Begreppsbildning

251 Att upptäcka begrepp i matematik Med grafräknare lyfter vi fram olika matematiska begrepp via ett antal problem. Deltagarna ges möjlighet att använda räknaren (TI-83 med applikationsprogram) under passet. Eva-Stina Källgården och Gunilla Olofsson Eva-Stina är gymnasielärare och lärarutbildare på Lärarhögskolan i Stockholm Gunilla är lärarutbildare och arbetar i PRIM-gruppen vid Lärarhögskolan i Stockholm De är båda engagerade i att utveckla matematikinnehåll och arbetssätt i skolan och ingår i T3, med att utveckla och genomföra kurser för lärare. (http://www.t3-sverige.nu / ) Workshop Problem med begrepp Problemen presenteras och löses tillsammans i grupp. Arbetet kommer att genomföras på motsvarande sätt som i en gymnasiegrupp. Räknaren inbjuder till ett kreativt arbetssätt. Det egna tänkandet i samspel med räknarens bilder ger en möjlighet till en inre kommunikation. Genom diskussion ”hörs” tankarna, via ett matematiskt strukturerat språk i en yttre kommunikation. Med ”Cabri junior”, ett applikationsprogram att hämta från nätet, kan också olika geometriska begrepp behandlas med räknaren.

252 a Matematik med möjligheter – ett samarbetsprojekt i utveckling

Vi har parallellt med arbetet i våra klasser skrivit samman steg för steg hur matematikbegrepp kan behandlas från en konkret situation till att tänka och tala och förstå symboler. Kursplanens mål i matematik ligger till grund för hur arbetet växer fram sida för sida i en pärm. Som kunskapskontroll finns idéer till observationer inom begreppen. Louise Wramner är speciallärare och har arbetat inom grundsärskola, gymnasiesärskola och arbetar nu inom Särvux. Medförfattare till ”Matematik med möjligheter”. [email protected] Ylva Svensson är lågstadielärare med specialpedagogisk påbyggnadsutbildning med inriktning mot komplicerad inlärning och arbetar med rörelsehindrade elever år 1-5 inom grundskolan och grundsärskolan. Medförfattare till ”Matematik med möjligheter”. [email protected] Föreläsning Bakgrund Vi träffade Eva-Stina Källgården (högskoleadjunkt vid Lärarhögskolan i Stockholm) på en fortbildningskurs för specialpedagoger och fastnade i problemet: ”Hur kan vi utveckla intresse för och kunskaper i matematik för våra olika elever?” Vår erfarenhet är att under många matematiklektioner hinner inte eleven tänka själv utan genomför det läraren (boken) påtvingar. Det kan vara svårt för eleven att tillämpa sådan kunskap i ett annat sammanhang. Vi kom därför överens om att träffas och utbyta erfarenheter och arbeta praktiskt med att finna exempel, där elevens tänkande i matematik betonas. Detta resulterade i att vi tillsammans har skrivit en handledning i matematik, ”Matematik med möjligheter”(Specialpedagogiska institutets förlag 2002) nedan kallad ”projektet/pärmen.” Arbete med RH-elever Var finns forskning på det pedagogiska området i Sverige, där rörelsehindrade elevers möjligheter dokumenterats? Finns det någon forskning att ta del av från övriga världen? Karin Guttman har skrivit artiklar i tidskriften Att undervisa 5 (1992) och Nordisk tidskrift för spesialpedagogikk 1 (1992) och där beskrivit sina erfarenheter med undervisning med datorstöd för rörelsehindrade elever. Senare har Guttman även gjort en världsomfattande litteratursökning för att finna material kring dessa elevers stora matematiksvårigheter. Denna sökning gav inte något nämnvärt resultat. Olov Magne påpekar i sin bok, Magne (1998), att Sverige är bra på att vårda sina funktionshindrade elever men att den pedagogiska insatsen för dessa elevgrupper ligger efter. I det dagliga arbetet med rörelsehindrade elever med tilläggshandikapp saknas ofta språkliga förutsättningar för att klara generaliseringar och abstrakt tänkande. De saknar dessutom motoriska förutsättningar att använda sina händer och ibland också talmotorik. Det bör påpekas att uteblivet tal inte behöver betyda dålig språklig förmåga om eleven har tillgång till adekvat alternativ och kompletterande kommunikation (akk). Exempel på detta kan vara BLISS, teckenstöd eller pictogram.

Här är ett exempel på hur arbetet med eleverna kan struktureras för att de skall uppnå en bas för vidare matematisk utveckling av antalsbegreppet genom att upptäcka uppräknandets fem principer:  räkneramsan  ett till ett principen  godtycklig ordning  abstraktionsprincipen  antalsprincipen (sista ordet ger antalet) För att arbeta mot detta mål används en trälåda med hål i, som barnen kallar ”bussen”. Buss är naturligtvis ett bekant ord för rörelsehindrade barn. I början av arbetet har barnen klarat av högst tre passagerare i bussen och trots det ringa antalet har begreppet godtycklig ordning varit mycket svårt för dem att förstå. Alla de fem principerna ovan finns med i dessa övningar. Bussen har sedan används för arbete med tal mellan 1 och 10. Genom att läraren har de fem punkterna i tankarna kan deras framsteg observeras. Att ”bussen” hjälpt dem att nå dessa grundläggande färdigheter beror kanske på att uppgiften är anpassad till deras egen referensvärld. Våra rörelsehindrade elever har i många avseenden ett annat ordförråd än jämnåriga utan funktionshinder. Långvariga sjukhusvistelser och avsaknad av lektid, som ersätts med sjukgymnastik och hjälpmedelsutprovning, ger andra referensramar. Arbete med särskoleelever Vid undervisning av utvecklingsstörda är det särskilt viktigt att det konkreta blir utgångspunkt för lärandet i matematik. För dessa elever är det väsentligt att så många sinnen som möjligt aktiveras då ett begrepp ska läras in. När begreppet deciliter till exempel ska behandlas, mäter eleven inte bara upp 1 deciliter saft utan får smaka på saften och sedan dricka upp den. Ytterligare exempel då olika sinnen används är då geometriska former ska läras in. Eleven ges möjlighet att se, känna på och smaka på olika godisbitar med varierande geometrisk form varigenom kunskapen i geometri befästs lättare. Att praktiskt kunna hantera enkla bråk i matematik är ett av de mål, som ska ha uppnåtts då skolgången avslutas. Följande exempel bidrar till att nå detta mål: Eleven får i uppgift att dela ett kolasnöre i två lika delar med en kamrat. Hur stor del av snöret får var och en? Dela ett annat helt kolasnöre med två kamrater. Hur stor del får då var och en? Dela ytterligare ett snöre men nu med tre kamrater. Hur stor del får var och en? Eleven jämför snörena och dokumenterar med hjälp av digitalkamera samt noterar på bilden 1, 1/2+1/2, 1/3+1/3+1/3, 1/4+1/4+1/4+1/4. Kolasnörena får sedan ätas upp. För att observera om eleven har tillägnat sig kunskaperna och kan tillämpa dem får eleven i uppgift att läsa ett recept där begreppen finns och sedan tillreda efter receptets anvisningar. Ett annat av särskolans mål, som ska ha uppnåtts då skolgången avslutas, är att känna till begreppet procent. Följande uppgift bidrar till att nå detta mål: Eleven får ett äpple och delar det i två lika stora delar och sedan ytterligare varje del i två lika stora delar. Samtal förs kring vad de olika delarna heter i procent. De tre stegen dokumenteras med hjälp av digitalkamera och eleven skriver under varje bild 100 %, 50 % +50 %, 25 % +25 % +25 % +25 %. Därefter får eleven naturligtvis äta upp äpplet.

För att observera om eleven kan generalisera kunskapen kan en uppgift vara att ta reda på hur mycket något kostar, som vid en realisation har 50 % rabatt. Begreppet rabatt måste naturligtvis vara klart först. Allmänt gäller för all undervisning av utvecklingsstörda att de måste få ordentligt med tid på sig, när ett moment ska läras in. Utvecklingsstörda är inte en homogen grupp. Ett inlärningsmoment kan ta mycket olika lång tid för olika elever. För någon kan det ta en hel termin att lära in något av exemplen som ovan beskrivits. En annan elev kanske klarar att lära sig detsamma på en månad. För att befästa det inlärda krävs för alla utvecklingsstörda många repetitioner. En elev uttryckte sig i samband med utvärderingen vid läsårets slut: ”Det är bra att jag får hålla på tills jag kan.” Detta arbetssätt syftar till att knyta an kunskaperna till deras vardag. På den nordiska forskarkonferensen i Örebro i höstas talade Olof Magne om livsmatematik. Det var en utmärkt beskrivning av mina elevers behov. Ingen av mina elever har en önskan om att få ett Nobelpris, men alla vill klara ett så självständigt liv som möjligt. Värdering Våra diskussioner har stimulerat oss att ständigt vara kreativa och många gånger har våra elever visat verklig uppskattning för problem att lösa. Genom att våra olika utbildningar och erfarenheter av undervisning har mötts i projektet har vi lärt av varandra och stimulerats att tänka vidare. Vi har funnit ett intresse också hos andra lärare i matematik att ta del av vårt arbete. Avslutning Vi vill fortsätta att lära oss mer om funktionshindrade elevers möjligheter att lösa matematiska problem och i pärmen skapa fler uppgifter, där elevens tänkande stimuleras och synliggörs. Pärmen är sammansatt så att vårt arbete kommer att utvecklas med nya blad som innehåller nya problem att använda både i grundskolan och grundsärskolan.

252 b Problemet i problemet Problemet i problemet är ett arbetspass, där deltagarna ges tillfälle att tillsammans analysera några matematikproblem och problemlösningar på olika nivåer. Problemlösning ger en situation, där elevernas tänkande kopplas från konkret till abstrakt och vice versa. Syftet är att få en diskussion om individualisering i klassrummet, där elever ligger på olika nivåer. Eva-Stina Källgården är lärarutbildare vid Lärarhögskolan i Stockholm Föreläsning I kursplanens Mål att sträva mot (för gymnasiet) finns bland annat uttryckt att eleverna skall  utveckla sin förmåga att tolka, förklara och använda matematikens språk, symboler, metoder, begrepp och uttrycksformer…..  att utveckla sin förmåga att reflektera över sina erfarenheter av begrepp och metoder i matematiken ….. Föreläsningen behandlar två ”vertikala” problem, som fokuserar på begreppsbildning i matematik inom problemet. Hur skall ett sådant problem se ut att det tillgodoser dessa båda krav från kursplanen ovan? Det är inte lösningsmetoder, som fokuseras. Det är i stället olika begrepp och begreppsområden i matematiken, som nås via problemet. Det kan beröra elever i årskurs 6 till studenter på universitetet. Att göra en vandring från att klippa eller mäta något, som kopplas till ett matematiskt begrepp (konkret) och lära sig orden, till att nå abstrakt tänkande i begreppet (ex. integralbegreppet) och skriva symbolen för det som finns i matematikens värld, det är en lång väg, som bara den tänkande eleven kan gå. De områden i skolmatematiken, som problemen kan kopplas till, är bl.a. följande: Geometri: bas, höjd, area, rätvinklig triangel, hypotenusa, Pythagoras sats Analys: funktionsuttryck, derivata, maximum/minimum, oändlig summa, integral, gränsvärde Statistik: tabell, listhantering, plottning, regression

253 Musik och matematik – några beröringspunkter Jag kommer under föredraget att behandla några beröringspunkter mellan matematik och musik, t.ex.  Övertoner och Fourierserier. 12



 3 7 12 toner på en oktav – en lycklig slump att    2  2



Matematik som kompositionsverktyg

?

Hans Thunberg är universitetslektor i matematik vid KTH, har tidigare studerat musikvetenskap och är på amatörnivå verksam som rock- och improvisationsmusiker.

Föreläsning Som matematiker med en passion för musik i allehanda former är det nästan ofrånkomligt att fundera på beröringspunkter mellan musik och matematik. Det är ju också en tämligen utbredd uppfattning, med en lång historisk tradition, att det finns en släktskap mellan dessa två discipliner. I detta föredrag kommer jag att diskutera några, helt personligt och subjektivt valda, beröringspunkter av lite olika karaktär.

Övertoner och Fourierserier Fourieranalys är ett område av matematiken som bl.a.visar hur och under vilka förutsättningar periodiska funktioner (periodiska svängningar) kan delas upp i enklare beståndsdelar, t.ex. trigonometriska funktioner. Eftersom en ton inte är något annat än just en periodisk svängning visar det hur vi matematiskt kan förstå att en ton är uppbyggd av en grundton (den uppfattade tonhöjden) och en följd av övertoner (som ger tonen dess klangfärg). Detta är också relaterat till de observationer som Pythagoras gjorde om sambandet mellan längden och tonhöjden hos en svängande sträng. Med datorns hjälp kan vi simulera en modell för en svängande sträng, och bygga upp denna relativt komplicerad svängning utav sinus-toner. Fourier-analysen, som gör detta möjligt, introducerades av Joseph Fourier runt sekelskiftet 1800, i ett arbete rörande ett annat problem (värmeflöde).

Varför går det tolv toner på en oktav? Att det går tolv toner på en oktav är en västerländsk kulturell konstruktion som tillkom under barocken. I andra kulturer och under andra historiska epoker har man använt sig av, och använder sig än idag av, andra skalsystem. Intervallen kvart, kvint och oktav har en fundamental roll. Att så är fallet kan förklaras med att just dessa intervall är de första som dyker upp i den naturliga övertonsserien, och därför ofta är lätta att frambringa även på enklare instrument. Vi uppfattar också toner på oktav-avstånd som särskilt besläktade (vi tänker på dem som ”samma ton”). Men om vi nu utgår ifrån en grundton, och rör oss successivt uppåt i rena kvinter (sådana som förekommer i naturtonserien), genererar vi nya toner tills vi efter 12 steg befinner oss väldigt nära (men inte riktigt exakt på) grundtonen 12 transponerad 7 oktaver upp. Matematiskt svarar detta mot att 3 / 2  27 . Genom att acceptera den approximation som en likhet får vi en skala om tolv toner, som genom oktavförflyttningar kan inrymmas inom varje oktav.

Matematik som kompositionsverktyg Det finns många exempel på hur musikaliskt komponerande bygger, medvetet eller omedvetet, på matematiska resonemang. W.A.Mozart sägs ha konstruerat en slags byggsats, där man med en två tärningars hjälp kunde komponera sitt eget lilla stycke (i omisskännlig Mozart-stil får man förmoda). Tonsättaren Iannis Xenakis (1922 – 2001), som fick Polarpriset 1999, är en av dem som under senare år på ett mycket medvetet sätt har utnyttjat matematiska modeller i sitt komponerande.

255 Matematikens rikedomar – pest, kolera och matematik Föredraget syftar till att beskriva hur man med hjälp av matematik och statistik kan dra viktiga slutsatser om smittsamma sjukdomars utbredning. Det baseras på ett kapitel ur den kommande boken ”Matematikens rikedomar”, vars syfte är att visa en annan bild av matematik än den många bär med sig, samt att berätta lite om vad en matematiker gör. Boken vänder sig i första hand till blivande och redan verksamma lärare, samt intresserade elever på gymnasiet och alla andra som är intresserade av eller nyfikna på matematik. Tom Britton är professor i matematisk statistik vid Stockholms Universitet Karin Wallby arbetar vid NCM, Göteborgs Universitet Föreläsning Föredraget inleds med en kort presentation av Karin Wallby om idén med, och innehållet i, boken ”Matematikens rikedomar”. Därefter tar Tom Britton vid som pratar om kapitlet med titeln ”Pest, kolera och matematik”. Innehållet beskrivs kortfattat nedan. Matematiska och statistiska modeller har visat sig nyttiga i studiet av hur smittsamma sjukdomar sprids i en befolkning. Föredraget syftar till att på ett okomplicerat sätt visa hur man kommit fram till dessa slutsatser, och som bieffekt ge en inblick i hur en forskare inom tillämpad matematik arbetar. Det första man måste göra för att med hjälp av matematik och statistik dra slutsatser om fenomen ute i verkligheten är att konkretisera problemfrågeställningen samt att förenkla verkligheten. I vårt fall innebär detta att vi fokuserar på sjukdomar som sprids från människa till människa, alltså inte via mat eller andra organismer. Vi tänker oss också en sjukdom som man initialt är mottaglig för men som man efter att ha smittats och tillfrisknat är immun, åtminstone på kort sikt. Det kan t ex vara influensa, förkylning eller liknande. Matematiska modeller för dylika sjukdomar brukar kallas epidemimodeller eftersom de tenderar att resultera i stora men kortvariga utbrott, ”epidemier”. Vi kommer i föredraget presentera den enklaste formen av epidemimodell som har följande utseende. Alla personer beter sig på liknande sätt, alla är lika mottagliga för sjukdomen och lika smittsamma (ifall de smittas). Dessutom smittar en person andra människor med samma sannolikhet. Modellen säger kort och gott att man som smittsam har smittsamma kontakter med andra människor oberoende av varandra med sannolikheten p innan man tillfrisknar och blir immun. De kontakter som är med mottagliga människor resulterar i att dessa smittas och blir smittsamma. Kontakter med immuna eller smittsamma har ingen effekt. Det finns förstås mer komplicerade och verklighetstrogna modeller, men trots att denna modell saknar så tillsynes viktiga komponenter som varierande mottaglighet och sociala strukturer (vilka ju skulle medföra att man smittade somliga människor med större sannolikhet än andra) så visar den sig stämma förvånande bra överens med verkligheten. I föredraget kommer vi, lite heuristiskt, dra slutsatser om epidemimodellens förlopp och framför allt hur x (=slutandelen smittade) beror på p. När detta gjorts byter vi synsätt och blir statistiker. Då är det inte x som funktion av p som är det intressanta utan det omvända. Vi har då nämligen observerat en epidemi och dess slutandel smittade x, och frågar oss vad detta kan

säga oss om p, dvs sjukdomens smittsamhet. Vi tolkar därefter resultaten ur ett mer samhällsrelevant synsätt. Ur epidemiologisk synpunkt är det viktigt att veta hur många som behöver vaccineras för att undvika framtida utbrott. Denna frågeställning besvarar vi också med matematisk hjälp: genom att observera x drar slutsatser om p som vi omtolkar i hur stor andel v som behöver vaccineras för att undvika framtida utbrott. Avslutningsvis kommer vi titta på motsvarande frågeställningar för s.k. endemiska sjukdomar. Detta är smittsamma sjukdomar som finns i en befolkning under lång tid och som man bara kan smittas av en gång i livet. Exempel på sådana sjukdomar är vattkoppor, mässling och för den delen även nyare sjukdomar som HIV. Speciellt för dessa sjukdomar är att smittan finns kvar under en lång tid, vilket gör att vi i den matematiska modellen måste beakta att befolkningen förnyas - annars hade ju för övrigt sjukdomen dött ut.

256 Matematik – en manlig domän? I GeMa-projektet har vi undersökt om svenska elever betraktar matematik som en manlig, kvinnlig eller könsneutral domän. Vi har visat att matematik av elever i åk 9 ses som könsmärkt i vissa avseenden, men inte i andra. Synen av matematiken som könsmärkt tycks förstärkas i gymnasiet. Anna Palbom är doktorand vid NADA på KTH i Stockholm och Sara Larsson är doktorand i matematisk statistik vid matematikcentrum i Lund.

Föreläsning GeMa – Gender and Mathematics, svenskt titel Kön och matematik, syftar till att öka kunskapen om betydelsen av eventuell könsmärkning av matematiken och sambandet mellan denna och kvinnors val eller bortval av matematik. De övergripande frågeställningarna vi vill undersöka är följande:  Betraktar elever matematiken som en manlig, kvinnlig eller könsneutral domän?  Finns det könsskillnader i synen på matematik som könsneutral eller ej?  Finns det något samband mellan flickors bortval av matematik och eventuell föreställning om matematiken som en manlig domän? Projektet startade genom Gila Leder, forskare vid LaTrobe University i Bundoora i Australien. Under en vistelse i Australien träffade Gerd Brandell, universitetslektor vid Lunds universitet, Gila Leader och idén om att genomföra en liknande undersökning i Sverige föddes. Vi som arbetat med projekt GeMa i Sverige är projektansvarig Gerd Brandell, Else-Marie Staberg, Peter Nyström, Christina Sundqvist, Anna Palbom och Sara Larsson. Påståendet att matematik är en manlig domän gäller på flera plan. För det första handlar det om andelen kvinnor i matematikrelaterade yrken. Det finns många kvinnliga matematiklärare i skolorna men ytterst få kvinnor forskar och undervisar i matematik på universitetsnivå, t ex var höstterminen 2002 25 % av de forskarstuderande i matematik och tillämpad matematik kvinnor. Männen dominerar rent numerärt bland de professionella matematikerna också utanför universiteten, vilket är en del av könsstrukturen Ämnet matematik har också en manlig laddning, det vill säga att i föreställningar om matematik finns aspekter av könssymbolismen. Egenskaper som behövs för att vara en matematiker såsom logisk förmåga och rationalitet tillskrivs ofta män men inte kvinnor. En tredje betydelse rör kulturen. Den speciella kultur, som råder inom matematik med dess ritualer, koder, värderingar och praktiker är utformad av män. Flickor och kvinnor kan känna sig främmande i den kulturen vilket kan göra att de uppfattar matematiken som manlig. Läroböcker, undervisningssätt och värderingar inom matematikundervisning kan föra budskapet om den inneboende maskuliniteten vidare. Alla blir inskolade i ett speciellt sätt att tänka, som ses som det normala. Men konstruktionen av kön är inte statisk utan föränderlig. Det är inte givet att dagens tonåringar på högstadiet, bland vilka flickor har de högre betygen, betraktar matematik som manlig. Hur undersökningen gått till Vi har besökt skolor och lämnat ut enkäter till elever. Enkäten består av två delar och den första delen handlar om ”Andra och matematik”. Eleverna ska här ta ställning till om påståenden som ”Har matematik som favoritämne” gäller mer för flickor eller pojkar eller om det inte är någon könsskillnad. Enkäten innehåller 30 sådana påståenden eller frågor och eleverna ska till varje sådant välja ett av fem svarsalternativ:  Flickor mer än pojkar – absolut (FA)  Flickor mer än pojkar – kanske (FK)  Ingen skillnad på flickor och pojkar (IS)  Pojkar mer än flickor – kanske (PK)  Pojkar mer än flickor – absolut (PA) Andra delen på enkäten handlar istället om hur eleven själv ser på matematik och på sina egna prestationer. Vi har också intervjuat några av eleverna som deltog i enkätundersökningen för att få en djupare förståelsen för enkätresultaten. Vi har besökt grundskolans år 9 och gymnasiets år 2 på NV och SP. Vilka resultat har vi fått?

På de flesta, men inte alla, frågorna svarar majoriteten att det inte är någon könsskillnad. Elevernas svar varierar självklart inom gruppen men det finns också i många fall tendenser åt ena eller andra hållet som är tydliga och intressanta. Flickor och pojkar är oftast ense om dessa tendenser, men väsentliga skillnader finns. Intressant är också att det finns en tendens till att pojkar har starkare åsikter än flickor och alltså större variation i svaren. Grundskolan Det finns flera påståenden där såväl flickornas som pojkarnas svar visar en tendens åt pojkhållet, dvs. de stämmer in mer på pojkar än på flickor:  Stör andra elever på matematiklektionerna.  Tycker om att använda datorer för att lösa matematikproblem.  Gillar utmanande matematikproblem.  Retar pojkar som är bra i matematik.  Behöver matematik för att få jobb i framtiden.  Tycker att matematik är lätt.  Tror att matematik kommer att vara viktigt för dem när de blir vuxna. För de två första påståendena är det en majoritet av de svarande eleverna som tycker att de stämmer in mer på pojkar än på flickor. För de andra påståendena är åsikterna inte lika starka. Det finns också påståenden som visar en tendens at flickhållet:  Arbetar bra på matematiklektionerna.  Uppmuntras av läraren i matematik.  Matematikläraren tror att de kommer att klara sig bra i matematik. Resultat gäller också för flickgruppen och pojkgruppen var för sig, även om graden av instämmande kan skilja sig åt mellan pojkar och flickor. För ett antal påståenden gäller att elevsvaren som helhet inte avviker signifikant från svaret ”Ingen skillnad”. Sådana påståenden kallar vi könsneutrala. De påståenden som följer här betraktas av både flickor och pojkar som könsneutrala i denna mening:  Har matematik som favoritämne.  Gillar matematik.  Får fler frågor av matematikläraren.  Föräldrarna tycker det är viktigt för dem att lära sig matematik.  Kommer fram till fel svar på matematikuppgifter. I de kommentarer som gavs om enkäten, både skriftligt och muntlig vid besöken på skolorna, var flera av eleverna i år 9 irriterade över att vi ställde denna typ av frågor. Ändå ser vi tendenser åt pojk- och flickhållet i svaren. Gymnasiet Svaren på ett tiotal frågor visar tendenser år pojkhållet. Både flickor och pojkar tror att pojkar tycker att matematik har högre status än andra ämnen. Tendensen är starkast för pojkar. Den tydligaste tendensen finns på frågan om intresset att använda datorer. Det är troligt att svaren beror mer på en allmän koppling mellan pojkar och datorer än på datorers användning i skolan just i matematikämnet. På frågorna som rör utmanade problem, matematik som favoritämne, att gilla matematik, tycka matematik är lätt respektive intressant svarar alla, att det mer gäller pojkar. Pojkarna har de starkaste åsikterna. När det gäller matematik i framtiden lutar också hela gruppen åt att behovet är störst för pojkar. Flickor och pojkar tror i lika hög grad att det är pojkar som kommer att klara sig bra i matematik. Pojkar betonar speciellt vikten av matematik för att få bra jobb. En stor del av gymnasieeleverna uttrycker tydligt att matematik är ett ämne för pojkar och det gäller speciellt pojkarna. Det är hos dem som det finns en klar uppfattning om matematik som en manlig domän. På frågorna om vilka som tycker matematik är svårt, behöver hjälp i matematik eller inte är bra i matematik är tendensen för hela gruppen att det mest gäller flickor. Tendensen i svaren från flickor och pojkar är ungefär lika stor. På ett par frågor som gäller arbete och arbetets betydelse för resultaten i matematik svarar gruppen också åt flickhållet men flickor och pojkar med olika stark tendens. Pojkar är mer övertygade om att flickor arbetar bättre på lektioner, medan flickor är mer övertygade än pojkar att flickor tror de arbetat för lite om det går dåligt. Flickor arbetar bra, men är inte lika duktiga som pojkar är således den samlade åsikten. Denna tankefigur om flitiga, men inte så begåvade flickor har länge visats i skolforskningen, men då mest gällt lärares åsikter. Både flickor och pojkar svarar utan tendens på två frågor. Dels anser de att flickor och pojkar får ungefär lika många frågor av läraren och dels att läraren tror att både flickor och pojkar kommer att klara sig bra. Att dessa båda frågor som får könsneutrala svar gäller läraren är intressant då det länge i skoldebatten gällde att pojkar fick mer uppmärksamhet än flickor. Detta hade visats i forskning som emellertid var mer inriktad på lägre stadier.

Kunskap om klassrumsinteraktioner på gymnasiet saknades i stort sett. Intresset för att göra klassrumsstudier har också avtagit och vi vet inte om könsmönstren ändrats. Pojkar menar att läraren ägnar mer tid åt flickor och uppmuntrar dem mer, medan flickor anser att läraren inte gör skillnad på kön. Vi ser åter en tro på att läraren åtminstone inte stöttar pojkar mer än flickor. Pojkars tro att flickor får mer uppmuntran kan tänkas bero på att de är vana att uppmärksammas mest. I några fall är pojkar i stort sett könsneutrala medan flickor anser att påståendet i frågan mest gäller dem. Tendensen för flickorna åt flickhållet är tydligast när det gäller oro för att inte klara sig i matematik. Vi kan inte veta om flickorna är oroliga för att klara matematik eftersom de inte tror de är så bra i matematik eller för att matematik är ett viktigt ämne. Oron kan även gälla deras förhållande allmänt till skolarbete. Flickorna tror också att det är flickor mest som tycker matematik är tråkigt och att de måste jobba mycket för att klara sig bra. Deras svar visar även svag tendens mot att flickor är de som lättare ger upp eller kör fast. I två fall drar flickor åt sitt håll och pojkar åt sitt. Den intressantaste skillnaden rör förståelse. Flickor anser i hög grad att det är de som vill förstå matematiken och pojkar menar – men inte lika utpräglat – att det gäller dem. Flickors upptagenhet av att förstå har också visats i andra studier.

Slutsatser Resultaten från grundskolan och gymnasiet skiljer sig i vissa avseenden åt. På grundskolan tycks eleverna i större utsträckning anammat ett jämställdhetsperspektiv medan de på gymnasiet mer accepterar den rådande könsstrukturen. Vid en generalisering finns ändå en syn på flickor som arbetsamma men inte så duktiga medan det omvända gäller för pojkar. Pojkar arbetar inte så bra, men klarar sig ändå bättre än flickorna gör. Detta är ett uttryck för könssymbolismen medan tron på att pojkar mer än flickor behöver matematik i framtiden sammanhänger med könsstrukturen. Hur kan resultaten användas i praktiken? Det tycks som om uppfattningarna varierar betydligt mellan olika klasser. Det finns troligen en stark klassrumskultur som också påverkar synen på könsskillnader i matematiken. En lärare som är intresserad kan använda enkäten för att få fram elevernas uppfattningar. Läraren kan diskutera resultatet och frågorna med eleverna för att öka deras medvetenhet. Om det finns starka uppfattningar om könsskillnader i relation till matematiken kan det kanske vara en anledning att gå vidare med frågan i klassen. Vilka har ingått i undersökningen? Ett antal skolor har slumpmässigt valts bland kommunala skolor i Malmö/Lund, Stockholm och Umeå/Luleå. Hänsyn har också tagits för att få med elever med olika socioekonomisk bakgrund. Attidydskalan – Fennema-Shermans MD-skalan Skalan mäter en individs attityder i fråga om matematiken som en manlig domän (Mathematics as a Male Domain) och är en delskala bland totalt nio skalor. Attityderna mäts genom att olika grader av instämmande/inte instämmande anges i ett antal påståenden. Det är en av de mest använda attitydskalorna inom den pedagogiska forskningen. Vi har använt oss av en skala som reviderades för några år sedan av Gila Leder och hennes medarbetare. Om du vill veta mer Beställ gärna våra rapporter genom Gerd Brandell, e-post: [email protected] eller ladda ner den från får hemsida www.maths.lth.se/GeMa.

259 Geometriska konstruktioner Den grekiska geometrin tillät endast passare och ograderad linjal i sina konstruktioner. Det är fortfarande en spännande utmaning att se vad man kan klara med dem och det brukar roa mina studenter. Jag ger några exempel; bl. a. kan man till en given månghörning konstruera en kvadrat med samma area. Thomas Weibull är universitetslektor i matematik vid den för Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola gemensamma institutionen.

Föreläsning Jag kommer att ta upp en del av uppgifterna i nedanstående sammanställning, som jag använt i utbildningen av matematiklärare, både för 1-7 och 4-9/Gy (jag har inte haft motsvarande kurs i den nya utbildningen). I samband med det kommer jag också att ta upp minst ett visuellt bevis för Pythagoras’ sats. 1. Givet en sträcka, konstruera en sträcka som är a) dubbelt så lång b) 3 gånger så lång c) hälften så lång d) tredjedelen så lång 2. Givet en vinkel, konstruera en vinkel som är a) dubbelt så stor b) 3 gånger så stor c) hälften så stor d) tredjedelen så stor 3. Givet en sträcka, konstruera a) dess mittpunktsnormal b) normalen i en godtycklig punkt på sträckan c) en kvadrat med sträckan som sida 4. Givet en kvadrat, konstruera sidan i en kvadrat som är a) dubbelt så stor b) 3 gånger så stor c) hälften så stor d) tredjedelen så stor 5. Givet en cirkel, konstruera den inskrivna regelbundna a) triangeln b) kvadraten c) 5-hörningen d) 6-hörningen e) 7-hörningen 6. Givet en rät linje och en punkt utanför linjen, konstruera a) normalen till linjen genom punkten b) den räta linjen genom punkten parallell med den givna 7. Givet en rektangel, konstruera en kvadrat med samma area. 8. Givet en parallellogram, konstruera en kvadrat med samma area. 9. Givet en triangel, konstruera en kvadrat med samma area. 10. Givet två kvadrater, konstruera en kvadrat vars area är summan av de två givnas.

11. Givet en godtycklig månghörning, konstruera en kvadrat med samma area.

261 Datorintegration och samarbetslärande Vid civilingenjörsprogrammet ekosystemteknik har alla studenter tillgång till egna bärbara datorer. Därmed kunde vi införa en helt datorbaserad kurs i flerdimensionell analys som ersatte den traditionella kursen. Undervisningen reformerades samtidigt och studenterna använde samarbetslärande med handledning under hela kursen. Resultatet utvärderades inom ramen för det pedagogiska utvecklingsprojektet Genombrottet vid Lunds tekniska högskola. Gerd Brandell är universitetslektor vid Matematikcentrum, Lunds universitet och arbetar på Lunds tekniska högskola. Medlem i matematikdelegationen. Föreläsning Bakgrund och mål för projektet Programmet ekosystemteknik vid Lunds tekniska högskola är ett civilingenjörsprogram med inriktning – som namnet anger – på ekologiska system. Studenterna får en god grund i kemi, fysik och biologi och kan specialisera sig inom miljösystem, vattenresurser, energi och ekologi. Programmet innehåller som andra civilingenjörsutbildningar omfattande inslag av matematik och tillämpad matematik. Matematikkurserna är utspridda under de tre första åren. Projektet ”Samarbetslärande, datorintegration och tillämpningar” omfattar två av matematikkurserna, nämligen Flerdimensionell analys (vårterminen år två) och Matematisk statistik (höstterminen, år tre). Föredraget behandlar den första av dessa kurser. En viktig förutsättning för projektet är att alla studenter på programmet får en egen bärbar dator när de börjar sina studier. I många kurser används datorprogram och ett mål är att alla kurser ska innehålla datorinslag i framtiden. Studenterna blir väl förtrogna med datorn som hjälpmedel i många olika sammanhang och det är en värdefull kompetens när de kommer ut på arbetsmarknaden.

Samarbetslärande Samarbetslärande (co-operative learning) är en metod som använts med framgång under de senaste 20 åren på olika stadier, även på universitetsnivå i bland annat USA [1]. Metoden bygger på studenternas eget aktiva arbete i fasta grupper. Föreläsningar och övningar förekommer inte alls eller i liten utsträckning. Läraren planerar arbetet noggrant och grupperna får ett väl strukturerat program att följa varje lektionspass. Halva årskursen (cirka 25 studenter, 6-7 grupper med 3-4 studenter i varje) sitter tillsammans i en lektionssal och handleds av en lärare. De två lärarna planerar tillsammans och handleder varsin grupp under lektionspassen. Studenterna får instuderingsmaterial både för lektionspassen och för hemarbetet. I materialet öppnas för frågor som sätter studenternas lärande i fokus. Handledningen sker både på gruppernas och på handledarens initiativ. Medlemmarna av gruppen tar gemensamt ansvar för sitt eget och varandras lärande. Studenterna arbetar med boken, annat kursmaterial och med stöd av instuderingsmaterial och anvisningar. Metoden med samarbetslärande har använts på många håll, i Sverige bland annat i Luleå i matematik och matematisk statistik på denna nivå [2]. Resultaten har varit positiva. Lektionerna kan kompletteras med ett litet antal föreläsningar av översiktlig karaktär och av efterläsningskaraktär. Datorintegrationen innebär i detta projekt att studenterna hela tiden har datorn tillhands och har möjlighet att bearbeta materialet med hjälp av datorprogram, Maple eller Matlab. Datorn används även vid tentamen.

I kursen Matematisk statistik finns förutom samarbetslärande och datorintegration en stark koppling till andra kurser i form av modellering och projekt hämtade från tillämpningarna. Mål för del 1 av projektet - kursen Flerdimensionell analys Inför starten av första delen av projektet definierades målet mer konkret. Målet är att studenterna dels deltar i samarbetslärandet, dels kan utnyttja samarbetslärandet för att individuellt skaffa sig djupare kunskaper. Målet för samarbetslärandet definieras både på individuell och gruppnivå och innebär att varje student uppvisar hög närvaro, genomför aktiva förberedelser inför lektionerna, utvecklar sin förmåga att läsa matematisk text och sin förmåga att kommunicera med gruppkamraterna och läraren. På gruppnivå handlar det om att samtalen i gruppen ska vara innehållsmässigt relevanta och fungera jämlikt. Målet för datorintegrationen har två komponenter. Dels ska studenterna lära sig grunderna i programmet Maple i de delar som är relevanta för kursen, dels ska de lära sig att utnyttja Maple för att stödja sitt lärande. Målet är att studenterna lär sig  Behärska syntaxen i Maple och enkla sätt att spara och återanvända Maple-filer  Utnyttja olika möjligheter att i Maple att visualisera grafer till flerdimensionella och vektorvärda funktioner  Utnyttja Maple för att genomföra beräkningar, som till exempel derivering, integration, transformationer i differentialuttryck, ekvationslösning  Lär sig att kritiskt värdera resultat som Maple producerar genom att resonera om rimlighet, jämföra med approximativa beräkningar och jämföra algebraiska, numeriska och grafiska resultat från Maple

Genomförandet av kursen Kursen i flerdimensionell analys genomfördes i huvudsak enligt planeringen. Närvaron var generellt hög. Några studenter deltog mer sällan och tre av de drygt fyrtio studenterna hoppade av kursen vid varierande tidpunkter. Lektionsblad med anvisningar för dagens arbete och för förberedelserna till nästa pass delades ut vid varje lektions början. Alla instuderingsblad har dessutom funnits tillgängliga på kursens hemsida från den dag de delades ut eller dagen därpå. Materialet skrevs under tiden som kursen gick. Därmed kunde de anpassas till hur studenternas lärande fortskridit. Studenternas kritik och lärarnas kontinuerliga utvärdering fick också påverka materialet. Rent praktiskt fick studenterna sitta i grupper om fyra och arbeta enligt modellen samarbetslärande. Alla hade oftast med sig sina datorer, men ibland rekommenderades bara en dator per grupp, för att bespara studenterna jobbet att bära på datorerna. De matematiska diskussionerna i de små grupperna visade sig bli livliga och fokuserade. Maple gick förhållandevis lätt att komma igång med.

Tentamen samordnades med tentamen på kursen för andra program (som inte använt dator) och vissa uppgifter var gemensamma. Datorn fick användas under en del av tentamen. Andelen godkända låg högre än vid tidigare års tentamina på denna kurs.

Utvärdering Projektet utvärderades grundligt med stöd från Genombrottet, ett övergripande program för pedagogisk utveckling vid LTH. Utvärderingen gav i stort sett ett mycket positivt resultat. Datorintegrationen och samarbetslärande fick övervägande positivt mottagande, medan det fanns kritik mot tempot i kursen som ansågs för högt. Många ansåg att kursen krävde alltför stor insats utanför schemalagd tid. Resultatet av utvärderingen medverkade till ett beslut att införa kursen i den nya formen i utbildningen mera permanent. Kursen kommer att behöva vidareutvecklas och det kommer att ske utifrån erfarenheterna under försöksomgången. Referenser [1] Hagelans, Nancy, Reynolds, Barbara, Scwingendorf, Keith, Vidakovic, Draga, Dubinsky, Ed, Shain, Mazen, Shahin & Wimbish, Joseph (1995). A Practial Guied to Cooperative Learning in Collegiate Mathematics. MAA Notes number 37. The Mathematical Association of America [2] Dunkels Andrejs (1996). Contributions to mathematical knowledge and its acquisition. Doktorsavhandling. Högskolan I Luleå. 1996:202 D

262 ICME 10 i Köpenhamn år 2004 – stor kongress om matematikutbildning Nästa år är det dags för den tionde världskongressen om matematikutbildning som kommer att hållas i Köpenhamn. Den vänder sig till matematiklärare och forskare inom området. ICME 9 ägde rum i Japan år 2000 med flera tusen deltagare. Vi kommer att ge glimtar om vad kongressen kan bjuda på. Gerd Brandell är universitetslektor vid Lunds tekniska högskola och medlem i matematikdelegationen. Lisa Björklund arbetar i PRIM-gruppen Bengt Åhlander är lärare i matematik på Östrabogymnasiet i Uddevallla Föreläsning

Internationella konferenser om matematikutbildning finns det gott om, det räcker att titta på NCM:s hemsida för att finna mängder med länkar till konferenser. Alla har sin speciella inriktning. Men den internationella kongressen för matematikutbildning, ICME (International Congress for Mathematical Education) är både större och mer övergripande än andra konferenser. Den vänder sig till lärare i matematik och forskare i matematikdidaktik från hela världen. Den behandlar matematiken i förskola, skola, lärarutbildning, högskola, vuxenutbildning och i informella läromiljöer. År 2004 kommer kongressen att äga rum i Köpenhamn och pågå en hel vecka, 4-11 juli. Hemsidan för ICME 10 är www.icme-10.dk ICME återkommer vart fjärde år och alternerar med den stora världskongressen i matematik ICM som också äger rum vart fjärde år. Bakom båda dessa jättearrangemang står den internationella matematikerunionen (IMU) och – när det gäller utbildningskongressen – den internationella kommissionen för matematikutbildning, ICMI, som är systerorganisation till IMU. Medlemmarna av IMU och ICMI är länder, inte individer eller nationella organisationer, och Sverige är medlem av både IMU och ICMI. Kongressen vandrar runt i världen, brukar dra flera tusen deltagare och har hittills alltid arrangerats i något stort land med starka traditioner inom matematikdidaktiken. År 2000 var det Japan och år 1996 Spanien som stod som värd. Den tionde kongressen, ICME 10, år 2004 i Danmark är den första som anordnas i ett litet land. Men Danmark har dels en internationellt välkänd och uppmärksammad forskning inom matematikdidaktiken, dels uppbackning av de andra nordiska länderna, som stödjer arrangemanget på olika sätt. Sverige är genom den svenska kommittén för matematikutbildning vid KVA (Kungliga Vetenskapsakademien) mycket aktiv i förberedelserna. Kongressens syfte är att ge en samlad bild av läget inom forskningen om lärande och undervisning i matematik och ge en bild av aktuell praktik inom matematikutbildning. Tonvikten ligger på utvecklingen under de senaste åren. Kongressen spänner över en mängd teman och det finns många former för presentationer. De viktigaste är plenarföreläsningar och så kallade reguljära föreläsningar, diskussionsgrupper (under 24 olika rubriker) och ämnesstudiegrupper (29 ämnen), posterutställning, andra utställningar och presentationer av

vissa utvalda länders matematikutbildning. Men programmet innehåller också mer underhållande matematikaktiviteter. Ett exempel är en matematisk ”cirkus” som vi hoppas ska locka även andra än kongressdeltagare. Andra exempel är en final i den nordiska Kapp-Abeltävlingen för åttondeklasser och matematiska promenader i Köpenhamn. Det finns också kommersiella utställningar av läromedel och annat undervisningsmaterial, men strävan är att hålla den kommersiella delen väl avskild från den egentliga kongressen. De nordiska länderna medverkar med en gemensam stor presentation av skolmatematiken i våra länder med över 60 olika inslag. Dessutom kommer många lärare och forskare från norden att bidra till det övriga programmet. Viktiga teman som är i fokus under en temaeftermiddag är följande: lärarutbildningen, matematikutbildningens plats i kulturen, matematikerdidaktikens relation till den moderna matematiken, teknologi i matematikutbildningen och perspektiv från andra forskningsfält på matematikdidaktiken. Som deltagare kan man välja mellan många olika parallella programpunkter. I valet ger den nu tryckta andra inbjudan god vägledning. Den är omfattande och finns också på hemsidan. På hemsidan finns också all information om anmälan, val av programpunkter, boende och det sociala programmet. Av tradition ligger en utflyktsdag mitt i veckan. Det finns en rad danska utflyktsmål och den som vill kan ta chansen att åka över bron och se litet av Skåne. Kongresspråket är genomgående engelska, men all världens språk - inte minst de nordiska kommer att talas i samvaron mellan programpunkterna!

263 Vad kan elever i skolår 5? – utifrån analys och bedömning av elevarbeten i Ämnesprovet för skolår 5 Sedan 1996 har Ämnesprovet för skolår 5 erbjudits skolorna och många analyser av elevernas arbeten har gjorts. I seminariet funderar vi över elevernas kunnande utifrån analys av elevarbeten och resultat. Har några förändringar skett under åren? Lena Alm arbetar i PRIM-gruppen vid Lärarhögskolan i Stockholm som provansvarig för Ämnesprovet i matematik för skolår 5 och som lärarutbildare.

Föreläsning Bakgrund Sedan 1996, då det första ämnesprovet i matematik kom ut, har många elevarbeten skickats in till PRIM-gruppen vid Lärarhögskolan i Stockholm, som har Skolverkets uppdrag att konstruera provet och sammanställa resultatet. Eftersom endast arbeten från elever som är födda vissa datum samlas in blir det ett begränsat antal, men elevarbeten till cirka 500 prov har sänts in varje år. Därtill kommer alla de arbeten som elever gör i de utprövningar som sker inför varje prov. I analyser av dessa ser man vad elever kan och de är också mycket viktiga för att kunna skriva så bra bedömningsanvisningar som möjligt till provet. Frågor som kommer att belysas utifrån dessa analyser är: Hur visar eleverna sitt kunnande i olika typer av uppgifter? Hur lyckas eleverna nå olika mål? Har det skett förändringar i resultat mellan åren? Använder eleverna andra lösningsstrategier idag än under de första åren proven utgavs?

Uppgifter med olika bedömningspotential Ämnesprovet för skolår 5 ska vara en hjälp att bedöma om eleverna har nått ”målen att uppnå”. Det har även ett diagnostiskt syfte och ska visa elevernas starka och svaga sidor. Därför är det viktigt att försöka konstruera uppgifter i vilka eleverna både kan visa olika kvaliteter i sitt kunnande och även avslöja eventuella missuppfattningar och brister. Det är viktigt att uppgifterna är så stimulerande att eleverna vill och vågar ta sig an dem. Erfarenheter av provet visar att uppgifter som är nära elevernas erfarenhetsvärld uppskattas mest och därför hoppar inte eleverna lika ofta över dem. Att eleverna tar sig an uppgifterna är ju en förutsättning för att få reda på något om deras tankar. Eleverna skriver ofta som svar på en fråga i delen ”Frågor om matematik”, att de tycker om verklighetsförankrade uppgifter. En sådan uppgift har uppskattats mest av alla uppgifter i provet år 1999. Den handlar om att göra ett inköp av undulater och tillbehör för en viss summa pengar. Till uppgiften hör en prislista med olika saker att välja bland. Så här svarar några elever på varför de tycker att den uppgiften är bra: ”Jag tycker att undulaten var bra. Man fick ju bestämma själv.” ”Det var roligt att köpa två underlater det kändes som om man var i affären o kollade på en bur o underlat o mat å allt sånt där.” ”Jag tycker att fågeluppgiften var bra. Då kan man ju göra likadant på riktigt.” (Alm & Björklund, 1999) Uppgiften om undulaten är en s k ”öppen uppgift” vad gäller svaret och vägen fram till svaret. Öppna uppgifter leder ofta till att eleverna visar olika kvaliteter i sitt matematikkunnande och kunnande vad gäller fler än ett mål. Eftersom provet ska integreras i den dagliga undervisningen kan även denna typ av uppgifter leda till värdefulla diskussioner i klassen efteråt och leda till den interaktion elever sinsemellan och mellan lärare och elever som kursplan och läroplan eftersträvar. Även i s k kortsvarsuppgifter och flervalsuppgifter kan elevernas kunnande visas, speciellt om de följs av en fråga efteråt. Frågorna/uppmaningarna kan t ex lyda så här: Förklara hur du har tänkt. Hur vet du det? Varför valde du den figuren? Dessa frågor uppmanar eleverna att visa om de kan argumentera för sina tankar, vilket är ett av kursplanens viktiga mål att sträva efter. I svaren visar eleverna ofta prov på sin begreppsuppfattning, som kan vara god eller dålig. I proven finns få kortsvarsuppgifter. De flesta är vanliga redovisningsuppgifter till vilka eleverna uppmanas att visa sina lösningar. Det förekommer också beskrivande uppgifter och mer omfattande uppgifter som ska lösas, ibland enskilt och ibland i grupp. Uppgifter kan leda till att olika kunskaper visas och i olika hög grad och uppgifterna har därmed olika bedömningspotential. En strävan är att eleverna ska kunna visa sina kunskaper både vad gäller fakta, färdigheter, förståelse och förtrogenhet i olika typer av uppgifter.

Skriftliga räknemetoder Eleverna får i de flesta uppgifter uppmaningen att visa hur de löser uppgifterna. Föreläsningen bygger på de analyser som gjorts utifrån elevernas arbeten. Det som står i fokus är målen som handlar om förståelse av räknesätten och om god taluppfattning vad gäller enkla tal i bråk- och decimalform och även målen om att kunna räkna med miniräknare och skriftliga räknemetoder. Endast de skriftliga räknemetoder behandlas dock i denna sammanfattning. Att valet har fallit på dessa mål beror dels på en vilja att undersöka en eventuell förändring under de år som provet har utgivits, dels sätta fokus på de mål, som eleverna har svårt att uppnå och där missuppfattningar ofta döljer sig bakom dåliga resultat. Har några förändringar skett under åren t ex vad gäller metoder? Procentsatserna, som kommer att anges, bygger på ett urval av 200 elevarbeten som har analyserats. Eftersom provet inte är obligatoriskt finns en viss osäkerhet i bedömningen, men de flesta klasser använder provet. Nedanstående uppgift finns med i provet både år 1999 och 2002 och därför kan det vara intressant att göra en jämförelse av resultaten. I uppgiften möter eleverna fem olika elevers korrekta lösningar till en multiplikationsuppgift. Det gäller för eleverna att försöka förstå de olika lösningarna och sedan själv lösa en multiplikationsuppgift på så många olika sätt som de kan. De ska också ringa in det sätt som de oftast använder.

264 Diagnostiska material för skolår 6-9 – bygga broar för att fånga elevers kunnande i matematik Skolverkets diagnostiska material som blev färdigt våren 2003 presenteras. I anslutning till detta diskuteras frågor om vad analys av kunskap innebär och hur en dokumentation kan ske. Lisa Björklund och Gunilla Gustafsson arbetar båda i PRIM-gruppen på Lärarhögskolan i Stockholm. Gunilla arbetar 60 % av sin tjänst som lärare i matematik på en 7-9-skola.

Föreläsning Forskning visar att elever behöver bli medvetna om sin egen kunskapsprocess, om sitt eget lärande. Ett viktigt inslag i denna process är att lärandet beskrivs i ord. I den processen finns två aktörer – eleven och läraren. I Lpo 94 står:  ”Skolan skall sträva efter att varje elev  utvecklar nyfikenhet och lust att lära,  utvecklar sitt eget sätt att lära,  utvecklar tillit till sin egen förmåga,  utvecklar ett allt större ansvar för sina studier och  utvecklar förmågan att själv bedöma sina resultat…” (sid 11 och 18) I denna dokumentation presenteras två material som kan vara en hjälp i arbetet med att dokumentera elevens kunskapsprocess, Analysschema i matematik – för skolår 6-9 och Diagnostiska uppgifter – för skolår 6-9. Båda är utgivna av Skolverket och ett exemplar av varje skickades ut till berörda skolor i maj 2003. De kan beställas hos Liber Distribution Publikationstjänst, 08 690 95 76.

Analysschema i matematik – för skolår 6-9 Analysschema i matematik – för skolår 6-9 är en fortsättning på det tidigare utgivna Analysschema i matematik – för åren före skolår 6. Till stor del har båda materialen samma struktur och i båda schemana är det enbart det som eleven visar att hon/han kan som skrivs ner. Vi beskriver här strukturen och innehållet i analysschemat för de senare skolåren. Vi tar också upp tankar kring hur lärande går till och vad det egentligen innebär att kunna något.

Hur går lärandet till och när kan vi egentligen något? Det är svårt att veta vad en person egentligen kan. Det vi möjligtvis kan säga något om är vilket kunnande en person visar med sina prestationer. Det är alltså prestationer vi bedömer och inte kunskap. När man använder analysschemat som redskap kan frågan, om när det är dags att skriva något i schemat, uppkomma. Ja, här är inte kraven alls lika ”hårda” som när det gäller att bedöma om en elev exempelvis har kunskap som motsvarar ett visst mål att uppnå. Vi kan skriva något ganska tidigt under en elevs process mot att lära sig något specifikt. Om det exempelvis handlar om att ta reda på arean av olika geometriska figurer så kan en första anteckning vara: ”Kan ta reda på arean av geometriska figurer genom att använda centimeter-rutat papper.” Efter ett tag kan en ny anteckning vara: ”Kan bestämma arean av rektanglar och trianglar genom beräkning.” Efter ytterligare en tid kan infogas nya anteckningar som speglar elevens kunskapsprocess.

Materialets innehåll Analysschema i matematik – för skolår 6-9 innehåller allmän lärarinformation och också beskrivningar av hur eleven och läraren kan ta fram underlag för analys och hur analys och dokumentation kan gå till. Vidare finns det hänvisning till uppgifter ur Diagnostiska uppgifter – för skolår 6-9. Dessutom ingår kommentarer och exempel till analysschemat. I det avsnittet kommenteras analysschemats olika delar och vad analysen kan fokuseras på. Underrubrikerna har samma ordningsföljd som rutorna i analysschemat. Kommentardelen finns både i en läraroch en elevversion. Elevversionen är ett kopieringsunderlag så att den lärare som vill ska kunna kopiera upp ett exemplar var till alla elever i klassen. Även själva analysschemat är ett kopieringsunderlag. Det är strukturerat under rubrikerna Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband, Statistik och sannolikhet, Taluppfattning samt Mönster och samband. Längst bak i materialet finns en översikt. Översikten visar hur schemats olika delar är relaterade till såväl mål att uppnå som mål att sträva mot. Syftet med översikten är att ge en helhetsbild över det som kan analyseras med hjälp av materialet.

Hur visas kunnandet? En person visar sin kunskap i matematik med olika uttrycksformer och i olika situationer. Uttrycksformer:

 Handling  Bild  Ord – talade och skrivna  Symboler – informella och formella Situationer:  Matematiklektioner  Arbete i andra ämnen  Tematiskt arbete  Fritidsaktiviteter  Vardagsliv  Samhällsliv

Att dokumentera en kunskapsprocess Att dokumentera en kunskapsprocess kan ses som en kedja i tre steg: Händelser – Iakttagelser – Analys. Alla tre steg i denna process kan dokumenteras. Händelser är det som eleven gör. Det kan exempelvis vara arbeten av olika slag i bild och skrift. Dessa kan visas för andra genom att de exempelvis sätts upp på väggen. Arbetena kan också sparas under en längre tid och på så sätt illustrera elevens kunskapsprocess. Med iakttagelser menas här en första beskrivning av de prestationer som eleven har gjort. Iakttagelser formulerade i skrift kan också sparas och spegla en elevs kunskapsprocess. Händelserna och/eller iakttagelserna kan sammanfattas i analyser. När man gör en analys funderar man över vilket kunnande de olika prestationerna motsvarar. Även analyser kan i skriftlig form illustrera en kunskapsprocess. När det gäller att ta ansvar för en dokumentation av en elevs kunskapsprocess kan detta tas av eleven och/eller läraren. Här följer exempel på anteckningar i några av schemats rutor. Några av anteckningarna har gjorts av läraren och några har gjorts av eleven.

Visar tilltro och tar ansvar

nov 00 Ber om hjälp genom att peka och säga ”förstår inte”. maj 01 Är bättre på att ta reda på det jag inte kan. dec 01 Förklarar för kompis.

nov 02 Ställer frågor med matematikinnehåll, t ex ”Är spegelvända figurer kongruenta?” Hanterar och löser problem

sep 02 Kan sammanfatta problemarbete generellt, t ex cylinderns volym ”dubbel höjd – dubbel volym”. feb 03 Kan lösa problem ganska bra själv, t ex så kunde jag bestämma vinkelsumman av en sexhörning. Jag delade in den i trianglar.

Avbildning, kartor och ritningar

jan 02 Ritar mitt rum i skala 1:20. Valde skala för att ritningen skulle få plats på ett A4.

nov 02 Behärskar likformig och kongruent. Geometriska objekt

apr 02 Ger exempel på cylinder, prisma, kon. apr 02 Kan olika sorters trianglar, t ex liksidig.

Några av meningarna ovan har mer karaktären av iakttagelser, exempelvis Ber om hjälp genom att peka och säga ”förstår inte”. Andra är mer utformade som analyser, exempelvis Kan olika sorters trianglar, t ex liksidig. Kanske är det då en dokumentation blir tydligast, när man blandar dessa olika karaktärer av skriftliga kommentarer?

Diagnostiska uppgifter – för skolår 6-9 Syftet med detta material är diagnostiskt. Det är alltså tänkt att vara en hjälp till en lägesbild av den enskilda elevens kunnande här och nu. Denna lägesbild kan vara en del i en prognos för elevens möjligheter framöver – framför allt med att nå mål att uppnå i skolår 9. Mellan skolår 5 och 9 finns inga nationellt fastställda mål att uppnå. Därför är uppgiftsmaterialet inget prov för att bedöma om eleven vid en viss tidpunkt uppnått en viss bestämd kunskapsnivå. Avsikten är i stället att materialet, utifrån den enskilda elevens/undervisningsgruppens behov, ska kunna användas återkommande under en längre tidsperiod. Med hjälp av de olika uppgifterna/delarna kan läraren och eleven skapa sig en bild av elevens kunskap inom olika områden. Tillsammans kan sedan en planering av det fortsatta arbetet ske. På så sätt kan materialet stödja eleven i hans/hennes kunskapsutveckling i matematik. Materialet innehåller nykonstruerade uppgifter men också uppgifter ur det tidigare utgivna Diagnostiskt material för skolår 7 (1996), uppgifter ur ej sekretessbelagda ämnesprov för skolår 9 samt uppgifter ur tidigare utgivna ämnesprov för skolår 5.

Vad har varit viktigt i utvecklingsarbetet? Med utgångspunkt i analyser av främst läroplan och kursplan har ambitionen varit att utforma materialen så att eleven i så stor utsträckning som möjligt får visa att hon/han • behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet • besitter beständiga kunskaper, som utgör den gemensamma referensram som alla i samhället behöver • kan använda grundläggande matematiska begrepp och metoder • kan använda matematikens språk, symboler och uttrycksformer • kan förstå och använda matematiska resonemang • kan använda och granska matematiska modeller • kan formulera och lösa matematiska problem • kan tolka och värdera lösningar • kan använda sig av miniräknarens och datorns möjligheter • kan redovisa sina tankegångar i bild, skrift och tal • kan använda sina kunskaper som redskap för att - formulera och pröva antaganden samt lösa problem - reflektera över erfarenheter - kritiskt granska och värdera påståenden och förhållanden • kan föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser, generalisera, förklara och argumentera för sitt tänkande.

Tonvikten bör ligga på förståelse, analys av hela lösningsprocedurer och kritisk granskning av resultat samt på förmåga att dra slutsatser.

Innehåll Materialet består av fyra komponenter: • Uppgifter att lösa individuellt • Uppgifter att lösa i par/grupp • Självbedömning • Underlag för dokumentation Uppgifterna är samlade i samma områden som Analysschema i matematik – för skolår 6-9.

Vad ska diagnosticeras? Det finns ingenting som kan ersätta lärarens iakttagelser och erfarenheter vid diagnostisering av elevens kunskap. Det material som här erbjuds skolorna ska vara ett stöd för detta arbete. I försöken att förstå resultaten av elevens arbete med materialet är det av ringa intresse att räkna antalet korrekta svar. Det som är angeläget är att förstå hur eleven har kommit fram till sina svar samt att analysera hur eleven har arbetat med uppgifterna och vilka kvaliteter de olika lösningarna har. Ett viktigt led i bedömningen är att eleven får möjlighet att komplettera de lösningar som är oklara eller ofullständiga. Det är också viktigt att eleverna får klart för sig att de ska visa så mycket som möjligt av sitt kunnande under arbetet med uppgifterna.

Hur och när kan eleverna arbeta med materialet? Meningen är att de olika delarna ska användas på ett flexibelt sätt. Materialet är att betrakta som en uppgiftsbank, där läraren/arbetslaget avgör vilka uppgifter, som de olika eleverna bör arbeta med. Materialet ska i så stor utsträckning som möjligt integreras i den ordinarie undervisningen. Det betyder bland annat att eleven inte behöver arbeta med alla uppgifter i en del vid ett enda tillfälle, utan arbetet kan fördelas över flera tillfällen. Vid något tillfälle kanske hon/han arbetar med en enda uppgift. Det är viktigt att varje elev får arbeta med uppgifterna på ett sådant sätt att han/hon kan göra sitt bästa.

Litteratur Black P. & Wiliam D. (2001) Inside the Black Box. Raising Standards Through Classroom Assessment, Kings College, London Carlgren I & Marton F. (2000). Lärare av i morgon, Lärarförbundet, Stockholm

265 Kreativt arbetssätt med TI Interactive Upplev matematiken på ett annorlunda sätt genom att arbeta interaktivt med datorn, räknaren och CBL. Vi ger en introduktion till TI Interactive och visar olika exempel på användningsområden. Du får också själv göra en del övningar, som du sedan kan använda i undervisningen. Ing-Marie Gustafsson och Karin Sjöholm undervisar i matematik vid gymnasieskolan Spyken i Lund Workshop

TI Interactive är en integrerad inlärningsmiljö, där du kan skapa interaktiva dokument inom matematik och naturvetenskap. Dokument kan innehålla formaterad text, grafik och live-integrerad matematik. Detta visas och prövas på under vår workshop:  Symboliskt datoralgebrasystem Programmet har en avancerad symbolhanterande räknardel. Med hjälp av denna kan eleverna undersöka och upptäcka mönster inom algebra. Man kan bygga upp interaktiva övningar som eleverna kan arbeta med.

 Funktionsstudier Med programmets grafritardel kan man arbeta med funktioner på ett kreativt och undersökande arbetssätt genom att variera parametrarna och studera kurvornas olika utseende. För detta finns ett speciellt inbyggt verktyg, så att elevövningarna kan göras interaktiva.

 Integrerad webläsare och dataredigerare med kalkylblad För att få aktuell statistisk data kan man hämta data direkt från nätet och lägga in detta i kalkylblad. Med hjälp av programmet kan materialet både analyseras matematiskt och redovisas i diagram.

 Ordbehandlare med integrerad matematik I fysik gör man ofta mätningar med hjälp av CBL. Eleverna kan mata in data i sina TI-räknare och hantera dessa med hjälp av TI Interactive och skapa snygga labrapporter med tydliga grafer och fysikaliska samband.

Under första arbetspasset förklaras programmets grunder och olika tillämpningar demonstreras. Övningar som kan användas direkt i klassrummet delas ut. Under andra arbetspasset finns möjlighet att pröva på dessa övningsuppgifter inom matematik och fysik.

267 Vad är en parabel? En historisk och didaktisk odyssé Med parabeln som exempel visas hur den historiskt-kulturella utvecklingen av idéer, uttrycksformer, metoder och verktyg, från Apollonius till Cabri, kan berika och utveckla ett matematiskt begrepp och hur det kan uppfattas. Vilka didaktiska problem och möjligheter medför detta? Med exempel för klassrummet. Christer Bergsten är universitetslektor i matematik med ämnesdidaktisk inriktning vid Linköpings universitet där han arbetar med lärarutbildning. Hans forskningsintresse berör bland annat det matematiska symbolspråket, var medförfattare till Algebra för alla och arrangör av Matematikbiennalen i Norrköping 2002.

Föreläsning En inblick i dagens skolmatematik visar att begrepp och metoder ofta hanteras isolerade, utan att integreras i ett större sammanhang, och att särskilt i gymnasiet det mesta bearbetas med algebraiska verktyg. Men just detta speciella matematiska symbolspråk erbjuder många elever stora problem, både vad gäller symbolernas mening och innebörd och hur de hanteras. Sammantaget kan detta för skolelever ge en bild av matematiken som osammanhängande och svårförståelig, och de tillämpningar som lyfts fram i motiverande syfte blir lätt mer en typ av utsmyckning än en del av en integrerad matematisk kunskap. Ett exempel som kan illustrera detta är andragradskurvan. En mängd typer av problem och tekniker som behandlas i skolmatematiken är relaterade till denna ‘klassiska’ graf: • begreppet kvadratrot, som kan beröra en grundläggande utvidgning av talbegreppet från rationella till reella tal, • lösning av andragradsekvationer (med kvadratkomplettering) och därmed även en utvidgning av talbegreppet från reella tal till komplexa, • ett grundläggande exempel på polynom och polynoms egenskaper som faktorisering, • andragradspolynom är i skolan ofta den första typen av funktioner som studeras i samband med derivata och optimeringsproblem, • i tillämpningar ofta kallad parabel, som studerades grundligt redan i den klassiska grekiska geometrin, vars reflektionsegenskap utnyttjas i parabolantenner och vars form återfinns i kaströrelsen, är några välkända exempel. Hur man uppfattar eller förstår vad en andragradskurva är präglas av hur den beskrivs, definieras, behandlas, används, osv. Här spelar olika uttrycksformer en central roll, inte bara för hur en individ uppfattar ett sådant matematiskt ‘fenomen’, utan också hur ‘fenomenet’ utvecklas genom historien och även påverkar utvecklingen av matematiken själv. För Euklides och Apollonius för mer än tvåtusen år sedan var parabeln ett rent geometriskt objekt som definierades med ”vanligt” språk och analyserades mer eller mindre fullständigt med den konstruktiva och deduktiva geometrins verktyg (se Thompson, 1991). Arkimedes verkade i samma tradition, utan vår tids algebraiska verktyg, men lyckades även bestämma arean av ett parabelsegment (’parabelns kvadrering’) med hjälp av en konvergent geometrisk summa (se Popp, 1978, s. 96-105). Men i och med Déscartes analytiska geometri på 1600-talet blev det möjligt att använda ett enkelt och manipulerbart algebraiskt uttryck för att beskriva läget för en punkt på en parabel inplacerad i ett koordinatsystem genom att ange 2 sambandet mellan punktens x- och y-koordinat. En geometrisk form ”avbildas” i ett algebraiskt uttryck y  x . Därmed hade parabeln genomgått en metamorfos från ett geometriskt objekt till ett algebraiskt objekt. Genom att koppla dessa fundamentalt olika objekt till varandra blev det också möjligt att studera det ena objektets egenskaper med det andras verktyg. På detta sätt kan det algebraiska symbolspråket ses som ett didaktiskt verktyg för att bättre förstå ett geometriska objekt (se t ex Bergsten, 2003). Så snart den tungrodda geometriska analysen kompletterats med den smidiga algebraiska kalkylen utvecklades matematiken snabbt. Inte bara de tre klassiska kägelsnitten (parabel, ellips, hyperbel), som nu också kan kallas andragradskurvor, utan även motsvarande 3-dimensionella andragradsytor (paraboloid, ellipsoid, hyperboloid), kunde studeras som kvadratiska former, vilka med hjälp av egenvärdesteori och matrisnotation under 1800-talet fick en enhetlig och systematisk matematisk behandling, som också underlättade deras många tillämpningsområden. När dagens datorer med en snabbhet som troligen även antikens geometriker skulle häpna över, hanterar matriser och numeriska beräkningar så snabbt att användaren bara genom enkla handrörelser kan direkt omforma och studera parabelns och andra kurvors geometriska egenskaper som figurer på en skärm, är det åter det geometriska objektet i sig som kan komma i fokus. Men det är efter ny metamorfos som parabeln nu är ett dynamiskt objekt på en datorskärm. Matematiken har gett sig själv ytterligare ett didaktiskt verktyg, man skulle kunna säga för att bättre förstå sig själv.

Vad är då en parabel? Ett sätt att svara på frågan är det semiotiska: meningen förflyttar sig genom uttrycksformerna som det som betraktaren uttolkar ur dessa, mot bakgrund av de kunskaper och erfarenheter han/hon aktiverar. Den historiska utvecklingen av matematiken visar hur meningen ändrar ansikte när nya matematiska ‘register’ utvecklas och används på objekt som tidigare studerades med andra ‘register’. Via en semiotisk kedja har skärningen mellan en kon och ett plan blivit en diagonaliserad kvadratisk form representerad av en symmetrisk matris, eller elektroniska punkter på en datorskärm. För realgymnasieeleven på 1960-talet var en parabel den geometriska orten för punkter med samma avstånd till en given punkt (fokus) respektive linje (styrlinje), en egenskap som snabbt kläddes i den analytiska geometrins 2 algebraiska uttrycksform x  4ay , på vilken en systematisk behandling av parabelns egenskaper grundades (Sjöstedt & Thörnqvist, 1963). Kägelsnittsdefinitionen från Appolonius studerades också, om än som överkurs. Studiet av parabeln integrerades i området analytisk geometri. Gymnasieeleven på 1990-talet fick parabeln 2 serverad som en algebraiskt definierad andragradskurva, y  x , vars form ”prickas in” via en värdetabell. Någon diskussion av egenskaper utöver de uppenbara (att y ≥ 0 och axelsymmetrin) gjordes sällan, som till exempel den avståndsinvarians som nämndes ovan. Tangenter hanterades med derivata. Parabeln bäddades in i området funktionslära. På samma sätt mötte studenterna andragradsytorna genom studiet av kvadratiska former, inbäddat i området linjär algebra. Kommer 2000-talets gymnasieelever att möta parabeln i form av ett dynamiskt objekt på en datorskärm, vars egenskaper får undersökas laborativt, och fastställas geometriskt eller algebraiskt där det är ”tillgängligt”? Men i vilket sammanhang ska det bäddas in? Det historiska perspektivet ger inte bara färg och trevnad åt matematiken, det ger en kuliss och ett argument, och kan vara ett didaktiskt verktyg genom att visa på andra aspekter än de som presenteras i en ren metodorienterad matematikundervisning, som kan vara avgörande för materialet ska få liv. Ett intressant perspektiv är att arbeta med vad Boero et al (1997) kallar ‘röster och ekon’. Läraren låter elever arbeta med frågor och uppgifter kring historiskt viktiga matematiska problem/uttryck vilka utgör ‘röster’ som bär med sig ett innehåll och en diskurs från den valda kulturella horisonten. Genom detta arbete kopplas dessa ‘röster’ till elevens egna tolkningar, uppfattningar och erfarenheter så att eleven då skapar ett ‘eko’ (se vidare Fauvel och van Maanen, 2000, sid. 154-167). Exempel på övningar med detta syftekan hämtas till exempel från de ’Problem Studies’ som finns i Eves (1983. Förutom en historisk-didaktisk odyssé i anslutning till ovanstående tar föreläsningen även upp exempel på arbete i klassrummet med parabeln, bland annat med ett dynamiskt geometriprogram.

Referenser Bergsten, C. (2003). Algebra som innehåll och aktvitet. I Utvikling av matematikkundervisning i samspill medlom praksis og forskning. Konferensrapport. Skriftserie for Nasjonalt senter for Matematikk i Opplæringen, No 1-2003. Trondheim. Boero, P., Pedemonte, B. & Robotti, E. (1997). Approaching theoretical knowledge through voices and echoes: a Vygotskian perspective. Proceedings of the 21st International Conference on the Psychology of Mathematics Education, Lahti, Finland, vol. 2, 81-88. Eves, H. (1983). An introduktion to the history of mathematits. (Fifth Edition) New York: Saunders College Publishing. Fauvel, J. & van Maanen, J. (Eds). History in mathematics education. The ICMI Study. Dordrecht: Kluwer. Popp, W. (1978). History of mathematics. Topics for schools. Milton Keynes: The Open University Press. Thompson, J. (1991). Historiens matematik. Lund: Studentlitteratur.

268 Antal – matematikhistoriens största tanke? Matematik är produkten av människors handling och tankeverksamhet. Men nästan vilket begrepp man än kommer in på kan kännas som det viktigaste. Kanske symbolerna eller talsystemets positionssystem. Intresset för antalsbegreppet är måhända något försummat. I umgänget med barn i förskolan och i de tidigaste skolåren är antalsbegreppet ett av de mest spännande samtalsämnena. Det historiska perspektivet är oundvikligt. Det liknar barnets matematiska utveckling med den stora skillnaden att barn känner att allt det vi vuxna vet nu, kommer de också att lära sig och kanske ännu smartare. Karl-Åke Kronqvist, universitetsadjunkt vid Malmö högskola. Lågstadielärare och lärarutbildare med ansvar för fortbildning i matematik för förskollärare och specialpedagoger.

Föreläsning Kring antal Denna föreläsning vänder sig till lärare som arbetar med barn som är mellan 2 och 8 år gamla. Den ska också ses som ett inslag i strävanden att underlätta samarbete eller integration mellan förskola, förskoleklass, fritidshem och skolans första år. Specialpedagogiken har en självklar plats i detta sammanhang; antalsbegreppet är en aspekt om barn har svårigheter med tal och talskrivning. Inom matematikämnet, historiskt sett, innebar utvecklingen av antalsbegreppet ett avgörande steg mot att matematiken kom att innehålla generaliseringar. Antalet kunde frigöras från föremålen och öppnade därmed nya möjligheter för beräkningar. Det är ett intressant tema: Matematikens historia. Det lämpar sig för gestaltad och estetisk kunskap: drama, bild och form. De som en gång för länge sen kom på de avgörande tankarna mot antalsbegreppet anade kanske vilken språngbräda det skulle utgöra för ämnet. På samma sätt kan barnet känna hur möjligheter öppnar sig när de upplever att de förstår antalsbegreppets idé. Upplevelsen grundar sig på handskandet med föremål, utformandet av tankestödjande bilder samt inre och kommunicerande språk. Från min nyutkomna rapport Matematik på väg – i förskola och skola (Rapport 12/2003, Malmö Högskola, Lärarutbildningen) citerar jag följande: Om antalsförståelse. När det sist sagda räkneordet betyder alla redan räknade föremål, beskriver räkneordet ett antal. Räkneordet har fått kardinalitet i stället för att bara ordinalt beteckna det sista föremålet. (Kardinalitet kommer från det engelska uttrycket cardinal numbers, som betyder antal.) Sekvenseringen av räkneorden blir säker och därmed möjligheten att räkna baklänges. Barnet upptäcker vidare att antalet av en viss mängd föremål blir detsamma oberoende av ordningen när de räknas. Fantastiskt! Ett visst antal är alltså ett abstrakt begrepp som kan representeras av alla samlingar av föremål i verkligheten med samma mängd. Alla föremålen skulle kunna kopplas till vilket av räkneorden som helst. Förutsättningar för att förstå antal som ett begrepp, oavsett föremålens egenskaper öppnar sig. Tio små knappar och lika många väldiga egyptiska pyramider har något gemensamt. Mycket ska på plats innan räkneorden står för kardinalitet. Föremålens ordning, storlek, egenskaper, utbredning och funktion mister sin betydelse till förmån för antalsbegreppet. – Fem myror är fler än fyra elefanter, säger Magnus, Eva och Brasse och bortser från storleken av föremålen, dvs. djuren. Förståelsen för att föremål i en mängd kan bytas ut eller förändras utan att antalet påverkas är också något som kan upptäckas, diskuteras och bearbetas. Alla behöver inte var myror för att få utgöra en mängd. Snart kan man även blanda myror och elefanter; antalet djur är ändå det samma! Barbapapafamiljens medlemmar kan förändra sina former och sitt omfång hur som helst, ändå är de alltid lika många.

Antalsgrupper

Att med en blick uppfatta antalet underlättas om föremålen grupperas. Föremål fler än fyra i oordning eller uppradade är svåra att antalsbestämma. Men ordnade i antalsgrupper, t.ex. fyra och fyra blir bestämningen både snabbare säkrare och mera utvecklande. Jämför det svårräknade IIIIIIIII med III III III eller IIII IIII I. På tärningar och dominobrickor ser barnet tidigt antalet med ett enda ögonkast. Sådana talgestalter kan kallas fasta antalsgrupper; man kan alltså inte påverka deras gestalt, men de är ett hjälpmedel vid utvecklingen av antalsbegreppet. Med lösa antalsgrupper menas att räknaren själv kan bestämma hur de ska grupperas på bästa sätt så att räkningen underlättas.

Jämföra antal Nu öppnar sig möjligheter att jämföra antal. Hur stor skillnad i antal är det mellan pinnar och stenar i din naturlåda? Eller mellan antalet av föremål i din låda och de i Evas? Antalsorden är jämförelseord och ganska svåra eftersom några av dem används rätt sparsamt. Parbildning är det räknesätt med vilket man kan jämföra antal.  lika många eller samma antal, (rättvist)  fler – färre (inte lika många), (komparativer)  flest - minst antal (fåast, engelska fewest), (superlativer) (I vardagsspråk används ofta storleksordet minst; ”Svegs kommun har minst poliser.”)  tex. 3 mer - 3 mindre, (Hur många enheter skiljer sig den ena mängden från den andra.) Orden undersöks att genom att med hjälp av parbildning jämföra antalet föremål i oftast två mängder. Parbildningen avslöjar eventuell skillnad i mängdernas antal. (Orden är lätta att förväxla med talens motsvarande ord: är lika med, större än – mindre än, störst – minst.) Barn i förskola och skola bör få möjlighet att uppleva utvecklingen av antalsförståelse som en givande upptäcktsresa i gemenskap. Andra barns tankar kan utmana. Läraren, med kunskap om antalsbegreppets konkreta och abstrakta sidor, blir en viktig följeslagare.

Talens delar - Talpar När förmågan finns att se antal som helheter blir det naturligt att börja undersöka talens delar. Tal är i matematisk mening beskrivning av antal. Hur kan tal delas upp? För barn är det ofta naturligast att dela rättvist. ”Båda ska ha lika många”. Därför kan det vara idé att börja med jämna tal. Först sedan kan det vara intressant att undersöka udda tal där delarna av hela udda tal blir olika stora, alltid omväxlande ett udda och ett jämnt tal. Svårigheterna uppstår när barns förståelse ska mätas mot vuxnas. För att slingra oss kallar vi ofta brister i barnets förståelse för förförståelse. Det vi kan uppleva som oförståelse är ju barnets egen. Sorgligare är den tystnad som kommer sig av att ofta ha fått en rad fel, som belöning för sitt tankearbete. En blick av oro, ett ord i oförstånd kan räcka för att barnet ska bli försiktigt med vad det säger nästa gång det utsätts för de färdigformulerade färgglada frågeställningar som är vanliga i både skol- och före-skolan-böcker. Viktigt är att barn som tänker ordinalt uppmuntras till att bestämma antalet genom att först ordna föremålen i antalsgrupper så att kan se antalet med en blick. Att fortsätta med att bestämma ett antal genom att räkna föremål ett-och-ett kan försvåra barnets försök att våga lämna pek- eller fingerräknandet och därmed ordinaltalstänkandet i kardinala sammanhang. Att se ett antal bakom ett enda ord eller ett enda siffra eller sifferkombination är ett viktigt steg i utvecklingen av abstrakt tänkande och barnets taluppfattning. (Rapporten kan beställas och köpas genom lärarutbildningen: [email protected] )

272 Vi öppnar ögonen för matematiken! I förskolan har vi en betydelsefull uppgift att leka med viktiga matematiska begrepp utan att använda siffersymboler. För mig är det viktigt att arbeta med matematik på ett sådant sätt att både handen, ögat och hjärnan samarbetar. Samtalet har också en central plats i barnens matematiska upptäckter. Vi inleder workshopen med ett samtal om förskolans uppgift när det gäller matematik och provar därefter olika spel som kan stimulera barnen i deras lek med matematiken. Karin Larsson är förskollärare i Trelleborg, samt arbetar deltid på Lärarutbildningen i Malmö.

Workshop

274 Att utmana små barns matematiktänkande och lärande i förskolan Föreläsningen kommer att visa på betydelsen av att lärarna tar sin utgångspunkt i förskolans tradition; lek, vardagsrutiner och temaarbete allt för att med hjälp av skapande, reflektion och utmaningar synliggöra matematik på ett för barnen meningsfullt sätt. Exempel kommer att ges på hur lärarna tillvaratar mångfalden av barnens sätt att tänka och lära matematik och låter det utgöra ett innehåll i förskolans verksamhet. Elisabet Doverborg är förskollärare, högskoleadjunkt och forskare. Hon är verksam vid Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM, Göteborgs Universitet.

Föreläsning Matematik som ett innehåll i förskolan I läroplan för förskolan, Lpfö 98, kan vi läsa att förskolan vilar på demokratisk grund och att verksamheten skall planeras och genomföras i överensstämmelse med de grundläggande demokratiska värderingar som uttalats. Förskolans verksamhet skall främja individens frihet och integritet, allas lika värde och jämställdhet mellan könen. Flickor och pojkar skall ha samma möjligheter att utveckla förmågor och intressen. Barn möter matematik på olika sätt under hela sin förskoletid. Förskolan är barnets första skola och den skall lägga grunden för det livslånga lärandet. Barn skall tillägna sig nyanserade innebörder i begrepp, erfara samband och förstå omvärlden. Ett sätt för barnen att förstå sin omvärld är att varsebli vissa företeelser och att kunna uttrycka dessa med hjälp av matematikens språk (Doverborg & Pramling Samuelsson, 1999). Vad kan det innebära för barn i ett- till femårsåldern att matematik skall vara ett innehåll i förskolan? Jo, att alla barn som går i förskolan skall utmanas i sitt matematiktänkande och lärande utifrån det som är relevant för dem. Läroplanen för förskolan uttrycker att förskolan skall sträva efter att varje barn -utvecklar självständighet och tillit till sin egen förmåga, -utvecklar sin förmåga att upptäcka och använda matematik i meningsfulla sammanhang, -utvecklar sin förståelse för grundläggande egenskaper i begreppen tal, mätning, och form samt sin förmåga att orientera sig i tid och rum (Lpfö 98, s. 12-13).

Förskolans tradition Alla barn som går i någon form av förskoleverksamhet skall alltså ges möjlighet att utveckla en förståelse för tal, mätning, form, tid och rum. För att barn skall kunna utveckla denna förståelse måste de få möta många vardagsnära utmaningar så att de kan erfara den matematik som finns i deras värld. Utgångspunkten för allt arbete i förskolan, så även arbetet med matematik, måste vara att utgå från förskolans tradition, det vill säga leken, vardagsrutinerna och temaarbetet. Det är inte i första hand lärarledda aktiviteter som skapar förskolebarns möjligheter att lära matematik, utan snarare lärarens förmåga att synliggöra den matematik som finns i barns vardag, med andra ord i leken, rutinerna och temat. Lärarna måste dessutom låta barnen få möjlighet att dokumentera och reflektera över den matematik de möter. Vidare måste förskolans lärare ta utgångspunkt i barns föreställningar och erfarenheter då matematik skall synliggöras – allt för att barnen skall få möjlighet att utveckla en tillit till sin egen förmåga. Strävansmålen uttrycker också betydelsen av att barnen skall ges möjlighet att upptäcka och använda matematik i meningsfulla sammanhang. Man kan fråga sig vad som är meningsfulla sammanhang för barn i ett- till femårsåldern. Pramling Samuelsson och Sheridan (1999) hävdar att meningsfulla sammanhang är när barn får möta matematik så som den framstår i deras egen värld. Doverborg och Pramling Samuelsson (1999) framhåller vikten av att barn

förstår och känner sig delaktiga i det sammanhang de är involverade i. Att kunna sätta ord på sin omvärld med hjälp av matematikens språk kan vara ett sätt att förstå denna. Samma matematik Vad innebär matematik för det lilla barnet? Svaret på den frågan är beroende av hur vi ser på matematik. I Skolverkets rapport ”Lusten att lära – med fokus på matematik” (Skolverket, 2003) säger man att matematik skall kunna bidra till ett bra självförtroende, att det är en demokratisk rättighet att få möjlighet att förstå och att kunna delta i beslutsprocessen. Alla skall ha möjlighet att erövra kunskaper i matematik. Jag menar att det är samma matematik barn möter i förskolan och skolan. För tvååringen, lika väl som för åttaåringen, handlar det om att utveckla en förståelse för tal, mätning, form, tid och rum – fast på olika sätt och med olika uttrycksformer. Många vuxna har uppfattningen att matematik enbart är att räkna, medan andra säger att matematik är att uppleva mönster, skönhet och att ha kontroll över tillvaron. För det lilla barnet är matematik något som hjälper henne eller honom att tolka, beskriva och förstå sin omvärld. Här följer ett par exempel hämtade från barn i ett- till tvåårsåldern när de på olika sätt utforskar sin vardag tillsammans med sin lärare som med matematikens hjälp sätter ord och begrepp på det de gör. Att jämföra längd Rebecka, ett år och fem månader, sitter på golvet med tre nallar framför sig som hon lyfter och flyttar, fram och tillbaka. Efter en stund lägger hon de två största nallarna bredvid varandra, tittar på dem och lägger sedan den ena åt sidan. Därefter tar hon den mindre nallen och lägger den bredvid den större. Hon tittar på dem och tar bort den mindre nallen för att åter igen lägga de två större nallarna bredvid varandra. Hon tittar på dem, skrattar och slänger i väg en av de större nallarna och tar tag i den mindre nallen igen. Hon lägger dessa bredvid varandra, tittar på dem och skakar på huvudet och säger: ”Nä, nä”. Under tiden som Rebecka lyfter nallarna fram och tillbaka sätter läraren ord på det Rebecka gör genom att säga: ”Men titta de två nallarna är lika långa." Och "Nu har du en stor nalle och en liten nalle." Samt "Nu har du de båda nallarna som är lika långa, men nu blir det en lång och en kort nalle.”. Om också vi tar på oss matematikglasögonen ser vi att Rebecka har kunnat urskilja nallarnas längd – två är lika stora/långa, den tredje nallen är mindre/kortare. Hon lägger dem bredvid varandra för att mäta/jämföra dem. När de båda stora nallarna ligger bredvid varandra tittar hon bara på dem, men då hon har den stora och den lilla nallen framför sig säger hon ”nä, nä” och uttrycker på så sätt att nu är det inte likadant som förut. Dessa båda nallar är inte lika långa. Vi kan här se att Rebecka möter antal, en eller två nallar och att alla nallarna tillsammans är tre. Nallarnas längd och storlek utforskas, dessutom kan även form lyftas fram och synliggöras av läraren som hela tiden finns med då Rebecka undersöker nallarna och som hjälper henne att sätta ord på det hon gör med hjälp av matematikens ord och begrepp. Mätandets princip Vilma, ett år och fem månader, skall hjälpa till att mäta upp ingredienserna till baket. Hon skall mäta upp två deciliter havregryn. Vilma öser glatt upp först ett och sedan ännu ett mått. Hon visar i många sammanhang att hon har en förståelse för skillnaden mellan ett och två, till exempel två ögon, fötter och händer, men bara en näsa, mun och huvud något som läraren lyft fram många gånger i samband med påklädningen. Att det handlar om att ösa två gånger är Vilma klar över. Då hon fyller måttet frågar läraren:

- Är det fullt nu? Vilma nickar. Det finns ytterligare en dimension här, nämligen att det handlar om exakt två deciliter havregryn. Eftersom Vilma ännu inte har utvecklat begreppet volym förstår hon inte att varje mått måste vara till bredden fyllt för att utgöra en deciliter. Något som också utgör en förståelse för mätandets princip. Genom att Vilma får ta del av vardagen i samspel med vuxna som sätter ord på det som sker med hjälp av matematikens ord och begrepp blir matematik en del av Vilmas värld. Under hela sin förskoletid kommer hon att möta matematikens ord och begrepp i sin vardag. På så sätt ges hon möjlighet att i samspel med läraren och andra barn utmanas och skapa en förståelse för dessa. Lärarens betydelse Dessa båda situationer är hämtade från de allra yngsta barnens vardag och får utgöra exempel på hur lyhörda lärare ser det lilla barnets värld. Men också på hur matematik skapar mening och innebörd, det vill säga hur den hjälper barnet att tolka, beskriva och förstå sin omvärld. Detta sker dock inte utav sig självt, utan med hjälp av att läraren sätter matematikens ord och begrepp på det barnet gör, utmanar barnets tänkande och problematiserar det barnet är involverat i. Även de yngsta barnen på småbarnsavdelningen kan på detta sätt utveckla en tilltro till sitt eget sätt att tänka och lösa för dem relevanta problem i vardagen. Lärarens uppgift är inte bara att skapa förutsättningar för barn att erfara matematik i sin vardag, utan också att tolka och förstå vilken matematik barnen ger uttryck för i olika sammanhang. På så sätt kan barnen utmanas i sitt matematiktänkande och lärande utifrån läroplanens intentioner. Både Rebecka och Vilma visar på att den grundläggande matematiken är en del av deras värld. I förskolan finns många tillfällen att utmana barnens matematiktänkande och lärande. Barn erfar olika aspekter av matematik då de på olika sätt får möjlighet att uppfatta och uttrycka antal, sortera och jämföra efter storlek, vikt, volym och längd. Liksom är de ges möjlighet att skapa olika mönster, former etc. Då barn erfar matematik som något som hör till deras värld gör de också olika matematiska begrepp till sina och utvecklar en grundläggande matematisk förståelse. I lekens lustfyllda lärande, i vardagsrutiner, i temat och i samspel med andra barn och vuxna (Williams, 2001) utmanas förmågan att samarbeta och lösa problem. Barnen får tilltro till sitt eget tänkande som problemlösare, de utvecklar tal-, tids- och rumsuppfattning, abstrakt tänkande med mera. Allt detta utgör förskolans matematik. Referenser Doverborg, E. & Pramling Samuelsson, I. (1999). Förskolebarn i matematikens värld. Stockholm: Liber. Pramling Samuelsson, I. & Sheridan, S. (1999). Lärandets grogrund. Perspektiv och förhållningssätt i förskolans läroplan. Lund: Studentlitteratur. Skolverket (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Stockholm: Skolverket. Utbildningsdepartementet. (1998). Läroplan för förskolan. Lpfö 98. Stockholm: Fritzes. Utbildningsdepartementet. (1998). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet. Lpo 94 – anpassad till att också omfatta förskoleklassen och fritidshemmet. Stockholm: Fritzes. Williams, P. (2001). Barn lär av varandra. Samlärande i förskola och skola. Göteborg Studies in Educational Sciences 163. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis.

275 Mattesafari på Universeum Universeum är Sveriges nationella vetenskapscentrum, beläget i Göteborg. Universeum innehåller såväl levande miljöer (svenskt landskap, regnskog och akvarier) som experimentmiljöer. Det finns även ett matematiktema. I alla Universeums avdelningar har det byggts upp matematiska experimentstationer och skapats ett skoltema som kallas mattesafarit. Temat har vuxit fram ur ett samarbete mellan forskare vid Göteborgs universitet, Chalmers och personalen vid Universeum. Vid föreläsningen presenteras vad detta tema innebär, hur vi tar emot skolklasser och hur vi använder informellt lärande inom matematiken i våra miljöer. Sten Ljungström, Scientific Director, Universeum, Göteborg Övriga medverkande: Charlotte Limberg1, Annika Perlander1, Samuel Bengmark2 1 Universeum, Box 143 65, 400 20 Göteborg 2 Matematiska institutionen, Chalmers tekniska högskola, 412 96 Göteborg

Föreläsning Universeum, Sveriges nationella vetenskapscentrum, har som en av sina målsättningar att ge besökaren en tvär – och mångvetenskaplig syn på omgivningen. Detta synsätt vill vi skall genomsyra så väl utställningen som förhållningssättet. Vi vill visa på den fantastiska komplexiteten i vår omgivning och hur allt hänger ihop. Förhoppningen är att ett besök på Universeum skall ge en sådan upplevelse, att det stimulerar barn och ungdomar till fortsatta studier inom naturvetenskap och teknik. Universeum öppnade i juni 2001 och har haft över 1,3 miljoner besökare sedan dess (oktober 2003), vilket betyder ca 500 000 per år. Av dem är mer än hälften barn och ungdomar. Universeum är indelat i olika områden, dels med levande miljöer och dels med avdelningar inriktade mot experiment, allt för att skapa nyfikenhet för naturvetenskap, miljö, matematik och teknik. Experimentplanen, Kalejdo och Explora, spelar för det senare fallet en viktig roll på Universeum. Här får man möjlighet att förstå de olika fenomen man sett under sin vandring genom de levande miljöerna. Inte minst är matematik ett tvärtema som uppträder i alla de miljöer som finns på Universeum. De båda experimentplanen ger en bild av samspelet mellan naturvetenskapen och tekniken. Samtidigt lämnar de många dörrar öppna för vidare fördjupning. Allt sedan starten har Universeum arbetat med idéer om hur man kan göra matematik synligt i huset. Under läsåret 02/03 har vi fått möjlighet att genomföra några av dessa idéer. Arbetet har resulterat i åtta stationer i utställningen som bl a behandlar taluppbyggnad och statistik. Tillsammans utgör stationerna matematikutställningen som fått namnet ”mattesafari”. Projektgruppen som tagit fram mattesafarit har bestått av en projektledare och två pedagoger från Universeum samt två forskare från Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet. Matematikutställningen grundar sig i en tanke att se matematik som ett redskap och ett hjälpmedel, dvs att betona matematik som ett språk för att förstå omvärlden. Målet är tillvarata nyfikenhet och väcka intresse för matematik, i synnerhet hos vår huvudsakliga målgrupp, barn och ungdomar 5-19 år. I uppbyggnadsskedet av projektet har Universeums olika miljöer analyserats för att beskriva matematikens tillämpningar och bakomliggande teorier. Vi har lagt grunden till ett tvärtema om matematik som syns i Universeums alla områden. Det består av stationer med aktiviteter som gästerna arbetar handfast med i anknytning till den omkringliggande utställningen. De vänder sig till olika åldrar och olika nivåer av matematisk förståelse. Som exempel kan nämnas de naturliga talens uppbyggnad och hur de används för att bilda koder, samt regnskogens arter och vår möjlighet att förutsäga hur många som finns av varje. (En kort beskrivning av varje station ges i appendix nedan.) För skolklasser har vi två olika besök att erbjuda, ”Klassens eget tema” och ”Universeumtema”. Klassens eget tema innebär ett förbokat besök där lärare och elever själva väljer med vad och hur de vill arbeta under besöket. Klassen får en kort introduktion till huset och arbetar sedan på egen hand i utställningen. Till husets olika områden finns lärarhandledningar med beskrivning av utställningen och tips och idéer till uppgifter som kan göras under ett besök.

Ett Universeumtema innebär att en av Universeums pedagoger handleder klassen. Tillsammans görs sedan ett fördjupningsarbete i en del av utställningen. Temaarbetet pågår i en och en halv timme och startas och avslutas med en kort samling. Idag erbjuder vi totalt sju bokningsbara Universeumteman. Lärarhandledningar finns för de olika temana. Inom ramen för vårt skolprogram erbjuder vi, förutom bokningsbara skolklassbesök, även studiedagar och lärarfortbildningar.

För den stora del av vår målgrupp som kommer med sin familj finns idag en folder som beskriver mattesafarit med de olika matematikstationerna. Materialet ger frågor att fundera över under vandringen genom Universeum. Från och med hösten 2003 erbjuder vi mattesafari för skolklasser både som klassens eget tema och som Universeumtema. Utgångspunkten är handledningsmaterialet som finns tillgängligt på Universeums hemsida (www.universeum.se). Där finns också en del fördjupningstexter.

Presentationen Under presentationen kommer Universeums mattesafari att presenteras mer ingående. Vi beskriver innehåll, vilka pedagogiska och matematiska tankar som funnits vid skapandet av stationerna samt hur de arbetats fram i samverkan mellan Universeums pedagoger och forskare på Chalmers och Göteborgs universitet. Dessutom berättar vi om våra erfarenheter från de skolklasser som valt att gå mattesafari på Universeum.

Appendix: De åtta matematikstationerna Station 1: Raka vägen Aktivitet: Att markera en sträcka på en sfär och se hur den blir på en tvådimensionell projektion. Syfte: Möjlighet att få en aha-upplevelse när det handlar om att flyga över jordklotet. Belysa fördelar med olika kartprojektioner och avbildningar av verkligheten. Vad bevaras i vilken projektion? Pedagogiskt: En wow-upplevelse med omedelbar feedback. En tydlig jämförelse mellan 2 dimensioner i tre plan och 2 dimensioner i två plan. Vardagsföreställningar utmanas. Station 2: Hur stor är din älsklingsfisk? Aktivitet: Använd en referenssträcka på väggen för att mäta din älsklingsfisk. Syfte: En interaktiv övning där det kan väckas många nya frågor vad det gäller storlek på olika marina organismer. Här kan olika dimensioner diskuteras. Vad menas med dubbelt så stor? Pedagogiskt: Att mäta med referenssträcka kan öppna vägar till att diskutera med andra. Det stimulerar uppfinningsrikedom och kan göra att man verkligen upplever hur lång en sträcka är. Marina organismer i alla storlekar kan återfinnas i akvariehallen och kan vara föremål för mätning. Diskussioner kring hur avstånd och brytning i akvarieglaset påverkar hur vi uppfattar storleken på olika föremål, kan bli en naturligt fråga att diskutera kring.

Station 3: Rockatanken Aktivitet: Hur långt är det runt Rockatanken? Uppgiften är att uppskatta omkretsen runt en tank, där rockor som man kan klappa simmar omkring, och sedan jämföra med hur långt det är rakt över. Kan man nu säga något om förhållandet mellan omkrets och diameter? Omkretsen runt tanken kan mätas genom att stega eller använda linjalen på väggen som finns för att mäta ”älsklingsfisken”. I taket finns radien markerad. Syfte: Göra mätningar på en rund form och jämföra olika sträckor för att koppla till π.

Pedagogiskt: Här illustreras på ett tydligt sätt förhållandet mellan omkrets och diameter. Olika mätredskap kan jämföras. Det finns vinster i att samarbeta och diskutera med sina kamrater. Inlärning kan ske i samspel med andra. Station 4: Text i Regnskogen Aktivitet: Betrakta och räkna olika sorters fåglar vid foderstationer i området Regnskogen. Vandra genom Regnskogen och försöka få en uppfattning om hur många ödlor och vilka arter det finns i regnskogen. Syfte: Att förstå möjligheterna att säga något om en helhet utifrån ett urval. Pedagogiskt: Belysa begreppet biologisk mångfald. Hur kan vi veta vilka arter som finns om vi inte har sett dem? Station 5: Slumpkistan Aktivitet: I en låda finns 100 bollar vars färger inte går att avgöra eftersom de betraktas genom ett färgfilter. Försök uppskatta antalet bollar av respektive färg. Uppgift: Plocka ut ett antal bollar (man kan max få ut tio bollar). Kan du säga något om fördelningen bland bollarna? Gör om försöket. Tycker du fortfarande detsamma? Genom urvalet, vad kan man säga om bollarna som finns i behållaren? Syfte: Väcka tankar och funderingar kring sannolikhet/statistik. Att undersöka vad som kan sägas om en population utifrån ett urval av individer. Ge inblick i vad statistik kan användas till i vardagen. Pedagogiskt: Spännande att fundera över vad som finns i en behållare med hjälp av ledtrådar. Övningen är tydlig och med hjälp av en enkel frågeställning/uppmaning kan man fundera över begreppet sannolikhet. Det finns en vinst i att kunna koppla ihop olika delar i utställningen så att man kan visa på både teori och praktisk tillämpning. Station 6: Enigma Aktivitet: En kub med fyra sidor där uppgiften blir att lista ut en kod (morse-, Caesar-, binär- och alfabetskod) med hjälp av en ledtråd. Lyckas man tänds en lampa i ett fönster där det visas ett hologram. Syfte: Träna på enkel kombinatorik samt uppmuntra till logiskt tänkande i sökandet efter strategi för lösningarna. Pedagogiskt: Ett tävlingsmoment eller en utmaning där en kod skall knäckas är en spänningshöjare. Det kan locka fram tävlingsinstinkten hos den mest försiktige. Övningen är problembaserad. Station 7: Paraboler Aktivitet: I anslutning till två stora paraboler studeras en golvskylt med bild och förklarande text. En tydlig bild visar hur ljudet förflyttar sig från den ena parabolen till den andra. Syfte: Se hur strålar reflekteras i paraboloidens geometriska form. Pedagogiskt: Att koppla ihop matematik och fysik. Visa ljudets väg med bild, ord och matematiskt språk. Station 8: Gångergången (Trappstegen) Aktivitet: Studera och analysera siffror och talföljder i trappan och ett färgmönster på trappräcket där uppbyggnaden av olika tal visas. Skyltar med hjälpande frågor hjälper till att belysa olika mönster. Syfte: Spännande att se och fundera över hur tal hänger ihop. Pedagogiskt: Att visa siffror som symboler som står för något. Tal visar bestämda förhållanden. Med färger kan mönster synliggöras på ett tydligare sätt.

276 Så här leker och lär vi algebra på kubikskolan Vi är en friskola i Helsingborg med inriktning mot matematik och NO. Som skolans val har vi en kurs i algebra i varje årskurs Vi arbetar bl a med att eleverna skall hitta mönster Till vår hjälp har vi tandpetare, legobitar, sand, mjöl, vatten, vågar, mätglas, grafritande räknare mm. Vi skall berätta hur vi använder detta i inlärningen. Ulla Dellien och Gerd Ripa arbetar på Kubikskolan i Helsingborg, en friskola åk 7-9. Vi arbetar också på IB- resp har tidigare arbetat på NV-programmet och försöker förbereda eleverna för teoretiska gymnasieprogram i första hand.

Föreläsning Vår algebrakurs utgör skolans val, cirka 1 h i veckan under vårterminen i åk 7 och 8 och ht i åk 9. Varje lektion har ett eget tema. Eleverna får en skriftlig instruktion som kompletteras muntligt. De arbetar i grupper om 2-4 elever, men varje elev redovisar lösningen. Varje uppgift skall avslutas under pågående lektion. De har inga läxor. För att uppgiften skall täcka alla elevers behov har den successivt allt svårare delfrågor. Eleverna samlar sina lösningar i en portfolio. Uppgifterna rättas inte individuellt utan mot slutet av lektionen får några elever redovisa sina resultat. Arbetssättet har valts för att tillfredsställa de elever som blir nervösa på prov och som gärna vill visa att de arbetar organiserat, prydligt och kreativt. Elevernas arbete inriktas på att lära dem se mönster, att lära dem använda tabeller, diagram och figurer för att lösa problem; att lära dem förstå mängdlära och enkel talteori, att jämföra räknesätt i olika avseenden, att lösa ekvationer, att arbeta med algebraiska uttryck, proportionalitet, räta linjer mm. I allt arbete försöker vi sätta hjälpmedel i form av klotsar, tandpetare, legobitar mm i händerna på dem, eftersom vi tror att det är lättare att få hjärnan att arbeta, när händerna är involverade. Vi vill att de ska resonera sinsemellan. Vi arbetar enligt devisen: Göra, Känna, Tänka och Förstå.

Exempel på uppgifter. Åk 7. De olika räknesätten med 2 udda tal, två jämna tal resp ett jämnt och ett udda tal. Addera de udda talen successivt. Studera resultatet. Venndiagram med tal delbara med 2, 3 respektive 5. Vilka är snittmängderna? Arean av rektanglar med samma omkrets. Faktorisering. Ekvationer. Att omvandla en text till algebraiskt uttryck.

Åk 8. Tänk på ett tal. Ekvationer. Undersökning av trianglar. Att lägga polygoner Symmetrilinjer Att jämföra uttryck och ekvation.

Att bygga kvadratiska mönster med tandpetare.

Åk 9. Räta linjer med hjälp av vägning eller längdmätning av olika föremål. Studera funktionen på grafritande räknare. Ta reda på funktionsuttrycket med hjälp av egen graf. Jämför med linjär regression på räknaren. Multiplikation av binom med hjälp av areor. Kvadreringsreglerna och konjugatregeln med areor.

279 Bedömning i lärandets tjänst Lärandet sker på olika sätt och därför måste också bedömning ske på olika sätt. Det kan vara bedömning av lärandet, alltså bedömning av kunskaper som ett resultat av lärandet, men det kan också vara bedömning för lärandet, för att stimulera lärandet. Astrid Pettersson är universitetslektor i pedagogik med inriktning mot utvärdering och matematikämnets didaktik och arbetar som projektledare för PRIM-gruppen.

Föreläsning Bedömning i lärandets tjänst Vi blir ständigt bedömda i olika avseenden. Bedömning är en ständig följeslagare till undervisning. Den sker ofta systematiskt och ofta dokumenteras den på något sätt, som underlag vid utvecklingssamtal och/eller som betyg. Bedömning och dess nära koppling till lärandet betonas alltmer (Gipps, 1994, 2001). Bedömning rätt använd kan ha en hög lärandepotential. Black (2001) har visat att den bedömning som innebär att eleven får kontinuerlig feedback kan ha stora effekter på en persons lärande. För att bedömning ska stimulera lärandet är det viktigt med feedback, men inte med fokus på dess kvantitet utan dess kvalitet (Sadler, 1998). För att bedömning ska kunna bli en kraftfull utvecklingspotential för lärandet krävs att den som ska bedömas också är involverad i bedömningsprocessen och också själv får göra bedömningar av sina kunskaper. Sambandet mellan bedömning, undervisning, lärande och kunskaper och kompetens kan illustreras av följande figur (efter Erickson&Börjesson, 2001).

. Lärandet sker på olika sätt och därför måste också bedömning ske på olika sätt. Regeringen har i sin utvecklingsplan (1996/97:112, sid 106) uttryckt behovet av olika sätt att bedöma på följande sätt: Den kunskapssyn som läroplanerna anger och som uttrycks på olika sätt i kursplanerna och betygskriterierna ger helt nya förutsättningar för utvärdering av kunskaper. Provuppgifterna kan inte längre vara ”enkla” mått av traditionellt slag. De måste också analysera vad de som fått en viss utbildning kan göra snarare än att redovisa minneskunskaper. De bör ha en inriktning mot problemlösning, tillämpningar och kombinationer av olika kunskapsområden. Inlärningsresultat visar sig mer som övergripande kompetenser och attityder än som faktaredovisningar. Det gäller i högsta grad läroplanernas mål och värdegrund men också ämnesmålen i kursplanerna. Detta kräver nya sätt att ta fram underlag och analysera inlärningsresultat. Kunskapssynen tas upp i betänkandet ”Skola för bildning” som framställer skillnaden mellan kunskapsförmedling och kunskapande på följande sätt:

”All kunskapsförmedling oavsett om det gäller fakta, färdighet, förståelse eller förtrogenhet har någon form av facit att jämföra sig med. När det gäller kunskapandet däremot är det arbetet som är målet, förmågan att formulera och utveckla problem och komma till slutsatser.

Den omfattar såväl färdigheter – att formulera sig, att använda kunskapskällor, att sammanställa, att göra beräkningar etc – som förtrogenhet, vilken kommer till uttryck t ex genom förmåga till riktiga bedömningar i kunskapandets olika skeenden” (SOU 1992:94, s 67).

Det gäller alltså att sträva mot Att göra det väsentliga bedömbart och inte det enkelt mätbara till det väsentligaste. Att utsättas för bedömning påverkar oss, som en positiv kraft eller negativ kraft. Vi vet från vår egen erfarenhet att det inte var all bedömning som stimulerade vårt lärande. Vad innebär bedömning för den enskilde? Konsekvenserna av bedömning kan illustreras med följande figur:

En bedömning som stödjer och stimulerar lärandet innebär att elevens kunnande analyseras och värderas så att eleven utvecklas i sitt lärande och känner tilltro till sin egen förmåga (jag kan, vill, vågar). I stället för en bedömning som leder till en dom och kanske till ett fördömande (Jag kan inte, vill inte, vågar inte).

Referenser Black. P. (2001). Formative Assessment and Curriculum Consequences. I Scott, D (red). Curriculum and Assessment. International Perspectives on Curriculum Studies, Volume 1. London: Ablex Publishing Erickson, G & Börejsson, L (2001). Bedömning av språkfärdighter i nationella prov och bedömningsmaterial. I Malmberg, P & Ferm, R (red). Språkboken – en antologi om språkundervisning och språkinlärning. Stockholm: Skolverket. Gipps, C. (1994). Beyond testing: Towards a Theory of Educational Assessment. The Falmers Press. London. Gipps, C. (2001). Sociocultural Aspects of Assessment. I Svingby, G & Svingby, S (red). Bedömning av kunskap och kompetens. Konferensrapport från konferens om bedömning av kunskap och kompetens 17-19 november 1999. Rapport nr 18 från PRIM-gruppen vid Lärarhögskolan i Stockholm. Regeringens skrivelse 1996/97:112: Utvecklingsplan för förskola, skola och vuxenutbildning. – Kvalitet och likvärdighet. Sadler, R.D. (1998). Formative assessment: reviskting the territory. Assessment in Education: principles, policy & practice, vol 5, nr 1, s 77-84. Statens offentliga utredningar. (1992). Skola för bildning, SoU 1992:94.

280 Lusten – lärandets motor Vilka faktorer påverkar lusten att lära positivt och negativt? Vad händer med unga människors lust för lärande allmänt och särskilt i matematik under åren i skolsystemet? Vad gör förskolor, skolor och vuxenutbildning för att väcka och stödja denna lust? Kan man se något samband mellan den upplevda kvaliteten i detta avseende och elevernas resultat? Ulla Lindqvist är undervisningsråd vid Skolverkets Avdelning för utbildningsinspektion i Stockholm. Hon har bl.a. lång lärarerfarenhet från framför allt gymnasieskolan. Föreläsning

Sammanfattning Mitt anförande utgår från den nationella kvalitetsgranskning som Skolverket genomförde år 2001-2002 om Lusten att lära – med fokus på matematik. Ett tjugotal utbildningsinspektörer besökte då ca 300 verksamheter från förskola till vuxenutbildning i 40 kommuner. Matematikdidaktiker, forskare i pedagogik, aktiva lärare och lärarutbildare samt ett par representanter från andra samhällssektorer än utbildning ingick i gruppen. Vår uppgift var att med hjälp av olika metoder söka svar på frågor om barns och elevers lust att lära generellt och särskilt i matematik. Vilka faktorer påverkar lusten att lära positivt och negativt? Vad händer med unga människors lust för lärande allmänt och särskilt i matematik under åren i skolsystemet? Vad gör förskolor, skolor och vuxenutbildning för att väcka och stödja denna lust? Kan man se något samband mellan den upplevda kvaliteten i detta avseende och elevernas resultat? Vi fick många svar på våra frågor, några har vi lyft fram speciellt. Sammanfattningsvis kan sägas att vi inte enkelt och kategoriskt kan peka på någon specifik lärmiljö eller modell som i sig garanterar hög kvalitet och som skapar lust eller olust. I stället tyder granskningen på att det är en rad olika faktorer som när de samspelar på ett positivt sätt, skapar lust att lära, engagemang och förståelse. Trivialt men ändå värt att betona är att olika elever och elevgrupper behöver olika innehåll, materiel och arbetsmetoder för att nå målen. Elever har skilda behov och reagerar olika på likartade undervisningssituationer. De faktorer som efter granskningen framträder som särskilt väsentliga för barns och elevers lust att lära och som jag kommer att lyfta fram i mitt anförande, utgör enligt vår uppfattning, instrument för ett fortsatt kunskapsbyggande. Att skapa detta samspel i den konkreta undervisningen utgör skolans utmaning! Granskningen utmynnar i ett antal förslag, både relativt konkreta och av mer övergripande slag, som kan bidra till en förbättrad kvalitet i utbildningen. Vi menar att ansvaret är delat och vi riktar oss därför till såväl skolledare, lärare och elever i den enskilda skolan som till de ansvariga på kommunal och statlig nivå. Det krävs gemensamma ansträngningar och insatser som måste fördelas på alla aktörer inom skolsystemet. Granskningen finns redovisad i en nationell rapport: Lusten att lära – med fokus matematik (Skolverkets rapport nr 221). I Nämnaren nr 1/2003 finns en kort sammanfattande artikel.

Ulla Lindqvist Undervisningsråd

Skolverket Avdelningen för utbildningsinspektion 106 20 Stockholm tel: 08-5273 3283 mobil: 0733-773283

281 Building bridges between everyday life and the mathematics classroom: the case of fractions From their experiences with sharing in everyday life, children develop ideas relevant to cardinality and ordinality issues in the domain of fractions. This presentation will discuss how children can learn to connect these ideas to the notation of ordinary fractions. Difficulties in generalising their reasoning to other situations will be considered..

Terezinha Nunes är professor i psykologi vid Oxford Brookes University Föreläsning

282 Den röda tråden för barn i matematiksvårigheter Hur kan vi lärare och pedagoger samarbeta för att kvalitativt kartlägga elever i matematiksvårigheter, och deras inte sällan komplicerade sätt att forma sin matematiska medvetenhet? Vilka didaktiska verktyg behöver vi lärare för att kunna analysera dessa elevers matematikutveckling? Ann-Louise Ljungblad är specialpedagog på en F-9 skolan, författare och bor i Träslövsläge. Föreläsning

Barns olikheter Som matematiklärare står vi inför en svår uppgift – att försöka förstå och utveckla alla barns matematiska medvetenhet (Ljungblad, 2003b). Hur vi människor upplever matematiken som ett språk är mycket individuellt och inte sällan både komplicerat och komplext för lärare att analysera och dokumentera. Sociala, kulturella och pedagogiska faktorer är tätt sammantvinnade i skolan som praktik (Dysthe, 2003). Dessa faktorers nära samspel i skolpraktiken bör som jag ser det sammanställas i en pedagogisk och didaktisk kartläggning av ”specifika inlärningssvårigheter i matematik”, vilket jag tidigare benämnt som ”särskilt didaktiskt behov i matematik” (Ljungblad, 2003c, 2003d). Många av eleverna som uppvisar stora matematiksvårigheter tappar tidigt lusten att lära matematik och vi behöver gemensamt driva en fokuserad skolutveckling för att utveckla deras matematiska lärande. Det som vi uppfattar som inlärningssvårigheter, och som vi förlägger till individer och deras ”förmåga” att tillägna sig matematik, kan kanske bättre förstås om vi analyserar de regler för den matematiska kommunikation som vuxit fram i skolan, och de svårigheter som barn kan ha att identifiera sig till dem (Säljö, 2000). Individuell analys och kartläggning I förskolan och i grundskolan har vi stora möjligheter att samarbeta för att utveckla barn i matematiksvårigheter. Vi behöver hitta nya gemensamma arbetsformer för att dokumentera dessa elevers matematiska lärande. Dessutom är det nödvändigt med en grundläggande pedagogisk och didaktisk kartläggning – inom organisationsnivå, gruppnivå och individnivå – som kontinuerligt återkommer för elever som inte når målen i matematik. Matematiklärare, speciallärare och specialpedagoger kan samarbeta och använda kvalitativa analysverktyg för att studera och försöka förstå barns tankeprocesser, så att vi kan hjälpa barnet att utveckla nytt kunnande. Var finns barnets utvecklingsmöjligheter – starka och svaga sidor? Viktigt för elever i matematiksvårigheter är också att få tillgång till olika former av tilläggshjälp för att utveckla nya processtankar, vilket möjliggör arbete med matematiken på ett högre plan. Det är av intresse att studera hur lärare och barn i behov av särskilt didaktiskt stöd kommunicerar i matematik med siffror, tal och antal i de gemensamma dialogerna (Ljungblad, 2003d). Läraren behöver analysera utifrån vilken kontext eleven tar sin utgångspunkt och varifrån utgår läraren? För elever i matematiksvårigheter kan det vara svårt att med lätthet vandra i matematikens flerdimensionella diskurs, något som kan påverka såväl det matematiska lärandet som elevens generella lärande i alla ämnen (Ljungblad, 2003a, 2003d).

Vygotsky (1999) betonad starkt det stödjande sociala samspelet och ett barns möjligheter till utveckling i ”zonen för den närmaste utvecklingen”. Det ett barn idag kan göra i samarbete med en mer kompetent person, kan barnet så småningom självständigt göra i framtiden hävdade Vygotsky. Dagens komplexa samhälle genomsyras av ett omfångsrikt informationsflöde, där en stor del är matematisk information, vilket för en person som ännu inte erövrat en grundläggande matematisk kompetens kan vara svår att tolka. Att få möjlighet att erövra en matematisk kompetens är en demokratisk fråga för alla barn.

Litteratur Dysthe, O. (red.) (2003). Dialog, samspel och lärande. Lund: Studentlitteratur. Ljungblad, A-L. (2003a). Att räkna med barn i specifika matematiksvårigheter. Varberg: Argument. Ljungblad, A-L. (2003b). Matematisk Medvetenhet. Varberg: Argument. Ljungblad, A-L. (2003c). Att möta barns olikheter – åtgärdsprogram och matematik. Varberg: Argument. Ljungblad, A-L. (2003d). Dimensioner i elevens och lärarens matematiska kommunikation – en studie om hur barn och vuxna använder siffror, tal och antal i dialoger. Examensarbete fördjupningskurs i specialpedagogik. Institutionen för pedagogik och didaktik. Göteborg: Göteborgs universitet. Säljö, R. (2000). Lärande i praktiken. Stockholm: Prisma. Vygotsky, L. (1999). Tänkande och språk. Göteborg: Daidalos.