Article - La Revue MODULAD

January 18, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
Share Embed Donate


Short Description

Download Article - La Revue MODULAD...

Description

THEORIE DU SONDAGE ALEATOIRE ET ETUDE D’UN SONDAGE D’OPINION AVANT LE 1ER TOUR D’UNE ELECTION PRESIDENTIELLE Martin KÖRNIG

Résumé Après le dépouillement d’un échantillon aléatoire, que sait-on sur l’ensemble de la population ? Une solution mathématique à ce problème est proposée sous forme de la densité de probabilité quelle que soit la dimension du problème (nombre de candidats) et quelle que soit la taille du sondage (taille de la population et de l’échantillon). Cette solution amène à une méthode qui permet : • • •

une maîtrise des marges d’erreurs statistiques quelle que soit la taille du sondage, une visualisation des résultats sous la forme des projections, le calcul de la probabilité pour n’importe quel événement multidimensionnel.

A partir d’un sondage des intentions de vote avant le 1er tour d’une élection présidentielle en France il convient ainsi de calculer pour chaque candidat : • • •

la probabilité d’être élu dès le 1er tour, la probabilité d’être retenu pour le 2ème tour, la probabilité d’échec (être ni élu dès le 1er tour ni retenu pour le 2ème tour).

Mots-clefs : sondage aléatoire, sondage d’opinion, élection présidentielle

1. Introduction L’échec spectaculaire du candidat Jospin lors du 1er tour de l’élection présidentielle 2002 en France (par ex. Gattegno & Ridet 2002) est l’occasion de se poser la question : Peut-on prédire un tel échec ? La réponse est « oui » et pour en calculer la probabilité, une solution inhabituelle du problème du sondage est proposée sous forme de la densité de probabilité multidimensionnelle (section 2). Bien que les mots techniques d’un sondage préélectoral soient utilisés pour introduire les paramètres, la théorie développée est bien plus générale.

© La Revue MODULAD, 2003

- 12 -

Numéro 30

Etre retenu pour le 2ème tour est un événement multidimensionnel car il s’explique par une relation spécifique des scores de plusieurs candidats et non par le score d’un seul candidat. La stratégie numérique pour calculer la probabilité d’un tel événement est simple : 1. calculer les valeurs de la densité de probabilité dans l’espace multidimensionnel des scores des candidats, 2. stocker ces valeurs avec les scores des candidats correspondants, 3. faire la somme des valeurs représentant l’événement en question. La définition des événements intéressants dans le cas d’un sondage avant le 1er tour est donnée à la section 3 ainsi qu’un petit exemple numérique (paragraphe 3.4). Dans cet exemple une exploration exhaustive de l’espace multidimensionnel était encore faisable. Pour un sondage de taille plus importante la technique de l’intégration Monte Carlo (par ex. Robert & Casella 1999) semble plus adaptée.

2. Théorie du sondage aléatoire 2.1 La densité de probabilité ρ Soient : N >1 1≤K ∑ nj , j є Li Li = {1,…,L} \ {i} .

3.2 Probabilité d’être retenu pour le 2ème tour Pour le candidat i , la probabilité recherchée est la somme de toutes les valeurs ρ pour lesquelles

et

#{ j>0 | nj < ni } ≥ L-2 #{ j>0 | nj > ∑ nl } = 0 , où Lj = {1,…,L} \ {j} . l є Lj

La deuxième condition dit qu’aucun candidat soit élu dès le 1er tour.

3.3 Probabilité d’un échec Une fois les probabilités Pi’ (d’être élu dès le 1e tour) et Pi’’ (d’être retenu pour le 2ème tour) ainsi calculées, la probabilité d’un échec Pi’’’ est le complément :

Pi’’’ = 1 - Pi’ - Pi’’ .

3.4 Petit exemple numérique Données : L=4, N=45, K=15

i 1 2 3 4

ki 0 3 4 5

Les quatre candidats rassemblent 12 intentions de vote dans un échantillon de taille K=15 ; il y a donc k0=3 intentions de s’abstenir ou de voter blanc ou nul. Dans cet exemple, parmi les (N+1)L ≈ 4500000 valeurs de la densité ρ, on ne trouve que 46376 valeurs > 0.

© La Revue MODULAD, 2003

- 16 -

Numéro 30

Résultats : i 1 2 3 4

Probabilité d’être élu dès le 1er tour 0.0 % 0.6 % 3.6 % 13.0 %

Probabilité d’être retenu pour le 2ème tour 0.5 % 31.0 % 56.2 % 69.7 %

Probabilité d’échec 99.5 % 68.4 % 40.2 % 17.3 %

La probabilité d’un 2ème tour est alors 82.8 %.

Visualisations des projections ρi :

0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

n

candidat 1 candidat 3

© La Revue MODULAD, 2003

- 17 -

candidat 2 candidat 4

Numéro 30

0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 0

5

10

15

20

25

30

n

candidat 2

candidat 3

candidat 4

Références Feller, W., 1968. An introduction to probability theory and its applications. 3rd edition. Wiley, New York. Gattegno, H. & Ridet, P., 2002. Le duel Chirac-Le Pen provoque un séisme politique. Le Monde du 22/04/2002. Robert, C., 1992. L’analyse statistique bayésienne. Economica, Paris. Robert, C. P. & Casella G., 1999. Monte Carlo Statistical Methods. Sprinter, New-York.

© La Revue MODULAD, 2003

- 18 -

Numéro 30

View more...

Comments

Copyright � 2017 NANOPDF Inc.
SUPPORT NANOPDF