Blandat om transienta förlopp, filter och resonans File - TFE

Elkraft, Transienta förlopp, lter och resonans Björne Lindberg 15 mars 2012

1

Innehåll 1 Transienta förlopp 1.1 Upp och urladdning av kondensator . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2

2 Överföringsfunktioner 2.1 Lågpasslter . . . . . 2.2 Högpasslter . . . . 2.3 Bodediagram . . . . 2.4 Exempel på lter . .

3 4 5 6 8

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

3 Resonans 9 3.1 Serieresonans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Parallellresonans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1

1

Transienta förlopp

1.1 Upp och urladdning av kondensator −t

uc = U (1 − e RC )

ic =

U −t e RC R

−t

uc = U e RC

ic = −

U −t e RC R

τ = RC // Den tid då upp- eller urladdningsförloppet förändrats 63 %

2

(1)

(2)

(3)

(4) (5)

2

Överföringsfunktioner

Överföringsfunktionen beskriver förhållandet mellan en utsignal och en insignal. Förhållandet kan vara konstant eller variera med en eller era olika variabler. Funktionen används i många olika sammanhang men för oss på ellära 2-kursen kommer vi att använda den för att beskriva förändringar i spänningar, strömmar och eekter. Överföringsfunktionen kan beskrivas på många olika sätt, med formler, avtal eller grafer. Vi kommer att använda formler och grafer i elläran

Ut =? In

(6)

Överföringsfunktionerna i ellära ger svar på 2 frågor: Hur mycket har något förändrats och har det hänt något i tid, dvs har signalerna förskjutitits i förhållande till varandra? -Hur stor är fasförskjutningen? Överföringsfunktionerna uttrycker förändringen i storlek i relativa tal. -Hur mycket eller hur lite har något förändrats? Grundenheten är alltså gånger. Här är man inte längre intresserade av ev fasförskjutning. Och förändring i storlek får man fram ur överföringsfunktionen genom att ta absolutbeloppen av in- och utsignalerna och jämföra dem Ut = ggr In

(7)

Det är dock på många sätt opraktiskt att uttrycka överföring Ut = anges även i dB → Förstärkningen i dB = 20log U t In In

(8)

På samma sätt kan fasförskjutningen plockas fram genom att räkna ut vinkeln mellan utsignal och insignal. I de fallen är man bara intresserade av vinklarna hos signalerna  arg

Ut In

 =

arg (U t) som anges i radianer arg (In)

3

(9)

2.1 Lågpasslter

Uut Zc = = UIn Zc + R

1 jωC 1 jωC

+R

=

1 1 + jωRC

Uut 1 UIn = √1 + ωRC 2

(10)

(11)

1

arg(

1 1 −j ωC Uut jωC ◦ −1 ωC ) = arg( ) = −90 + tan ( ) ) = arg( 1 1 UIn R R + −j ωC jωC + R

När ω =

(12)

1 1 kommer uttrycket att bli √ och den speciella vinkelfrekvensen kallas brytvinkelfrekvens. RC 2

(13)

Vid samma brytvinkelfrekvens ωc =

1 −j ωC 1 −90◦ kommer vinkeln för att bli = −45◦ 1 RC −45◦ R + −j ωC

(14)

4

2.2 Högpasslter

Uut R = = UIn Zc + R

R jωRC = 1 + jωRC +R

1 jωC

Uut ωRC UIn = √1 + ωRC 2

arg(

När ω =

1 Uut R ) = 0◦ + tan−1 ( ωC ) ) = arg( 1 UIn R R − j ωC

(15)

(16)

(17)

1 1 kommer uttrycket att bli √ och den speciella vinkelfrekvensen kallas brytvinkelfrekvens. RC 2

(18)

Vid samma brytvinkelfrekvens ωc =

jωRC 90◦ 1 kommer vinkeln för att bli ◦ = 45◦ RC 1 + jωRC 45

(19)

5

2.3 Bodediagram För att rita en graf som beskriver ett lters karakteristik går man tillväga på detta sätt: 1. Dela upp överföringsfunktionen i någon eller era av dessa funktioner: 1 + jωRC

(20)

1 1 + jωRC

(21)

1 jωRC

(22)

6

jωRC

(23)

K

(24)

2. Rita ut alla faktorers kurvor med resp brytfrekvenser i ett bodediagram 3. Addera alla kurvor

7

2.4 Exempel på lter

1 R2 + jωC 1 Uut R2 + Z c = 1+jωR2 C (25) = = 1 UIn Zc + R1 + R2 1 + jωC(R1 + R2 ) R1 + R2 + jωC

1 + jωR2 C ⇒ ωc1 =

1 ⇒ fc1 = 10000Hz R2 C

1 1 ⇒ ωc2 = ⇒ fc2 = 1000Hz 1 + jωC(R1 + R2 ) C(R1 + R2 )

8

(26) (27)

3

Resonans

3.1 Serieresonans

Z = R + jXL − jXC = R + jωL − j

Z blir minst då ωL =

  1 1 = R + j ωL − ωC ωC

1 och detta ω brukar kallas ωo ωC

ωo = √

1 LC

Vid ωo är I =

9

(28)

(29) (30)

E R

(31)

Q är ett kvalitetsmått på en resonanskrets och uttrycker egentligen bara hur stor någon av reaktanserna (De är ju lika stora så det spelar ingen roll vilken man tar) är i förhållande till resistansen. Q=

ω0 L R

(32)

I topp 2

På varje sida om ω0 nns vinkelfrekvenser där I minskat till √

(33)

Dessas motsvarande frekvenser kallas f1 och f2

(34)

Bandbredden B denieras som f2 − f1

(35)

10

3.2 Parallellresonans

11