BAC BLANC n°1 2013, Série B

MINISTERE DE L’EDUCATION NATIONALE

REPUBLIQUE GABONAISE UNION – TRAVAIL – JUSTICE

LYCEE Joseph AMBOUROUE-AVARO Tél : 55 21 73

FAX : 55 12 02

BP : 236 PORT-GENTIL

BAC BLANC n°1 2013, Série B Epreuve de

Durée:3h

MATHEMATIQUES

Coef :3

Exercice1 ( 4,5 points) 1° Déterminer la primitive F sur IR, qui s’annule en 1 de la fonction f avec f ( x ) = 6x 2 - 6x - 5 . 2° Soit P ( x ) = 2 x 3 - 3 x 2 - 5 x + 6 a) Calculer P ( 1 ) et en déduire une factorisation de P ( x ) b) Résoudre dans IR , l’équation P ( x ) = 0 . c) Etudier le signe de P ( x ) et en déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation P ( x ) ≥ 0. 3° Déduire de ce qui précède la résolution des équations et inéquations suivantes : a) 2(lnx)3 - 3 (lnx)2 - 5(lnx) + 6 = 0. b) ln (2 x 3 - 2 x ) = ln ( 3 x 2 + 3 x - 6 ) c) 2 ln x + ln ( x – 1) ≥ ln ( x 2 + 5 x – 6) - ln2. Exercice 2,( 4,5 points) Une urne contient 5 boules blanches, 3 boules noires et 2 boules rouges indiscernables au toucher. 1° On tire simultanément 3 boules de l’urne. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A : « Obtenir un tirage unicolore » . B : « Ne pas obtenir de boule blanche » C : « Obtenir au moins une boule blanche » D : « Obtenir au plus 2 boule blanche » 2° On tire successivement sans remise, 3 boules de l’urne. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : E : « Obtenir dans l’ordre 2 boules blanches suivies d’une boule qui n’est pas blanche » F : « Obtenir exactement 2 boules blanches » 3° On tire successivement avec remise, 3 boules de l’urne. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : G : « Obtenir un tirage tricolore » H : Obtenir au moins une boule blanche » NB : On donnera toutes les probabilités sous forme de fraction irréductible.

( 1 / 2)

PROBLEME ( 11 points) Soit la fonction f définie sur ] 0; +oo[ par: f ( x) = x - 1 +

1− lnx x

On désigne par( C ) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (0; l, ]) d'unité graphique 1 cm. Partie A: Etude d'une fonction auxiliaire Soit g la fonction définie sur]O; +oo [ par: g(x) = 𝑥 2 - 2 + lnx . 1°a) Calculer g'(x) où g' est la dérivée de la fonction g. b) Préciser le signe de g’ ( x ) et en déduire le sens de variation de g. 2° a) Calculer les limites de g aux bornes de ] 0 ; +∞[ b) Dresser le tableau de variation de g. 3°a) Montrer que l’équation g ( x ) = 0 admet une seule solution ∝. b) Montrer que 1,3 < ∝ < 1,4 . c) Déterminer le signe de g ( x ) sur ] 0 ; ∝ [ et sur ] ∝ ; +∞[ . Partie B: Etude de la fonction f 1°a) Déterminer le limite de f ( x ) en 0 et interpréter graphiquement le résultat. b) Déterminer de f ( x ) en +∞. 2° Soit f ' la dérivée de f. a) Calculer f '(x) et montrer que f ’ ( x ) =

g(x) x2

b) Préciser le signe de f ’ ( x ) et en déduire le sens de variation de f. c) Etablir le tableau complet des variations de f. 3°a) Montrer que ln ∝ = 2 - ∝2 et que f ( ∝ ) = 2 ∝ - 1 -

1

.

∝

b) En prenant ∝ = 1,3, calculer f ( ∝). 4° a) Montrer que la droite ( D ) d’équation y = x – 1 est une asymptote à la courbe ( C ) de f. b) Etudier la position de ( C ) par rapport à la droite ( D ) . 5°a) Déterminer les coordonnées du point A où la tangente à la courbe ( C ) est parallèle à la droite ( D ). 1 b) Montrer qu’une équation de la tangente ( T ) au point d’abscisse e2 est y = x – 1 – 2 e 6° Dans le repère ( O ; I ; J ), tracer la droite ( D ) , la tangente ( T ) et la courbe ( C ) avec soin. Partie C: Calcul d'aire. On considère la fonction F définie sur] 0; +∞ [ par : F ( x ) =

1 2

x 2 - x + ln x -

1 2

( lnx )2

1) Vérifier que F est une primitive de f sur] 0 ; +∞[. 2) Calculer F ( e ) – f ( 1 ) . NB : : Pour la figure, prendre e = 2, 7 ; 𝐞𝟐 = 7,4 et 𝐞−𝟐 =

𝟏 𝐞𝟐

= 0,14 .

(2/2)