Anneaux

January 9, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Algèbre
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⋇ Anneaux ⋇ Définition Définition – Anneaux Soit A un ensemble muni de deux lci notées ⊤ et ∗. On dit que (A, ⊤, ∗) est un anneau ssi : ① (A, ⊤) est un groupe commutatif ② la loi ∗ est associative ③ ∗ admet dans A un élément neutre e (élément unité) ④ ∗ est distributive par rapport à ⊤ * Dans l’ancienne définition un anneau vérifiait les axiomes 1 à 3 et on appelait anneau unitaire un anneau qui vérifiait le 4

Définition – Sous-anneau Une partie H de A est un sous-anneau de l’anneau (A, ⊤, ∗) ssi ① H est stable pour les deux lois ② H contient 1A élément unité de A ③ Les restrictions à H de ⊤ et ∗ donnent à H une structure d’anneau

Théorème Une partie H de A est un sous-anneau de l’anneau (A, +, ∗) ssi ① ∀(a, b) ∈ H² a – b ∈ H ②1A ∈ H ③∀(a, b) ∈ H² a ∗ b ∈ H

Définition - Caractéristique d’un anneau La caractéristique d'un anneau A est le plus petit entier naturel non-nul n tel que n.1A = 1A + 1A + … + 1A = 0A * Si un anneau est non trivial (card ≥ 2) est de caractéristique nulle alors il est de cardinal infini

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Propriétés de calcul dans un anneau Propriété – Eléments absorbant 0 (élément neutre de la première loi) est absorbant pour la 2ème loi de l’anneau (A, +, ∗) c'est-à-dire ∀a ∈ A, 0 ∗ a = 0

Propriétés Pour tout couple (a, b) ∈ A² on a : a ∗ (-b) = (-a) ∗ b = -(a ∗ b) Quels que soient les éléments a, b, c de A on a : a ∗ (b – c) = a ∗ b – a ∗ c

Définition – Diviseur de zéro Soit un anneau (A, +, ∗) non réduit à {0}. Un élément a de A-{0} est un diviseur de zéro ssi il existe un élément b de A-{0} tel que : a ∗ b = 0 ou b ∗ a = 0 b est aussi un diviseur de zéro * un diviseur de zéro ne peut pas être inversible * un élément peut être ni inversible ni diviseur de zéro (dans ℤ seuls 1 et -1 sont inversibles)

Définition – Anneau intègre Un anneau (A, +, ∗) non réduit à {0} est dit intègre s’il est commutatif et s’il n’a pas de diviseur de zéro * Les anneaux (ℝ, +, ⨯) et (ℤ+, ⨯) sont intègres * Dans un anneau (A, +, ∗) intègre ∀(a, b) ∈ A², a ∗ b = 0 ⟺ a = 0 ou b = 0 * Un anneau fini est intègre ssi c’est un corps

Propriétés – Elements inversibles L’ensemble des éléments inversibles d’un anneau (A, +, ∗) est un groupe pour la loi ∗ * Un élément de A n’a pas nécessairement un symétrique pour la loi ∗

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Idéal d’un anneau commutatif Définition – Idéal On appelle idéal d’un anneau commutatif A tout sous-groupe additif de A vérifiant la propriété suivante ∀(a, i) ∈ A 𝗑 I, ai ∈ I * Un idéal n’est pas forcément un sous-anneau de A car il ne contient pas forcément 1 * A et {0} sont des idéaux de A * Un idéal de A vaut A ssi il contient 1 ou plus généralement un élément inversible * L’intersection de deux idéaux de A est un idéal de A * La somme I + J = {i + j |(i, j) ∈ I 𝗑 J} est un idéal

Caractérisation d’un idéal Une partie I de A est un idéal ssi elle contient 0 et vérifie ∀(a, b) ∈ A², ∀(i, j) ∈ I², ai + bj ∈ I

Morphisme et idéal * Si A est un anneau commutatif et 𝜑 un morphisme d’anneau de A vers B, alors le noyau de 𝜑 est un idéal * L’image d’un idéal de A n’est pas forcément un idéal de B * L’image réciproque d’un idéal de B est un idéal de A

Proposition – Idéal engendré par un élément Le sous-ensemble aA = {au | u ∈ A} est le plus petit élément de A contenant a On l’appelle l’idéal engendré par a. * Pour tout (a, b) ∈ A² la somme aA + bA = {au + bv | (u,v) ∈ A² } est le plus petit idéal contenant {a, b}

Définition – Idéal principal Un idéal est dit principal s’il est engendré par un unique élément

Définition – Divisibilité On dit qu’un élément a divise un élément b de A ce que l’on note a |b s’il existe c ∈ A tel que ac = b * a est un diviseur de b * b est un multiple de a * La relation de divisibilité est réflexive et transitive (en général elle n’est pas antisymétrique) * Par définition l’ensemble des multiples d’un élément a ∈ A est l’idéal aA * L’élément nul (neutre de l’addition) est un multiple de tout élément de A mais ne divise que lui-même * L’élément unité 1 divise tout élément mais n’est multiple que des éléments inversibles de A

Propositions * ∀(x, y) ∈ A2, x | y ⇔ yA ⊂ xA * Soit (a, b, c, x, y) ∈ A5. Si a divise b et c, alors a divise xb + yc

Proposition Si a et b appartiennent à A, les 3 propositions suivantes sont équivalentes 1. a | b et b | a 2. aA = bA 3. il existe un élément inversible u de A tel que b = ua

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