Bernoulli, binomiale et variables aléatoires

Epreuve de Bernoulli - Schéma de Bernoulli Variable aléatoire - Loi binomiale I- Epreuve de Bernoulli : On appelle épreuve de Bernoulli toute épreuve/expérience aléatoire ne possédant que deux issues possibles, que l’on appelle succès et échec. La probabilité du succès est p et celle de l’échec est q=1-p Cette épreuve de Bernoulli de paramètre p est notée B(p). L’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli sont données par : E(X) =p Var(X) =p(1−p) =pq II- Schéma de Bernoulli Un schéma de Bernoulli consiste à la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre p. III- Variables aléatoires On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès sur les n épreuves. X peut prendre les valeurs entières de 0 à n. IV- Loi binomiale X suit une loi binomiale de paramètre n,p. Cette loi est notée B(n , p) La loi de probabilité de X est donnée par

n est le nombre d’expériences p est la probabilité du succès q est la probabilité de l’échec k est le nombre de succès (de la probabilité cherchée) n-k est le nombre d’échecs (de la probabilité cherchée) L’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli sont données par E(X) =np Var(X) =np(1−p) =npq Rédaction type - exemple d’exercice : En gras ce qu'il faut toujours écrire, après à adapter à chaque exercice. Enoncé : On lance une pièce truquée. La probabilité d’obtenir face est 2/3. On effectue 10 lancés. Quelle est la probabilité d’obtenir 6 piles ? Une expérience (ou une épreuve de Bernoulli) consiste à jeter la pièce une fois et regarder sur quelle face elle tombe. Le succès est « obtenir pile ». La probabilité du succès est 1/3 (1-2/3=1/3). On répète 10 fois cette même expérience de façon indépendante. On a ici un schéma de Bernoulli. X est la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où on obtient pile sur les n=10 épreuves X suit une loi binomiale de paramètre n=10 et p=1/3 P(X=6)= (10C6) (1/3)^6X(1-1/3)^(10-6) environ égal à 0,057

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