Base 12, N. Calédonie, mars 2008 (c) 5 points Partie A : Question de

1. 1. Base 12, N. Calédonie, mars 2008 (c) 5 points Partie A : Question de cours Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition, la multiplication et les puissances ? Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication. Partie B On note 0, 1, 2, . . . , 9,  ,  , les chiffres de l’écriture d’un nombre en base 12. Par exemple :

 7    122    12  7  11 144  10 12  7  1711 en base 10. 12

1. a. Soit N1 le nombre s’écrivant en base 12 : N 1   1 . Déterminer l’écriture de N1 en base 10. 12

b. Soit N2 le nombre s’écrivant en base 10 : N 2  1131  1103  1102  3 10  1 . Déterminer l’écriture de N2 en base 12. Dans toute la suite un entier naturel N s’écrira de manière générale en base 12 : N  an an1...a1 a0

12

.

2. a. Démontrer que N  a0  3  . En déduire un critère de divisibilité par 3 d’un nombre écrit en base 12. b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N2 est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base 10. 3. a. Démontrer que N  an  an1  ...  a1  a0  11  . En déduire un critère de divisibilité par 11 d’un nombre écrit en base 12. b. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N1 est divisible par 11. Confirmer avec son écriture en base 10. 12

4. Un nombre N s’écrit N  x 4y . Déterminer les valeurs de x et de y pour lesquelles N est divisible par 33. Correction Partie A : Question de cours Les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition, la multiplication et les puissances sont a  a'  p  et b  b'  p  alors a  b  a ' b '  p  , ab  a ' b '  p  et an  a 'n  p  . Propriété de compatibilité avec la multiplication : on pose que a  pk  a ' , b  ph  b ' d’où ab  p2 kh  a ' ph  b ' pk  a ' b '  a ' b ' p  ...  . Partie B 1. a. N 1   1

12

 122 11  12 1  10  1606 .

b. Il faut diviser par 12 plusieurs fois : 1131  12  94  3 , 94  12  7  10  12  7   , donc

N 2  7 3  7  122    12  3  7 144  10 12  3  1131 . 12

2. a. N  12n1  an  ...  12  a1  a0  a0  12   a0  3  . Si le dernier chiffre est 0 modulo 3, soit un multiple de 3 le nombre sera divisible par 3. b. N2 se termine par 3 en base 12, il est divisible par 3. En base 10 la somme des chiffres est 6, il est donc divisible par 3. 3. a. Chaque puissance de 12 est congrue à 1 modulo 11 donc N  an  an1  ...  a1  a0  11  . Si la somme des chiffres est un multiple de 11, ce nombre sera divisible par 11. b. La somme des chiffres de N1 en base 12 est   1    11  1  10  22 donc N1 est divisible par 11. En base 10 on fait la somme des termes de rang pair moins la somme des termes de rang impair : 12−1=11 qui est divisible par 11. 12

4. N  x 4y . N est divisible par 33 si N est divisible par 3 : y  3 k , et par 11 : x  4  y  11k ' .

 y  3k  y  3k On résoud :  ; les valeurs possibles de k sont 0, 1, 2, 3 :   x  4  3 k  11k '  x  11k ' 3 k  4 k

y

x

k’

N (b. 10)

0

0

11k’−4

k’=1 soit x=7

740

1

3

11k’−7

k’=1 soit x=4

443

2

6

11k’−10

k’=1 soit x=1

146

3

9

11k’−13

k’=2 soit x=9

949

N 12

1056

12

627

12

198

12

1353

1. 2. Congruences, Asie, juin 2004 On appelle (E) l’ensemble des entiers naturels qui peuvent s’écrire sous la forme 9+a2 où a est un entier naturel non nul ; par exemple 10 = 9+12 ; 13= 9+22 etc. On se propose dans cet exercice d’étudier l’existence d’éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5. 1. Étude de l’équation d’inconnue a : a2 +9 = 2n où a  , n  , n  4 . a. Montrer que si a existe, a est impair. b. En raisonnant modulo 4, montrer que l’équation proposée n’a pas de solution. 2. Étude de l’équation d’inconnue a : a2 +9 = 3n où a  , n  , n  3 . a. Montrer que si n  3 , 3n est congru à 1 ou à 3 modulo 4. b. Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair. c. On pose n = 2p où p est un entier naturel, p  2 . Déduire d’une factorisation de 3n − a2, que l’équation proposée n’a pas de solution. 3. Étude de l’équation d’inconnue a : a2 +9 = 5n où a  , n  , n  2 . a. En raisonnant modulo 3, montrer que l’équation n’a pas de solution si n est impair. b. On pose n = 2p, en s’inspirant de 2. c. démontrer qu’il existe un unique entier naturel a tel que a2 + 9 soit une puissance entière de 5. 1. 3. Congruences, Pondicherry, mai 2000 (c) 5 points 1. a. Pour 1  n  6 , calculer les restes de la division euclidienne de 3n par 7. b. Démontrer que, pour tout n, 3n6  3n est divisible par 7. En déduire que 3n6 et 3n ont même reste dans la division par 7. c. A l’aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de 31000 par 7. d. De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de 3n par 7, pour n quelconque ? e. En déduire que, pour tout entier naturel n, 3n est premier avec 7. 2. Soit un  1  3  32  ...  3n1 

n1

3 , n entier supérieur ou égal à 2. i

i 0





1 n 3 1 . 2 b. Déterminer les valeurs de n telles que un soit divisible par 7. a. Montrer que un 

c. Déterminer tous les diviseurs de u6 . Correction 1. a. 30  1  1[7], 31  3  3[7], 32  9  2[7], 33  3  2[7]  6[7], 34  4[7], 35  5[7], 36  1[7].

Tous les 6 termes on retourne au point de départ.





b. 3n6  3n  3n 36  1 or 36  1[7] donc 36  1 est divisible par 7.

 

c. Divisons 1000 par 6 : 1000  6  166  4 donc 31000  36

166

 34 ; comme 36  1[7] et 34  4[7] ,on

a 31000  4[7] . d. En divisant n par 6 on a une partie qui sera congrue à 1 et l’autre tombera dans les restes calculés au 1.a. e. En aucun cas on ne peut trouver un reste nul donc pour tout entier naturel n, 3n est premier avec 7. 2. a. On a la somme des termes d’une suite géométrique de raison 3, de premier terme 1 : 1 n un  3 1 . 2





b. un est divisible par 7 lorsque 3n  1[7] , soit lorsque n est un multiple de 6. 36  1 1 3  3  1 33  1  22  7  13 ; tous les diviseurs sont donc 2 2 1, 13, 7, 91, 2, 26, 14, 182, 4, 52, 28, 364.

c. u6 





