Approximation des lois binomiales par des lois de POISSON ou des

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Approximation des lois binomiales par des lois de POISSON ou des lois NORMALES 32. Approximation d’une loi binomiale par une loi de POISSON ....................... 1 33. Approximation d’une loi binomiale par une loi NORMALE......................... 2 34. Approximation des lois binomiales (synthèse) ............................................... 3

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32. Approximation d’une loi binomiale par une loi de POISSON X est une variable aléatoire binomiale de paramètres (n; p ). 1) les valeurs possibles de X sont : {0, 1, …...n} 2) les probabilités de chacune de ces valeurs sont pour k=0, 1, …...n : n! P(X = k ) = C kn × p k × (1 − p)5 − k avec C kn = k!(n − k )! Si maintenant l’entier n est grand ( n > 30 convient en général) les calculs avec les factoriels risquent de ne pas pouvoir être effectués (500 ! dépasse le nombre d’atomes de l’Univers dans sa totalité). Lorsque n × p est petit ( n × p < 10 convient en général) on peut approcher la ( n × p) k k k 5 − k valeur de P(X = k ) = C n × p × (1 − p) par × e ( n × p) . k! Cela est prouvé mathématiquement (la preuve n’est pas faite ici). Soit Y est une variable aléatoire de POISSON de paramètres λ = n × p. X est une variable aléatoire binomiale de paramètres (n; p ). Avec les conditions 1) n > 30 2) n × p < 10 Ton peut affirmer : P( X = k ) ≈ P( Y = k )

pour k = 0,1, n . On dit que la loi de X est approchée par la loi de POISSON de paramètre λ = n × p. Remarque Si l’entier n est grand et si n × p est petit alors la probabilité p est « très petite ». Un événement de probabilité très petite peut être considéré comme un accident, la loi de POISSON est souvent dite »loi des accidents ». Si p est très petit : E (X) = n × p = λ = E(Y ) et σ(X ) = n × p × (1 − p) ≈ n × p = λ = σ(Y ) Exercice 30 X suit la loi B(100; 0,02) . Calculer P(X = 1). Donner le paramètre λ de la loi POISSON qui approche la loi de X. Calculer P(Y = 1) si Y suit la loi de POISSON de paramètre λ trouvé (vérifier l’approximation). Réponses λ = 2 .100 × 0,02 × 0,9899 .2e − 2 .100 × 0,02 × 0,9899 ≈ 2e − 2 .

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33. Approximation d’une loi binomiale par une loi NORMALE X est une variable aléatoire binomiale de paramètres (n; p ). Si maintenant l’entier n est grand ( n > 30 convient en général) les calculs avec les factoriels risquent de ne pas pouvoir être effectués (500 ! dépasse le nombre d’atomes de l’Univers dans sa totalité). Si n grand est la probabilité pour que X ait une valeur donnée est presque nulle. Lorsque n × p n’est pas petit ( n × p > 10 convient en général) on peut approcher La loi de X par la loi NORMALE de paramètres (m, σ)

avec m = n × p, σ = n × p × (1 − p Cela est prouvé mathématiquement (la preuve n’est pas faite ici). Ainsi :  x − m P( X ≤ x ) ≈ Π    σ 

Remarque Si Z suit la loi NORMALE de paramètres m = n × p; σ = n × p × (1 − p) alors on a bien E(X ) = E ( Z), σ(X ) = σ( Z).

(

)

Exercice 31 X suit la loi B(10000; 0,02) . Calculer P(X = 1). Par quelle loi peut-on approcher la loi de X. Donner une approximation de P(X ≤ 210) Solution N(200, 200 × 0,98 )  10 Π  200 × 0,98

   

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34. Approximation des lois binomiales (synthèse)

On×p petit (30 ?)

On×p pas petit :

≈NORMALE DE PARAMETRES ( m, σ )

m = n×p σ = n × p × (1 − p) Exercice 32 X suit une loi binomiale de paramètres (n; p). Donner l’expression d’une approximation possible de P(X=k) si n=100 et p=0.05, puis de P(X≤k) pour tout entier k=0,1,…,100. Donner l’expression d’une approximation possible de P(X≤ x) pour un réel x si n=1000 et p=0.05. Réponses  x = 50  5k − k . P( X = k ) = e . Π   k! 50 × 0 , 95  