Baccalauréat S Physique-Chimie Amérique du Sud 2005 (extrait

Baccalauréat S Physique-Chimie Amérique du Sud 2005 (extrait).

Bac Panther Partie A : pendule simple.

On étudie un pendule simple constitué d’une masse ponctuelle m, attachée à l’une des extrémités d’un fil inextensible, de masse négligeable et de longueur L. Ce pendule est placé dans le champ de pesanteur dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen. L’autre extrémité du fil est attachée en un point fixe A. Écarté de sa position d’équilibre G0, le pendule oscille sans frottements avec une amplitude. Gi est la position initiale à partir de laquelle le pendule est abandonné sans vitesse. Une position quelconque G est repérée par , élongation angulaire mesurée à partir de la position d’équilibre.

Étude énergétique. Donner l’expression de l’énergie cinétique en G. On prendra l’origine des énergies potentielles en G0, origine de l’axe des z. On montre que, dans ce cas, l’énergie potentielle en G peut se mettre sous la forme : Ep = mgL(1 – cos ) . Donner l’expression de l’énergie mécanique en fonction de m, g, L, v et . Pourquoi l’énergie mécanique se conserve-t-elle ? Exploitation. Exprimer la vitesse au passage par la position d’équilibre en fonction de g, L et  . Calculer sa valeur. Données : g = 10 m.s-2 ; L = 1,0 m ; cos m = 0,95.

Partie B : oscillateur élastique. Un solide (S) de masse m, de centre d’inertie G, peut glisser sans frottements sur une tige horizontale. Il est accroché à un ressort (R) à spires non jointives, de raideur k = 4,0 N.m-1. L’ensemble constitue un oscillateur élastique horizontal, non amorti. La masse du ressort est négligeable devant m et (S) entoure la tige de telle sorte que G se trouve sur l’axe de celle-ci (voir schéma page suivante). On étudie le mouvement de translation du solide (S) dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Lorsque le solide (S) est à l’équilibre, son centre d’inertie G se situe à la verticale du point O, origine de l’axe des abscisses. Le solide est écarté de 10 cm de sa position d’équilibre et abandonné sans vitesse initiale à la date t = 0 s. Dispositif expérimental :

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On procède à l’enregistrement des positions successives de G au cours du temps par un dispositif approprié. On obtient la courbe ci-dessous :

2. Étude énergétique. L’énergie potentielle de pesanteur est choisie nulle dans le plan horizontal passant par G. 2.1. Donner l’expression littérale de l’énergie mécanique du système {ressort + solide}, en fonction de k, m, x. 2.2. À partir de l’enregistrement ci-dessus, trouver pour quelles dates l’énergie potentielle élastique du système {ressort + solide} est maximale. Que vaut alors l’énergie cinétique ? 2.3. Calculer la valeur de l’énergie mécanique du système.

Partie C : comparaison des périodes. Les comportements des deux pendules précédents sont maintenant envisagés sur la Lune. Expression de la période du pendule pesant : 𝑇 = 2𝜋 √

𝐿

𝑔

Expression de la période du pendule élastique : 𝑇 = 2𝜋√

𝑚 𝑘

Parmi les hypothèses ci-dessous, choisir pour chaque pendule celle qui est correcte. Justifier. Hypothèse 1 T0 ne varie pas

Hypothèse 2 T0 augmente

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Hypothèse 3 T0 diminue

Chemin de résolution Partie A 1

Ep = m.g.L(1 – cos ) . Energie potentielle

𝐸𝑐 = ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 2 Energie cinétique

Energie mécanique

Em = Ec + Ep 1

Em = ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 + mgL(1 – cosm) 2

Les forces de frottements sont négligées Em = constante

Em (i) = Em (0)

Ec (i)+ Ep (i) = Ec (o)+ Ep (o)

Conditions initiales v(i) = 0 et 0 = 0 (cos 0) = 1 1

mgL(1 – cos m) = ∙ 𝑚 ∙ 𝑣02

𝑣0 = √2 ∙ 𝑔 ∙ 𝐿(1 − 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑚 )

2

𝑣0 = 1,0 m.s-1 Partie B 1

1

2.1. Energie mécanique du système {ressort + solide} Em = ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 + ∙ 𝑘 ∙ 𝑥 2 2 2 2.2. L’énergie potentielle élastique est maximale pour les valeurs maximales de |𝑥|. Ep maximale pour

t=0s

t = 0,50 s t = 1,0 s t = 1,50 s t = 2,0 s. Pas d’amortissement

Ep est maximale

Ec = 0

Em = Ec + Ep 1

Em = ∙ 𝑘 ∙ 𝑥 2 2

Em = 2,0 × 10-2 J

2.3.

gT = 9,81 m.s-2

gL = 1,62 m.s-2

Seule l’intensité de la pesanteur g est différente. Elle est plus faible sur la Lune (k, L et m restent identiques

Hypothèse 1 T0 ne varie pas pendule élastique 𝐿 𝑇 = 2𝜋√ 𝑔

Hypothèse 2 T0 augmente pendule pesant 𝑚 𝑇 = 2𝜋√ 𝑘

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Hypothèse 3 T0 diminue ---------------------------

Étude énergétique. Expression de l’énergie cinétique en G. 1

𝐸𝑐 = ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 2

Expression de l’énergie mécanique en fonction de m, g, L, v et . Em = Ec + Ep 1

Em = ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 + mgL(1 – cosm) . 2

L’énergie mécanique se conserve car il n’y a pas de forces de frottements. Em = constante Exploitation. Exprimer la vitesse au passage par la position d’équilibre en fonction de g, L et  . Calculer sa valeur. Données : g = 10 m.s-2 ; L = 1,0 m ; cos m = 0,95. Exploitation. Expression de la vitesse au passage par la position d’équilibre en fonction de g, L et  . Données : g = 10 m.s-2 ; L = 1,0 m ; cos m = 0,95. Référentiel : Terrestre supposé galiléen. Système : masse du pendule. ⃗. Bilan des forces : Le poids 𝑃⃗ et la tension du fil 𝑇 Application de la conservation de l’énergie mécanique. Comme les forces de frottements sont négligées, on peut écrire : Em (i) = Em (o) Alors Ec (i)+ Ep (i) = Ec (o)+ Ep (o) 1

Comme vi = 0 et 0 = 0, on a : mgL(1 – cos m) = ∙ 𝑚 ∙ 𝑣02 2

𝑣02 = 2 ∙ 𝑔 ∙ 𝐿(1 − 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑚 ) 𝑣0 = √2 ∙ 𝑔 ∙ 𝐿(1 − 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑚 ) 𝑣0 = √2 × 10 × 1,0(1 – 0,95) 𝑣0 = 1,0 m.s-1

Partie B : oscillateur élastique. 2. Étude énergétique. L’énergie potentielle de pesanteur est choisie nulle dans le plan horizontal passant par G. 2.1. Expression littérale de l’énergie mécanique du système {ressort + solide}, en fonction de k, m, x et de sa dérivée première. Em = Ec + Ep 1

L’énergie cinétique du système {ressort + solide} a pour expression 𝐸𝑐 = ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 2

1

L’énergie potentiel élastique du système {ressort + solide} a pour expression 𝐸𝑝 = ∙ 𝑘 ∙ 𝑥 2 1

1

2

2

2

Em = ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 + ∙ 𝑘 ∙ 𝑥 2 2.2. À partir de l’enregistrement ci-dessus, on trouve pour quelles dates l’énergie potentielle élastique du système {ressort + solide} est maximale. L’énergie potentielle élastique est maximale pour les valeurs maximales de |𝑥|. Soit t = 0 s ; t = 0,50 s ; t = 1,0 s ; t = 1,50 s et t = 2,0 s. Comme le système est non amorti, il y a conservation de l’énergie mécanique. 1

1

2

2

On peut écrire qu’à tous instants Em = ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 + ∙ 𝑘 ∙ 𝑥 2

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Astuce : Pour déterminer la valeur de Em, il faut choisir deux situations, où dans un cas, on a Ec = 0 et Ep = Ep max et dans l’autre Ec = Ec max et Ep = 0 Il y a un transfert d’énergie entre l’énergie potentielle élastique et l’énergie cinétique sans effet Joule (dissipation thermique), alors quand l’énergie potentielle élastique est maximale, l’énergie cinétique est minimale Ec = 0. 2.3. Pour la valeur de l’énergie mécanique, on étudie le système {ressort + solide} à l’une de ces dates. Em = Ec + Ep 1

𝐸c = 0 On donc peut écrire, à l’une de ces dates que Em = ∙ 𝑘 ∙ 𝑥 2 2

1

Em = × 4,0 ×∙ 0,102 2

Em = 2,0 × 10-2 J

Partie C : comparaison des périodes. Les comportements des deux pendules précédents sont maintenant envisagés sur la Lune. Expression de la période du pendule pesant : 𝑇 = 2𝜋 √

𝐿

𝑔

Expression de la période du pendule élastique : 𝑇 = 2𝜋√

𝑚 𝑘

La seule grandeur physique variant entre la Terre et la Lune, parmi celles présentes dans les expressions des périodes ci-dessus est l’intensité de la pesanteur g. La masse de la Lune étant plus faible que celle de la Terre, alors la valeur de g sur la Lune est plus faible que celle sur la Terre. 𝐿

Donc seule la période du pendule pesant 𝑇 = 2𝜋√ sera affectée par ce changement de localisation. 𝑔

La période est inversement proportionnelle à la racine carrée de g donc si la valeur de g diminue alors la valeur de la période augmente. Les hypothèses correctes pour chaque pendule sont : Hypothèse 1 T0 ne varie pas pendule élastique 𝐿 𝑇 = 2𝜋√ 𝑔

Hypothèse 2 T0 augmente pendule pesant 𝑚 𝑇 = 2𝜋√ 𝑘

Hypothèse 3 T0 diminue ---------------------------

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