C107_1 Rappels de probabilités 1

January 14, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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C107_1 Rappels de probabilités 1

Rappels de probabilités Probabilités 1

Evénements et probabilités Propriétés des probabilités Probabilisation Probabilités composées Tests

Avant-propos Les lignes qui suivent sont sans prétention. Elles ne visent pas à constituer un cours de probabilité exhaustif et rigoureux (surtout au plan mathématique). Notre objectif est tout autre et se veut essentiellement utilitaire. C’est pour cette raison que l’appel à l’intuition est souvent évoqué avec " masquage " plus ou moins réussi de notions mathématiques complexes qui ne feraient qu’alourdir l’exposé sans apporter de véritables outils pour le calcul effectif et concret des probabilités dont nous ferons un usage important mais à un niveau, somme toute, élémentaire dans la suite du cours. Le lecteur, suivant la formule consacrée, est renvoyé à des ouvrages de base pour un approfondissement plus important. Il convient de noter toutefois, que pour ce module, la partie "Probabilités 2" est fondamentale.

Evénements et probabilité

On considère un ensemble non vide E dont les éléments sont quelconques. Les parties de E sont les ensembles que l’on peut former à partir des éléments de E.

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exemple 1 : E = {a,b,c,d} a, b, c, d sont les éléments de E {a,b}, {c,d}, {a,b,c}, {b},E, F ={} sont des parties de E Toutes les parties de E sont : Partie à 0 élément :

∅ ={}

Parties à 1 élément :

{a}, {b}, {c}, {d}

Parties à 2 éléments :

{a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}

Parties à 3 éléments :

{a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}

Partie à 4 éléments :

E = {a,b,c,d}

Il y a donc 16 parties pour E

L’ensemble des parties d’un ensemble E est noté P(E). On notera que le nombre d’éléments de P (E) est 2n si E possède n éléments. exemple 2 : en reprenant l’exemple précédent, on a clairement : P(E) = { ∅ , {a}, {b}, {c}, {d}, {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}, E} et on constate bien que 16 = 24.

Appelons maintenant événements les éléments de P(E) et définissons une application p de P(E) dans R (ensemble des nombres réels) satisfaisant les axiomes suivants : Axiome1 : Axiome 2 : Axiome 3 :

∀A ∈ P(E) p(A) >= 0 p(E) = 1 si A∩B=∅ alors p(A∪B)=p(A)+p(B)

Cette application est appelée une probabilité sur P(E). Un peu de vocabulaire : E est l’événement certain. ∅ est l’événement impossible. {a}, {b}, {c}, {d} sont des événements élémentaires (on ne peut pas les fabriquer à partir d’éléments plus simples). Si A∩B=∅ , on dit que A et B sont des événements incompatibles. Si A* est le complémentaire de A, alors on dit que A et A* sont contraires.

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exemple 3 : reprenons l’exemple précédent (rentabilisé). {a} et {b,c,d} sont contraires, de même que E et ∅ ou encore que {a,b} et {c,d}. {a} et {b,c} sont incompatibles, de même que {a} et {c} ou encore que {a,b} et {c,d} On notera d’ailleurs que des événements contraires sont incompatibles, mais que l’inverse n’est pas vrai : {a} et {b,c,d} sont contraires donc incompatibles, mais {a} et {b,c} sont incompatibles mais non contraires.

exemple 4 : Désignons par {x} le tirage d’une carte x dans un jeu de cartes. Les éléments de E sont {as de cœur},{valet de carreau}, {6 de trèfle}, etc…L’événement " tirer un cœur " est défini par exemple par {cœur} = {as de cœur} ∪{2 de cœur}∪{3 de cœur}∪…….∪{10 de cœur}∪{valet de cœur}∪{dame de cœur}∪{roi de cœur} = {{as de cœur},{2 de cœur},{3 de cœur},…….,{10 de cœur) ,{valet de cœur},{dame de cœur},{roi de cœur}} et est une partie de E. " Tirer un cœur " et " tirer un trèfle " sont deux événements incompatibles car {cœur}∩{trèfle}=∅ . " Tirer un cœur " et " tirer un trèfle ou un carreau ou un pique " sont des événements contraires car {cœur}*={trèfle}∪{carreau}∪{pique}

Propriétés des probabilités

Des axiomes de définition, on peut assez aisément tirer les conséquences suivantes (que nous ne démontrons pas) Prop 1 : Prop 2 : Prop 3 : Prop 4 : Prop 5 :

si A⊂ B alors p(A) 2,05) = 1 - 0,9798 = 0,0202 = 2020/100000 ce qui signifie que 2020 personnes sont concernées.

Solution de l'exercice 4 effectif : 2500 ; loi de Laplace-Gauss (normale) de moyenne m = 169 et d'écart-type σ = 5,6 a)

-proportion d'hommes dont la taille est inférieure à 155 cm p(X
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