

Ger¨at DSO

Tastenfeld Vertical Vertical Vertical Vertical Display

Tasten Autoset CH1=CH2=1V Horizontal=20µs Position 1 & 2 2x Cursors Select Multipurpose a & b Menu 2 Multipurpose a & b ∆U

Achtung: Die Kurven sollten f¨ ur die Messungen m¨oglichst Bildschirmf¨ ullend dargestellt werden, da erstens der Cursor so genauer positioniert werden kann und zweitens der Fehler der Analog-Digital-Wandlung kleiner wird. Die vertikale Aufl¨osung ist prim¨ ar durch die Aufl¨ osung des ADCs gegeben. Das in diesem Praktikum verwendete DSO arbeitet mit einem 8bit ADC.

Hinweis: DSOs bieten auch die M¨oglichkeit Messprogramme zu verwenden. Im Menu hinter der Taste Measure“ ist eine Auswahl solcher Programme zu finden, die automa” tisch Gr¨ ossen wie z.B. Amplitude, Frequenz und Peakbreite bestimmen k¨onnen.

7.3. VERSUCHSAUFBAU UND -AUFGABEN

101

• Berechne die Verst¨ arkung nach Gleichung 7.15, und vergleiche ihr Resultat mit dem theoretischen Wert von Gleichung 7.22:

Vg =

ˆout U = ˆin U

? 1 =√ 2

=

• Miss mit dem horizontalen Cursor die Periodendauer und die zeitliche Verschiebung ∆t bei der Grenzfrequenz. Berechne daraus die Phasenverschiebung und vergleiche das Resultat mit dem theoretischen Wert:

T (ωg )

=

∆t(ωg )

=

φ(ωg )

=

360◦ ∆t T

=

◦

=

2π∆t T

=

• Miss die Verst¨ arkung und die Phasenverschiebung f¨ ur ca. 15 geeignet gew¨ahlte Frequenzen zwischen 1kHz und 3MHz (logarithmisch aufteilen), und trage die Werte V ∗ und φ im Bode–Diagramm (Abbildung 7.4) ein:

102

7. ELEKTRONIK I: PASSIVE SCHALTUNGEN

Nr.

ν (kHz)

Uin (V)

Uout (V)

V

V ∗ (dB)

∆t (µs)

φ (π)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

• Die angegebenen Werte f¨ ur R und C sind nicht sehr genau (Toleranz: 10%). Bestimme darum mit Hilfe des Bode–Diagramms (Abbildung 7.4) und mit weiteren Messungen die wahre Grenzfrequenz (V ∗ = −3dB) und vergleiche mit der Theorie: ωg =

1 s

⇒

νg =

Hz

frequency sweep • F¨ uhre mit dem FG einen Frequenzdurchlauf (frequency sweep) im Frequenzbereich 100Hz ≤ ν ≤ 1MHz durch, zeichne das Resultat mit dem DSO auf und druck es aus:

7.3. VERSUCHSAUFBAU UND -AUFGABEN

Frequenzdurchlauf einstellen Startfrequenzeingabe w¨ ahlen Startfrequenz eingeben Stopfrequenzeingabe w¨ ahlen Stopfrequenz eingeben Durchlaufgeschwindigkeit w¨ahlen Durchlaufgeschwindigkeit eingeben logarithmische Darstellung w¨ahlen Pfeiltaste dr¨ ucken, bis LOG langsam blinkt Frequenzdurchlauf aktivieren am DSO Zeitachse einstellen

Ger¨at FG

DSO

103

Tastenfeld SWEEP DATA ENTRY SWEEP DATA ENTRY SWEEP DATA ENTRY SWEEP

Tasten START FREQ 100Hz STOP FREQ 1MHz SWEEP RATE 250Hz SHIFT LIN/LOG

DATA ENTRY SWEEP Horizontal

∇ SHIFT ON/OFF Scale=1ms

Jetzt ist das Resultat zwar sichtbar, aber da das Signal nicht periodisch ist (die Frequenz ¨ andert ja dauernd), kann es das DSO nicht immer gleich darstellen, und es springt hin und her. Das liegt an den Triggerbedingungen. Der Trigger ist der Ausl¨oser der x– Ablenkung. Die Bedingung f¨ ur dieses Ausl¨osen kann man bei jedem DSO so einstellen, dass man ein gut lesbares und stehendes Bild erh¨alt. Wir wollen jetzt diese Triggerbedingungen ¨ andern und dann die Speicherf¨ahigkeit des DSO ausnutzen, um einen einzelnen Durchlauf darzustellen:

Triggerbedingungen ¨ andern nur das Ausgangssignal zeigen mit dem Ausgangssignal triggern Triggertyp ausw¨ ahlen Coupling einstellen Triggerbedingung auf steigende Flanke setzten Triggermodus Normal“ einstellen ”

Ger¨at DSO

Tastenfeld Vertical Trigger Display Display Display Display Display

Tasten Menu 2 Menu Source=2 Type=Edge Coupling=DC Slope=RaisingEdge Mode=Normal

Der kleine orange Pfeil mit dem schwarzen T“ im oberen Bereich des Bildschirms mar” kiert den Triggerzeitpunkt. Im Trigger-Menu k¨onnen die Triggerbedingungen definiert werden. Das sind die gebr¨ auchlichsten Bedingungen, die erf¨ ullt sein m¨ ussen, damit das DSO wieder links zu zeichnen beginnt: – steigende oder fallende Flanke – Level = Triggerspannung – Holdoff = minimale Zeit, bis ein n¨achster Trigger m¨oglich ist Optimiere jetzt die Anzeige durch Ver¨andern der Triggerbedingungen. Wenn du den Level u ¨ber 3V, d.h. u ¨ber die maximale Amplitude unseres Signales drehst, kann nicht mehr getriggert werden und das Bild friert ein. Damit ist eigentlich erreicht, was wir

104

7. ELEKTRONIK I: PASSIVE SCHALTUNGEN

wollen, aber nicht so ganz auf die feine Art. Darum dreh den Level wieder auf ca. 2.5V zur¨ uck und versuche dann, im single sweep mode“ einen einzelnen Durchgang ” einzufangen:

Single Sweep (Einzelner Durchgang) Triggerspannung wieder verkleinern einzelnen Durchgang aufzeichnen Aufzeichnung wiederholen, bis eine Kurve ganz sichtbar ist

Ger¨at DSO

Tastenfeld Trigger -

Tasten Level=2.4V Single

-

Single

Das Resultat ist jetzt schon recht gut, aber es ist recht m¨ uhsam eine Kurve sch¨on auf das Display zu bringen. Dies geht einfacher, indem du das DSO extern triggerst. Der FG hat dazu an der R¨ uckseite den TTL–Ausgang SWP“, wo am Anfang jedes ” Frequenzdurchgangs ein Triggerpuls bereitsteht:

DSO extern triggern Gib das FG Sweep Triggersignal auf den Extern-Trigger-Eingang des DSO Extern-Triggern einstellen

Ger¨at FG DSO

Trigger Level einstellen

Tastenfeld R¨ uckseite Trigger Trigger Display Trigger

Tasten TTL OUTPUT SWP Aux In Menu Source=Aux Level=2.5V

Hinweis: Wahlweise kann auch das externe Triggersignal auf einen der beiden freien Eing¨ ange gelegt werden. Dies bietet die M¨oglichkeit das TTL–Signal auf dem Display darzustellen. In diesem Fall muss im Trigger-Menu die Quelle auf den entsprechenden Kanal gesetzt werden. • Der Bildschirminhalt kann direkt auf dem Drucker ausgedruckt werden: DSO-Bild drucken Drucker einschalten DSO neu starten (Einstellungen bleiben erhalten) Eine ganze Kurve genau auf das Raster ausrichten Drucker auf der R¨ uckseite anschliessen Verbindungsbest¨ atigung schliessen Drucken

Ger¨at Drucker

Tastenfeld -

Tasten On/Off

DSO

Horizontal USB -

On/Off Position Single Menu Off Drucken

Hinweis: Der Neustart des DSOs ist erforderlich, da die Verbindung mit dem Drucker leider jeweils nur einmal funktioniert.

7.3. VERSUCHSAUFBAU UND -AUFGABEN

105

• Versieh den Plot von Hand mit einer passenden Spannungs- und Frequenzachse. Denk daran, dass du eine logarithmische x–Achse (Frequenzachse) hast.

7.3.4

Aufgaben zum Hochpass

¨ Mach die gleiche Ubung f¨ ur einen Hochpass, mit dem Unterschied, dass du zuerst die wahre Grenzfrequenz bestimmst und dann alle Werte relativ auf diese Grenzfrequenz beziehst. • Miss die Grenzfrequenz dieses Hochpasses (V ∗ = −3dB): νg = • Miss in Dekadenschritten der Grenzfrequenz Betrag und Phase der Verst¨arkung und trage die Resultate im Bode–Diagramm (Abbildung 7.6) ein: ν νg

ν (kHz)

Uin (V)

Uout (V)

V

0.01 0.03 0.1 0.3 0.5 0.7 1 1.03 1.1 1.3 10 13 100

• Plotte einen Frequenzdurchlauf und druck ihn aus.

V ∗ (dB)

∆t (µs)

φ (π)

106

7. ELEKTRONIK I: PASSIVE SCHALTUNGEN

7.3.5

Bandpass

• Realisiere einen Bandpass ohne Entkopplungsverst¨arker. W¨ahle R1 , R2 , C1 und C2 so, dass νgT 10-mal gr¨ osser ist als νgH . • Bestimme die Maximalfrequenz: νmax = • Erstelle einen Frequenzdurchlauf. ¨ • Ubertrage einige Werte ins Bode–Diagramm (Abbildung 7.8). • Bestimme die Bandbreite B. • Vergleiche die Resultate mit den theoretisch berechneten Werten.

7.3.6

Schwingkreis

• Realisiere einen Parallelschwingkreis nach dem Schema von Abbildung 7.9. Verwende dazu einen Widerstand mit R = 1kΩ, einen Kondensator mit C = 10nF und die Spule mit unbekannter Induktivit¨ at. • Bestimme die Resonanzfrequenz: νR ≈ • Bestimme aus νR die Induktivit¨at der Spule. Plotte einen Frequenzdurchlauf f¨ ur den Frequenzbereich 100Hz≤ ν ≤ 1MHz. ¨ • Ubertrage einige Werte ins Bode–Diagramm (Abbildung 7.9). • Vergleiche die Resultate mit den theoretisch berechneten Werten. • Ersetze den R = 1kΩ–Widerstand mit einem R = 100Ω–Widerstand. Welche Konsequenz hat dies f¨ ur die Resonanzbreite? Beobachte auch, wie sich die Flanken des Ausgangssignals verhalten.

Kapitel 8

Elektronik II: Aktive Schaltungen

8.1. EINLEITUNG

8.1

109

Einleitung

In diesem Praktikumsversuch sollen die im ersten Elektronikversuch (Kapitel 7) durchgef¨ uhrten Messungen an passiven Schaltelementen wiederholt und vertieft werden. Die Realisierung geschieht allerdings mit etwas moderneren und effizienteren Messmethoden als zuvor. Es soll eine Messschaltung aufgebaut werden, die den Frequenzgang eines Hochpasses in doppelt logarithmischer Darstellung auf dem Oszilloskop darstellt und ausdruckt. Dazu verwenden wir aktive Schaltelemente, den Transistor und den Operationsverst¨arker. Nat¨ urlich wird wieder mit dem Funktionsgenerator (FG) und dem Oszilloskop (KO) gearbeitet, wobei die Kenntnis der Funktion dieser Instrumente hier vorausgesetzt wird.

8.2

Theorie

Die Kristallstruktur der Halbleiter (Si, Ge, GaAs, .. ) gleicht der des Diamanten. Jedes der vier Valenzelektronen geht mit einem Valenzelektron der vier Nachbaratome eine hom¨oopolare Bindung ein. Die mittlere kinetische Energie der Elektronen bei Zimmertemperatur (0,04 eV) ist viel kleiner als die Bindungsenergie (1 eV), und daher sind nur wenige Elektronen frei beweglich (kleine Eigenleitf¨ ahigkeit). Erst durch weitere Energiezufuhr wesentlichen Ausmasses werden zus¨ atzliche Elektronen freigesetzt und damit die Leitf¨ahigkeit erh¨oht. Darum nimmt bei Halbleitern die Leitf¨ ahigkeit mit steigender Temperatur zu. Der Einbau von Fremdatomen (Dotierung) ist eine andere M¨ oglichkeit die Zahl der freien Elektronen, und somit die Leitf¨ahigkeit, zu erh¨ ohen. Besitzt ein Fremdatom im Kristall ein Valenzelektron zuviel (5-wertige Elemente: P, As, Sb, . . . ), so kann dieses zus¨ atzliche Elektron leicht abgetrennt werden (∆E ≈ 0,05 eV), und dieses nun freie Elektron tr¨ agt zur Erh¨ ohung der Leitf¨ahigkeit bei (n-dotiert, n-Halbleiter). Besitzt das Fremdatom hingegen nur drei Valenzelektronen (3-wertige Elemente: B, Al, Ga, In, . . . ) so fehlt eines f¨ ur die Doppelbindung. Mit einer kleinen Energiezufuhr (∆E ≈ 0,05 eV) kann jedoch ein Elektron aus einer benachbarten, vollst¨andigen Bindung abgezogen werden und f¨ ur den Aufbau der Doppelbindung verwendet werden. Es entsteht ein sogenanntes Loch, das nun im Kristall frei herumwandern kann. Ein solches Loch verh¨alt sich wie eine freie positive Elementarladung und tr¨ agt somit zur Leitf¨ahigkeit bei (p-dotiert, p-Halbleiter). F¨ ur die Herstellung elektronischer Bauelemente wird heute haupts¨achlich Silizium und f¨ ur sehr schnelle Schaltungen (> 1 GHz) GaAs verwendet. Germanium wurde als erstes als Ausgangsmaterial f¨ ur die Halbleiterproduktion verwendet, ist jedoch heute praktisch komplett von Silizium verdr¨ angt worden und wird heute nur mehr in Ausnahmef¨allen verwendet.

110

8.2.1

8. ELEKTRONIK II: AKTIVE SCHALTUNGEN

Dioden

Die Diode ist das einfachste Halbleiterbauelement. Sie besteht aus der Hintereinanderschaltung von einem p-dotierten und einem n-dotierten Kristall. Strom kann durch eine Diode nur in einer Richtung, der Durchlassrichtung, fliessen. In der anderen Richtung, der Sperrrichtung, fliesst kein Strom (genauer gesagt ein sehr kleiner Strom, der Sperrstrom). Eine ¨ Ubersicht u ¨ber Dioden ist in Abbildung 8.1 angegeben.

Polung

Anode

-

Symbol

+

p-Halbleiter p-n- bergang n-Halbleiter

+ Kathode

Sperrrichtung

Durchlassrichtung

¨ Abbildung 8.1: Ubersicht u ¨ber Dioden

In einer in Sperrrichtung gepolten Diode werden die Elektronen bzw. L¨ocher durch das elek¨ trische Feld aus dem Gebiet des p-n-Uberganges in Richtung der Kathode bzw. der Anode ¨ gedr¨agt. Dadurch entsteht beim p-n-Ubergang eine an beweglichen Ladungstr¨agern sehr arme Zone (sehr hochohmige Zone) die praktisch keinen Stromfluss zul¨asst. Wird die Diode hingegen in Durchlassrichtung betrieben, so wandern die L¨ochervom p-dotierten Bereich durch ¨ den p-n-Ubergang in das n-dotierte Gebiet und werden dort durch die vorhandenen Elektronen neutralisiert (Rekombination). Umgekehrt gelangen Elektronen vom n-dotierten in das p-dotierte Gebiet. Da L¨ ocher und Elektronen von den metallischen Anschl¨ ussen (Kathode und Anode) beliebig nachgeliefert werden, fliesst ein grosser Strom in Durchlassrichtung bei gerin¨ gem Spannungsabfall am p-n-Ubergang (Durchlassspannung, bei Si-Dioden ist etwa 0,7 V). Der Zusammenhang von Strom und Spannung eines elektrischen Schaltungselementes wird in der Elektronik in einer so genannten Kennlinie dargestellt. Die Kennlinie einer Diode ist in 8.2 wiedergegeben. Der Durchlassstrom steigt schon bei kleinen positiven Spannungen UAK auf hohe Werte an. Er darf jedoch einen Maximalwert Imax nicht u ¨berschreiten da die Diode sonst thermisch zerst¨ ort wird. Dieser Wert liegt zwischen 5 mA und einigen 100 A je nach Bauform der Diode. Bei hohen Sperrspannungen UAK < −US max steigt der Sperrstrom wieder stark an. Je nach Bauart der Diode ist diese maximale Sperrspannung zwischen 10 V und 10 kV. Der Betrieb einer normalen Diode oberhalb dieser maximalen Sperrspannung f¨ uhrt zur Zerst¨ orung der Diode. Dioden welche man oberhalb der maximalen Sperrspannung betreiben kann und diesen Effekt ausnutzen, heissen Zenerdioden.

I Imax

- US max UAK

Abbildung 8.2: Strom-Spannungskennlinie einer Diode

Die Kennlinie der Diode l¨ asst sich f¨ ur kleine Str¨ome, gem¨ass den Gesetzen der Halbleiterphysik, durch die Shockley-Gleichung beschreiben (William Shockley, 1910-1989)

8.2. THEORIE

111

  U AK I = I S e UT − 1

(8.1)

wobei IS der S¨ attigungssperrstrom und UT die Temperaturspannung sind. Der S¨attigungssperrstrom von Siliziumdioden liegt, je nach Bauform und Gr¨osse, im Bereich von 5 pA bis 20 nA. Dies ist der theoretisch maximale Strom welcher in Sperrrichtung fliessen kann f¨ ur den ¨ Fall UAK → –∞. Ublicherweise definiert man die Temperaturspannung UT als UT =

kT [V ] m q0

(8.2)

mit q0 der Elementarladung, k der Boltzmannkonstante, m ein Koeffizient welcher vom Leitungsmechanismus abh¨ angt (Abweichung von der einfachen Shockley’schen Diodenkennlinie) und T der absoluten Temperatur. Idealerweise ist bei Zimmertemperatur die Temperaturspannung 26 mV, also m = 1. F¨ ur normale Si-Dioden ist m kleiner 1, typisch ist m ≈ 0,7 und man erh¨ alt UT ≈ 40 mV (UT kann zwischen 26 und 50 mV liegen). Die Shockleygleichung gibt den Durchbruch bei hohen Sperrspannungen nicht wieder, sie gilt also nicht f¨ ur diesen Bereich. Auch gilt sie nicht f¨ ur hohe Durchlassstr¨ome, dort ist die Kennline ann¨ahernd quadratisch. Verschiedene Si-Dioden unterscheiden sich wenig in der Kennlinie, aber stark in der Schaltgeschwindigkeit, der maximalen Sperrspannung, dem maximalen Sperrstrom und anderen elektrischen Parametern.

8.2.2

Der Transistor

Der Transistor wurde von John Bardeen, Walter Brattain und William Shockley in 1946 entdeckt (Nobelpreis in Physik, 1956). Seitdem hat der Transistor vielf¨altige Verwendung gefunden und ist aus unserem Leben nicht mehr wegzudenken. Stark vereinfacht betrachtet besteht ein Transistor im wesentlichen aus zwei gegeneinander geschalteten Dioden ¨ (p-n Uberg¨ ange). Je nach Kombination der dotierten Schichten erh¨ alt man entweder einen npn oder einen pnp Transistor. Die Schaltzeichen und der Aufbau sind in Abbildung 8.3 dargestellt. Soll ein Kollektorstrom fliessen m¨ ussen die Potentiale so gew¨ ahlt werden, dass die BasisEmitterdiode in Durchlassrichtung und die Kollektor-Basisdiode in Sperrrichtung gepolt sind.

Kollektor (+)

Symbol C

n-Halbleiter

NPN-Transistor

B

Basis p-Halbleiter n-Halbleiter

E

Emitter (-)

Kollektor (-)

Symbol C

p-Halbleiter

PNP-Transistor

B

Basis n-Halbleiter p-Halbleiter

E

Emitter (+)

¨ Abbildung 8.3: Ubersicht u ¨ ber npn– und pnp– Transistoren

Die Basiszone ist nun so d¨ unn, dass praktisch alle vom Emitter eindringenden Ladungstr¨ager anstatt zu rekombinieren gleich in die Kollektorzone weiterdriften. Nur ein kleiner Teil rekombiniert und bildet den Basisstrom. Der Kollektorstrom h¨angt sehr stark von der Spannung

112

8. ELEKTRONIK II: AKTIVE SCHALTUNGEN

zwischen Basis und Emitter ab, jedoch kaum von der Spannung zwischen Kollektor und Basis. Diese Tatsache l¨ asst sich zur Steuerung des Kollektorstromes ausn¨ utzen.

Das Verhalten von Transistoren wird, wie auch bei Dioden und anderen Halbleiterbauelementen, durch Kennlinien ausreichend beschrieben. Anders als bei der Diode braucht man f¨ ur die Beschreibung eines Transistors vier Kennlinien (Abbildung 8.4). Man bevorzugt dabei die Darstellung des Verhaltens des Transistors in der Emitterschaltung, bei der der Emitter sowohl dem Eingang als auch dem Ausgang gemeinsam ist. Die Details der Transistor-Grundschaltungen k¨onnen z.B. aus Kapitel Der Transistor und seine Grundschaltungen in [1] entnommen werden. Beim Betrieb des Transistors als Verst¨ arker (Bereich II im 1. Quadranten, Abbildung 8.4) stellt man den Arbeitspunkt A des Transistors durch den Basisstrom und die Basis-Emitterspannung ein. Die Bereiche I und III im 1. Quadranten sind f¨ ur Schalteranwendungen von grosser Bedeutung. Abbildung 8.4: Typische Kennlinien eines PNP-Transistors in Emitterschaltung.

8.2.3

Der Operationsverst¨ arker

¨ Da wir in dieser Ubungsaufgabe den Operationsverst¨arker einsetzen werden, wollen wir ihn ¨ hier kurz einf¨ uhren. F¨ ur eine ausf¨ uhrliche Beschreibung, die den Umfang dieser Ubungsanleitung weit u urde, sei auf die am Ende angef¨ uhrte Literatur verwiesen. ¨bersteigen w¨ Der Operationsverst¨ arker ist im Grunde genommen ein ganz normaler Verst¨arker welcher als integrierter Schaltkreis (integrated circuit, IC) erh¨ altlich ist. W¨ ahrend jedoch die Eigenschaften eines normalen Verst¨arkers durch seinen inneren Aufbau gegeben sind, ist ein Operationsverst¨arker so beschaffen, dass seine Wirkungsweise ausschliesslich durch ¨ aussere Bauelemente eingestellt werden kann. Um dies zu erm¨oglichen, werden Operationsverst¨ arker als gleichspannungsgekoppelte Verst¨arker mit hoher Spannungsverst¨ arkung (Leerlaufverst¨arkung), hohem Eingangswiderstand und niedrigem Ausgangswiderstand ausgef¨ uhrt.

_

RGL RA

UD

RD

UU+

+

Ua RGL

Abbildung 8.5: Prinzipschaltbild eines Operationsverst¨ arkers mit seinem relevanten “Innenleben”.

8.2. THEORIE

113

Der Operationsverst¨ arker hat zwei Eing¨ange, einen invertierenden (–) und einen nichtinvertierenden (+) Eingang. Die Ausgangsspannung Ua des Operationsverst¨arkers ist der Differenz der Eingangsspannungen (UD = U+ − U− ) direkt proportional. Das Prinzipschaltbild eines Operationsverst¨ arkers ist in Abbildung 8.5 angegeben. Der Operationsverst¨ arker kann als Bauelement mit gegebenen Kenndaten angesehen werden. Der Vergleich zwischen realen Werten von k¨auflichen Operationsverst¨arkern und den idealen Werten ist in der Tabelle 1 angegeben. Es gibt noch weitere Kenngr¨ossen der Operationsverst¨arker deren Kenntnis hier aber nicht notwendig ist. Die Angabe dieser Daten reicht aus, um die Anwendung des Operationsverst¨arkers in einer Schaltung zu verstehen. F¨ ur unsere Anwendung reicht es sogar aus, den Operationsverst¨arker als “black box” mit den idealen Werten zu betrachten, da wir die Operationsverst¨arker-Typen so ausgew¨ahlt haben, dass die durch die Beschaltung gestellten Anforderungen an den Operationsverst¨arker bei weitem u ¨bertroffen werden. ¨ Ubung 1: Um die Funktion des Operationsverst¨arkers verstehen zu lernen, wollen wir nun die Spannungsverst¨ arkung der Schaltung eines invertierenden Verst¨arkers berechnen. Die Spannungsverst¨ arkung ist ja definiert als vU =

Parameter Leerlaufverst¨ arkung Bandbreite (DC – fg ) Differenzeingangswiderstand Gleichtakteingangswiderstand Eingangsruhestrom Offsetstrom Ausgangswiderstand Maximaler Ausgangsstrom

Symbol v B RD RGL IB I0 RA Imax

Ua Ue

Typische reale Werte 105 – 107 100 kHz – 5 GHz 1 MΩ – 1 GΩ 1 GΩ – 1 TΩ 10 fA – 10 nA 1 fA – 1 nA 1 Ω – 1 kΩ 10 mA – 1 A

(8.3)

Idealer Wert ∞ ∞ ∞ ∞ 0 0 0 ∞

Tabelle 8.1: Kenndaten von realen und idealen Operationsverst¨ arkern

Die Funktion des invertierenden Verst¨arkers basiert darauf, dass ein Teil der Ausgangsspannung zum Eingang zur¨ uckgeleitet wird, und zwar mit entgegengesetzter Polarit¨at wie die Eingangsspannung. Dies ist eine so genannte Gegenkopplung und begrenzt die theoretische Verst¨arkung des Operationsverst¨ arkers von ∞ auf einen Wert der durch R1 und R2 eingestellt wird. Verwende die Kirchhofsche Knoten- und Maschenregel zur Berechnung der Spannungsverst¨arkung. Zu Ihrer Hilfe sind der Stromknoten sowie die beiden zu ber¨ ucksichtigenden Spannungsmaschen in Abbildung 8.6 eingezeichnet. Nimm den Operationsverst¨arker als idealen Operationsverst¨ arker an, so wie er in Tabelle 1 definiert ist. Du solltest dann zu dem folgenden Ergebnis kommen: vU =

R2 Ua =− Ue R1

(8.4)

114

8. ELEKTRONIK II: AKTIVE SCHALTUNGEN

Das Minuszeichen in Gleichung 8.4 bedeutet eine Phasenverschiebung zwischen Ausgang und Eingang um 180◦ , daher der Name invertierender Verst¨ arker. Was ist der Eingangswiderstand dieser Schaltung, mit der die Spannung Ue belastet wird? Ein gegengekoppelter Operationsverst¨ arker stellt seine Ausgangsspannung so ein, dass die Spannungsdifferenz zwischen invertierendem Eingang (– ) und nichtinvertierendem Eingang (+) Null ist. Ist dies nicht m¨ oglich, geht der Ausgang des Operationsverst¨ arkers in S¨attigung, d.h. in Maximalausschlag. Das Wesen der Gegenkopplung ist nun, dass ¨ die Anderung der Ausgangsspannung der ¨ Anderung der Eingangsspannung entgegen wirkt.

8.2.4

R2

Knoten I2 R1

I1

Ie

_

U1 UD

Ue Masche I

+UB

+ -UB

Ua

Masche II

Abbildung 8.6: Schaltung des Invertierenden Verst¨ arkers mit einer Anleitung f¨ ur die Berechnung.

Der Logarithmierer

Der Logarithmierer ist eine Operationsverst¨arkerschaltung, welche den exponentiellen Zusammenhang zwischen Kollektorstrom und Basis-Emitterspannung und Basis-Kollektorspannung des Transistors ausnutzt     IC = a IES eUBE /UT − 1 − ICS eUBC /UT − 1 (8.5)

Dies ist die Erweiterung der Shockleygleichung auf den Transistor, wobei IES und ICS die S¨attigungssperrstr¨ ome des Transistors, und a eine Konstante nahe 1 sind. Die einfachste Schaltung eines Logarithmierers mit Transistor ist in Abbildung 8.7 dargestellt. In dieser Schaltung bewirkt der Transistor eine variable, eben exponentiell mit dem Eingangsstrom sich a¨ndernde, Gegenkopplung und somit eine variable Verst¨arkung. Man kann in dieser Schaltung den Transistor auch durch eine Diode ersetzen. Der verf¨ ugbare Eingangsstrombereich ist in dem Fall aber kleiner. Die angelegte Eingangsspannung Ue erzeugt einen Strom Ie = Ue /R1 (Maschenregel) u ¨ber R1 , da ja der Eingangsstrom in einen idealen Operationsverst¨arker gleich Null ist (siehe oben). Der Eingangsstrom eines realen Operationsverst¨arkers, auch Eingangsruhestrom genannt (engl. Input Bias Current), ist typenabh¨ angig, und kann sehr klein sein (∼ fA). Der Strom Ie ist jetzt nat¨ urlich gleich dem Kollektorstrom des in Basisschaltung verwendeten Transistors im Gegenkopplungskreis. In der Basisschaltung ist die Transistorbasis dem Eingang sowie dem Ausgang gemeinsam (siehe Abbildung 8.7). Der Emitter des Transistors wird mit dem Ausgang des Operationsverst¨ arkers verbunden womit Ua = −UBE ist. Somit ist   Ue Ua = −UT ln (8.6) a IES R1 da UBC = 0 und a = 1 sind. Weiters wurde die Zahl 1 gegen¨ uber dem Exponentialterm in Gleichung 8.5 vernachl¨ assigt. Der S¨attigungssperrstrom IES ist eine Materialkonstante und

8.2. THEORIE

115 C

R1

Ie

_

+15V R1

+

Ue

Ie

_

Ua

+

Ue

IC

R2

LT 1012

T

Abbildung 8.7: Prinzipschaltung eines Logarithmierers unter Verwendung eines Transistors.

-15V

IC

Ua

T

Abbildung 8.8: Tats¨ achliche Logarithmiererschaltung.

betr¨agt 0,07 pA. Die Eigenschaft des gegengekoppelten Operationsverst¨arkers, dass sich die Ausgangsspannung stets so einstellt, dass der gesamte Eingangsstrom Ie u ¨ber den Gegenkopplungszweig abfliesst, sorgt in diesem Fall f¨ ur die Ausgangsspannung −UBE . Diese Schaltung ist allerdings stark von der Temperatur abh¨angig. Die Temperaturabh¨angigkeit r¨ uhrt einerseits von UT her, andererseits von IES und auch von der Temperaturabh¨angigkeit von UBE (–2 mV/Grad). Durch geeignete Kompensationsschaltungen l¨asst sich auch dieser Fehler fast beseitigen und ein temperaturunabh¨angiger Logarithmierer f¨ ur rund sechs Dekaden realisieren. Dies f¨ uhrt allerdings etwas zu weit f¨ ur einen Praktikumsversuch. Im folgenden wollen wir nur etwas einfachere Massnahmen zur Verbesserung der obigen Schaltung einf¨ uhren. Abbildung 8.8 zeigt die im Praktikum zu realisierende Schaltung mit Verbesserungen zur Stabilit¨ at. Die Schaltung in Abbildung 8.8 hat zwei zus¨atzliche Bauelemente verglichen mit der urspr¨ unglichen Schaltung von Abbildung 8.7. Erstens wird ein Kondensator C als Gegenkopplung des Operationsverst¨ arkers geschaltet um die Schwingneigung dieser Schaltung zu reduzieren, welche aufgrund der hohen Verst¨arkung f¨ ur kleine Eingangsstr¨ome gegeben ist. Der ¨ Kondensator ist gleichspannungsm¨ assig nicht wirksam (Widerstand ∞). Andert sich aber die Spannung an seinen Anschl¨ ussen, so wird die Verst¨arkung des Operationsverst¨arkers durch den endlichen Wechselspannungswiderstand des Kondensators im Gegenkopplungszweig reduziert, was sich nat¨ urlich stabilisierend auf die Schaltung auswirkt. Die zweite Ver¨anderung zur urspr¨ unglichen Schaltung ist ein Widerstand R2 in Serie zum Operationsverst¨arkerausgang, welcher zus¨ atzliche Stabilit¨ at des Transistors bringt. Als Emitterwiderstand reduziert er die ¨ Verst¨arkung des Transistors, und so z.B. die Anf¨alligkeit auf Anderungen der Umgebungstemperatur durch die Temperaturabh¨angigkeit von UBE . Mit der in Abbildung 8.8 angegeben Schaltung kann man einen Logarithmierer f¨ ur mindestens vier, sehr wahrscheinlich f¨ unf, Dekaden realisieren. ¨ Ubung 2: Bestimme mit Hilfe von Gleichung 8.6 die theoretische Steigung der Verst¨arker¨ ¨ kennlinie, also die Anderung ∆U a pro Anderung der Eingangsspannung Ue um den Faktor 10 (pro Dekade).

116

8. ELEKTRONIK II: AKTIVE SCHALTUNGEN

8.3

Versuchsaufgaben

Ziel des heutigen Praktikums ist es, den in Abbildung 8.9 dargestellten Aufbau zu realisieren. Dazu ist es ratsam, diese etwas kompliziertere Schaltung in Teilgruppen aufzubauen und einzeln zu testen, bevor man alle Komponenten zur Durchf¨ uhrung der Schlussmessung zusammenschaltet.

FG

HP

LOG

KO

Abbildung 8.9: Blockschaltbild des in dem Praktikum zu realisierenden Messaufbaus. Die Signalerzeugung erfolgt mit dem Frequenzgenerator (FG), dann folgt der auszumessende Hochpass (HP), der Spitzenwertgleichrichter, der Logarithmierer (LOG), und zuletzt das Oszilloskop (KO).

F¨ ur den Transistor verwendest du den Typ 2N2222, f¨ ur den Logarithmierverst¨arker den Operationsverst¨ arker Typ LT1012, und f¨ ur den Spitzenwertgleichrichter (siehe sp¨ater) den Operationsverst¨ arker Typ LF411. Die Datenbl¨atter der einzelnen Bauteile mit ihren Kennlinien und Bauteilanschl¨ ussen sind dem Praktikumsversuch beigelegt. F¨ ur den Operationsverst¨ arker baust du die in Abbildung 8.10 angegeben Schaltung auf (Elektrometerverst¨ arker). Leg am Eingang (Ue ) u ¨ber ein Potentiometer eine Gleichspannung kleiner der Betriebsspannung an. Bei korrekter Funktion des Operationsverst¨ arkers ist die Ausgangsspannung gleich der Eingangsspannung. Wenn du willst, kannst du hier ¨ auch die Schaltung von Ubung 1 mit einer Verst¨arkung von 10 realisieren. Versuche einen Eingangswiderstand der Schaltung von etwa 100 kΩ zu erreichen.

8.3.1

+15V

+ _ Ue

-15V

Ua

Abbildung 8.10: Testschaltung f¨ ur den Operationsverst¨ arker.

Testschaltungen

Es kann immer wieder passieren, dass ein Halbleiterbauelement kaputt geht. Deswegen testest du mit Vorteil den Transistor und den Operationsverst¨arker auf ihre Funktion bevor du die Schaltungen aufbaust. Der Transistor wird mit dem Fluke Digitalvoltmeter (DVM) direkt vermessen indem man die Funktion der Basis-Emitter- und die Basis-Kollektordiode (siehe Abbildung 8.3) mit dem Diodentestmodus des DVM u uft. ¨berpr¨ ¨ Ubung 3: Erkl¨ are die Wirkungsweise der Schaltung in Abbildung 8.10.

8.3. VERSUCHSAUFGABEN

8.3.2

117

Dimensionieren eines Logarithmierers

Die zu realisierende Schaltung f¨ ur den Logarithmierer wurde schon in Abschnitt 8.2.4 ausf¨ uhrlich diskutiert, mit der ¨ ausseren Beschaltung zur Durchf¨ uhrung der ersten Messungen ist sie in Abbildung 8.11 wiedergegeben. Bevor du den Logarithmierer aufbauen und in Betrieb nehmen kannst, musst du den Wert der beiden Widerst¨andeR1 und R2 berechnen. • Dimensioniere R1 so, dass bei einer Eingangsspannung Ue von 10 V die Ausgangsspannung Ua etwa –0,50 V ist. Wird die Ausgangsspannung gr¨osser, so beginnt die BasisEmitter-Diode zu stark zu leiten und eine exponentielle Kennlinie (Gleichung 8.5) ist nicht mehr gegeben. Eventuell stirbt auch der Transistor durch die sich ergebende ¨ Uberlastung. Mit einer Diode, welche Emitter (Kathode) und Kollektor (Anode) des Transistors verbindet, kann man hier Abhilfe schaffen. • Dimensioniere R2 so, dass die Ausgangsspannung des Operationsverst¨arkers etwa 20% gr¨osser als Ua ist. Nimm dazu an, dass der Ausgangstrom des Operationsverst¨arkers gleich dem Emitterstrom (also auch gleich dem Kollektorstrom IC ) des Transistors ist und kein Strom u ¨ber den Ausgang der Schaltung abfliesst. • Besprich deine Berechnungen mit der Assistentin und baue danach die Schaltung auf. • Teste die Schwingneigung deiner Schaltung, indem du die Ausgangsspannung am Oszil¨ loskop f¨ ur pl¨ otzliche Anderungen der Eingangsspannung mit und ohne den Kondensator C (f¨ ur C einen Wert von etwa 10 nF nehmen) aufzeichnest. Gegebenenfalls ist der Kondensator C anders zu w¨ ahlen, wenn die Schaltung trotz Kondensator eine Schwingneigung aufweist. Konsultiere in diesem Fall deinen Betreuer.

+ 15V

C +15V R1

_

R2

LT1012 Ue

+ -15V

Ua

T

Abbildung 8.11: Schaltung zum Ausmessen der Kennlinie des Logarithmierers. Als Regelwiderstand am Eingang des Verst¨ arkers das 10-Gang Potentiometer verwenden. Zur Messung von Ue das Simpson Digitalvoltmeter (DVM) und f¨ ur Ua das Metravo 2 Messger¨ at verwenden.

Das physikalische Grundprinzip der in Abbildung 8.11 dargestellten Schaltung (im strichlierten Kasten) wurde in Abschnitt 8.2.4 ausf¨ uhrlich erkl¨art. Dazu kommen nun noch zwei Multimeter, eines am Eingang und eines am Ausgang der Schaltung, zur Messung der Ein-

118

8. ELEKTRONIK II: AKTIVE SCHALTUNGEN

respektive der Ausgangspannung (Ue und Ua ). F¨ ur das Multimeter am Ausgang das Ger¨at mit der geringeren Aufl¨ osung verwenden, da das bessere aufl¨osende Ger¨at am Eingang ben¨otigt wird (Digitalvoltmeter). Die Eingangsspannung wird durch ein Potentiometer von der Betriebsspanung (+15 V) abgegriffen.

8.3.3

Aufnahme der Kennlinie des Logarithmierers

• Es ist die Kennlinie des Logarithmierers, also Ua in Anh¨angigkeit von Ue aufzunehmen. Verwende dazu die in Abbildung 8.11 dargestellte Schaltung. Versuche von Ue = 15 V abw¨arts bis etwa Ue = 0,1 mV (5 Dekaden) die logarithmierende Eigenschaft der Schaltung zu best¨ atigen. Miss die Ausgangsspannung f¨ ur 20 bis 30 Werte f¨ ur Ue , welche auf einer logarithmischen Skala etwa den gleichen Abstand haben. • Trage die Resultate in einem einfach-logarithmischen Diagramm ein und bestimme die Steigung ∆U a pro Dekade Ue aus diesem Diagramm. Vergleiche das Ergebnis mit deiner ¨ Rechnung aus Ubung 2.

8.3.4

Spitzenwertgleichrichter

Um den Frequenzgang einer elektrischen Schaltung zu messen muss man die Amplitude der Sinusschwingung messen. Dies macht man mit einem Spitzenwertgleichrichter. Die Schaltung ist in Abbildung 8.12 wiedergegeben. Solange die Eingangsspannung Ue < Ua ist, sperrt die Diode D. F¨ ur Ue > Ua leitet die Diode, und u ¨ber die Gegenkopplung wird Ue = Ua . Aufgrund dieser Eigenschaft l¨ adt sich der Kondensator C auf den Spitzenwert der Eingangsspannung auf. Diese Schaltung hat den Vorteil, dass sie einen hohen Eingangswiderstand aufweist und somit keine Belastung auf die Spannung Ue aus¨ ubt. Der Spitzenwertgleichrichter ist schon auf einer Platine aufgebaut, du musst nur mehr die Versorgungsspannung sowie den Ein- und Ausgang verdrahten. Das Schaltbild auf der Platine ist allerdings gegen¨ uber Abbildung 8.10 vereinfacht dargestellt. Als Lastwiderstand des Spitzenwertgleichrichters wird der Eingangswiderstand des Logarithmierers wirken.

8.3.5

+15V D LF 411 Ue

-15V

C

Ua

Abbildung 8.12: Spitzenwertgleichrichter. Der Operationsverst¨ arker dient zum Entkoppeln des Gleichrichters von der vorangehenden Schaltung.

Hochpass

Dimensioniere nun mit den im Praktikumsversuch Elektronik I erworbenen Kenntnissen einen kapazitiven Hochpass mit einer Grenzfrequenz im Bereich von etwa fg = 7 kHz bis fg = 34 kHz. Baue den Hochpass auf und u ¨berzeuge dich von seiner Funktion, indem du eine Wechselspannung am Eingang des Hochpasses anlegst und das Ausgangssignal am Oszilloskop f¨ ur verschiedene Frequenzen aufnimmst.

8.3. VERSUCHSAUFGABEN

8.3.6

119

Abschlussmessung

Schalte gem¨ ass Abbildung 8.9 die einzelnen Komponenten in Serie, also den Frequenzgenerator, den Hochpass, den Spitzenwertgleichrichter und den Logarithmierer (Schaltung im strichlierten Kasten der Abbildung 8.11, ohne ¨aussere Beschaltung). Nimm auf dem Oszilloskop den Frequenzgang des Hochpasses in doppelt-logarithmischen Massstab auf, indem du den Frequenzgenerator logarithmisch durchlaufen l¨asst. Versuche rund um die Grenzfrequenz fg ein oder mehrere Dekaden in der Frequenz aufzunehmen (speziell in Richtung zu den tiefen Frequenzen hin). Achte darauf, den Arbeitsbereich deines Logarithmieres gut auszun¨ utzen. Drucke das erhaltene Bild auf dem Drucker aus und beschrifte die Achsen mit den tats¨achlichen Frequenz– und Verst¨ arkungswerten. Vergleiche dein Resultat mit den Ergebnissen des Elektronik I Praktikumversuchs. • Bestimme die Grenzfrequenz deines Hochpasses aus der Messung. • Bestimme die Steigung deines Hochpasses in dB/Dekade aus der Messung.

8.3.7

Zusatz

Wenn noch Zeit verbleibt, kannst du mit obiger Schaltung versuchen, einen induktiven Hochpass oder Tiefp¨ asse zu vermessen.

Literaturverzeichnis [1] U. Tietze, C. Schenk und E. Gamm (2012), Halbleiter-Schaltungstechnik, 14. Auflage, Springer Verlag, Berlin/Heidelberg.

Kapitel 9

Magnetische Hysteresis

9.1. THEORIE

9.1

123

Theorie

F¨ ur statische magnetische Felder im Vakuum gilt die Maxwellgleichung ~ ×H ~ = ~j ∇

(9.1)

Angewendet auf eine zum Torus gekr¨ ummte Spule gibt dies f¨ ur das Magnetfeld in ihrem Inneren NI (9.2) H= 2 π rm wobei N die Zahl der Windungen der Spule, I die Stromst¨arke in der Spule und rm der mittlere Radius des Torus bedeuten. F¨ ur den materieerf¨ ullten Raum existiert eine Magnetisierung M (magnetisches Dipolmoment pro Volumenseinheit), welche von der Art des Materials abh¨angt. Der Zusammenhang zwischen magnetischer Induktion B und Magnetfeld H lautet in diesem Fall   ~ +M ~ = µ0 (1 + χm ) H ~ ~ = µ0 H (9.3) B

mit χm der magnetischen Suszeptibilit¨at1 . In Gleichung 9.3 resultiert der Anteil von den externen Quellen und der Anteil von der Magnetisierung des Materials. Die Suszeptibilit¨at ist eine dimensionslose Zahl2 , welche negativ f¨ ur diamagnetische und positiv f¨ ur paramagnetische Materialien ist. Durch Einf¨ uhren der relativen magnetischen Permeabilit¨at µr l¨asst sich Gleichung 9.3 auch wie folgt schreiben ~ = µ0 µr H ~ B

(9.4)

Im Falle von isotropen dia- oder paramagnetischen Stoffen ist µr eine Materialkonstante. F¨ ur die hier betrachteten ferromagnetischen Stoffe h¨angt µr aber in komplizierter Weise vom Magnetfeld H sowie von der Vorgeschichte des Materials ab. Ziel dieses Praktikumsversuches ist es diesen Zusammenhang, also die Hysterese, experimentell zu bestimmen. Um einen wohldefinierten Ausgangszustand des zu untersuchenden Materials zu erhalten, muss man das Material zuerst entmagnetisieren. Dies gelingt unter anderem durch Erhitzen des Materials auf Temperaturen oberhalb der Curietemperatur TC (TC (Fe) = 1043 K) und langsames Abk¨ uhlen in einer Umgebung mit niedrigem magnetischen Feld. Oberhalb der Curietemperatur gilt das Curie-Weiss Gesetz χm =

C T − TC

(9.5)

Eine weitere M¨ oglichkeit zur Entmagnetisierung des Materials ist rasches Ummagnetisieren mit abnehmender Amplitude des Spulenstromes. Beginnend mit entmagnetisiertem Material nehmen bei Erh¨ohung des Spulenstromes, d.h. bei Erh¨ohung von H, die Magnetisierung M und damit auch die magnetische Induktion B sowie die Permeabilit¨ at µr rasch zu (siehe Abb. 9.1). Bei h¨oheren Werten von H nimmt M langsamer zu und erreicht schliesslich bei Hs ihren S¨attigungswert, die S¨attigungsmagnetisierung 1

Die magnetische Suszeptibilit¨ at hat keine physikalische Entsprechung in der elektrischen Suzeptibilit¨ at, obwohl hier das gleiche Symbol verwendet wird. 2 Unsere Diskussion nimmt an, dass das Material isotrop ist. Reale Materialien, auch Kristalle, sind aber anisotrop und die Suszeptibilit¨ at und die Permeabilit¨ at sind Tensoren zweiter Ordnung. Dies kann man im Rahmen dieser Arbeit aber vernachl¨ assigen.

124

9. MAGNETISCHE HYSTERESIS

Abbildung 9.1: Hysteresisschleifen der Magnetisierung M und der magnetischen Induktion B in Abh¨ angigkeit des Magnetfeldes H.

Ms respektive die S¨ attigungsinduktion Bs . Der so erhaltene Zusammenhang M (H) beziehungsweise B(H) heisst Neukurve. Oberhalb von Hs sind alle Elementarmagnete im Material ausgerichtet und der Zusammenhang B(H) wird linear. Wird, ausgehend vom ges¨ attigten Bereich, der Spulenstrom I und damit H nun wieder verringert, so folgt das B-Feld nicht mehr der Neukurve sondern verbleibt bei h¨oheren Werten der Magnetisierung. F¨ ur verschwindende Erregung H wird das B-Feld nicht Null sondern verbleibt auf einen h¨ oheren Wert. Der angenommene Wert heisst Remanzfeld Br (auch Remanenz genannt). Durch Umpolen des Spulenstromes I, also Erregung eines negativen Feldes H, f¨allt das B-Feld pl¨ otzlich stark ab und erreicht den Wert Null beim Koerzitivfeld Hc (auch Koerzitivkraft genannt). Bei weiterer Steigerung von H in dieser Richtung erreicht die Magnetisierung M schliesslich bei -Hs ihren negativen S¨attigungswert. Reduziert man den Spulenstrom nun wieder, so erh¨alt man eine Kurve B(H), welche eine Spiegelung am Ursprung der zuvor durchlaufenen Kurve ist. Der entstehende geschlossene Kurvenzug heisst Hystereseschleife und die oben beschriebene Neukurve verl¨auft komplett in ihrem Inneren (siehe Abb. 9.1). Der beschriebene Zusammenhang kann nur dann reproduzierbar durchlaufen werden, wenn die Magnetisierung M auf beiden Seiten in die S¨attigung getrieben wird. Um einen vollst¨ andigen Hysteresezyklus zu durchlaufen muss eine bestimmte Arbeit Au verrichtet werden. Die Fl¨ ache innerhalb der Hystereseschleife B(H) entspricht gerade dieser Energie pro Volumenseinheit des Materials. Materialien mit breiten Hystereseschleifen, also grossem Koerzitivfeld eignen sich deshalb gut als Dauermagneten, w¨ahrend man f¨ ur Trans-

9.2. VERSUCHSAUFGABEN

125

formatoren Materialien mit sehr hoher Permeabilit¨at und kleiner Fl¨ache der Hystereseschleife verwendet um die Ummagnetisierungsverluste klein zu halten.

9.2

Versuchsaufgaben

Es stehen zwei Ringkerne, ein gegl¨ uhter und ein ungegl¨ uhter Kern3 , f¨ ur die Messung der Hysterese zur Verf¨ ugung. Diese beiden Ringkerne sind wie folgt auf ihre magnetischen Eigenschaften hin zu untersuchen: • Entmagnetisiertes Material in die positive S¨attigung treiben, aus der Neukurve µr (H) sowie µmax bestimmen, sowie eine graphische Darstellung von µr (H) anfertigen. • Die magnetische Flussdichte B ist f¨ ur einen vollst¨andigen Magnetisierungszyklus als Funktion der magnetischen Feldst¨arke H zu bestimmen, wobei positive und negative S¨attigung zu erreichen sind. Ausserdem ist eine graphische Darstellung von B(H) anzufertigen. • Aus dem Hysteresezyklus sind die Gr¨ossen Ms (S¨attigungsmagnetisierung), Br (Remanenzfeld), Hc (Koerzitivfeld) und Au (Ummagnetisierumgsarbeit pro Zyklus) zu bestimmen.

9.2.1

Messung der Magnetisierung

Entmagnetisierung der Ringkerne Damit eine Neukurve aufgenommen werden kann, m¨ ussen die Ringkerne zuerst vollst¨andig entmagnetisiert werden. Verwende dazu eine variable Wechselspannung, welche u ¨ber einen Variac an den Ringkern angelegt wird. Ein Variac, auch Autotransformator genannt, ist ein Transformator mit einstellbarer Untersetzung. Die Untersetzunggibt das Verh¨altnis von Ausgangsspannung zur Eingangsspannung an und kann im Bereich von 0 bis etwa 1.1 variiert werden. Beachte, dass ein Variac keine galvanische Trennung zwischen Prim¨ar- und Sekund¨arseite hat, im Unterschied zu festen Transformatoren. Zur Entmagnetisierung verwendest du die in Abb. 9.2 angegebene Schaltung. Vorgehen zur Entmagnetisierung eines Kernes: • Variac auf Nullstellung, Widerstand auf Nullstellung und u uckt (graue Linie) ¨berbr¨ • Prim¨ arspule des Ringkernes und Amp`eremeter anschliessen • Variac einschalten und Spannung langsam erh¨ohen (auf zirka 75 V), bis maximal 4 A Strom fliessen • Variac langsam auf Nullstellung zur¨ uckdrehen 3

Jede Kaltbearbeitung beeintr¨ achtigt die magnetischen Eigenschaften des Materials in hohem Masse durch ¨ das Auftreten von Defekten im Kristallgitter. Ahnliches tritt auch nach dem Giessen des Kernes auf. Im wesentlichen reduziert sich die Permeabilit¨ at und die Remanenz erh¨ oht sich als Folge dieser Defekte. Durch Gl¨ uhen des Objektes bei hohen Temperaturen (900 ◦ C und mehr), eventuell in speziellen Gasatmosph¨ aren (Stickstoff, Wasserstoff), kann man dem Material seine urspr¨ unglichen magnetischen Eigenschaften zur¨ uckgeben.

126

9. MAGNETISCHE HYSTERESIS

A 220V ~ Variac

Ringkern

Abbildung 9.2: Schaltung zur Entmagnetisierung der Ringkerne. Achtung: Die Sekund¨ arseite des Ringkernes bleibt unbeschaltet!

¨ • Uberbr¨ uckung o ¨ffnen und Widerstand auf Maximalwert hochfahren, was den Strom ganz auf Null bringt (bei Variac=0 kommt eventuell noch ein Reststrom) • Variac abschalten und vom Netz trennen • Spule abk¨ uhlen lassen Aufgabe: Erkl¨ are den hier beschriebenen Entmagnetisierungsvorgang mittels physikalischer Effekte. Messschaltung fu ¨ r den Magnetisierungszyklus F¨ ur die eigentliche Messung wird der Ringkern mit einem Gleichspannungsnetzger¨at prim¨ar¨ seitig versorgt. Durch Andern des Widerstandswertes in der Zuleitung (Widerstandsdekade4 , Ri ), bei konstanter Einstellung des Netzger¨ates, ¨andert man den Strom durch die Prim¨arspule und damit das Magnetfeld H. Der Integrator misst nun den Ladungspuls, welcher beim Umschalten von einem Widerstandswert zum n¨achsten in der Sekund¨arspule induziert wird. Die dazu verwendete Schaltung ist in Abb. 9.3 angegeben. Die Details der Beschaltung des Integrators entnimmst du der Abb. 9.4. Das tats¨ achliche Innenleben des Integrators ist allerdings um einiges komplizierter als in Abb. 9.4 dargestellt. F¨ ur das Verst¨ andnis der Funktionsweise des Integrators sind diese De¨ tails jedoch nicht notwendig. Uberleg dir die Funktionsweise des Integrators ([1], Kapitel Operationsverst¨ arkeranwendungen). Auf dem Speicheroszilloskop werden gleichzeitig die Ausgangsspannung u2 (t) und das Integral Ua (t) dargestellt und es wird auf u2 (t) getriggert (Ausl¨osen der Zeitablenkung5 ). Ein typisches Messergebnis aus dieser Messserie ist in Abb. 9.5 dargestellt. T R1 ist der Spannungspuls u2 (t), T R2 ist der Ausgang vom Integrator Ua (t). Mit den Cursor-Messhilfen des Oszilloskopes wird nun der Spannungssprung von Ua (t) ausgemessen. Zus¨atzlich ist am Integrator noch ein Ausgang f¨ ur ein Digitalvoltmeter (DVM) vorgesehen. Damit kann der abgelesene Wert vom Oszilloskop u uft werden. Dies funktioniert aber nur bei grossen Signalen, da der ¨berpr¨ 4

Widerstandsdekade bezeichnet einen u ¨ber ein oder mehrere Dekaden (deka, griechisch 10) verstellbaren Widerstand, welcher in Stufen und meist auch sehr pr¨ azise einstellbar ist. 5 Eine m¨ ogliche Methode, welche nicht auf das Triggern durch u2 (t) angewiesen ist, besteht darin, die Zeitskala f¨ ur Ua (t) mehrere Sekunden pro Einheit einzustellen und frei laufen zu lassen. Dies stellt nur eine Abhilfe dar, wenn du mit dem Betrieb des Oszilloskops M¨ uhe hast und erlaubt keine optimale Messung.

9.2. VERSUCHSAUFGABEN

127

Widerstandsdekade, Ri I1 A

Netzgerät

Integrator Ringkern Abbildung 9.3: Messschaltung f¨ ur den Magnetisierungszyklus

Integrator den Messwert nicht beliebig lange halten kann und der Wert am DVM langsam auf Null f¨ allt. Achtung: Der Integrator kann nur positive Eingangsspannungen verarbeiten. Dies musst du bei der Messung entsprechend ber¨ ucksichtigen und die Sekund¨arspule in passender Polarit¨ at an den Integrator anschliessen. Stell die Polarit¨at mit dem Oszilloskop fest. Achtung: Die Tastk¨ opfe des Oszilloskopes weisen eine 10–fache D¨ampfung auf. Im Menu der beiden verwendeten Kan¨ ale unter Probe Setup“ muss der Wert 10X“ eingestellt sein. ” ” Die Details des Innenlebens der Ringkerne sind in der Abb. 9.6 dargestellt. Die Prim¨arspule ist ¨ mit einer 4 A Sicherung tr¨ age gegen Uberstrom abgesichert. Sekund¨arseitig stehen verschie¨ dene Ausg¨ ange zur Verf¨ ugung. Ublicherweise wird man den Ausgang mit n2 =100 Windungen f¨ ur die Messung verwenden. Ist das Ausgangssignal jedoch zu gross muss man zu kleine¨ ren Windungszahlen wechseln (n2 =50 oder n2 =10). Dies erkennt man am Ubersteuern des Integrators. Messung der Neukurve Nach erfolgreich abgeschlossener Entmagnetisierung: • Polwender auf Null stellen, Netzger¨at anschließen • Polwender am Netzger¨ at auf positiv stellen (1. Messung) • Schrittweise Reduktion von Ri der Widerstandsdekade von 925 Ω – 0 Ω Misslingt eine Messung, so ist der Kern wieder zu entmagnetisieren und von neuem zu beginnen.

128

9. MAGNETISCHE HYSTERESIS

Speicheroszilloskop

Y1

Rint

i2(t) u2(t) Ringkern

RL

Y2

Cint – – +

Ua(t)

Integrator

Abbildung 9.4: Details der Schaltung und der ¨ ausseren Zusatzelemente des Integrators.

¨ Abbildung 9.5: Typisches Messergebnis beim Andern von Ri um eine Stufe aus einer Messserie (Papierausdruck des Speicheroszilloskope). T R1 ist das Signal u2 (t) und T R2 ist das Signal ua (t), die beigef¨ ugten Werte sind die Einheiten pro Skaleneinheit.

9.2. VERSUCHSAUFGABEN

129

4 AT

n2 = 100 50

ra ri

10 3 1 0

n1= 2000

Abbildung 9.6: Innenleben der Ringkerne: n1 ist die Zahl der Prim¨ arwindungen, n2 die Zahl der Sekund¨ arwindungen und 4 AT steht f¨ ur eine 4 A Sicherung tr¨ age.

Messung der Hystereseschleife • Verbindung der Sekund¨ arspule auf den Integrator umpolen • Schrittweise Erh¨ ohung von Ri von 0 Ω – 925 Ω • Polwender am Netzger¨ at auf Null stellen (1. Messung) • Polwender am Netzger¨ at auf negativ stellen (1. Messung) • Schrittweise Reduktion von Ri von 925 Ω – 0 Ω • Verbindung der Sekund¨ arspule auf den Integrator umpolen • Schrittweise Erh¨ ohung von Ri von 0 Ω – 925 Ω • Polwender am Netzger¨ at auf Null stellen • Polwender am Netzger¨ at auf positiv stellen • Schrittweise Reduktion von Ri von 925 Ω – 0 Ω Misslingt eine Messung, so ist der Kern wieder zu entmagnetisieren und von vorne, oder zumindest beim letzten zur¨ uckliegenden S¨attigungswert erneut zu beginnen.

130

9.2.2

9. MAGNETISCHE HYSTERESIS

Auswertung

Das Magnetfeld des Prim¨ arstromes ist Hi =

N1 I1 2πrm

(9.6)

wobei N1 die Anzahl der Windungen auf der Prim¨arwicklung, I1 der Prim¨arstrom und rm der mittlere Kernradius sind. 1 (9.7) rm = (ra + ri ) 2 ¨ Die Anderung der magnetischen Induktion ist ∆Bi = −

qi (RL + RS ) N2 F

(9.8)

wobei N2 die Anzahl der Windungen auf der Sekund¨arseite, F die Querschnittsfl¨ache des Ringkernes, qi der induzierte Ladungspuls und RS der Innenwiderstand der Spule sind. Der Ladungspuls ergibt sich aus dem Integral des Sekund¨arstromes Z Z 1 u2 (t) dt (9.9) qi = i2 (t) dt = RL und wird mit dem Integrator gemessen. Die Ausgangsspannung des Integrators Ua ist Z ∞ 1 u2 (t) dt (9.10) Ua = − Rint Cint 0 wobei man hier auch die Polarit¨ at der angelegten Eingangsspannung ber¨ ucksichtigen muss. Somit erh¨ alt man f¨ ur den Ladungspuls qi = −

Rint Cint Ua (i) RL

(9.11)

Die magnetische Induktion ergibt sich dann als B=

X i

1 (RL + RS ) N2 F

F¨ ur RS cos δ > −1 • Vollst¨ andige destruktive Interferenz: cos δ = −1, d.h. δ = ±π, ±3π, ±5π, . . .

11.2.3

Beugung

Unter Beugung versteht man die Wellenausbreitung hinter einem Hindernis, dessen Ausdehnung von gleicher Gr¨ ossenordnung oder kleiner ist als die Wellenl¨ange. Erreicht eine ebene Lichtwellenfront einen Spalt, so kann man diesen in n-fach viele Punkte aufteilen. Diese werden wiederum als Punktquellen von Elementarwellen betrachtet bez¨ uglich des Fresnel-Huygens Prinzip (siehe Abbildung 11.2). Das resultierende Beugungsmuster auf einem Schirm, welcher im Abstand a hinter dem Spalt liegt, ergibt sich aus der Superposition der verschiedenen Elementarwellen. Somit stehen wir vor dem analogen Problem wie bei der Interferenz. 1. a~λ →

a

2.

3. 2

λ «a «D /λ →

a

2

a »D /λ →

a

Abbildung 11.2: Auf der linken Seite werden schematisch die einzelnen Punkte im Spalt als Quellen weiterer Elementarwellen dargestellt. Auf der rechten Seite sieht man die resultierenden Beugungsmuster, je nach Abstand a des Bildschirms zum Spalt

Je nachdem wie weit der Schirm vom Spalt entfernt ist, s. Abb. 11.2, unterscheiden wir drei G¨ ultigkeitsbereiche und daraus resultieren unterschiedliche Beugungsmuster am Schirm.

11.2. THEORIE

153

1. a ∼ λ, D ≫ λ In einigen wenigen Wellenl¨ angen Abstand von der Blende ist die N¨aherung der geometrischen Optik noch g¨ ultig. Licht und Schatten sind bis auf Gr¨ossenordnungen der Wellenl¨ ange scharf. 2. λ ≪ a ≪ D2 /λ In diesem Zwischenbereich sind Licht und Schattengrenzen unscharf. Die Ausdehnung √ der Unsch¨ arfe betr¨ agt λa ≪ D. Dies ist das Gebiet der sogenannten Fresnelbeugung, auf die wir hier nicht eingehen wollen. 3. a ≫ D2 /λ Weit entfernt von der Blende dominieren Beugungserscheinungen. Wir beobachten ein grosses, weiches Beugungsbild der Ausdehnung λa D ≫ D. Dies ist das Gebiet der Fraunhoferbeugung, auf die wir im folgenden Abschnitt n¨aher eingehen wollen.

11.2.4

Fraunhofer Beugung

Einfache Spaltblende Der Weg des Lichts von einer Quelle y im Spalt zum Punkt P auf dem Schirm wird durch r(y) beschrieben. R ist wiederum der Vektor vom Mittelpunkt der Quelle zum besagten Punkt P. Somit k¨onnen wir r als Reihe von R und y darstellen: r = R − y sin θ +

y2 cos2 θ + . . . R

(11.10)

Der Winkel θ wird in der x-y Ebene vom Spalt aus gemessen. Den dritten und die h¨oheren Terme der Reihe kann man vernachl¨ assigen, wenn R ≫ D ist (bzw. a ≫ D).

Abbildung 11.3: Skizze f¨ ur einige Lichtwege hinter dem Einfachspalt

154

11. FRAUNHOFERBEUGUNG

Ist die elektrische Feldst¨ arke im Spalt E(y) = E0 eiωt dann ist die resultierende Feldst¨arke am Punkt P auf dem Schirm die Summation der Felder, die von allen y’s im Spalt ausgehen. W¨ahlen wir infinitesimal kleine Abst¨ ande zwischen den einzelnen Quellen im Spalt so wird die Summation als Integration dargestellt, wobei die Spaltbreite als Integrationsgrenze gew¨ahlt wird. EP (θ) =

Z

D/2

= E0 e = E0 e mit k =

2π λ

E0 eiωt−ikr dy

−D/2 iωt−ikR

Z

iωt−ikR e

D/2

eiky sin θ dy

−D/2

ikD sin θ 2

− e− ik sin θ

ikD sin θ 2

(11.11)

und e±iδ = cos δ ± i sin δ ist EP (θ) = E0 e

iωt−ikR

D

sin

πD sin θ λ
πD sin θ λ




(11.12)

Die gemessene Intensit¨ at wird aus dem Betragsquadrat der Feldst¨arke berechnet und der Vorfaktor wird oft mit I0 abgek¨ urzt. IP (θ) = I0

"

sin

πD sin θ λ πD sin θ λ


#2

(11.13)

Die Intensit¨ at ist Null, d.h. es herrscht Dunkelheit, wenn: πD sin θ λ

= π, 2π, . . .

sin θ = n

λ D

mit n = 1, 2, 3 . . .

Dazwischen liegen die Intensit¨ atsmaxima bei sin θ = mit n = 1, 2, 3, . . . .

λ D Cn ,

(11.14)

wobei n¨aherungsweise Cn ≈ n + 21

Doppel- und Mehrfachspaltblenden Wenn man N gleichartige Spalten der Breite D parallel und regelm¨assig im gegenseitigen Abstand g (g = Gitterkonstante) anordnet, dann spricht man vom Doppelspalt (N = 2), Dreifach-Spalt (N = 3), etc., oder bei grossem N von einem Gitter. Zur Berechnung der Intensit¨ atsverteilung des Beugungsmusters auf einem Schirm hinter dem Mehrfachspalt m¨ ussen wir die Strahlen jedes Spalts f¨ ur sich zusammengefasst denken und dann die Beitr¨ age aller Spalten aufsummieren. Wir gehen also von der Formel 11.12 aus, bei der bereits u ¨ber einen Spalt integriert wurde und erweitern sie durch die Beitr¨age aller

11.2. THEORIE

155

Abbildung 11.4: Geometrie eines Dreifachspaltes

weiteren Spalten. EP



 = E0 eiωt−ikR  

g+ D 2

D 2

Z

eiky sin θ dy +

−D 2

= E0 eiωt−ikR

"

e

Z

− e− ik sin θ

ikD sin θ 2

Z

eiky sin θ dy + . . . +

g− D 2

ikD sin θ 2



(N −1)g+ D 2

(N −1)g− D 2 D

 eiky sin θ dy  

D

eik((N −1)g+ 2 ) sin θ − eik((N −1)g− 2 ) sin θ + ... + ik sin θ

ikD sin θ

ikD sin θ 2

− e− 2 (1 + . . . + eik(N −1)g sin θ ) = E0 e ik sin θ
−1 kD sin θ N X iωt−ikR sin 2 e−ikng sin θ = E0 e D kD sin θ iωt−ikR e

#

2

(11.15)

n=0

Die Summe u ¨ber n stellt eine geometrische Reihe dar; mit der Formel PM 1−q M +1 m ergibt sich f¨ ur die Summe m=0 q = 1−q PN −1 −ikng sin θ 1−e−iN gk sin θ G = n=0 e = 1−e−igk sin θ .

Bei der Berechnung der Intensit¨ at wird |G|2 gebildet, d.h. G wird mit seinem konjugiert Komplexen multipliziert. |G|2 =

e−iN gk sin θ )(1

e+iN gk sin θ )

(1 − − −igk sin θ (1 − e )(1 − e+igk sin θ )

Somit ergibt sich f¨ ur die Intensit¨ atsverteilung In (θ) = I0 F¨ ur θ → 0 ist klar, dass damit

sin Dk 2sin θ Dk sin θ 2



iN gk sin θ 2

− e−

iN gk sin θ 2

igk sin θ 2

− e−

igk sin θ 2

e = 

e

  2
!2  θ sin N gk sin 2     gk sin θ sin 2

limθ→0 IN = N 2 limθ→0 I1 = N 2 I0

2

2

(11.16)

(11.17)

(11.18)

156

11. FRAUNHOFERBEUGUNG

Die Funktion 11.17 setzt sich aus zwei Faktoren zusammen: Der Intensit¨atsverteilung des Spaltes und der Funktion 11.16, die wir Gitterfunktion“ nennen. Diese Beziehung ist in Ab” bildung 11.5 anschaulich dargestellt, welche das Beugungsmuster eines Dreifachspaltes zeigt. Die Intensit¨ atsverteilung der Beugung von den Mehrfachspalten wird mit dem Beugungsmuster des Einzelspaltes moduliert.

Abbildung 11.5: Beugungsmuster eines Dreifachspaltes

Dies bedeutet auch, dass unter den Winkeln θ, wo beim Einzelspalt ein Intensit¨atsminimum ist, auch beim Gitter ein Minimum auftritt (vlg. Gleichung 11.17). Man nennt diese Hauptminima. Zwischen ihnen liegen die Maxima des Einzelspaltes, welche Hauptmaxima genannt werden. Unter diesen Hauptmaxima befinden sich weitere Nebenmaxima und -minima. Bei dem Doppelspalt haben wir einen Spezialfall. Setzen wir N =2 in Gleichung 11.17 ein, so ergibt sich wegen sin 2α = 2 sin α cos α und α = g/2k sin θ: IN = 4 cos

11.3

2



πg sin θ λ



πd sin θ λ
πd sin θ 2 λ

sin2




(11.19)

¨ Ubungen

1. Berechne die Orte der Maxima und deren Intensit¨atsverh¨altnis zum Hauptmaximum f¨ ur die einfache Spaltblende (Gleichungen 11.13 und 11.14). Tipp: Da der Nenner ansteigt, liegen die Intensit¨ atsmaxima etwas tiefer als das Maximum des Sinus. ¨ 2. Uberlege dir anhand Gleichung 11.17 genauer, wie die Hauptmaxima, Minima und Nebenmaxima zueinander angeordnet sind. Wo liegen sie? 3. Was geschieht mit dem Intensit¨atsmuster in Gleichung 11.17, wenn N sehr gross wird? ¨ Wie ist der Ubergang zu N → ∞?

11.4. VERSUCHSAUFBAU

11.4

157

Versuchsaufbau

F¨ ur diesen Versuch wird ein Laser der Wellenl¨ange 633 nm verwendet. Achtung: Nie direkt in das vom Laser emittierte Licht schauen! Dies kann zu irreparablen Sch¨aden im Auge f¨ uhren! Die Laserquelle ist auf einer optischen Bank befestigt, auf der verschiedene Blenden montiert werden k¨onnen (s. Abbildung 11.6). Am Ende der Bank ist eine fahrbare Photozelle angebracht, die von einem Motor angetrieben wird. Sie misst die Lichtintensit¨ at. Ihr Signal wird zu einem Verst¨ arker gef¨ uhrt, der sowohl linear als auch logarithmisch verst¨arkt. Beide Signale werden auf dem Bildschirm der MACs in einem virtuellen Instrument (vi) von LabVIEW angezeigt. Achtung: Bei den weit separierten Doppelspaltblenden muss die Blende gen¨ ugend weit vom Laser aufgestellt werden, damit beide Spalten voll beleuchtet werden.

Abbildung 11.6: Photographie der Versuchsanordnung. Der Laser ist ein 0,95-mW-Helium-Neon-Gas-Laser (633 nm). Die Spalten sind in Metallfolien ge¨ atzt worden und werden durch Glasscheiben gesch¨ utzt (diese keinesfalls entfernen!). Der Detektor ist eine 1mm breite Photodiode mit einer 0,1 mm breiten MetallschlitzMaske, montiert auf einem in einer Richtung beweglichen Wagen. Der Kontroller erlaubt es, die Position, Geschwindigkeit und Richtung des Wagens zu steuern. Das Signal der Diode wird durch ein Koaxialkabel zum Vorverst¨ arker geleitet, dessen Output mittels eines flachen Bandkabels zum Computer weitergegeben wird.

11.5

Versuchsaufgaben

1. Bestimme den Eichfaktor (Winkel/Kanal) der Messanlage und gib dessen Fehler an. 2. Nimm f¨ ur alle vorhandenen Einspaltblenden das Beugungsmuster auf. • Bestimme daraus die Spaltbreite und vergleiche sie mit den Herstellerangaben. • Miss die Intensit¨ atsverh¨ altnisse der ersten Nebenmaxima zum Hauptmaximum und vergleiche mit der Theorie. ¨ • Uberlege dir, wie sich die Heisenbergsche Unsch¨arferelation ¨aussert.

158

11. FRAUNHOFERBEUGUNG

3. Bestimme f¨ ur einige der vorhandenen Zwei- bis F¨ unfspaltblenden die Parameter D/λ und g/λ und stelle die gemessenen und die mit der Formel berechneten Beugungsmuster graphisch dar. Vergleiche und diskutiere allf¨allige Unterschiede. Falls bei der Auswertung Unstimmigkeiten auftreten, versuche sie zu erkl¨aren.

11.5.1

Vorbereitung des Versuchs

Um die mit dem fahrenden Detektor gemessenen Beugungsmuster interpretieren zu k¨onnen, muss der Umrechnungsfaktor Zeitkanal ↔ Winkel θ bekannt sein. Diesen Faktor ermittelt man im Voraus mit Hilfe einer Einspaltblende, indem man deren Beugungsmuster in unabh¨angiger Weise bestimmt und danach mit der computergest¨ utzten Messung vergleicht. Eichung mit einer Einspaltblende Um die Winkel zwischen verschiedenen Beugungsminima m¨oglichst genau bestimmen zu k¨onnen, wird das Beugungsmuster eines (nominellen) 0,04-mm-Spalts an die Wand projiziert. • Schalte den Laser mehrere Minuten vor der ersten Messung ein, um Intensit¨atsschwankungen zu vermeiden. • Entferne den Detektorhalter sorgf¨altig von der optischen Bank. Befestige den BlendenHalter mit der Einspaltblende im Abstand von ca. 10 cm vom Laser auf der optischen Bank, damit der Lichtfleck breiter als der breiteste Spalt wird. Drehe den Spalt in horizontale Lage, damit das Beugungsmuster vertikal an die Wand geworfen wird (weshalb vertikal?). Benutze das Metall-Messband um die Distanz zwischen Wand und Spaltblende zu bestimmen (∼4m). • Dunkle den Raum ab und markiere die Positionen (auf einem Blatt Papier) von einigen Beugungsminima. Verwende einen Massstab, um die Distanzen zwischen diesen Minima zu messen. Um ein m¨oglichst genaues Resultat zu erhalten, sollten weit auseinanderliegende Minima verwendet werden. Typischerweise sollte beim 0,04-mm-Spalt das 10. Minimum noch sichtbar sein. • Berechne die Winkel zu den gemessenen Minima. Bestimme nun mit der Herstellerangabe der Wellenl¨ ange des Lasers von 633 nm und dem theoretischen Ausdruck f¨ ur die Beugungsminima die experimentelle Breite des verwendeten Spalts. Berechne den Fehler der Messung und vergleiche das Resultat mit dem nominellen Wert der Spaltbreite. Wie gross ist der Fehler, der entsteht, weil das Muster auf eine flache Wand projiziert wird, anstatt auf eine zylindrische Fl¨ache mit dem Spalt auf der Rotationsachse? • Setze den Detektorhalter zur¨ uck auf die optische Bank (ganz ans Ende!) und schraube ihn fest. Einstellung des Verst¨ arkers Der verwendete Verst¨ arker verst¨ arkt linear und logarithmisch (2 Ausg¨ange), beide Signale ¨ werden auf dem Bildschirm dargestellt. (Welches hat die gr¨ossere Ahnlichkeit mit dem menschlichen Auge? Spekuliere, warum das von der Natur so eingerichtet worden sein k¨onnte.) Stell

11.5. VERSUCHSAUFGABEN

159

den Verst¨ arker so ein, dass er im Hauptmaximum gerade nicht in S¨attigung betrieben wird. ¨ Dieser Schritt muss f¨ ur alle Blenden wiederholt werden. Uberlege dir warum! • Benutze den Kontroller, um den Detektor zum hellsten Fleck des Beugungsbildes zu steuern. Lass den Detektor dort stehen. Der Vorverst¨arker soll so eingestellt werden, dass das Signal gerade noch nicht in S¨attigung geht. Wenn das Signal in S¨attigung geht, werden die h¨ ochsten Maxima oben flach abgeschnitten. • Teste die Einstellung mit einem Durchgang durch das Beugungsmuster. Achte dabei auf S¨attigung des Signals. Konversionsfaktor Winkel/Kanal Mit den Resultaten aus Abschnitt 11.5.1 kann nun der Konversionsfaktor Winkel/Kanal berechnet werden. Damit wird es erst m¨oglich, die Resultate physikalisch zu interpretieren. Dazu setzt man die Detektorgeschwindigkeit auf konstant“ und misst das Beugungsmuster der ” geeichten Einspaltblende. Der Menupunkt Skalieren/Drucken“ des Fraunhofer-Programms ” erlaubt es nun, auf dem Bildschirm die Kanalnummern der an der Wand gemessenen Minima und Maxima zu bestimmen. Benutze alle gemessenen Winkel, um die Ungenauigkeiten zu minimieren und bestimme den besten Skalierungsfaktor Winkel/Kanal in Radian. Alle weiteren Messungen k¨ onnen dann mit demselben Skalierungsfaktor umgerechnet werden, wenn an der optischen Bank und an der Detektorgeschwindigkeit nichts mehr ge¨andert wird.

11.5.2

Bedienungsanleitung fu ¨ r das Programm

Das LabVIEW Programm Fraunhofer Zum Starten die Ikone Fraunhofer in der Fussleiste anklicken. Jetzt sollte man das Hauptmenu ( Willkommen zum Versuch Fraunhoferbeugung“) sehen, das in Abb. 11.7 gezeigt ist. Von ” hier aus k¨ onnen alle f¨ ur diesen Versuch notwendigen Unterprogramme gestartet werden. • Einstellungen“ ist zum Vorbereiten jeder Messung. Der Vorverst¨arker wird optimal ” eingestellt und der abzutastende Bereich wird ausgew¨ahlt. • Messen/Speichern“ ist zum Registrieren einer Anzahl Messwerte und zum Speichern ” der Messdaten in einer Datei. • Bei Skalieren/Drucken“ kann man eine Datei mit Messdaten einlesen, das Beugungs” muster zentrieren, skalieren und schliesslich ausdrucken. • Der Menupunkt klassische Formel“ erlaubt es, synthetische Beugungsmuster mit der ” klassischen Formel 11.17 herzustellen, zu skalieren und auszudrucken. • Fourier-Analyse“ ist als Spielprogramm gedacht. W¨ahrend man bei der Intensit¨ats” berechnung mit der klassischen Formel auf Spalten der gleichen Breite und mit identischen Abst¨ anden beschr¨ ankt ist, kann mit diesem Programm das Beugungsmuster von Mehrspaltblenden mit variablen Breiten und Abst¨anden berechnet werden. • Stop“ dient zum Beenden des Fraunhofer-Programms. ”

160

11. FRAUNHOFERBEUGUNG

Abbildung 11.7: Hauptmenu des Fraunhofer-Programms

Einstellungen Klickt man mit der Maus im Hauptmenu auf das erste Unterprogramm, sollte die Benutzeroberfl¨ache des virtuellen Instruments“ von Abb. 11.8 sichtbar werden. ” Hier hat man drei Kn¨ opfe zur Programmsteuerung, und zus¨atzlich k¨onnen jederzeit die Achsen der Graphik manuell skaliert werden. Die obere Kurve ist vom logarithmischen Ausgang, die untere vom linearen Ausgang des Verst¨arkers. Hier kann man sich erst einmal mit der Datenaufnahme des Fraunhoferprogramms vertraut machen. • Start Schreiber“ schaltet den Detektor ein und beginnt mit der kontinuierlichen Da” tenaufnahme, bis Stop Schreiber“ gedr¨ uckt wird. ” • Anzeige L¨ oschen“ l¨ oscht die Anzeige. ” • Zur¨ uck“ beendet das Unterprogramm. ” Messen / Speichern W¨ahlt man im Hauptmenu Messen/Speichern“, dann sollte die Benutzeroberfl¨ache von Ab” bildung 11.9 sichtbar werden.

11.5. VERSUCHSAUFGABEN

161

Abbildung 11.8: Einstellungen

Die Anzahl aufzunehmender Messpunkte muss im Voraus bei Wieviele Samples“ eingegeben ” werden (der Defaultwert ist 8192). Die Abtastrate ist auf 100 pro Sekunde festgelegt und das Abfahren des maximal m¨ oglichen Messbereichs mit der eingestellten konstanten Geschwindigkeit dauert knapp 4 Minuten. Zur Steuerung der Messung stehen die folgenden sechs Tasten zur Verf¨ ugung: • Start Messung“ schaltet den Detektor ein und beginnt mit der Messung der vorgege” benen Anzahl Messpunkte mit fixer Abtastrate. • Stop Messung“ unterbricht die Messung vorzeitig. ” • Drucken“ schickt die Graphik (unskaliert) zum Drucker. ” • Speichern“ speichert die Aufnahme als Bin¨ardatei im Ordner Fraundata“. ” ” • Anzeige L¨ oschen“ l¨ oscht die gemessenen Daten und die Anzeige. ” • Zur¨ uck“ beendet das Unterprogramm. ”

162

11. FRAUNHOFERBEUGUNG

Abbildung 11.9: Messen/Speichern

Skalieren / Drucken Um vorher gespeicherte Messungen zu analysieren, w¨ahlt man im Hauptmenu das dritte Unterprogramm. Es erscheint das virtuelle Instrument mit der Benutzeroberfl¨ache in Abb. 11.10. Hier hat man vorerst die folgenden vier Tasten zur Verf¨ ugung: • Einlesen“ dient zum Ausw¨ ahlen einer Datei mit Messdaten. ” • Skalieren/Drucken“ f¨ ahrt fort in diesem Unterprogramm (siehe unten). ” • Anzeige L¨ oschen“ l¨ oscht das eingelesene Beugungsmuster. ” • Zur¨ uck“ beendet das Unterprogramm. ” Nach dem Einlesen“ eines gemessenen Beugungsmusters f¨ahrt man weiter mit Skalieren / ” ” ¨ Drucken“, worauf ein Bildschirm mit der Uberschrift Bitte Zentralkanal w¨ahlen und setzen“ ” sichtbar wird. Hier ist das normierte Beugungsmuster linear und logarithmisch dargestellt. Die x-Achse ist mit Kanalnummern (Nummern der Messpunkte) beschriftet. Der Anwender verschiebt nun das Fadenkreuz an die Stelle, wo er die Mitte des Beugungsbildes vermutet. Als Hilfe werden die Koordinaten des Fadenkreuzes dauernd in einem Fenster angezeigt. Ist die optimale Position gefunden, dann klickt man auf das Feld Zentralkanal setzen“ und die ”

11.5. VERSUCHSAUFGABEN

163

Abbildung 11.10: Skalieren/Drucken

Beschriftung der x-Achse wird so verschoben, dass der gew¨ahlte Zentralkanal neu Kanal 0 ist. Ist man zufrieden mit dem Ergebnis, so w¨ahlt man Weiter“. ” Nun erscheint ein neues Bild mit dem Titel Bitte Winkelskalierung durchf¨ uhren“. Das Ziel ” ist es, im Eingabefeld Winkel/Kanal“ den Umrechnungsfaktor zwischen Beugungswinkel (in ” Radian) und der Anzahl Kan¨ ale einzugeben. Dazu verwendet man die an der Wand gemessenen Winkel von Minima oder Maxima einer Einschlitzblende zur Eichung. Die entsprechenden Extrema k¨ onnen auf dem Bildschirm mit Hilfe zweier Fadenkreuze ausgemessen werden. In einem K¨astchen wird als Hilfe dauernd der Abstand (in Kan¨alen) der beiden Fadenkreuze angezeigt. Hat man den Skalierungsfaktor eingegeben, dann klickt man auf Skalieren“ und ” die Abszisse wird nun in Winkeleinheiten angeschrieben.

Jetzt kann man auf Drucken“ klicken, dann erh¨alt man einen Schirm, wo man aufgefordert ” wird, bei der Abszisse den gew¨ unschten Winkelbereich f¨ ur den Ausdruck einzustellen, bevor wirklich gedruckt wird.

164

11. FRAUNHOFERBEUGUNG

Klassische Formel Um mit der klassischen Formel 11.17 Modell-Beugungsfiguren zu berechnen, w¨ahlt man im Hauptmenu das vierte Unterprogramm, dessen virtuelles Instrument in Abbildung 11.11 dargestellt ist. Die folgenden Parameter der klassischen Formel f¨ ur die Fraunhoferbeugung von Licht der Wellenl¨ange λ an N Spalten der Breite D mit Gitterkonstante g m¨ ussen angegeben werden: • Winkel: Minimum“ und Winkel: Maximum“ geben die Gesamtbreite des Winkelbe” ” reichs an (dimensionslose Einheiten in sin(φ)) • Zahl der Spalte“ ist N . ” • Spaltbreite“ ist D/λ. ” • Gitterkonstante“ ist g/λ. ” Wenn die Parameter definiert worden sind, klickt man auf Zeichnen“ und das Modell” Beugungsmuster wird logarithmisch und linear dargestellt. Die Beschriftung der Abszisse kann manuell ge¨ andert werden, damit der mit Drucken“ erzeugte Ausdruck gut mit den ” ausgedruckten Messdaten verglichen werden kann.

Abbildung 11.11: Klassische Formel

11.5. VERSUCHSAUFGABEN

11.5.3

165

Auswertung

Um die gemessenen Beugungsmuster mit den berechneten zu vergleichen, empfiehlt es sich, auf folgende Weise vorzugehen: • Lies mit Skalieren/Drucken“ eine Messung ein, zentriere und skaliere sie. ” • Drucke einen oder mehrere interessante Ausschnitte des Musters aus. • Bestimme auf dem Ausdruck (oder am Bildschirm) die Position einiger deutlich sichtbarer Minima oder Maxima, und identifiziere sie gem¨ass der Gleichung 11.17. • Bestimme nun aus der Position dieser Extrema die Parameter D/λ und g/λ. Welche Extrema f¨ uhren zu den genausten Ergebnissen? • W¨ahle das Unterprogramm Formel“ und gib die gefundenen Parameterwerte ein. ” • Zeichne das synthetische Beugungsmuster und drucke die gleichen interessanten Auschnitte wie f¨ ur die Messungen aus. • Vergleiche die Resultate, diskutiere die Unterschiede und verbessere die Parameter wenn n¨otig. Fourier-Analyse Teste im Untermenu Fourier-Analyse“, was geschieht, wenn im Unterschied zur klassischen ” Formel 11.17 Breiten und Abst¨ ande der Spalten untereinander variieren. Dazu sind leider keine Spaltblenden verf¨ ugbar. Wie ver¨andert sich die Breite der Beugungssmaxima wenn die Spaltbreiten sehr gross (D→ ∞) oder sehr klein (D→ 0) werden? Schlussdiskussion Es sollte allen Teilnehmenden klar geworden sein, • dass zwar das Intensit¨ atsmuster der Fraunhoferbeugung durch die Fouriertransformierte der Blenden¨ offnung gegeben ist, damit aber nicht identisch ist! • welcher Term im Ausdruck f¨ ur die Intensit¨at was bewirkt. • dass LabVIEW einige Arbeit abnehmen kann. Wir hoffen, dass uns dies mit diesem Versuch gelungen ist.

¨ L¨ osungen zu den Ubungen Fehler bitte dem Assistenten / der Assistentin melden! 1. Dies f¨ uhrt auf eine transzendente Gleichung der Form tan x = x. Die ersten L¨osungen sind: x = ±1, 4303 π, ±2.459 π, ±3, 4707π, . . .. Das Intensit¨atsverh¨altnis des Maximums erster Ordnung zum Hauptmaximum betr¨agt 0,047, das des Maximums zweiter Ordnung 0.017 und das des Maximums dritter Ordnung 0,008.

166

11. FRAUNHOFERBEUGUNG

2. Wir diskutieren den von N abh¨angigen Faktor. Der langsam ver¨anderliche, von N unabh¨ angige Teil wirkt lediglich als Einh¨ ullende und ver¨andert die Resultate nur unwesentlich. ur x = 0, ±π, ±2π, ±3π, . . .. Mit x = Hauptmaxima: (sin N x/ sin x) = ±N , d. h. f¨ kx D/2 = kD/2 sin α heisst das f¨ ur ganzzahliges m: D sin α = mλ. Damit liegen die Hauptmaxima f¨ ur beliebiges N > 1 am selben Ort! π ur x = ± N Minima (Nullstellen): (sin N x/ sin x) = 0, d. h. f¨ (1, 2, 3, . . . , N -1, N +1, . . .) ¨ (also mit Uberspringen der x-Werte der Hauptmaxima). Damit sitzen zwischen zwei benachbarten Hauptmaxima (N − 1) Minima.

Nebenmaxima: Zwischen den (N − 1) Minima der Ordnung 0 muss je ein Maximum erster Ordnung liegen, d.h. zwischen zwei Hauptmaxima m¨ ussen (N − 2) Maxima erster Ordnung liegen. F¨ ur grosse N variiert sin N x schneller als sin x und in der N¨ahe von 3π 5π x ≈ 0 liegen die Maxima erster Ordnung ungef¨ahr bei x = ± 2N , ± 2N , . . . Ihre Intensit¨aten ergeben sich durch Einsetzen in Gleichung 11.17. F¨ ur das erste Maximum erh¨ alt 1 2 1 man leicht I = I1 (~a)α→0 ( 3π ) ≈ 22 IN (~a)α→0 . 2N

3. Die vorhergehende Diskussion hat klar gemacht, dass die Hauptmaxima immer schmaler werden m¨ ussen f¨ ur N → ∞. F¨ ur kleine kx D/2 gilt: sin N kx D/2 N →∞ sin N kx D/2 ≈ −→ πδ(kx D/2), sin kx D/2 kx D/2

(11.20)

wobei δ(x) die Diracsche Deltafunktion ist. Dies heisst nicht, dass I eine Deltafunktion ist! Vergleiche mit einschl¨agigen Notizen aus den theoretischen Vorlesungen. Die Tatsache, dass die Hauptmaxima immer schmaler werden, erkl¨art auch, wie sich die Intensit¨ aten f¨ ur α → 0 von N Spalten quadratisch addieren k¨onnen: Die Intensit¨at wird andernorts reduziert.

Kapitel 12

Akustik

12.1. EINLEITUNG

12.1

169

Einleitung

In der Akustik wird versucht, die mannigfaltigen Erscheinungen und das Verhalten des Schalls, seine Entstehung, Ausbreitung und Vernichtung zu verstehen. Da der Schall mit dem menschlichen Ohr wahrnehmbar ist, beschr¨ ankte sich die Akustik lange Zeit auf den h¨orbaren Schall. Inzwischen sind jedoch Schallempf¨ anger entwickelt worden, welche Schall auch weit u ¨ber den vom Menschen h¨ orbaren Bereich (in Frequenz und Intensit¨at) nachweisen k¨onnen. In diesem Praktikumsversuch werden wir uns allerdings auf den h¨orbaren Schall beschr¨anken. Die Eindr¨ ucke, welche der Schall auf den Menschen aus¨ uben kann (Musik, Ger¨ausch, Knall), werden wir nur soweit behandeln, wie sie mit Hilfe physikalischer Mittel erkl¨arbar sind. Eindr¨ ucke im Sinne von Empfindungen geh¨ oren nicht in das Gebiet der Physik, ebenso wenig wie die k¨ unstlerische Wirkung von Farben auf den Menschen. Als Schallquelle verwenden wir in diesem Praktikumsversuch einen grossen Gong. Den durch Anschlagen des Gongs erzeugten Klang werden wir mit elektronischen Hilfsmitteln analysieren und die Resultate letztlich mit dem eigenen H¨oreindruck vergleichen.

12.2

Theorie

Durch Ber¨ uhren eines Schallsenders kann man sehr bald erkennen, dass die Schallerzeugung mit mechanischen Schwingungen verbunden ist – man ber¨ uhre z.B. die schwingende Membran eines Lautsprechers, die schwingende Saite eines Musikinstrumentes oder den angeschlagenen Gong unseres Praktikumsversuches. Diese mechanischen Schwingungen des Schallerzeugers werden als Dichteschwankungen auf die Luft u ¨bertragen, welche von unserem Geh¨or wahrgenommen werden. Im Sprachgebrauch werden f¨ ur verschiedene Erscheinungen des Schalls Ausdr¨ ucke wie Ton, Klang, Ger¨ ausch, Knall und viele mehr verwendet. Diese Bezeichnungen lassen sich auch physikalisch unterscheiden. • Ein Ton wird durch eine reine sinusf¨ormige Schwingung erzeugt. Er l¨asst sich auf einer Frequenzskala als einzelne, scharfe Linie darstellen, wobei die H¨ohe ein Mass f¨ ur die Amplitude der Schwingung ist. Dies gilt strenggenommen jedoch nur, wenn der Ton unendlich lange anh¨ alt. Ber¨ ucksichtigt man die endliche Dauer eines Tones, so entspricht dies nach der Fourier–Analyse (auch Frequenzanalyse, vgl. Kap. 12.2.3) einer Verbreiterung der Linie, welche um so st¨arker ist, je weniger Perioden durchlaufen werden: ∆f ∆T ≥ 1

(12.1)

wobei ∆f die Unsicherheit in der Frequenzbestimmung und ∆T die Dauer des Tones darstellen. Diese Beziehung heisst klassische Unsch¨ arferelation und ist gleich 1, wenn bei der Frequenzbestimmung keine weiteren Unsicherheiten auftreten (z.B. eine verrauschte Amplitudenmessung). • Dem Klang entspricht physikalisch eine beliebige nicht sinusf¨ ormige periodische Schwingung in der Grundfrequenz (dem Grundton), welche i.A. die tiefste Frequenz im Frequenzspektrum ist1 . Gem¨ ass der Fourier–Analyse ist ein Klang gleichbedeutend mit der 1

Untert¨ one, d.h. T¨ one, bei der halben, drittel, . . . , Frequenz des Grundtones, entstehen in den klassischen Instrumenten nur ausnahmsweise, werden hingegen in elektronischen Instrumenten bewusst durch Frequenzteilung erzeugt.

170

12. AKUSTIK ¨ Summe von harmonischen T¨ onen, d.h. mit der Uberlagerung von T¨onen, deren Frequenzen sich zueinander wie ganze Zahlen verhalten. Ein musikalischer Ton“ (abgesehen ” von den leblosen Sinust¨ onen von manchen elektronischen Instrumenten) ist physikalisch ¨ gesehen immer ein Klang, n¨ amlich die Uberlagerung mehrer Sinust¨one. • Die in einem Ger¨ ausch enthaltenen Frequenzen unterliegen dagegen keiner Gesetzm¨assigkeit mehr, ein Ger¨ ausch ist also ein vollkommen aperiodischer Vorgang, bei dem Frequenzen und Amplituden statistisch wechseln. Bekannt ist das Rauschen turbulenter Luftstr¨omungen (Wind). Treten alle Frequenzen mit gleicher Amplitude auf, so spricht man in Analogie zum Licht vom weissen Rauschen. • Ein Knall enth¨ alt kurzzeitig alle Frequenzen eines grossen Bereiches. Die Amplituden klingen dabei rasch ab, so dass meist nur wenige Perioden durchlaufen werden.

Die einfachste Schwingung, der reine Ton, kommt in der Natur praktisch nicht vor; ein exakter Ton l¨ asst sich nur mit elektronischen Hilfsmitteln erzeugen. H¨orbare, mechanisch erzeugte Schwingungen sind in der Regel keine T¨one, sondern Kl¨ange. Sie enthalten neben dem Grundton (Grundfrequenz) weitere T¨one, die Obert¨ one. Die Obert¨one sind es auch, die es uns erm¨oglichen, zwischen den Kl¨ angen der verschiedenen Musikinstrumente zu unterscheiden. Die Klangfarbe ist n¨ amlich im wesentlichen durch die Anzahl und relative Intensit¨ at der Obert¨ one bestimmt. Zudem ist f¨ ur die Klangfarbe der Einschwingvorgang des schwingungsf¨ahigen Systems massgebend. So k¨onnen anf¨anglich Obert¨one auftreten, welche zu einem sp¨ateren Zeitpunkt nicht mehr vorhanden sind. Es liegt also ein zeitlich ver¨anderliches Klangspektrum vor, welches sich nur dreidimensional darstellen l¨ast. Wie bereits Helmholtz2 gezeigt hat, ist die Klangfarbe von der Phasenlage der Obert¨one untereinander und zum Grundton weitgehend unabh¨ angig. Physikalisch besteht der Unterschied zwischen einem musikalischen Einzel ton“ und einem ” Akkord nur in der relativen Amplitude der Oberschwingungen: Im Akkord sind einige von ihnen besonders betont, n¨ amlich die musikalischen Einzelt¨one. Bis zu einem gewissen Grad kann man das Harmoniesystem der Musik aus der Obertonreihe ableiten. ¨ Ubung 1: Die Anregung einer Geigensaite mit dem Bogen erfolgt beim normalen Spiel so, dass die Auslenkung der Saite ziemlich genau eine S¨agezahnschwingung in der Zeit ausf¨ uhrt (vgl. Abb. 12.1). Bestimme das Frequenzspektrum der Geige mittels Fourierzerlegung (die Fourierreihe). Zeichne das Frequenzspektrum f¨ ur den musikalischen Ton a1 (440 Hz) auf. Setze die einzelnen Frequenzkomponenten mit anderen als der urspr¨ unglichen Phasenl¨ange zusammen und zeichne die so erhaltene Funktion auf. Abschliessend muss noch angemerkt werden, dass in Gasen und Fl¨ ussigkeiten nur Longitudinalwellen m¨ oglich sind, w¨ ahrend in Festk¨orpern Longitudinal- und Transversalwellen, sowie bei Stab- und Plattengestalt des Festk¨orpers auch Dehnungs- und Biegewellen auftreten k¨onnen. Wir haben nun schon vermehrt den Begriff Amplitude gebraucht. Diesen und alle weiteren physikalischen Begriffe zur Charakterisierung des Schalls, wollen wir nun genau definieren. 2

Herman Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821–1894) hat neben anderen grossen Leistungen in der Physik 1862 das Buch Zur Empfindung des Tones als physiologische Basis zur Theorie der Musik“ publiziert. ”

12.2. THEORIE

171

2

Amplitude

1

Zeit (s)

0 0.001

0.002

0.003

0.004

-1

-2 Abbildung 12.1: S¨ agezahnschwingung mit einer Amplitude von 2

Betrachten wir zun¨ achst den Schallausschlag an einem festen Ort (die Auslenkung eines Molek¨ uls von seiner Nominalposition) ξ(t) = ξˆ sin(ωt)

(12.2)

¨ mit der Schwingungsamplitude ξˆ und der Kreisfrequenz ω = 2πf . Die zeitliche Anderung des Schallausschlages ξ, also die Gr¨ osse dξ/dt, ist die Schallschnelle ν(t) = νˆ cos(ωt) = ω ξˆ cos(ωt), womit νˆ = ω ξˆ

(12.3)

mit der Schnelleamplitude νˆ. Sie stellt die Geschwindigkeit der ausgelenkten Molek¨ ule dar und ist nicht mit der Schallgeschwindigkeit c zu verwechseln! Als dritte Gr¨ osse betrachten wir den Schallwechseldruck p, dessen Amplitude pˆ in einer ebenen Welle mit der Schnelleamplitude durch den Schallwiderstand3 Ls verkn¨ upft ist: ˆ pˆ = νˆρc = ω ξρc Ls = ρc

(12.4) (12.5)

wobei ρ die Dichte und c die Schallgeschwindigkeit des Mediums sind. Es ist wichtig zu wissen, dass die Schallgeschwindigkeit in der Luft im wesentlichen unabh¨ angig von der Frequenz ist. Erst im Ultraschallbereich (also bei sehr grossen Frequenzen) stimmt dies nicht mehr. Auch bei grossen Schwingungsamplituden (Explosionen) w¨achst die Schallgeschwindigkeit mit der 3 In Analogie zum elektrischen Widerstand kann man beim Schallwiderstand die elektrische Stromst¨ arke der Schnelleamplitude und die elektrische Spannung der Druckamplitude gegen¨ uberstellen. Abgesehen von der Bequemlichkeit, die diese Ausdrucksweise mit sich bringt, darf man nicht u osse ρc – im ¨ bersehen, dass die Gr¨ Gegensatz zum ohmschen Widerstand – keine Energie in W¨ arme umwandelt!

172

12. AKUSTIK

Amplitude. F¨ ur die Schallgeschwindigkeit in Gasen gilt die aus der W¨armelehre bekannte Gleichung r pm κ c= ρ worin pm der statische Druck, ρ die statische Dichte und κ = cp /cv das Verh¨altnis der spezifischen molaren W¨ armekapazit¨ aten des Mediums darstellen. Da bei der Schallausbreitung weder W¨arme zu- noch abgef¨ uhrt wird, der Vorgang somit adiabatisch verl¨auft, muss nat¨ urlich ¨ die Poisson- oder Adiabatengleichung (pV κ = const.) f¨ ur die Anderung des Zustandes herangezogen werden. Der Ausdruck pm /ρ ist auch aus der W¨armelehre bekannt, und er h¨angt mit dem Wert f¨ ur die Temperatur T folgendermassen zusammen:   pm p0 T = 1+ , mit T0 = 273, 15K (12.6) ρ ρ0 T0 Somit ergibt sich f¨ ur trockene Luft (p0 = 1, 013 × 105 Pa, ρ0 = 1, 293 kg/m3 und κ = 1, 40) s r   p0 κ T T 1+ = 331, 2 1 + , [c] = m/s. c= ρ0 T0 T0 Die mittlere Energiedichte oder Schalldichte E berechnet sich aus der kinetischen Energie EKin pro Volumen der Welle EKin

  1 dξ 2 1 2 ˆ2 = ρ = ρω ξ cos2 (ωt). 2 dt 2

(12.7)

Unter Ber¨ ucksichtigung, dass bei einer Schwingung die mittlere kinetische Energie gleich der mittleren potentiellen Energie ist, ergibt sich durch Mittelwertbildung 1 1 2   E = hEKin i + hEP ot i = ρω 2 ξˆ2 = ρˆ ν , E = J/m3 . 2 2

(12.8)

Die Schallintensit¨ at I ist die pro Zeiteinheit durch eine zur Ausbreitungsrichtung senkrecht stehende Fl¨ ache hindurchtretende Energiedichte: 1 1 pˆ2 1 , [I] = W/m2 . I = Ec = ρω 2 ξˆ2 c = pˆνˆ = 2 2 2 ρc

(12.9)

Somit f¨ ullt die Schallintensit¨ at einen Quader von 1m2 Grundfl¨ache und einer H¨ohe gleich dem Produkt aus Schallgeschwindigkeit und Zeit. In jedem Kubikmeter ist die Energiemenge E = I/c enthalten. Die gesamte Energie pro Zeiteinheit, die eine Schallquelle in den ganzen Raum ausstrahlt, wird Schallleistung P genannt. Sie wird bestimmt, indem man die Schallintensit¨at u ¨ber die Oberfl¨ache eines Volumens integriert, welches die Schallquelle beinhaltet.

12.2. THEORIE

173

Dass sich der Schall auch in Fl¨ ussigkeiten ausbreiten kann, haben Colladon und Sturm 1827 durch Versuche im Genfersee bewiesen, indem sie eine Glocke unter Wasser anschlugen und die Zeit massen, welche verging, bis die von der Glocke ausgehenden Schallwellen an einem weit entfernten Punkt mittels eines ins Wasser getauchten H¨ohrrohres wahrgenommen wurden. Allgemein gilt f¨ ur die Schallgeschwindigkeit in Fl¨ ussigkeiten s K c= , ρ

(12.10)

wobei K der Kompressionsmodul der Fl¨ ussigkeit ist (1/K ist die Kompressibilit¨at der Fl¨ ussigkeit). Bei 20◦ C ergibt sich f¨ ur Wasser eine Schallgeschwindigkeit von 1465 m/s.

12.2.1

Die Schallwahrnehmung mit dem Ohr

Die kleinste Schwingungsamplitude, die unser Ohr an seinem Empfindlichkeitsmaximum bei etwa 1000 Hz noch wahrnehmen kann, betr¨agt etwa 1 ˚ A. Bei noch gr¨osserer Empfindlichkeit unseres Ohres w¨ are die Brown’sche Molekularbewegung h¨orbar. Dagegen betr¨agt die Schwingungsamplitude im Maul einer gr¨osseren Orgelpfeife etwa 1 cm. Am anderen Ende der Skala der Empfindlichkeit des menschlichen Ohres liegt die Schmerzgrenze, welche uns vor u at warnt. Bei der g¨ unstigsten Frequenz (1 – 4 kHz) umspannt unser ¨berh¨ohter Schallintensit¨ H¨orbereich 13 Zehnerpotenzen. F¨ ur einige u ¨bliche Schallquellen sind die Schallleistungen in Tabelle 12.1 angegeben. Dieser grosse Wertebereich, den unser Ohr bei der Schallintensit¨at abzudecken in der Lage ist (s. auch Tab. 12.2), bedingt, dass die subjektive Empfindung der Schallintensit¨at, die Lautst¨ arke, anderen Gesetzen folgen muss, als die Schallintensit¨at. Die Natur bedient sich eines auch bei Mathematikern sehr beliebten Tricks, n¨amlich der besseren Erfassung eines grossen Wertebereiches durch Logarithmieren. Die menschlichen Wahrnehmung der Schallintensit¨at, die Lautst¨ arke, ist proportional dem Logarithmus der Schallintensit¨at. Dass sich die ¨ Schallintensit¨ at ge¨ andert hat merkt man erst, wenn diese Anderung einen bestimmten Faktor (zwischen 20 und 25%) erreicht hat. Um der Natur nun Rechnung zu tragen, misst man die Lautst¨arke L in dB (f¨ ur Dezibel). Ein dB entspricht einem Schallintensit¨atsverh¨altnis von √ 10 10 = 1, 259 Schallquelle Unterhaltungssprache H¨ ochstleistung der menschlichen Stimme Geige (fortissimo) Fl¨ ugel (fortissimo) Trompete (fortissimo) Orgel (fortissimo) Ultraschallsender Pneumatischer Lautsprecher (bis 1 kHz)

P in Watt ≈ 2 × 10−6 ≈ 2 × 10−3 ≈ 1 × 10−3 ≈ 2 × 10−1 ≈ 3 × 10−1 1 – 10 103 104

Tabelle 12.1: Leistungen verschiedener bekannter Schallquellen

174

12. AKUSTIK

was etwa dem Unterscheidungsverm¨ogen des Ohres entspricht. Somit ergibt sich f¨ ur die Lautst¨arke     pˆ I = 20 log , [L] = dB. L = 10 log I0 pˆ0 Der gerade noch h¨ orbare Ton der Normalfrequenz 1 kHz soll 0 dB haben (Schallintensit¨at I0 ). Die Schmerzschwelle liegt somit bei 130dB. Die minimale Schallintensit¨at, die das menschliche Ohr noch nachweisen kann, ist I0 = 5 × 10−13 W/m2 , der entsprechende Druck pˆ0 = 2 × 10−5 Pa. In den Tabellen 12.1 und 12.2 sind Schallleistungen bzw. Schallintensit¨aten einiger u uhl f¨ ur ¨blicher Schallquellen (Musikinstrumente bzw. L¨arm) zusammengestellt, um ein Gef¨ die Lautst¨ arkeskala zu geben. ¨ Ubung 2: Welche Kraft wird von der Schallwelle auf das Trommelfell ausge¨ ubt (Durchmesser ca. 9 mm), wenn die Lautst¨ arke der Schmerzschwelle von 130 dB entspricht? ¨ Ubung 3: Die Lautst¨ arke eines lauten Motors, welcher mit 3000 U/min l¨auft und auf einem Betonfundament steht, ist am Ort des Beobachters in 1m Entfernung 95 dB. Bestimme die Amplituden des Schallausschlages, der Schallschnelle, des Schallwechseldrucks und der Schallintensit¨ at am Ort des Beobachters, sowie die Schallleistung der Schallquelle. Die logarithmische Empfindung der Lautst¨arke gilt auch f¨ ur viele andere menschliche Wahrnehmungen, z.B. die Wahrnehmung der Frequenz, das Unterscheidungsverm¨ogen von Gewichten, Helligkeiten usw.

Schallquelle D¨ usenjet bei Start (in 60m Abstand) Baul¨arm Schreien (in 1,5m Abstand)

L in Dezibel 120 110 100

menschliche Empfindung

Grosser Lastwagen (in 15m Abstand) Strassenverkehr, st¨ adtisch

90 80

sehr laut

Innenraum des Autos Normales Gespr¨ ach (in 1m Abstand)

70 60

laut

B¨ uro, Klassenzimmer Wohnzimmer

50 40

moderat

Schlafzimmer bei Nacht Radiostudio

30 20

leise

Bl¨atterrauschen

10 0

kaum h¨orbar

nicht tolerierbar

Tabelle 12.2: Schallintensit¨ aten L einiger u ¨blicher Schallquellen

12.2. THEORIE

175

Abbildung 12.2: Kurven gleicher Lautst¨ arke, die gestrichelte Linie stellt die H¨ orschwelle dar

Die Dezibel–Skala gibt jedoch nicht genau die H¨orempfindung wider, diese ist auch von der Frequenz abh¨ angig. An der unteren und oberen H¨orgrenze (bei 16 Hz bzw. ca. 16 kHz) ist die Empfindlichkeit des Ohres gering, w¨ahrend sie bei etwa 4000 Hz maximal ist. Die Schallintensit¨ at muss an den H¨ orgrenzen also wesentlich h¨oher sein, als am Empfindlichkeitsmaximum, wenn in beiden F¨ allen die gleiche Empfindung hervorgerufen werden soll. Zur Ber¨ ucksichtigung der Frequenzabh¨ angigkeit der H¨orempfindlichkeit hat man die Einheit Phon eingef¨ uhrt. Die Lautst¨ arke in Phon ist gleich der Schallintensit¨at eines gleich laut empfundenen 1 kHz-Tones. Der Zusammenhang zwischen der Phon- und der Dezibel–Skala wird durch die Kurven gleicher Lautst¨ arke widergegeben (vgl. Abb. 12.2). Die H¨orempfindlichkeit hat ein Maximum zwischen 3500 und 4000 Hz, nahe der Resonanz im orkanal. Ein weiteres Maximum befindet sich an der Stelle der zweiten Resonanz ¨ausseren H¨ bei ca. 13 kHz. Mittlerweile hat sich gezeigt, dass die Phon-Skala die H¨orempfindung nicht genau widergibt, weshalb verbesserte Lautst¨ arkeskalen entwickelt wurden, auf die wir hier jedoch nicht n¨aher eingehen wollen.

176

12. AKUSTIK

Abbildung 12.3: Das menschliche Ohr. Zur besseren Darstellung sind das Mittelohr und das innere Ohr vergr¨ ossert dargestellt.

12.2.2

Das Ohr

¨ Ublicherweise wird die Beschreibung des Ohres auf die drei Hauptteile, das ¨aussere Ohr, das Mittelohr und das innere Ohr aufgeteilt. Eine schematische Darstellung des Ohres ist in Abbildung 12.3 widergegeben. Die B¨ undelung des Schalls durch die Ohrmuschel (pinna) und den sich leicht verj¨ ungenden Geh¨organg (outer ear) verst¨ arkt den Schalldruck zwischen Aussenraum und Trommelfell (eardrum) auf etwa den doppelten Wert (die Schallintensit¨at also auf das Vierfache). Im Mittelohr werden die Schwingungen des Trommelfells auf das ovale Fenster (oval window), den Eingang zum Innenohr (inner ear), u ¨ber die drei Geh¨orkn¨ochelchen (ossicles) Hammer, Amboss und Steigb¨ ugel (hammer, anvil, stirrup) u ¨bertragen. Das Trommelfell hat 2 2 etwa 1 cm Fl¨ ache, das ovale Fenster etwa 0,05 cm , dementsprechend verj¨ ungen sich die ¨ Geh¨orkn¨ochelchen. Die Form der Geh¨orkn¨ochelchen bewirkt eine Ubersetzung der Kraft vom Trommelfell auf das ovale Fenster mit dem Verh¨altnis 3:1, das Fl¨achenverh¨altnis ist etwa 20:1, was zusammen ein Verh¨ altnis der Druckamplituden von 60:1 bewirkt. Der Grund daf¨ ur liegt in der notwendigen Anpassung der Schallwiderst¨ande von Luft auf Wasser (die Zellfl¨ ussigkeit im inneren Ohr, Endolymphe, ist praktisch Wasser), so dass die Schallintensit¨aten vor und nach der Grenzfl¨ ache (dem ovalen Fenster) gleich sind: ILuf t =

2 1 pˆLuf t 1 pˆ2W = IW = 2 ρLuf t cLuf t 2 ρW c W

(12.11)

12.2. THEORIE

177

F¨ ur das Druckverh¨ altnis ergibt sich dann: r pˆW ρW c W = = 58, 5 pˆLuf t ρLuf t cLuf t

(12.12)

Das Mittelohr sorgt also f¨ ur eine fast ideale Anpassung der Schallwiderst¨ande. An einer normalen Luft–Wasser–Grenzfl¨ ache erfolgt u ¨blicherweise totale Reflexion des Schalls. Jeder Taucher weiss, wie schwer der Schall aus der Luft seiner Stimmorgane ins Wasser zu u ¨bertragen ist. Im inneren Ohr befindet sich neben dem Vestibularapparat (unserem Gleichgewichtsorgan) noch die Schnecke (cochlea), welche aus 2,5 Windungen besteht. Die Schnecke ist durch die 3,3 cm lange Basilarmembran in zwei Kan¨ale geteilt. Auf der Basilarmembran ist das Cortische Organ gelagert, ein sehr kompliziertes Gebilde, in welchem die Geh¨ornerven an den mit feinen H¨archen versehenen Rezeptorzellen (Haarzellen) enden. Wenn nun Schall die Basilarmembran u ¨ber das ovale Fenster erregt, so ist der Ort der maximalen Auslenkung von der Erregungsfrequenz abh¨ angig. Hohe Frequenzen erzeugen ein Maximum der Auslenkung nahe des ovalen Fensters, bei tiefen Frequenzen liegt das Maximum am anderen Ende der Basilarmembran. Die H¨ornerven u ¨bertragen nun die ortsabh¨angige Erregung der Rezeptorzellen, was nach der Verarbeitung des Signals durch die Nervenzellen eine Art Fourier-Analyse darstellt.

12.2.3

Die Fouriertransformation

Ein physikalischer Ablauf kann entweder im Zeitbereich, d.h. durch Angabe einer Gr¨osse h im Zeitraum in Abh¨ angigkeit von der Zeit t oder im Frequenzraum, d.h. durch Angabe einer Amplitude H in Abh¨ angigkeit von der Frequenz f , angegeben werden. H(f ) ist im allgemeinen eine komplexe Funktion, sie enth¨alt sowohl die Amplitudeninformation, als auch die Phaseninformation der Gr¨ osse h(t) in Abh¨angigkeit von der Frequenz f . Oftmals ist es f¨ ur das Verst¨ andnis der physikalischen Vorg¨ange vorteilhaft die spektrale Information, also die Funktion H(f ), zur Verf¨ ugung zu haben. F¨ ur viele Fragestellungen ist es n¨ utzlich, von h(t) und H(f ) als zwei verschiedene Darstellungen der gleichen physikalischen ¨ Gr¨osse zu sprechen. Der Ubergang vom Zeit- in den Frequenzraum und zur¨ uck geschieht durch die sogenannte Fouriertransformation, welche folgendermassen lautet: Z +∞ h(t)e−2πif t dt H(f ) = −∞ Z +∞ H(f )e2πif t df (12.13) h(t) = −∞

Wenn t in Sekunden gemessen wird, so ist die Einheit f¨ ur f Hertz. Die Gleichungen lassen sich aber auch mit anderen Einheiten formulieren, z.B.: Z +∞ h(t)e−iωt dt H(ω) = −∞

h(t) =

1 2π

Z

+∞

H(ω)eiωt dω,

(12.14)

−∞

wobei ω die Kreisfrequenz (in Radian pro Sekunde) ist (und 1/T = f ). Ist h z.B. eine Funktion der L¨ ange (in Meter), so entspricht H einer Funktion der inversen Wellenl¨ange (Schwingungen pro Meter). Die Funktionen h(t) und H(f ) sind im allgemeinen komplexwertige Funktionen. In Tabelle 12.3 sind ein paar Sonderf¨alle aufgef¨ uhrt.

178

12. AKUSTIK

Wenn gilt h(t) ist reell h(t) ist imagin¨ar h(t) ist gerade h(t) ist ungerade h(t) ist reell und gerade h(t) ist reell und ungerade h(t) ist imagin¨ ar und gerade h(t) ist imagin¨ ar und ungerade

dann folgt H(−f ) = [H(f )]∗ H(−f ) = − [H(f )]∗ H(−f ) = H(f ), also ist H(f ) gerade H(−f ) = −H(f ), also ist H(f ) ungerade H(f ) ist reell und gerade H(f ) ist imagin¨ar und ungerade H(f ) ist imagin¨ar und gerade H(f ) ist reell und ungerade

Tabelle 12.3: Sonderf¨ alle der Fouriertransformierten H(f )

Die gesamte Leistung4 , welche in einem Signal enthalten ist, muss nat¨ urlich gleich sein, ob wir nun das Signal im Zeitraum oder im Frequenzraum betrachten: Z ∞ Z ∞ 2 |H(f )|2 df (12.15) |h(t)| dt = Ptot = −∞

−∞

Dieser Sachverhalt ist auch als Parsevals Theorem oder Vollst¨ andigkeitsrelation bekannt. Oftmals will man jedoch wissen, wieviel Leistung in einem Frequenzintervall (von f bis f + df ) enthalten ist. In diesem Fall unterscheidet man nicht mehr zwischen den spektralen Anteilen positiver und negativer Frequenzen, sondern nimmt den Frequenzbereich von 0 bis ∞ und definiert das einseitige Leistungsspektrum (Power Spektrum) als Ph (f ) = |H(f )|2 + |H(−f )|2 ,

0≤f ≤∞

(12.16)

Ist h(t) reell, wie in unserem Fall, so sind die Anteile positiver und negativer Frequenzen in H(f ) gleich, und wir erhalten Ph (f ) = 2|H(f )|2 (12.17) Die Anwendungen der Fouriertransformation sind sehr vielf¨altig und gehen u ¨ber das hier pr¨asentierte Mass weit hinaus. Als Einstieg in die Thematik und zur Durchf¨ uhrung des Praktikumsversuches sollen diese Ausf¨ uhrungen jedoch gen¨ ugen. ¨ Ubung 4: Bestimme das Frequenzspektrum der Schallintensit¨at eines Knalles in einem Meter Entfernung, wenn der Knall 0,01 s dauert und 10 W Schallleistung hat. Nimm eine Rechteckfunktion der Schallleistung an. Die diskrete Fouriertransformation In vielen Anwendungen, so auch in diesem Praktikumsversuch, wird die Fouriertransformation an einer Funktion, welche nur durch diskrete Datenwerte gegeben ist, durchgef¨ uhrt. Datenwerte der Funktion h(t) liegen also f¨ ur die diskreten Zeitpunkte in konstanten Zeitschritten ∆t vor: hn = h(n∆t), f¨ ur n = . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . (12.18) 4

Diese Leistung ist eine mathematische Gr¨ osse. Um eine physikalische Leistung zu erhalten, muss man entsprechend der untersuchten Messgr¨ osse (dem Signal) geeignet umformen.

12.2. THEORIE

179

Der Kehrwert des Zeitschrittes ∆t wird Abtastrate (sampling rate) genannt. Wird ∆t in Sekunden gemessen, so ist die Abtastrate dann die Anzahl der Messungen pro Sekunde. F¨ ur jeden Wert des Zeitschrittes ∆t gibt es eine Frequenz fc , die sogenannte Nyquist– Frequenz 1 fc = (12.19) 2∆t Wenn man nun eine Sinusschwingung der Frequenz fc mit dem Zeitschritt ∆t abtastet, so bekommt man gerade den positiven Maximalwert bei einem Abtastschritt und im n¨achsten Abtastschritt den negativen Maximalwert (unter der Voraussetzung einer g¨ unstigen Phasenlage). Die Nyquist–Frequenz ist also die maximale Frequenz, welche man bei gegebener Abtastrate noch darstellen kann. Wenn nun eine kontinuierliche Funktion h(t) mit den Zeitschritten ∆t abgetastet wird und diese Funktion in ihrer Bandbreite5 begrenzt ist und zwar auf Frequenzen, die kleiner sind, als die Nyquist–Frequenz (also H(f ) = 0 ∀ |f | > fc ), dann ist die Funktion h(t) vollst¨andig durch den Satz diskreter Werte hn bestimmt. Diesen Satz nennt man das Abtasttheorem (sampling theorem). Tats¨ achlich wird h(t) aus den einzelnen Abtastwerten hn folgendermassen bestimmt: +∞ X sin (2πfc (t − n∆t)) (12.20) hn h(t) = ∆t π (t − n∆t) n=−∞

Das Abtasttheorem ist aus mehreren Gr¨ unden beachtenswert. So zeigt es z.B., dass der In” formationsinhalt“ einer in ihrer Bandbreite begrenzten Funktion wesentlich kleiner ist, als derjenige einer allgemeinen kontinuierlichen Funktion mit unbegrenzter Bandbreite. Sehr oft hat man es mit einem Signal zu tun, von welchem man aus physikalischen Gr¨ unden annehmen kann, dass die Bandbreite begrenzt (oder ann¨ahernd begrenzt) ist. Dies ist z.B. der Fall, wenn das Signal durch einen Vorverst¨ arker gelaufen ist, welcher eine bekannte begrenzte Bandbreite hat. In diesem Fall besagt das Abtasttheorem, dass wir die Abtastrate mindestens ∆t−1 = 2fg w¨ahlen m¨ ussen, also mindestens gleich der doppelten oberen Grenzfrequenz, um zu vermeiden, dass man f¨ ur ein Signal mit der Frequenz fg bei ung¨ unstiger Phasenlage in bezug auf die Abtastzeitpunkte gar kein Signal aufzeichnet. Ist nun eine kontinuierliche Funktion h(t) in ihrer Bandbreite nicht begrenzt, so tragen auch jene Frequenzanteile im Spektrum der Funktion, die ausserhalb des Intervalls −fc < f < fc liegen, zum Spektrum innerhalb des Intervalls bei, da sie durch die zu kleine Abtastrate in das Frequenzband hinuntergefaltet werden (im Englischen wird dieses Ph¨anomen aliasing genannt). Ist eine Funktion (ein Signal) erstmal abgetastet, kann man nichts mehr gegen diesen Effekt unternehmen. Mann kann jedoch das Spektrum auf diesen Effekt hin untersuchen, denn der Grenzwert f¨ ur H(f ) f¨ ur f → fc muss ja 0 sein. Trifft dies nicht zu, dann sind Beitr¨age von Frequenzen gr¨ osser fc ins Spektrum hineingefaltet und die Aussagekraft des Spektrums ist eingeschr¨ ankt oder anders gesagt: bildet man den Grenzwert fc → ∞, so darf sich das Spektrum nicht ver¨ andern. Die numerische Fouriertransformation wird oft mit dem FFT-Algorithmus (Fast Fourier Transformation) durchgef¨ uhrt. Diesen Algorithmus wollen wir hier nicht n¨aher erkl¨aren, je5

Als Bandbreite einer Funktion bezeichnet man jenes Frequenzintervall im Frequenzspektrum der Funktion, welches Amplitudenanteile ungleich Null hat.

180

12. AKUSTIK

doch wird er im f¨ ur diesen Praktikumsversuch zur Verf¨ ugung stehenden Computerprogramm verwendet. Der FFT-Algorithmus l¨ auft dann besonders schnell, wenn die Anzahl der Abtastpunkte eine Potenz der Zahl 2 ist. Die gesamte Aufnahmezeit des Signals ist T = N ∆t (mit N Anzahl der Abtastpunkte). Nach der diskreten numerischen Fouriertransformation bekommen wir das diskrete Frequenzspektrum als Hn = H(n∆f ). Die dazugeh¨orenden Frequenzen fn sind fn =

n N N , mit n = − , . . . , N ∆t 2 2

(12.21)

womit sich die Frequenzskala von −fc bis fc aufspannt. Die Frequenzaufl¨osung, also die Schrittweite auf der Frequenzskala, betr¨agt ∆f =

1 1 = N ∆t T

(12.22)

Abschliessend sein noch angemerkt, dass beim FFT-Algorithmus im allgemeinen N 2 Berechnungen f¨ ur eine Fourier–Transformation notwendig sind. Wenn jedoch die Anzahl der Abtastpunkte N einer Potenz der Zahl 2 enspricht, reduziert sich die Zahl auf N log2 N .

Datenfensterfunktionen Da man nicht unendlich lange Datenstr¨ome digital aufzeichnen und dann analysieren kann, muss man aus einem Datenstrom einen Teil herausschneiden, den man letztendlich der Analyse zuf¨ uhrt. Startet man die Aufzeichnung zu einem bestimmten Zeitpunkt t1 und beendent sie zu einem sp¨ ateren Zeitpunkt t2 , so schneidet man aus seinem unendlich langen Datenstrom mittels einer Rechteckfunktion einen Bereich t2 − t1 heraus. Diese Rechteckfunktion nennt man nun Fensterfunktion und es ist klar, dass die Multiplikation des Signals mit einer Fensterfunktion das Ergebnis der Fouriertransformation beeinflussen wird. Die allgemeine Form eine Fouriertransformation unter Verwendung einer Fensterfunktion lautet folgendermassen: H(f ) =

Z

∞ −∞

h(t)w(t − t0 )e2πif t dt

(12.23)

Die Fensterfunktion w(t) ist nur innerhalb einer gewissen Fensterbreite, welche um den Zeitpunkt t0 zentriert ist, ungleich 0. Ausserhalb ist die Fensterfunktion gleich 0. Neben der Rechteckfunktion als Fensterfunktion gibt es noch viele weitere Fensterfunktionen. Praktisch jede mathematische Funktion, welche in einem gewissen Bereich, der Fensterbreite, von 0 auf 1 und wieder auf 0 geht, hat einen Namen und ist als Fensterfunktion f¨ ur eine spezielle Anwendung vorteilhaft. Im folgenden sind einige gebr¨auchliche Fensterfunktionen aufgef¨ uhrt:

12.2. THEORIE

181

wj

=

wj

=

wj

=

wj

=

j − 1 (N − 1) 2 1− 1 2 (N + 1)    2πj 1 1 − cos 2 N −1   2πj 0, 54 − 0, 46 cos N −1 !2 j − 12 (N − 1) 1− 1 2 (N + 1)

Parzen–Fenster Hanning–Fenster Hamming–Fenster Welch–Fenster

Hierbei ist wj die diskrete Darstellung der kontinuierlichen Funktion w(t). Die verschiedenen Fensterfunktionen sind in Abbildung 12.4 dargestellt. Das Hamming–Fenster ist dem Hanning–Fenster sehr ¨ahnlich, geht jedoch an den R¨andern der Fensterbreite nicht exakt auf Null. Mit dem Welch–Fenster hat man u ¨blicherweise ein gutes Fenster f¨ ur sehr viele Anwendungen. Der wesentliche Effekt dieser Fensterfunktionen im Vergleich zu einem unendlich langen ¨ Datenstrom, sind die verminderte Frequenzaufl¨osung und das Ubersprechen auf Nachbarkan¨ale im Frequenzspektrum, das zum Auftreten von Nebenmaxima f¨ uhrt. F¨ ur die oben genannten Fensterfunktionen ist dies in Abbildung 12.5 dargestellt. Diese beiden Effekte, das ¨ Ubersprechen (amplitude leakage in Abbildung 12.5) und die Verminderung der Frequenzaufl¨osung (s. die Halbwertsbreiten in Abbildung 12.5), werden durch die Fensterfunktionen wesentlich beeinflusst und sind der Grund f¨ ur die Vielzahl der existierenden Fensterfunktionen.

Abbildung 12.4: Fensterfunktionen, welche h¨ aufig zur Bestimmung des Leistungsspektrums mit dem FFT–Algorithmus verwendet werden. Die Anzahl der Abtastpunkte ist 256.

¨ Abbildung 12.5: Ubersprechen der nominalen Frequenzlinie (offset = 0) auf die Nachbarkan¨ ale im Frequenzspektrum aufgrund verschiedener Da¨ tenfenster. Das gr¨ osste Ubersprechen wird f¨ ur ein Rechteckfenster beobachtet.

182

12.2.4

12. AKUSTIK

Der Gong

Als Schallquelle dient in diesem Praktikumsversuch ein grosser Gong. Hierbei handelt es sich um einen Symphonic Gong von 36” (92 cm) Durchmesser der Firma Paiste (Paiste AG, 6207 Nottwil) - ein ungestimmter flacher Gong mit universalem Klangcharakter. Der Begriff Symphonic ist dabei nicht im u ¨blichen Wortsinn – der klassischen Symphonie – sondern im urspr¨ unglichen Sinn des harmonischen Zusammenklingens gemeint. Der Symphonic- oder Universalgong umfasst das Gesamtklangspektrum des Gongs u ¨berhaupt. In ihm sind eigentlich alle anderen Gongs enthalten. Sein grosses dynamisches Volumen kann durch die Art des Anschlags, abh¨ angig von der psychischen und physischen Konstitution des Spielenden, dosiert, verst¨ arkt oder ged¨ampft werden. Bitte vermeide es, den Gong anzufassen, da sonst das Metall oxidiert. Durch Variation des Anschlagortes lassen sich besondere H¨ohen oder Tiefen hervorheben, die im Gesamtklang enthalten sind. ¨ Beim Ubergang der Schallschwingungen vom Festk¨orper, dem Gong, auf die Luft gibt es ein ¨ahnliches Anpassungsproblem des Schallwiderstandes, wie beim menschlichen Ohr. Schall kann nur schwer von einem Festk¨ orper oder einer Fl¨ ussigkeit auf Luft u ¨bertragen werden. Eine schwingende Saite erregt die Luft nur schwach. Hier muss man die Schwingungsamplitude der Saite u ache des Resonanzbodens (Violink¨orper) verteilen, um eine gute ¨ber die grosse Fl¨ Anpassung zu erzielen. Man kann auch sagen, dass f¨ ur Wellenl¨angen in Luft, die alle gross gegen¨ uber dem Durchmesser der Saite sind, sich die Druckunterschiede aussen um die Saite herum ausgleichen. Das gleiche gilt f¨ ur einen Lautsprecher, dessen Membran zu klein ist. Dieser wird keine tiefen Frequenzen abstrahlen k¨onnen. Die Dimensionen unseres Gongs sind von vergleichbarer Gr¨ ossenordnung, wie die Wellenl¨ange. Die Schallabstrahlung ist daher gut, wie du im Verlauf des Praktikums noch feststellen wirst.

12.3

Versuchsaufbau

12.3.1

Inventarliste

• Gong, ausger¨ ustet mit verschiedenen Schl¨agern (wird von allen vier Gruppen gemeinsam verwendet) • Mikrophon • Vorverst¨ arker, 2 Kan¨ ale (wird von zwei Gruppen gleichzeitig verwendet) • Macintosh–Computer • Phonmeter (wird von allen vier Gruppen gemeinsam verwendet)

12.3.2

Datenakquisitionsprogramm

Zur Durchf¨ uhrung der Messungen gibt es auf dem Computer ein Programm, welches in drei verschiedene Unterprogramme, das Spielprogramm, das Messprogramm und das Analyseprogramm, aufgeteilt ist. Alle diese Programme sind in der Programmiersprache LabView geschrieben.

12.3. VERSUCHSAUFBAU

183

Die drei Programme, die in diesem Praktikum verwendet werden, sind auf dem Computer im Verzeichnis Akustik abgelegt und werden u ¨ber das Symbol GONG in der Fussleiste aufgerufen. Bevor ihr mit dem Auswahlprogramm die anderen Programme aufrufen k¨onnt, m¨ usst ihr die Namen der Gruppenteilnehmer in das Feld Versuch wird durchgef¨ uhrt von“ eingeben. Eure ” Namen erscheinen dann auf den Ausdrucken, die ihr von den verschiedenen Programmen aus machen k¨onnt. Alle Daten, welche ihr w¨ahrend des Praktikums erzeugt, legt ihr bitte im Unterverzeichnis Akustik/Daten ab.

12.3.3

Spielprogramm

Beschreibung Dieses Programm wird zum Ausprobieren des gesamten Versuchsaufbaus gebraucht. Das Programm zeichnet den Ausgang des Mikrophons (die Druckabweichung in Volt) auf und rechnet laufend ein Frequenzspektrum (tats¨ achlich ein Leistungsspektrum der gemessenen Spannung) aus. Die Abszisse ist schon auf Hertz geeicht. Die Spannung des Mikrophons wird u ¨ber einen Vorverst¨arker verst¨arkt und digitalisiert an den Computer weitergegeben. Stelle die Verst¨arkung des Vorverst¨arkers (Drehknopf Gain) so ein, dass du das Signal des angeschlagenen Gongs gut auf der Computeranzeige siehst, ¨ jedoch der Vorverst¨ arker nicht u zeigt der Vorverst¨arker durch ¨bersteuert wird. Ubersteuern Eingabefeld number of samples

Ausgabefeld

Funktion Anzahl der Abtastpunkte, welche f¨ ur ein Frequenzspektrum genommen werden (Beachte das Abtasttheorem, Default = 8192)

sample rate

Abtastrate ∆t−1 (Beachte das Abtasttheorem)

window

Datenfensterfunktion

display unit

Messgr¨osse, welche angezeigt wird

conversion factor for sound pressure

Umwandlungsfaktor von den gemessenen Volt in Pa Schalldruck total power in spectrum

Gesamtleistung des aufgenommenen Spektrums (s. Gleichung 12.15)

estimated peak frequency

Frequenz, bei der die h¨ochste Signalamplitude auftritt

selected dB

Ausgew¨ahlte physiologische H¨orkurve (s. Abb. 12.2)

Tabelle 12.4: Ein- und Ausgaben, die zur Messung des Frequenzspektrums bereitstehen

184

12. AKUSTIK

display unit Vrms,lin Vrms,log Vpk,lin Vpk,log p L pL LL

Funktion Gemessener Effektivwert der Spannung (in V); rms steht f¨ ur root means square (s. Elektronikvorlesung) Gemessener Effektivwert der Spannung (in dB) bezogen auf 1V Gemessene Spitzenspannung (in V) Gemessene Spitzenspannung (in dB), bezogen auf 1V Schalldruck (in Pa) Schallintensit¨at in dB (gem¨ass Definition in Kapitel 12.2.1) Schalldruck (in Pa) gewichtet mit der physiologischen Empfindlichkeit des Ohres (s. Abb. 12.2) Lautst¨ arke (in Phon) gewichtet mit der physiologischen Empfindlichkeit des Ohres (s. Abb. 12.2) Tabelle 12.5: Einstellung des Feldes display unit

das Aufleuchten einer roten Leuchtdiode (Clip) auf seiner Frontplatte beim entsprechenden Kanal an. Beachte ausserdem, dass die PAD–Taste nicht gedr¨ uckt ist. Diese Taste bewirkt eine Reduktion der Verst¨ arkung des Vorverst¨arkers um 15dB. Der Vorverst¨arker hat zwei unabh¨angige Kan¨ ale, wobei jede der zwei Gruppen, die sich einen Vorverst¨arker teilen, jeweils einen verwendet. In Tabelle 12.4 sind die Ein- und Ausgaben aufgef¨ uhrt, die zur Messung des Frequenzspektrums zur Verf¨ ugung stehen. Manche dieser Felder werden nur unter bestimmten Betriebsbedingungen bedient. Sind die Felder inaktiv, so werden sie auf dem Bildschirm grau dargestellt. Die Einstellungsm¨oglichkeiten f¨ ur das Feld display unit sind in Tabelle 12.5 zu finden. Durchfu ¨ hrung • Positioniert euer Mikrophon in einer sinnvollen Distanz zum Gong bzw. zur Wand. ¨ Dokumentiert eure Uberlegungen dazu. • Bestimmt den Conversion factor for sound pressure“ durch Vergleich der Anzei” ge des Phonmeters und der Anzeige Total power in spectrum“ auf dem Bildschirm. ” Gebt diesen Faktor in das ensprechende Feld ein. • Probiert die verschiedenen Schl¨ager sowie verschiedene Anschlagarten und Anschlagorte auf dem Gong aus. Versucht zu einem Routineanschlag zu kommen, der euch gef¨allt und den ihr f¨ ur die weiteren Analysen verwenden wollt. Versucht bestimmte Klangeffekte (Klangfarbe, Klangh¨ ohe, Schwebung, Modulation, etc.) aufgrund eurer pers¨onlichen H¨orempfindung und der gleichzeitig gemessenen Frequenzspektren zu erkennen, welche ihr bei der nachfolgenden Auswertung dann untersuchen wollt. Dokumentiert eure Wahl der Klangeffekte, die ihr n¨ aher untersuchen wollt. • Vergleicht eure H¨ orempfindung mit dem dargestellten Spektrum. W¨ahlt nun das physio¨ logische Filter aus (pL oder LL in display unit“) und beobachtet, ob die Ubereinstimmung ”

12.4. VERSUCHSAUFGABEN

185

der Messung mit eurer pers¨ onlichen Wahrnehmung nun gr¨osser ist. • Bestimmt, welche Signalbandbreite (tiefste und h¨ochste Frequenz) sich f¨ ur euren speziellen Anschlag ergibt. Bestimmt die Zeitdauer, bis der Gong abgeklungen ist. Dokumen¨ tiert eure Uberlegungen hierzu und auch wann ihr den Klang des Gongs f¨ ur abgeklungen haltet. • Wenn ihr genug Zeit habt, singt verschiedene Vokale auf der gleichen Tonh¨ohe und beobachtet die Obert¨ one im Frequenzspektrum. Wiederholt diesen Versuch f¨ ur verschiedene Tonh¨ ohen. Weiterhin bietet euch das Spielprogramm noch die M¨oglichkeit, eure Daten in einer 3-dimensionalen Form darzustellen, wobei die Signalamplitude als Funktion von Frequenz und Zeit dargestellt wird. Diese Darstellung k¨onnt ihr u ¨ber die Kn¨opfe Sonagram“ oder Waterfall“ ” ” ausw¨ahlen. Bevor ihr dieses Modul ausw¨ahlt, muss jedoch der Gong bereits angeschlagen sein, da die Skalierung der Graphik automatisch bei Laden des Moduls und dem zu der Zeit verf¨ ugbaren Signal erfolgt.

12.4

Versuchsaufgaben

Nehmt nun nun einige der Schallsignale auf und speichert sie f¨ ur die nachfolgende Analyse. Als Abtastrate (s−1 ) wird eine Zweierpotenz (8192) empfohlen.

12.4.1

Analyseprogramm

Beschreibung Mit dem Analyseprogramm f¨ uhrt ihr eine detailierte Analyse der Zeitreihe, die ihr mit dem Messprogramm aufgenommen habt, durch. Ihr wisst durch eure Beobachtung mittlerweile, dass sich der Klang des Gongs mit der Zeit ¨andert. Es hat also keinen Sinn, eine Fouriertransformation des ganzen Datensatzes durchzuf¨ uhren, denn so w¨ urdet ihr die Informationen u ¨ber die zeitliche Ver¨ anderungen einzelner Frequenzanteile verlieren. Wendet man die Fouriertransformation nun nicht auf den ganzen Datensatz auf einmal an, sondern transformiert nur Teilst¨ ucke des Datensatzes, so bekommt man sowohl die Frequenzinformation des Klanges zu einem gewissen Zeitpunkt, als auch dessen zeitliche Entwicklung. Ein Datenfenster definierter Breite, welches die Daten f¨ ur die FFT ausschneidet, wird in Schritten u ¨ber den Datensatz gezogen. In der Literatur ist dieses Verfahren unter dem Namen Short-time Fourier Transformation spectrogram (STFT) bekannt. Es ist die wahrscheinlich h¨ aufigste Methode, um sowohl die Frequenzinformationen, als auch die zeitliche Entwicklung der Frequenzanteile zu untersuchen. Das STFT zum Zeitpunkt i berechnet sich als  2 L   −1 2  X  mk −i 2π ST F T (i, k) = (12.24) hi−m wm e L   m=− L  2

mit den Datenpunkten hm , der Fensterfunktion wm , der L¨ange des Teilst¨ ucks L und dem Index der Frequenz k.

186

12. AKUSTIK

In Tabelle 12.6 sind die Eingaben zusammengestellt, die zur Auswertung eines Datensatzes ben¨otigt werden. Beachtet, dass das Analyseprogramm Ihnen zun¨achst einen Vorschlag f¨ ur diese Parameter macht. Verringern von Time Interval“ und Window Length“ erh¨oht die Zeitaufl¨osung, verringert ” ” aber die Frequenzaufl¨ osung der einzelnen Spektrogramme. Zuerst m¨ usst ihr dem Analyseprogramm den Namen der Eingabedatei (jene Datei, die ihr mit dem Messprogramm aufgenommen habt) mitteilen, indem ihr den entsprechenden Knopf auf der Benutzeroberfl¨ ache dr¨ uckt. Sind eure Daten geladen, k¨onnt ihr eure Einstellungen f¨ ur die Datenanlyse vornehmen (s. Tab. 12.6) oder zun¨achst einmal die vom Computer vorgeschlagenen Werte verwenden. Die bei der Datenaufnahme eingestellten Parameter werden automatisch von diesem Programm u ucken des Knopfes Calc“ wird ¨bernommen. Durch Dr¨ ” die Auswertung eurer Daten gestartet. Als Resultat der Analyse erh¨ alt man zwei Graphiken, das Spektrogramm und das Frequenzspektrum zum Zeitintervall, wo der Cursor im Spektrogramm liegt (s. Abb. 12.6). Durch Bewegen des Cursors k¨ onnt ihr verschiedene Frequenzspektren anzeigen. Das Frequenzspektrum ist das gleiche, wie das, welches schon im Spielprogramm zur Verf¨ ugung stand und dient hier zur Kontrolle, dass der Datentransfer auch problemlos vonstatten gegangen ist. Seid ihr mit dem Resultat der Auswertung nicht zufrieden, dr¨ uckt ihr den Knopf end display“, ” womit ihr wieder in den Eingabemodus zur¨ uckkommt und neue Einstellungen f¨ ur die AusEingabeparameter

Ausgabeparameter sampling frequency

Funktion dieser Variablen Abtastrate As (in s−1 ); Wert von der Datenaufnahme u ¨bernommen.

samples

Gesamtzahl der aufgenommenen Datenpunkte (Abtastrate × Gesamtdauer); Wert von Datenaufnahme u ¨bernommen.

Window Selector

Auswahl des Datenfensters (s. Abbildung 12.4).

Window Length

W l bestimmt die Frequenzaufl¨osung im Spektrogramm: Es wird eine FFT gebildet u ¨ber die Dauer von W l/As Sekunden.

Time Interval

T i ist die Anzahl der Datenpunkte in der Zeitreihe, welche einen Zeitschritt ausmachen; die Zeitaufl¨osung im Spektrogramm ist T i/As . Es wird ein ganzzahliges Vielfaches der Abtastrate und T i = W l empfohlen.

Maximum Frequency

Maximale Frequenz, welche im Spektrogramm angezeigt wird.

Tabelle 12.6: Eingaben, die zur Auswertung eines Datensatzes ben¨ otigt werden.

12.4. VERSUCHSAUFGABEN

187

wertung t¨ atigen k¨ onnt. Auch zum Verlassen des Auswerteprogramms m¨ usst ihr zuerst den Knopf end display“ dr¨ ucken. ” Das Spektrogramm ist eine 3-dimensionale Darstellung der Daten (s. Abb. 12.6 oben). Auf der Abszisse sind die Zeitschritte aufgetragen zu welchen eine Frequenzanalyse durchgef¨ uhrt wurde, auf der Ordinate ist die Frequenz aufgetragen. Die Farbkodierung im Spektrogramm gibt nun Auskunft u ¨ber die Leistung des Signals bei einer bestimmten Frequenz und zu einem bestimmten Zeitpunkt. Beachtet, dass die Amplituden sowohl im Spektrogramm als auch im Frequenzspektrum normiert sind, so dass das gr¨osste Signal die Amplitude 1 aufweist. Durchfu ¨ hrung • Probiert verschiedene L¨ angen der Einzelspektren aus, bis dieser Parameter optimal in bezug auf Zeit- und Frequenzaufl¨osung ist. • Testet verschiedene Fensterfunktionen und Fensterbreiten, bis diese Parameter optimal f¨ ur die Frequenzaufl¨ osung sind. Beobachtet hierbei genau den Effekt dieser Parameter auf die Frequenzaufl¨ osung (Breite der Peaks im Spektrum 12.6). • W¨ahlt nun ein paar Frequenzen aus dem Spektrogramm aus, welche interessant erscheinen und die ihr sp¨ ater n¨ aher untersuchen wollt (ebenso die Grundfrequenz ber¨ ucksichtigen). Ber¨ ucksichtigt die oben erw¨ ahnten Effekte bei der Auswahl der einzelnen Frequenzen.

12.4.2

Detailierte Auswertung

Indem ihr nun im Analyseprogramm den Knopf large graph“ dr¨ uckt, k¨onnt ihr die ein” zelnen Spektren zu den verschiedenen Zeitpunkten genau ausmessen. Die Signalintensit¨aten bei den ausgew¨ ahlten Frequenzen bestimmt ihr mit dem Cursor im Frequenzspektrum, wobei ihr die jeweiligen Werte im Fenster unterhalb der Graphik genau ablesen k¨onnt. Dies ist f¨ ur alle Zeitschritte und alle ausgew¨ahlten Frequenzen durchzuf¨ uhren. Als Minimum der Auswertung tragt ihr f¨ ur vier Frequenzen die Zeitabh¨angigkeit innerhalb des aufgenommenen Messintervalls auf. Diskutiert eure Ergebnisse. • Messt die Intensit¨ aten f¨ ur alle gew¨ahlten Frequenzen und f¨ ur alle aufgenommenen Zeitschritte aus (im Fenster large graph“). ” • Zeichnet den Intensit¨ atsverlauf der einzelnen Frequenzen in Abh¨angigkeit von der Zeit auf. Diskutiert eure Ergebnisse. Bedenkt, dass es beim Gong keine zwei gleichen Kl¨ange gibt, d.h. eure Ergebnisse werden somit auch zu denen anderer Gruppen verschieden sein. • Bestimmt die G¨ ute G = 2π (Energie/Energieverlust pro Periode) bei den verschiedenen Frequenzen. • Vergleicht die Frequenzunsch¨ arfe bedingt durch die G¨ ute (G = ω0 /∆ω) mit der Frequenzunsch¨ arfe der numerischen Fouriertransformation.

Hinweis zur Bestimmung der Gu ¨ te: Da die Intensit¨ at gleich der Energie pro Fl¨ache pro Zeit ist, kann G = 2π (Energie/Energieverlust

188

12. AKUSTIK

Abbildung 12.6: Dreidimensionales Spektrogramm (oben) und Spektrum zu einem bestimmten Zeitpunkt (unten) eines Gongklanges. Euer Spektrogramm kann sehr verschieden von dem hier abgebildeten sein, je nach gew¨ ahlter Anschlagart, Anschlagort und Schl¨ ager. Die d¨ unnen weissen Linien sind das Fadenkreuz, mit welchem ihr Datenwerte aus dem Spektrogramm auslesen k¨ onnt.

pro Periode) auch folgendermassen geschrieben werden: G = 2π

I(t) , ˙ I(t)T

(12.25)

wobei T = 1/f und f die Frequenz ist. Aus dem Intensit¨atsverlauf sollte klar werden, dass I(t) = a exp (bt) entspricht, wobei a und b fit-Parameter sind. Die Werte f¨ ur a und b k¨onnen z. B. mit Excel bestimmt werden.

Hinweis zur Bestimmung der Frequenzunsch¨ arfe: Mit Hilfe der Gleichung ω = 2πf kann ∆f durch ∆ω ausgedr¨ uckt werden. Durch Einsetzen der Gleichung G = ω0 /∆ω kann die Frequenzunsch¨arfe dann nur mit G und f0 ausgedr¨ uckt werden.

Literaturverzeichnis [1] Kinsler, H.E., A.R. Frey, A.B. Coppens, J.V. Saudes (1982): Fundamentals of Acoustics (John Wiley). [2] Press, W.H., B.N. Flannery, S.A. Teukolsky, W.T. Letterling (1986): Numerical Recipes (Cambridge University Press). Bibliothek ExWi: KRA 111 [3] Rossing, T.D. (1990): Science of Sound (Addison Wesley). Bibliothek ExWi: TFZ 202 [4] Stork, D.G. (1982): The Physics of Sound (Prentice Hall Inc.).

Anhang A

Labview

A.1. EINLEITUNG

A.1

193

Einleitung

Diese Einf¨ uhrung soll den Zugang zur umfangreichen LabVIEW-Umgebung etwas einfacher gestalten. Ziel ist es, mittels einfacher Beispiele die wichtigsten Eigenschaften der LabVIEW Programmierung kennenzulernen. Die Beispiele in Kapitel A.6 sind bewusst sehr einfach gehalten, um den unge¨ ubten Programmierern den Einstieg zu erleichtern. F¨ uhlt sich jemand unterfordert, so soll er/sie einfach gewisse Schritte u ¨berspringen oder gleich mit Kapitel A.8 beginnen. F¨ ur die anderen empfiehlt es sich, die nachfolgenden Beispiele vor Beginn der ei¨ gentlichen Praktikumsaufgabe selber zu programmieren. In Kapitel A.8 wird eine Ubersicht u ur das ¨ber die verschiedenen Arten der Datenerfassung gegeben. Dieses Kapitel ist wichtig f¨ Verst¨andnis der Praktikumsaufgabe. Die Praktikumsaufgabe selber ist in Kapitel A.9 zu finden.

A.2

Was ist LabVIEW?

LabVIEW ist eine Programm-Entwicklungsumgebung wie C oder BASIC. W¨ahrend aber in den letzteren text-orientierte Programme erstellt werden, stellt LabVIEW dazu eine grafisch orientierte Methode zur Verf¨ ugung. Man nennt diese graphische Syntax G. LabVIEWProgramme werden Virtual Instruments (VI) genannt. Dies weil sie sich von der Erscheinung und Anwendung her an echten Instrumenten orientieren. LabVIEW enth¨alt viele vorprogrammierte VI, die man als Unterprogramme (SubVI) verwenden kann. LabVIEW eignet sich bestens f¨ ur die Steuerung von Ger¨aten oder der Datenerfassung und der Verarbeitung, Analyse und Darstellung von Messdaten.

A.3

Aufbau von LabVIEW

In LabVIEW gibt es drei wichtige Komponenten, mit denen man bei der Programmierung zu tun hat: • Front Panel, das Benutzerinterface (Eingabe/Ausgabe von Variablen) • Block Diagram, das eigentliche Programm • Connector und Icon, die Schnittstelle und das Symbol, um ein LabVIEW-Programm (VI) als Unterprogramm (SubVI) aufzurufen.

A.3.1

Front Panel

Beim Starten von LabVIEW werden zwei Windows angezeigt. Dasjenige mit Untitled 1 Front Panel ist das Front Panel. Das Front Panel dient zur Ein- und Ausgabe von Daten und ist wichtig, wenn man Messungen und Experimente vornehmen will. Wenn jemand als Anwender ein bereits programmiertes VI braucht, dann muss er, wenn das VI gut programmiert ist, nur mit dem Front Panel arbeiten. So wie auch bei PASCAL oder BASIC ein Anwender den Quelltext nicht mehr a ¨ndern muss, sondern alle notwendigen Eingaben beim Ablauf des Programms eingestellt werden.

194

A.3.2

A. LABVIEW

Block Diagram

Das Block Diagram ist am Anfang mit Untitled 1 Block Diagram angeschrieben. Das Block Diagram ist das eigentliche, in G geschriebene Programm. Es entspricht dem Quelltext in BASIC oder C.

A.3.3

Connector und Icon

Connector und Icon befinden sich in der rechten oberen Ecke des Front Panels und des Block Diagrams. Dabei kann das Standardicon so editiert werden, dass es die Funktion des VI symbolisch repr¨ asentiert. Der Connector erlaubt die Zuordnung der Ein- und Ausgabeobjekte und dient der Variablen¨ ubergabe, wenn das VI als Unterprogramm in einem Block Diagram benutzt wird.

A.4

Wie startet man LabVIEW und wie geht man mit den Macs um?

Nach dem Aufstarten des PowerMac G5 , erscheint ein Login Fenster. Hier muss unter StudentX das Passwort, das euch der Assistent gibt, eingegeben werden. Nach der Eingabe seht ihr den Schreibtisch mit der Men¨ uleiste oben und dem sogenannten Dock unten. Rechts oben ist die Harddisk Macintosh HD. Unten im Dock findet ihr das Programm LabVIEW. Durch dr¨ ucken auf das LabVIEW icon wird das Programm gestartet. Zuerst erscheint ein Fenster, wo ihr ein neues VI starten oder die letzten gespeicherten Programme aufrufen k¨onnt.

A.5

Richtlinien zum Gebrauch der Macs

Es stehen jeweils 4 Computer zur Verf¨ ugung: physpraktX mit den Benutzernamen Student1 bis Student8. Die Computer sind u ¨ber ein internes Netz miteinander verbunden, an dem auch ein Drucker angeschlossen ist. Die Computer sind so konfiguriert, dass sie f¨ ur das Praktikum mit LabVIEW optimal verwendet werden k¨onnen. Entsprechend ist es untersagt im Systemordner Einstellungen zu ver¨ andern. Eure Programme k¨onnt ihr im Ordner LabVIEW Prakt im Benutzerordner StudX abspeichern. Bitte er¨offnet daf¨ ur einen neuen Ordner in diesem Verzeichnis mit eurem Namen. Falls es aus Ordnungs- oder Platzgr¨ unden notwendig erscheint, werden die Dateien sp¨ ater ohne R¨ ucksprache gel¨oscht.

A.6 A.6.1

Beispiele Allgemeines

In diesem Abschnitt werden Beispiele vorgestellt. Das erste ist ein Demo-Programm aus den LabVIEW-Standardbeispielen. Dieses VI sollte als erstes untersucht werden. Anschliessend werden kleinere Programme vorgestellt, die ihr selber programmieren k¨onnt. Demo-Programm TankSimulation.vi Das Demo-Programm befindet sich im Ordner: LabVIEW Prakt/Tankmtr.dlb

A.6. BEISPIELE

195

Das Front Panel k¨ onnt ihr in Abb. A.1 sehen, das Block Diagram in Abb. A.2

Abbildung A.1: Front Panel von TankSimulation.vi

¨ Nach dem Offnen lassen wir das VI am besten gleich laufen und ver¨andern dabei alle m¨oglichen Einstellungen so, dass wir mit der Funktionsweise vertraut werden. Es geht darum, einen Tankinhalt innerhalb eines vorgegebenen Temperaturfensters zu halten. Diverse Gr¨ossen wie Einfluss, Einflusstemperatur, Tankniveau und dessen Temperatur k¨onnen eingestellt werden. Wenn wir mit dem Front Panel vertraut sind, ¨offnen wir das Diagramm Fenster. Mit Hilfe der Anschriften im Diagramm sollte es m¨oglich sein, die Elemente im Front Panel mit den entsprechenden Elementen im Block Diagram zu identifizieren. Es ist dabei nicht n¨otig, alle Details zu verstehen. Sehr hilfreich kann das Ablaufen des Programms im Zeitlupentempo“sein. Man muss dazu ” die Gl¨ uhbirne anklicken. Im Block Diagram l¨asst sich dann der Datenlauf anhand von wandernden, gelben Punkten verfolgen. Dies ist eine von vielen hilfreichen Debug-Techniken f¨ ur sp¨ater. Wer das Programm noch langsamer ablaufen lassen will, kann auf das Icon mit dem horizontalen Strich klicken. Nach jedem Datenlauf verlangt das Programm eine Best¨atigung durch Klicken auf das Icon links von der Gl¨ uhbirne. ¨ Schliesslich soll das VI geschlossen werden, ohne mo ¨glicherweise gemachte Anderungen zu speichern.

196

A. LABVIEW

Abbildung A.2: Block Diagram von TankSimulation.vi

A.6.2

Ein- und Ausgabe

Wir beginnen mit dem Einf¨ ugen einer digitalen Eingabe und Ausgabe. Dazu ¨offnen wir ein neues VI, indem ihr im File Men¨ u auf new VI dr¨ uckt. Dann braucht man die Controls Palette. Ist sie nicht sichtbar, so w¨ ahlt man im Menu View den Befehl Controls Palette (Achtung: Eingaben und Ausgaben k¨ onnen nur im Front Panel eingef¨ ugt werden und die Controls Palette erscheint nur wenn das Front Panel angew¨ahlt ist). Um eine digitale Eingabe zu kreieren, w¨ahlt man in der Controls Palette unter Modern das Icon Numeric und dort den Numerical Control (siehe Abb. A.3) und legt ihn auf dem Front Panel ab. Dieser Numerical Control kann wie auch alle anderen Objekte der Controls Palette nach dem Platzieren angeschrieben werden (fakultativ). Wir nennen ihn f¨ ur dieses Beispiel Eingabe. Das Einf¨ ugen der digitalen Ausgabe geschieht auf identische Weise. Wir w¨ahlen dann einfach statt dem Numerical Control einen Numerical Indicator und nennen ihn Ausgabe. Das Front Panel sollte nun wie in Abb. A.4 aussehen. Hinter dem Front Panel sieht man das Block Diagram, wo sowohl die Eingabe wie auch die Ausgabe als Icons sichtbar sind. F¨ ur jede Anzeige, Schalter, Drehknopf usw. im Front Panel gibt es den entsprechenden Terminal als Pendant im Block Diagram. F¨ ur ein erstes kleines Programm verbinden wir die Ein- und die Ausgabe im Block Diagram mit einem Draht. Daf¨ ur verwendet man die Drahtspule, welche in der Tools Palette Tools ist (zu finden unter View, Tools Pallete, Abb. A.5). Dabei m¨ ussen im Block Diagram die Ein-

A.6. BEISPIELE

197

Abbildung A.3: Controls Palette.

und die Ausgabe miteinander verbunden werden. Durch das Verdrahten der Terminals mit der Drahtspule wird der Datentransfer erst m¨oglich. Nun k¨onnt ihr im Front Panel die Eingabe ver¨andern und seht wie sich bei jedem Ausf¨ uhren des Programms die Ausgabe entsprechend ver¨andert. Gestartet wird ein LabVIEW VI indem auf das Pfeilsymbol oben links geklickt wird.

A.6.3

Zufallszahlen

Wir werden jetzt das obenstehende Programm um einen Zufallsgenerator erweitern. Dazu brauchen wir die Functions Palette, siehe Abb. A.6. Ist sie nicht vorhanden, so w¨ahlt man im Men¨ u View den Befehl Functions Palette (Analog zur Controls Palette f¨ ur das Front Panel kann die Functions Palette nur im Block Diagram verwendet werden). In dieser Functions Palette findet man unter Mathematics das Icon Numeric, wo wir die Funktion Random Number (0-1) (dargestellt als zwei W¨ urfel) finden. Wir bringen sie auf das Block Diagram. Nun muss die generierte Zufallszahl an die Ausgabe weitergeleitet werden. Dazu brauchen wir wieder die Drahtspule aus der Tools Palette. Verbinden wir den W¨ urfel mit der Ausgabe, so wird die Zufallszahl an die Ausgabe weitergeleitet. Abb.A.7 zeigt das Block Diagram. Um das Programm zu starten, kehrt man ins Front Panel zur¨ uck und dr¨ uckt auf den Pfeil oben links. Die Zufallszahl erscheint nach jedem Ablauf des Programms in der Ausgabe.

198

A. LABVIEW

Abbildung A.4: Front Panel nach Einf¨ ugen der Ein- und Ausgabe. Im Hintergrund ist das Block Diagramm mit den beiden Icons Ein- und Ausgabe.

Abbildung A.5: Die Tools Palette, zu finden unter Windows, Show Tools Pallete

A.6.4

Kontinuierliche Generierung von Zufallszahlen

Anstatt nur einer Zufallszahl wollen wir nun kontinuierlich Zufallszahlen generieren. Dazu ben¨ utzen wir eine Schlaufe (For oder While Loop). Wir beginnen mit einer For-Schlaufe, zu finden in der Functions Palette unter Programming, Structures. For Loop Nachdem wir den For Loop im Block Diagram eingef¨ ugt haben, verschieben wir den Zufallszahlengenerator und die Ausgabe in den For Loop. Wir k¨onnen alternativ aber auch den For-Loop um die W¨ urfel und den Ausgabe-Terminal zeichnen. Die Eingabe k¨onnen wir gerade dazu verwenden, die maximale Anzahl Durchg¨ange festzulegen. Daf¨ ur verbinden wir die Eingabe mit dem N in der linken oberen Ecke der Schlaufe. Wir geben nun vor, wie oft die Schlaufe durchlaufen wird.

A.6. BEISPIELE

199

Abbildung A.6: Die Functions Palette kann nur vom Block Diagram aus aufgerufen werden.

Abbildung A.7: Block Diagram eines Programms, das Zufallszahlen generiert.

F¨ ur die Ausgabe m¨ ussen wir die W¨ urfel mit der Ausgabe verbinden. Wenn wir jetzt das VI starten, sehen wir nur den letzten Wert, da der Vorgang zu schnell abl¨auft. Damit wir die einzelnen Ausgaben verfolgen k¨ onnen, m¨ ussen wir in der Schlaufe eine Zeitverz¨ogerung einf¨ ugen. Dazu ben¨ otigen wir die Funktion Wait (ms), zu finden in der Functions Palette, Programming, Timing, Wait (ms). Das Icon Wait (ms) positionieren wir im For-Loop. Um die Verz¨ogerung zu definieren dr¨ ucken wir bei gedr¨ uckter CTRL-Taste mit der Maus auf das Icon. Nun erscheint ein neues Men¨ u, wo wir unter Create, eine Konstante ausw¨ahlen k¨onnen. Den Wert ¨andern kann man mit Hilfe der Tools Palette, A ausw¨ ahlen. Weiter machen wir ein Verbindung aus der Schlaufe hinaus, indem wir ein Draht zur Schlaufengrenze ziehen. Die fortlaufend erw¨ urfelten Zufallszahlen k¨onnen wir so zus¨ atzlich in einem Array ausgeben:

200

A. LABVIEW

Auf dem Front Panel f¨ ugen wir ein leeres Array ein (Controls Palette, Modern, Array). Dieses m¨ ussen wir noch mit einem Indicator, also mit einem Datentyp, f¨ ullen. Anschliessend muss das Array im Block Diagram noch mit der Schlaufenausgabe verbunden werden. Die Zeitverz¨ogerung ist nun nicht mehr n¨ otig und kann daher aus der Schlaufe herausgenommen werden. (Siehe Abb. A.8). Das Programm wird durch Dr¨ ucken auf den Pfeil gestartet1 . Nach Ablauf des Programms werden die Resultate jedes Schlaufendurchgangs im Array angezeigt.

Abbildung A.8: Front Panel und Block Diagram eines Programms, das kontinuierlich Zufallszahlen generiert.

Graphikausgabe Um das Ergebnis in einer Graphik auszugben, m¨ ussen wir im Front Panel einen Waveform Graph einf¨ ugen (Controls, Modern, Graph, Waveform Graph) und zwar ausserhalb der Schlaufe, da wir alle Zufallszahlen aufzeichnen wollen. Anschliessend muss der Waveform Graph noch mit der Ausgabe der Schlaufe verbunden werden. Siehe Abb. A.9. Das Array brauchen wir jetzt nicht mehr und k¨ onnen es l¨ oschen. Es gibt noch eine zweite Art von Graphikausgabe, die Waveform Chart. Beim Waveform Graph wird ein ganzes Array auf einmal angezeigt, aber bei der Waveform Chart werden die Daten fortlaufend aufgezeichnet 1

Falls der Pfeil unterbrochen ist, bedeutet dies, dass das Programm nicht lauff¨ ahig ist. Es k¨ onnte sein, dass ein Draht nicht richtig verdrahtet ist und deshalb gestrichelt erscheint. Mit der Apfeltaste+B k¨ onnen nicht richtige Dr¨ ahte entfernt werden.

A.6. BEISPIELE

201

Abbildung A.9: Front Panel und Block Diagram eines Programms, das kontinuierlich Zufallszahlen generiert und sie am Ende der For -Schlaufe in einer Waveform Graph ausgibt.

Wir f¨ ugen auf dem Front Panel eine Waveform Chart ein (Controls, Modern, Graph, Waveform Chart), positionieren sie im Block Diagram in der For-Schlaufe und verbinden sie mit dem Zufallsgenerator. Zus¨ atzlich verschieben wir die Zeitverz¨ogerung wieder in die Schlaufe, damit wir den Ablauf besser beobachten k¨ onnen. Siehe Abb. A.10. While Loop Nun ¨andern wir die Art der Schlaufe von einem For- zu einem While-Loop. Das kann auf zwei Arten geschehen: 1. Im Block Diagram CTRL-Taste und Maus auf den Rand der For-Schlaufe dr¨ ucken. Im Men¨ u Replace with While Loop ausw¨ahlen. 2. Im Block Diagram Functions Palette, Programming, Structures, While Loop auf Block Diagram ziehen und anschliessend die Objekte vom For in den While Loop bewegen und Dr¨ahte reparieren“. ” Zuletzt m¨ ussen wir noch die Abbruchbedingung f¨ ur den While loop setzen. Dazu f¨ ugen wir einen Schalter auf dem Front Panel ein: Controls Palette, Modern, Boolean, Stop und verbinden ihn im Block Diagram mit der Abbruchbedingung (rechte untere Ecke). Siehe Abb. A.11. Im Front Panel k¨ onnen verschiedene Einstellungen direkt an Graphikausgaben vorgenommen werden (z.B. Darstellungsbereich der Achsen): CTRL-Taste und mit Maus auf die Graphik dr¨ ucken.

202

A. LABVIEW

Abbildung A.10: Front Panel und Block Diagram eines Programms, das kontinuierlich Zufallszahlen generiert, sie in einer Waveform Chart anzeigt und sie am Ende der For Schlaufe in einer Waveform Graph ausgibt.

A.6.5

Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung

Will man nun den Mittelwert und die Standardabweichung der generierten Zufallszahlen berechnen, so w¨ ahlt man in der Functions Palette unter Mathematics, Probability and Statistics das bereits programmierte VI Standard Deviation and Variance.vi. Wir wollen den Mittelwert und die Standardabweichung f¨ ur das ganze Set an generierten Zufallszahlen berechnen, also legen wir das VI neben der While Schlaufe ab. Wird nun das Icon mit der Schlaufe verbunden, kann es sein, dass die Verbindung unterbrochen erscheint. In diesem Falle liegt das Problem darin, dass es nicht klar ist, ob jeweils die Zahl des letzten Durchgangs oder das ganze Zahlenpaket in Form eines ID-Arrays u ¨bergeben werden muss. Dies ¨andert man mit dem Befehl enable ¨ indexing (CTRL-Taste + Mausklick auf das Ubergangsst¨ uck am Rande der While Schlaufe). ¨ Damit wird nun die ganze Zahlenreihe in ein Array umgewandelt. Ausserlich erkennt man dies an der dicker gewordenen Verbindung. Das Standard Deviation and Variance.vi gibt nun nach Abbruch der While-Schlaufe links den Mittelwert und die Standardabweichung aus. Diese m¨ ussen an zwei Ausgaben (Indicators) Mittelwert und Standardabweichung, die im Front Panel eingef¨ ugt werden, weitergeleitet werden. In Abb. A.12 ist die Waveform Graph entfernt worden. Zu beachten ist dabei, dass ein dynamischer Aufbau eines Arrays mit der illustrierten Methode gef¨ahrlich ist. Ein While-Loop kann endlos laufen und dabei ein riesiges Array erzeugen. Autoindexing ist deshalb vorzugsweise mit For-Loops zu gebrauchen.

A.6. BEISPIELE

203

Abbildung A.11: Programm das kontinuierlich Zufallszahlen generiert mit While-Loop und graphischer Ausgabe.

A.6.6

Histogramm

Um ein Histogramm der Zufallszahlen zu bilden, w¨ahlt man in der Functions Palette unter Mathematics, Probability and Statistics das bereits programmierte VI Histogram.vi. Als Eingabe braucht das Histogram.vi den Array der Zufallszahlen. Das Histogramm wird in einer Grafik im Front Panel ausgegeben (Controls Palette, Modern, Graph, Waveform Graph. Das Block Diagram ist in Abb. A.13 dargestellt. Um die Anzahl Klassen vorzugeben, brauchen wir ein eine Eingabe (numerical control), welche wir im Front Panel einf¨ ugen und mit dem VI histogram.vi verbinden. Weiter k¨onnen wir jetzt die Zeitverz¨ ogerung wieder entfernen. Siehe Abb. A.14.

204

A. LABVIEW

Abbildung A.12: Front Panel und Block Diagram des Programms, das Zufallszahlen generiert und deren Mittelwert und Standardabweichung berechnet.

A.7

Hilfefunktionen und Debugging

Im Menu Help sind einige Hilfefunktionen enthalten. Unter Search the LabVIEW Help... sind Erl¨auterungen zu verschiedenen Themen zu finden. Verwendet man vorprogrammierte VI’s, so erscheint ein Hilfefenster, wenn man dar¨ uber f¨ahrt (z.B. Eingabe- und Ausgabeformate und -verbindungen). Zuvor muss allerdings noch im Help Men¨ u Show Context Help angew¨ahlt werden. Mit CTRL-Taste und Mausklick kann man eine Beschreibung des ausgew¨ahlten Objektes direkt abrufen. Eine sehr interessante Funktion, die LabVIEW anbietet, ist die Debugging-Funktion. W¨ahlt man im Block Diagram das Symbol mit der Gl¨ uhbirne an (Highlight Execution), so l¨auft das Programm in Zeitlupe ab und die jeweiligen Daten¨ ubertragungen k¨onnen grafisch verfolgt werden. Damit wird der Programmablauf nachvollziehbar, und eventuelle Programmierfehler k¨onnen damit besser entdeckt und beseitigt werden. Ist der Start-Pfeil im Block Diagram unterbrochen, kann durch klicken auf den Pfeil eine Liste der Fehlerquellen angezeigt werden.

A.8

Datenerfassung mit LabVIEW

Damit mit LabVIEW externe Messdaten erfasst werden k¨onnen, braucht es eine sogenannte DAQ-Karte (DAQ steht f¨ ur Data Acquisition), die beispielsweise in einem freien Steck-

A.8. DATENERFASSUNG MIT LABVIEW

205

Abbildung A.13: Front Panel und Block Diagram des Programms, das Zufallszahlen generiert, deren Mittelwert und Standardabweichung berechnet und die Verteilung in einem Histogramm darstellt werden.

platz im Computer eingebaut wird. Es gibt viele M¨oglichkeiten, wie LabVIEW (Software) mit Messdatenerfasungs-Hardware kommunizieren“kann. In unseren PowerMac G5 Rechnern ” sind PCI Express DAQ-Karten von National Instruments eingebaut. Es handelt sich dabei um professionelle Multifunktionskarten des Typs NI-PCIe-6251 (16bit, 1.25 Megasamples/s). Die Karten werden auf den Macs mit dem sogenannten DAQmx Base 2.1 Treiber angesteuert. Dieser Treiber ist insofern einzigartig, dass der Treiber selbst fast vollst¨andig in LabVIEW G programmiert ist, also vom Benutzer auch ge¨andert werden kann. Die Funktionen von DAQmx Base entsprechen denjenigen des vollen Treibers, der allerdings in Form eines umfangreichen externen Softwaremodel realisiert ist und deshalb auch vom benutzten Betriebssystem unabh¨angig ist. Wir gehen in diesem Kapitel auf einige Grundstrategien von Analogmessungen ein.

A.8.1

Immediate Nonbuffered Acquisition

Die einfachste Art der Datenerfassung ist die sogenannte Immediate Nonbuffered Acquisition. Dabei wird der Wert, der momentan gerade von der Karte registriert wird, gelesen. Werden mehrere Datenpunkte kontinuierlich gelesen, so wird dies software-m¨assig (d.h. vom LabVIEW-Programm) gesteuert. Wir benutzen dazu einen While Loop. Die Abtastrate und deren Pr¨ azision ist dann von der Kapazit¨at des Rechners abh¨angig und kann entsprechend variieren (z.B beim Bewegen der Maus). Zur Datenerfassung wird die oben erw¨ahnte Programmgruppe DAQmx Base verwendet (Functions Palette, Measurement I/O, DAQmx Base).

206

A. LABVIEW

Abbildung A.14: Front Panel und Block Diagram des Programms, das Zufallszahlen generiert und deren Mittelwert und Standardabweichung berechnet und die Verteilung in einem Histogramm darstellt. Weiter kann die Anzahl Klassen vorgegeben werden.

Kleines Programm zur Immediate Nonbuffered Acquisition ¨ Offnet ein neues VI und positioniert eine While-Schlaufe mit Stoppschalter. Anschliessend positionieren wir folgende VI aus DAQmx Base: Create Task.vi Im Untermen¨ u DAQmx Base Advanced Task Options. Startet einen Programmablauf (Task ). Dieses VI muss immer am Anfang eines Task stehen. Create Virtual Channel Definiert den Einlesekanal Channel : F¨ ur alle Programme: Dev1/ai0. Muss als Control eingef¨ ugt werden (Controls, Modern, I/O, DAQmx Name Controls, Physical Control). Start Task Startet die Messung Read Liest die Daten ein und gibt sie weiter. Stop Task Stoppt die Messung. Clear Task L¨ oscht den Task aus dem Arbeitsspeicher und beendet das Programm. Es empfiehlt sich nach beenden des Tasks auch noch eine Funktion zur Anzeige eines m¨oglichen Fehlers einzusetzen. Dazu wird das General Error Handler.vi aus der Functions Palette, Programming, Dialog & User Interface am Ende der Kette eingef¨ ugt und verdrahtet.

A.8. DATENERFASSUNG MIT LABVIEW

207

Wie in Abb. A.15 zu sehen, muss das Read.vi in der Schlaufe positioniert werden. Weiter geben wir die Daten in einer Waveform Chart und den momentanen aktuellen Wert in einer Anzeige aus. Diesen Wert erhalten wir durch Indizieren des ID-Array der Funktion, das prinzipiell auch mehrere Datenpunkte beinhalten kann. Dazu brauchen wir die Funktion Index Array (unter Array, Index Array zu finden). Alle VI m¨ ussen noch untereinander verbunden werden (Task/Channels in, Task Out; error in, error out).

Abbildung A.15: Front Panel und Block Diagram des Programms Immediate Nonbuffered Acquisition

A.8.2

Timed Buffered Acquisition

Bei der Timed Buffered Acquisition werden die Daten von der Karte in den Computerspeicher geschrieben. Erst wenn der dazu vorgegebene Speicherplatz voll ist, stehen die Messwerte dem Programm zur Verf¨ ugung. In Abb. A.16 ist ein Beispiel f¨ ur ein einmaliges Lesen einer bestimmten Anzahl abgetasteten Messdaten gezeigt. In diesem Beispiel (siehe Front Panel) werden 1000 Messdaten mit einer Abtastrate von 200 Hertz aufgenommen, die Messung dauert folglich 20 Sekunden.

A.8.3

Timed Buffered Continuous Acquisition

Will man nun eine kontinuierliche, getaktete und gepufferte Messdatenerfassung, muss ein sogenannter Zirkularpuffer eingef¨ uhrt werden. Die Messdaten werden kontinuierlich mit einer bestimmten Abtastrate von der Karte gelesen und in einem Zwischenspeicher, dem Puf” fer“ abgelegt. Periodisch wird dieser Puffer“ gelesen und somit wieder abgebaut. Der Puf” ”

208

A. LABVIEW

Abbildung A.16: Front Panel und Block Diagram f¨ ur Timed BufferedAcquisition.

fer“ wirkt somit wie ein Reservoir f¨ ur die Messdaten, bis sie herausgelesen und verarbeitet werden k¨ onnen. Ein Beispiel ist in Abb. A.17 dargestellt.

A.9 A.9.1

Versuchsaufgabe: Pulsmessung u ¨ ber Lichtabsorption Idee und Aufgabe

In dieser Aufgabe geht es darum, eine Anwendung selber zu programmieren. Dabei soll mit Hilfe einer kleineren experimentellen Anlage der eigene Pulsschlag gemessen werden. Dazu wird ein Phototransistor und eine gew¨ohnliche Lampe verwendet. Mit der Lampe wird die Fingerspitze durchleuchtet. Je nach Blutstrom durchdringt mehr oder weniger Licht den Finger. Der Phototransistor dient schliesslich als Detektor. Um die Hardware brauchen wir uns nicht zu k¨ ummern, sie steht schon bereit. Einzig die Software soll mittels LabVIEW programmiert werden. Aufgabe Ziel der Aufgabe ist es, das verst¨ arkte Signal des Phototransistors mit einer vern¨ unftigen Abtastrate abzutasten (scans/sec) und den gemessenen Blutstrom graphisch darzustellen. Dazu w¨ahlt man f¨ ur die Zeit die x-Achse und f¨ ur das Signal die y-Achse. Es ist zu beachten, dass die Messung auf die Bewegung des Fingers sehr empfindlich reagiert. Wenn das Blut irgendwie abgeblockt wird, kann gegebenfalls kein Blutstrom gemessen werden.

¨ A.9. VERSUCHSAUFGABE: PULSMESSUNG UBER LICHTABSORPTION

209

Abbildung A.17: Front Panel und Block Diagram f¨ ur Timed BufferedAcquisition.

Vorbereitungen Um die Messung zu erm¨ oglichen, muss die Hardware sauber angeschlossen und verkabelt sein.

Der Versuchsaufbau besteht aus folgenden Komponenten: • Apple Macintosh G5 • Detektorger¨ at mit integrierter Lampe, H¨ohenanpassungsverstellung und Phototransistor • Vorverst¨ arker, der es erlaubt, das schwache Signal zu verst¨arken und einen einstellbaren Offset zu u ¨berlagern. Siehe Abbildung A.18 Im Mac eingebaut ist eine DAQ Karte. DAQ steht f¨ ur Data Acquisition und bedeutet nichts anderes als die Erfassung von Messdaten. Das Ger¨at wird von LabVIEW aus mit folgender Adresse angesteuert: Dev1/ai0.

210

A. LABVIEW

Abbildung A.18: Versuchsaufbau Pulsmessung: Datenerfassungs PC, Detektorkasten und Vorverst¨ arker

A.9.2

Anleitung zur Programmierung

Front Panel Als erstes muss ein neues VI ge¨ offnet werden. Die Messung soll kontinuierlich ablaufen. Also brauchen wir zur Beendigung des Programmablaufs einen Stop-Knopf. Diesen finden wir in der Controls Palette unter Modern, Boolean. Dort gibt es mehrere zur Auswahl. Wir k¨onnen ihn beliebig platzieren und wenn n¨ otig vergr¨ossern. Nun sollte das VI gespeichert werden. Wir speichern es unter puls.vi in den Ordner LabVIEW Prakt. Es ist nicht erlaubt, LabVIEW-eigene VI zu ¨andern (zB. Defaultwerte von LV-Unterprogrammen) und danach zu speichern. Falls ein LabVIEW-eigenes VI abge¨andert gebraucht werden soll, muss es unter einem neuen Namen im Ordner LabVIEW Prakt gespreichert werden. Generell sollte regelm¨ assig gespeichert werden. Nun fehlt noch die graphische Ausgabe auf dem Front Panel. Dazu verwenden wir eine Waveform Chart (Controls, Modern, Graph, Waveform Chart). Damit ist vorl¨ aufig das Wichtigste auf dem Front Panel plaziert. Zu bemerken ist noch, dass die Chart nach der Platzierung noch benannt werden sollte. Das noch leere Label ist deutlich zu sehen. Derselbe Namen erscheint dann auch im Block Diagram; damit wird die Identifikation dort einfacher.

¨ A.9. VERSUCHSAUFGABE: PULSMESSUNG UBER LICHTABSORPTION

211

Block Diagram Nun ¨offnen wir das Block Diagram. Dort sollte der Stop-Knopf als True-False-Terminal und die Waveform Chart als DBL-Terminal sichtbar sein. Im Block Diagram wird das eigentliche Programm in der LabVIEW-Syntax gezeichnet. Da wir kontinuierlich bis zum Stop messen wollen, braucht es eine While-Schlaufe. Diese finden wir in der Functions Palette, Structures, While Loop. Das i in der While-Schlaufe ist f¨ ur unsere Zwecke nicht wichtig, es z¨ahlt die Anzahl ausgef¨ uhrter Schlaufen. Wichtiger ist der runde Pfeil am rechten unteren Rand. Er dient zur Eingabe der Abbruchbedingung. Wenn er auf True gesetzt wird, bricht die Schlaufe beim n¨achsten vollendeten Durchgang ab. Standardm¨assig ist er auf False. Da wir kontinuierlich messen wollen, muss sowohl die Chart als auch der Stop-Knopf innerhalb der While-Schlaufe platziert werden. Unser VI sieht jetzt aus wie auf Abbildung A.19. Zum Vergr¨ossern und Platzieren von Komponenten muss in der Tool Palette der Pfeil angeklickt werden.

Abbildung A.19: Front Panel und Block Diagram f¨ ur puls.vi

Kommunikation mit der Messdatenerfassungskarte Die ganze Kommunikation mit der DAQ-Karte wird im Block Diagram programmiert. Bevor man u ¨berhaupt etwas messen kann, muss die Karte konfiguriert werden. Weil wir eine Messda-

212

A. LABVIEW

tenerfassungskarte ansteuern, brauchen wir die VI in Functions, Measurements I/O, DAQmx Base - Data Acquisition. Mit der Hilfefunktion l¨asst sich anhand des Icons, das nat¨ urlich ausserhalb der while-Schlaufe plaziert werden muss, die Funktion dieses SubVIs analysieren. Ein Doppelklick auf das Icon ¨ offnet das entsprechende SubVI. Schaut zur Verwendung der VI im Abschnitt A.8 im Beispielprogramm nach. F¨ ur die Messung muss ein Task definiert werden. Dies geschieht mit dem VI DAQmxBase Create Task.vi (unter Advanced Task Options)2 . Anschliessend muss dem Progamm der Kanal (physical channel) mitgeteilt werden: Der Funktion Create Virtual Channel.vi muss vom Front Panel aus eine Eingabe (Controls, Modern, I/O, DAQmx Name Controls) zugef¨ uhrt werden. Ferner muss der Karte mitgeteilt werden, mit welcher Abtastrate (scans/sec) eingelesen werden soll und wie viele Samples: Timing.vi. Danach wird die Messung gestartet mit Start Task.vi. Damit die Daten auch erfasst und allenfalls gespeichert werden, m¨ ussen die Signale in der While-Schlaufe mit Read.vi erfasst werden. Nach beenden der Schlaufe muss die Datenerfassung gestoppt (Stop Task.vi) und anschliessend beendet werden(Clear Task.vi). Zum Anzeigen von m¨oglichen Fehlern kann am Ende der Kette ein General Error Handler.vi (Unter Functions, Programming, Dialog & User Interface) eingef¨ ugt werden. Unser VI sollte nun etwa wie in Abb. A.20 aussehen.

Abbildung A.20: Block Diagram f¨ ur puls.vi mit allen VI

Nat¨ urlich muss nun noch alles verdrahtet und alle Einstellungen richtig gemacht werden. Man erh¨alt eine Kurzbeschreibung eines VIs, wenn man mit der Maus auf das entsprechende Icon f¨ahrt und dort bei eingeschalteter Context Help (im Help Men¨ u) kurz verweilt. Es bleibt dem Programmierer u ¨berlassen, ob er Einstellungen wie Samplerate, Anzahl Samples.. vom Front Panel via Numerical Control ver¨andern will, oder ob alles fix als Numeric Constant im Block Diagram festgehalten wird. 2

Im folgenden wird DAQmx Base jeweils weggelassen bei VI Namen, welche unter DAQmx Base zu finden sind.

¨ A.9. VERSUCHSAUFGABE: PULSMESSUNG UBER LICHTABSORPTION

213

Nochmals zur Erinnerung: Es sollen die Sub VIs mit den entsprechenden gew¨ unschten Werten angesteuert werden. Die Ansteuerung erfolgt von puls.vi aus. Niemals sollen die SubVIs ge¨ offnet, ihre Defaultwerte bewusst ge¨ andert und schliesslich wieder gespeichert werden. Nachfolgende Ben¨ utzer werden daf¨ ur dankbar sein. Die Darstellung soll sinnvoll sein, das bedeutet, die Achsenanschriften m¨ ussen entsprechend gew¨ahlt werden. Die Skalenendwerte zu fixieren ist meist besser als durch LabVIEW eine automatische Skalierung vorzunehmen. 3 Nun ist das Progamm lauff¨ ahig. Sollte es aber trotzdem nicht laufen, so ist das Problem nicht immer klar, da mehrere SubVIs integriert wurden. Diese k¨onnen Fehler verursachen, welche nicht augenscheinlich sein m¨ ussen, oder durch falsche Eingabeparameter verursacht werden. Zum einfacheren Fehlerfinden sollte deshalb eine Fehlerbehandlung integriert werden. Jedes SubVI hat eine error in und error out Variable. So kann ein allf¨alliger Fehler im Programmablauf weitergegeben werden, um ihn am Schluss zu analysieren. Nat¨ urlich m¨ ussen wir von Create Task.vi aus startend den Error-Cluster via alle SubVIs weitergeben, also auch durch die While-Schlaufe. Wenn wir den Stop-Knopf dr¨ ucken, wird im Falle eines Fehlers mit dem Error Handler.vi eine Meldung erscheinen. Nat¨ urlich ist es auch m¨oglich, im Falle eines Fehlers die While-Schlaufe abbrechen zu lassen. Der Error String enth¨alt eine Boolean-Variable, die dann auf False gesetzt w¨ urde. Dazu muss allerdings der String mit einer Unbundle-Funktion auseinandergenommen werden. Dies geh¨ort jedoch nicht zur Aufgabe und ist eine freiwillige ¨ Ubung.

Erweiterung der Pulsmessung Anstatt die Daten direkt mit einer Waveform Chart auszugeben, k¨onnen die Daten zuerst auch gesammelt werden und nur der Mittelwert ausgegeben werden. Dazu werden die Messpunkte in einem Array gesammelt, dann der Mittelwert gebildet und dieser anschliessend an die Graphik ausgegeben. Dazu muss vom 2D-Array von DAQmx Base Read.vi zuerst ein 1D-Array der Messdaten eines Kanals abgespalten werden. (Index Array mit Index 0 = 0 (Functions, Programming, Array)). Wer die Aufgabe zufriedenstellend gel¨ost hat, soll sein VI speichern. Das VI soll ausgedruckt und dem Assistenten abgegeben werden. Falls Probleme auftauchen Es kann geschehen, dass man grosse Schwierigkeiten hat, eine L¨osung der freien Parameter zu finden, so dass eine stabile Messung m¨oglich ist. In diesem Fall soll der Assistent weiterhelfen.

3

Mit CTRL-Tast und Maus auf Graphik, Graphikfenster ¨ offnet sich, X oder Y scale