Buoyancy

Partikeldynamik Dynamik är läran om rörelsers orsak. En partikel är en kropp där utsträckningen saknar betydelse för dess rörelse. Den kan betraktas som en punktmassa utan rotation. Massa kan definieras på två sätt. Den ena baserar sig på att olika massor attraheras olika starkt av jordens gravitation. Att två massor är lika kan tex bestämmas med en balansvåg eller en fjädervåg där fjäderns uttänjning är proportionell mot massan. Enligt denna definition är massa ett mått på hur gravitationen påverkar en kropp, man talar om "tung massa". Den andra definitionen är: Massan anger vilken kraft som åtgår för att ge en kropp en viss acceleration, "trög massa".

Fjädervåg Balansvåg

m

m

Newtons I:a lag (tröghetslagen) En partikel är fri om den inte påverkas av några krafter (finns?)

Fnet  0 m

Fri partikel

v  konstant

En fri partikel befinner sig i vila eller rör sig med konstant hastighet (dvs i en rät linje) Detta är Newtons I:a lag även kallad tröghetslagen.

Observera att även observatören av rörelsen måste vara fri (finns?), dvs. mätningen måste göras i ett inertialsystem. Ett inertialsystem accelererar inte (och får därför inte rotera, eftersom rotation innebär acceleration). Har man hittat ett inertialsystem kommer alla system som rör sig med konstant hastighet relativt detta också att vara inertialsystem.

Newtons II:a lag Om

F  F i

net

 0 ändras hastigheten v i samma riktning som Fnet

i

Om en nettokraft verkar på en kropp ändras hastigheten (accelererar den) I samma riktning som nettokraften.

a   Fi i

Experimentellt har man visat att för en given kropp gäller: Fnet m

F

i

i

a

a

m

Om en extern kraft påverkar en kropp så accelererar den. Riktningen på accelerationen är samma som kraften. Massan hos kroppen gånger accelerationen hos kroppen är lika med nettokraften som påverkar kroppen

Newtons II:a lag Newtons II:a lag

 F  ma

"Newton" N= [kg m/s2]

i

i

F

x

i

 max ,  Fy  may ,  Fz  maz i

i

Detta ger en andra definition av massa: Massan anger vilken kraft som åtgår för att ge en kropp en viss acceleration, "trög massa". trög massa = tung massa Därför får alla kroppar samma acceleration i ett gravitationsfält (ca 9.8 m/s2 på jorden).

W=mg

Tyngden W är den kraft som krävs för att förhindra en kropp med massan m att falla pga gravitationsaccelerationen.

Newtons III:e lag

Om en kropp påverkar en annan med en given kraft så återverkar den senare kroppen på den första med en lika stor men motsatt riktad kraft F 2

F1  F2 F1 Newtons III:e lag

Exempel: 1

Kraftjämvikt

F1  F2  F3  F4  ...  0 eller

F

ix

0

i

F

iy

i

0

F  0 i

F

iz

i

0

i

Vid jämvikt är partikeln i vila eller rör sig med konstant hastighet Exempel kropp på lutande plan

Jämvikt när F + W + N = 0 X: F  Wsin = 0 eller F = Wsin Y: N  Wcos = 0 eller N = Wcos

Exempel: 2

Tröghetskrafter Med tröghetskrafter menas krafter som uppstår i accelererade koordinatsystem. Betraktas situationen från ett inertialsystem (utan acceleration) kommer tröghetskrafterna inte att ingå i beskrivningen.

S´ S

ar

a´= a  ar m a mätt i S

a´ mätt i S´

Från S mäts F = ma

Från S´ mäts F´ = ma´ F´ = ma´= m(a  ar)= F  mar f =  mar Tröghetskraft

S är inertialsystem S´ accelererar relativt S m är massan hos kroppen

(Kallas även fiktiv eller skenbar kraft)

Tröghetskrafter Ex. 1 Person i accelererande bil S: Jorden

S´: Bilen

m: Personens vikt

a´= 0 eftersom personen sitter still i bilen ar = bilens acceleration i positiv x-riktning Betraktat utifrån (S): Personen accelererar med ar eftersom den påverkas med kraften F =mar från bilen som verkar i positiv x-riktning Personen inne i bilen: Jag sitter still men påverkas av en kraft f =  mar (minustecknet visar att kraften verkar i negativ x-riktning) S´ S

ar

S är inertialsystem m a mätt i S

a´ mätt i S´

S´ accelererar relativt S m är massan hos kroppen

Tröghetskraften centrifugalkraft Ex. 2 Sten i ett snöre som snurrar runt S är ett inertialsystem (accelererar ej) S´ systemet roterar med stenen som är fäst med ett snöre i centrum. Snöret har längden R. Sett från S: Stenen roterar med vinkelhastighet w, och har en centripetalacceleration. Eftersom den accelererar in mot centrum måste den påverkas av en kraft från snöret i denna riktning som är lika med:

Fs  ma , a  w 2 Rrˆ  Fs  mw 2 Rrˆ

Sett från S ´ : Stenen står still och påverkas av två krafter: En 2 utåtriktad centrifugalkraft Fc  mw Rrˆ och en lika stor och motriktad kraft i snöret Fs  mw 2 Rrˆ . Dessa krafter tar ut varandra så stenen befinner sig i vila här.

R

Tröghetskraften corioliskraft w

v

Sett utifrån. Plattan roterar. Kulan går rakt fram och träffar ej siktpunkten.

Sett från plattan. Ingen rotation. Kulans kurva tycks böja av åt höger.

Tänk er att figurerna visar en platta fäst vid nordpolen. Periferin kommer då att röra sig moturs. Sett från ett inertialsystem kommer en kula att färdas i en rät linje om den skjuts ut från centrum. Skytten siktar mot den röda punkten som roterar med plattan. Då plattan roterar kommer kulan att missa siktpunkten.

Corioliskraften gör att partikelbanor avlänkas åt höger på norra halvklotet, vilket bl.a. leder till den karaktäristiska rotationen hos vädersystem.

Fundamentala krafter I naturen Statistiska (makroskopiska) krafter orsakas av fundamentala krafter när ett väldigt stort antal partiklar är involverade Fundamentala krafterna Gravitation Elektromagnetisk (Delas ofta upp i elektrostatisk och magnetisk) Starka krafter Endast verksamma i atomkärnor Svaga krafter

Friktionskrafter mellan fasta ämnen N

Friktionskraften Ff är summan av en enorm mängd individuella växelverkningar mellan atomer och molekyler i ytorna ("statistisk kraft"). Ff är alltid motriktad rörelsen på kroppen.

W  mg

Empiriskt gäller:

|Ff|  mk|N|

vid glidning

|Ff|  ms|N|

i vila

mk är kinetisk friktionskoefficient ms är statisk friktionskoefficient Normalt är ms  mk Exempel: 3

Rörelse uppåt

Rörelse nedåt

Friktionskrafter i vätskor och gaser När en kropp rör sig i en vätska eller en gas kan friktionskraften ofta approximeras som en kraft motriktad rörelsen och proportionell mot hastigheten. För vätskor gäller för lägre hastigheter: Ff = Khv Ff Viskositetskoefficienten h beror på vätskans egenskaper "Drag coefficient" K beror på föremålets geometri (OBS: För högre hastigheter gäller sambandet Ff = Dv2 där D är en motståndskoefficient)

F=mg

Kraftekvationen för rörelse i vätska med konstant yttre kraft F: ma = F  Khv Nettokraften ger en acceleration som ökar v, vilket i sin tur ger lägre nettokraft. Efter en tid nås en maximal gränshastighet vL = F /Kh Vid fritt fall är F = mg vilket ger vL = mg /Kh Hastighet som funktion av t då en kropp faller genom en viskös vätska

Arkimedes princip Om kroppens och vätskans täthet är relativt lika måste hänsyn tas till vätskans lyftkraft enligt Arkimedes princip. När en kropp sänks ned delvis eller helt i en vätska (fluid) så kommer kroppen att utsättas för en flytkraft av den omgivande fluiden. Den kraften är uppåtriktad och lika stor som tyngden på den undanträngda fluiden. Dvs. kroppen känner en uppåtriktad lyftkraft (eng. buoyancy) lika med det bortträngda mediets tyngd m´g. Gränshastigheten vL blir då: Kraftekvationen för rörelse i vätska (fluid) :

Ff

Fb=m’g

Newton II: ma = Ff + Fb +W=  Khv –m’g+mg Gränshastigheten vL uppnås då kroppen slutar att accelerera (a=0).

W=mg

-KhvL –m’g+mg=0 -> vL(m - m´)g /Kh

Om V är kroppens volym, r dess densitet och r´ vätskans densitet: vL = (r - r ´)Vg /Kh

Exempel: 4