AXIOMES (ou REGLES) DE GEOMETRIE

AXIOMES (ou REGLES) DE GEOMETRIE Dans le cours de géométrie nous nous contenterons de notre idée intuitive des objets tels que points, droites, segments, courbes, plans, angles et espace. Cependant nous essayerons, dans le mesure du possible, de prouver des propositions géométriques en nous appuyant exclusivement sur les règles (ou axiomes) ci-dessous, extraites de l’aide-mémoire.

Après avoir rappelé quelques définitions classiques de la géométrie euclidienne, nous démontrerons par la suite quelques propriétés de ces objets, à l’aide des axiomes ci-dessus.

Rappels de quelques définitions de base. La distance entre un point P et une droite d est la longueur du segment perpendiculaire à d passant par P. On la note parfois δ (d , P) . P et P’ sont les images d’une symétrie axiale d’axe d si le segment PP’ est perpendiculaire à d et δ (d , P) = δ (d , P ') . Intuitivement, P et P’ se superposent lors d’un pliage par rapport à l’axe d. P et P’ sont les images d’une symétrie centrale de centre O si δ (O, P) = δ (O, P ') et POP’ sont alignés. Intuitivement, cette transformation correspond à une rotation de centre O de 180°. La médiatrice d’un segment AB est la droite perpendiculaire à AB passant par son milieu. Cette dernière droite est aussi l’axe de symétrie du segment AB La bissectrice de l’angle AOB est la demi-droite issue de sommet O partageant l’angle AOB en deux angles égaux. Cette demi-droite est aussi l’axe de symétrie de l’angle AOB. Exercice 1a. Illustre chacune des notions ci-dessus par un croquis. 1b. Reproduis chacune de tes illustrations en utilisant une règle non graduée et un compas. Un triangle est isocèle s’il admet (au moins) 2 cotés isométriques, équilatéral s’il en admet 3. Un losange est un quadrilatère admettant 4 côtés isométriques. Un parallélogramme est un quadrilatère admettant 2 paires de côtés parallèles. Un rectangle est un parallélogramme admettant 4 angles droits. Un carré est un losange et un rectangle. Un polygone régulier (pentagone, hexagone, heptagone, octogone, ennéagone, décagone,...) est un polygone admettant des côtés isométriques ainsi que des angles isométriques.

Exemples de propriétés géométriques obtenues grâce aux axiomes. Certaines des preuves de ces dernières seront présentées au cours et devront figurer dans vos notes. Proposition 1. La somme des angles d’un triangle quelconque égale un angle plat (180°) Corollaire 1.1 La somme des angles (intérieurs et extérieurs) d’un polygone quelconque. Proposition 2. Un parallélogramme admet des angles opposés égaux et deux pairs de côtés isométriques. Proposition 3. Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Proposition 4. Les diagonales d’un losange décomposent ce dernier en 4 triangles isométriques. Corollaire 4.1 Un triangle isocèle admet deux angles isométriques. Proposition 5. Si un point P est à la même distance de A que de B alors le point P appartient à la médiatrice du segment AB. Proposition 6. Un point P quelconque de la médiatrice d’un segment AB est équidistant des extrémités du segment. Proposition 7. Soit un angle AOB. Si un point P appartient à la bissectrice de AOB alors P est équidistant des droites OA et OB. Proposition 8. Soit un angle AOB. Si un point P est équidistant des droites OA et OB alors P appartient à la bissectrice de AOB.