Annales sur les probabilités

January 16, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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Terminale S/Annales sur les probabilités 1. Probabilité et suites : déré.

Exercice 3188 Pierre et Claude jouent au tennis. Les deux joueurs ont la même chance de gagner la première partie. Par la suite, lorsque Pierre gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est 0;7. Et s’il perd une partie, la probabilité qu’il perde la suivante est 0;8. Dans tout l’exercice, n est un entier naturel non nul. On considère les évènements : Gn : “Pierre gagne la n-ième partie”. Pn : “Pierre perd la n-ième partie”. On pose : pn = P(Gn ) et

qn = P(Pn ).

1. Recherche d’une relation de récurrence. a. Déterminer p1 puis les probabilités conditionnelles PG1 (G2 ) et PP1 (G2 ). b. Justifier l’égalité : pn +qn = 1. c. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul : pn+1 = 0;5·pn + 0;2. 2. Etude de la suite (pn ). 2 On pose, pour tout entier naturel n non nul, vn = pn − . 5 a. Prouver que la suite (vn ) est une suite géométrique et exprimer vn en fonction de n. b. En déduire l’expression de pn en fonction de n. c. Déterminer la limite de la suite (pn ) quand n tend vers +∞. Exercice 4326 Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que :

2. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu’il ait perdu la première. (on donnera une valeur approchée à 10−2 près). 3. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières. 4. Montrer que pour tout entier naturel n non nul : 1 3 pn+1 = ·pn + . 5 5 5. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul : 3 13 ( 1 )n pn = − · 4 4 5 ( ) 6. Déterminer la limite de la suite pn quand n tend vers +∞. 7. Pour quelles valeurs de l’entier naturel n a-t-on : 3 − pn < 10−7 ? 4 Exercice 6800 On dispose d’un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 et de 2 pièces A et B ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé. Après chaque lancer de dé, si l’on obtient 1 ou 2, alors on retourne la pièce A, si l’on obtient 3 ou 4, alors on retourne la pièce B et si l’on obtient 5 ou 6, alors on ne retourne aucune des deux pièves. Au début du jeu, les 2 pièces sont du côté face. 1. Dans l’algorithme ci-dessous, 0 code le côté face d’une pièce et 1 code le côté pile. Si a code le côté de la pièce A à un instant donné, alors 1−a code le côté de la pièce A après l’avoir retournée.

la probabilité qu’il gagne la première partie est de 0;1 ; s’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0;8 ; s’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0;6. On note, pour tout entier naturel n non nul : Gn l’évènement “le joueur gagne la n-ième partie” ; pn la probabilité de l’évènement Gn . On a donc :

p1 = 0;1

1. Montrer que p2 = 0;62. On pourra s’aider d’un arbre ponTerminale S - Annales sur les probabilités - http://chingatome.net

variables

i

d

a

b

Zn l’évènement : “A l’issue de n lancers de dés, les deux pièces sont du côté pile”. ( ) ( ) ( ) De plus on note, xn = P Xn , yn = P Yn et zn = P Zn les probabilités respectives des évènements Xn , Yn et Zn : a. Donner les probabilités x0 , y0 et z0 respectives qu’au début du jeu il y ait 0, 1 ou 2 pièces du côté pile. ( ) 1 b. Justifier que : PXn Xn+1 = 3 c. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les probaiblités sur ses branches, certaines pouvant être nulles : Xn+1

Xn

Yn+1 Zn+1 Xn+1

yn

Yn

Yn+1 Zn+1

zn

a. On exécute cet algorithme en saisissant n = 3 et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour d sont 1 ; 6 et 4. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme :

pièce est du côté pile et l’autre est du côté face”

xn

Variables : a, b, d, s sont des entiers i, n sont des entiers supérieurs ou égaux à 1 Initialisation : a prend la valeur 0 b prend la valeur 0 Saisir n Traitement : Pour i allant de 1 à n faire d prend la valeur d’un entier aléatoire compris entre 1 et 6 Si d ⩽ 2 alors a prend la valeur 1−a Sinon Si d ⩽ 4 alors b prend la valeur 1−b Fin Si Fin Si s prend la valeur a+b Fin Pour Sortie : Afficher s

Xn+1

s

Zn

initialisation

Yn+1 Zn+1

1 passage boucle Pour

d. Pour tout entier naturel n, exprimer zn en fonction de xn et yn .

2e passage boucle Pour

e. En déduire que, pour tout entier naturel n, : 1 2 yn+1 = − ·yn + 3 3

er

3e passage boucle Pour b. Cet algorithme permet-il de décider si à la fin les deux pièces sont du côté pile ? 2. Pour tout entier naturel n, on note : Xn l’évènement : “A l’issue de n lancers de dés, les deux pièces sont du côté face” Yn l’évènement : “A l’issue de n lancers de dés, une

1 f. On pose, pour tout entier naturel n : bn = yn − 2 ( ) Montrer que la suite bn est géométrique. En déduire que,(pour) tout entier naturel n : 1 1 1 n yn = − × − 2 2 3 g. Calculer lim yn . n7→+∞

Interpréter le résultat.

2. Probabilité et intégrale : Exercice 3201 Première partie



1

x·ex dx.

Calculer l’intégrale : 0

Deuxième partie

La figure ci-dessous représente une N cible rectangulaire OIM N telle que, le repère orhonormal ( −→dans −→) O ; OI ; OJ , la ligne courbe C reliant le point O au point M est 2 une partie de la courbe représentative de la fonction f définie sur R par f (x) = x·ex . Cette courbe partage la cible OIM N en deux parties A et B comme l’indique la figure ci-dessous.

M

Partie B

J Un jeu consiste à lancer une fléchette qui atteint soit l’extérieur de la cible, Terminale S - Annales sur les probabilités - http://chingatome.net soit l’une des parties A ou B. On admet que la fléchette ne peut atteindre

Une étude statistique a montré que la fléchette tombe à l’ex1 térieur de la cible avec une probabilité de et que les proba2 bilités d’atteindre les parties A et B sont proportionnelles à leurs aires respectives. 1. Démontrer que la probabilité d’atteindre la partie A est 1 égale à . 2e Quelle est la probabilité d’atteindre la partie B ? 2. On lance de manière indépendante trois fléchettes : a. Soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de fléchettes ayant atteint la partie A. Définir la loi de probabilité de X . En déduire la valeur exacte de son espérance mathématique. b. Soit E l’évènement : “Exactement deux fléchettes at-

teignent la partie A”. Calculer une valeur approchée au millième de la probabilité de E. c. Soit F l’évènement : “les trois fléchettes atteignent la partie B”. Calculer la probabilité de F (on donnera la valeur exacte). Sachant qu’aucune fléchette n’a atteint l’extérieur de la cible, quelle est la probabilité que toutes les trois se trouvent dans partie B ? 3. On lance cette fois de manières indépendante n fléchettes. a. Déterminer en fonction de n la probabilité pn pour qu’au moins une des fléchettes atteigne la partie A. b. Déterminer le plus petit entier n ∈ N tel que pn ⩾ 0;99.

3. Lois uniformes et exponentielles :

La durée de vie d’un robot, exprimée en années, jusqu’à ce que survienne la première panne est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre –, avec – > 0.

et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse enlève 0;5 point. L’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total de cette partie est négatif, la note correspondant à la partie II est ramenée à zéro.

Ainsi, la probabilité qu’un robot tombe en passe avant l’instant t est égale ∫ à:

1. Une urne comporte cinq boules noires et trois boules rouges indiscernables au toucher. (hors programme 2012)

Exercice 3206

t

P (X ⩽t) =

–e−λx dx

0

1. Déterminer –, arrondi à 10−1 près, pour que la probabilité P (X >6) soit égale à 0;3.

On extrait simultanément trois boules de l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules noires et une boule rouge ? a.

Pour la suite de l’exercice, on prendra – = 0;2 2. A quel instant t, à un mois près, la probabilité qu’un robot tombe en panne pour la première fois est-elle de 0;5 ? 3. Montrer que la probabilité qu’un robot n’ait pas eu de panne au cours des deux premières années est e−0,4 . 4. Sachant qu’un robot n’a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est, à 10−2 près, la probabilité qu’il soit encore en état de marche au bout de six ans ? 5. On considère un lot de 10 robots fonctionnant de manière indépendante. Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un robot qui n’ait pas eu de panne au cours des deux premières années.

75 512

Cet exercice comporte deux parties indépendantes. La partie I est la démonstration d’un résultat de cours. La partie II est un Q.C.M. Partie I : question de cours Soient A et B deux évènements indépendants. Démontrer que A et B sont indépendants. Partie II Pour chacune des question suivantes, une et une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question

13 56

c.

15 64

d.

15 28

2. Au cours d’une épidémie de grippe, on vaccine le tiers d’une population. Parmi les grippés, un sur dix est vacciné. La probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la population soit grippée est 0;25 Quelle est la probabilité pour un individu vacciné de cette population de contracter la grippe ? a.

1 120

b.

3 40

c.

1 12

d.

4 40

3. Un joueur lance une fois un dé bien équilibré. Il gagne 10 e si le dé marque 1. Il gagne 1 e si le dé marque 2 ou 4. Il ne gagne rien dans les autres cas. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur. Quelle est la variance de X ? a. 2

Exercice 3162

b.

b. 13

c. 16

d. 17

4. La durée d’attente T , en minutes, à un péage d’autoroute avant le passage en caisse est une variable aléatoire qui 1 suit une loi exponentielle de paramètre – = . On a donc 6 pour tout réel t ∫> 0 : t 1 P (T 0;9 ?

a. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à engager.

Exercice 4142

b. Un éleveur possède un troupeu de 200 bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir d’engager ?

Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal,

10. Schéma de Bernoulli et loi binomiale

:

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Exercice 3223 On donne dans le plan trois points A, B et C distincts non alignés.

par jour pendant les vingt jours ouvrables d’un mois soit au total quarante trajets. On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres et que la probabilité pour tout voyageur d’être contrôlé est égale à p.

Une urne U contient six cartons indiscernables au toucher portant les nombres −2, −1, 0, 1, 2 et 3.

Le prix de chaque trajet est de dix euros, en cas de fraude l’amende est de cent euros.

Une urne V contient cinq cartons indiscernables au toucher ; quatre cartons portent le nombre 1 et un carton le nombre −1.

Claude fraude systématiquement lors des quarante trajets soumis à cette étude. Soit Xi la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si Claude est contrôlé au i-ième trajet et la valeur 0 sinon. Soit X la variable aléatoire définie par : X = X1 + X2 + X3 + · · · + X40

On tire au hasard un carton dans chacune des urnes. Les tirages sont équiprobables. On note a le nombre lu sur le carton de U et b celui lu sur le carton de V . 1. Justifier que les points pondérés (A ; a), (B ; b) et (C ; 4) admettent un barycentre. On le note G. 2.

a. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : E1 : “G appartient à la droite (BC)” ; E2 : “G appartient au segment [BC]”. b. Montrer que la probabilité de l’évènement E3 : “G est situé à l’intérieur du triangle ABC et n’appartient à 2 aucun des côtés” est égale à . On pourra faire appel 5 des considérations de signe.

3. Soit n un entier naturel non nul. On répète n fois dans les mêmes conditions l’épreuve qui consiste à tirer un carton dans chacune des urnes U et V puis à considérer le barycentre G de la question 1. On désigne par X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de réalisations de l’évènement E3 . a. Déterminer l’entier n pour que l’espérance de la variable aléatoire X soit égale à 4. b. Déterminer le plus petit entier n pour que la probabilité d’avoir au moins un des barycentres situé à l’intérieur du triangle ABC soit supérieure ou égale à 0;999. Exercice 4193 Une compagnie de transport désire optimiser les contrôles afin de limiter l’impact des fraudes et les pertes occasionnées par cette pratique. Cette compagnie effectue une étude basée sur deux trajets

1. Déterminer la loi de probabilité de X . 2. Dans cette partie, on suppose que p =

1 . 20

a. Calculer l’espérance mathématiques de X . b. Calculer les probabilités : P(X =0) ; P(X =1) ;

P(X =2)

c. Calculer à 10−4 près la probabilité pour que Claude soit contrôlé au plus deux fois. 3. Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique réalisé par le fraudeur. Justifier l’égalité : Z = 400 − 100·X , 1 puis calculer l’éspérance de Z pour p = . 5 4. On désire maintenant déterminer p afin que la probabilité que Claude subisse au moins trois contrôles soit supérieure à 99 %. a. Démontrer que : ( ) P(X ⩽2) = (1 − p)38 · 741·p2 + 38·p + 1 [ ] b. Soit f la fonction définie sur 0 ; 1 par) : ( f (x) = (1 − x)38 · 741·x2 + 38·x + 1 Montrer que f est strictement décroissante sur [0 ; 1] et [qu’il ]existe un unique réel x0 appartenant à l’intervalle 0 ; 1 tel que : f (x0 ) = 0;01 Déterminer l’entier naturel n tel que : n n+1 < x0 < 100 100 c. En déduire la valeur minimale qu’il faut attribuer à p afin que la probabilité que Claude subisse au moins trois contrôles soit supérieure ou égale à 99 %. (On exprimera p en fonction de x0 )

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