C3T16 – Angles inscrits, angles au centre - Polygones réguliers

C3T16 – Angles inscrits, angles au centre - Polygones réguliers Activité 1 Des angles dans un cercle 1. Conjecture n° 1 avec TracenPoche Construis un cercle de centre O et de rayon 5 unités en utilisant le bouton AMB et  ANB (utilise points A, B, M et N sur le cercle. Marque les angles  AMB et  ANB en utilisant le bouton a. Mesure les angles  pour différentes positions de M.

. À l'aide du bouton

, place quatre

).

AMB et  ANB . Compare les mesures des angles 

AMB et  ANB ont la même mesure ? b. Comment caractériserais-tu les positions de M lorsque les angles   c. Que faut-il faire pour changer la mesure de l'angle ANB ? 2. Conjecture n° 2 avec TracenPoche AOB . puis fais apparaître la mesure de l'angle  AOB . Sur la figure précédente construis l'angle au centre  AOB ? a. Quel est l'arc de cercle intercepté par l'angle  AOB et  AMB lorsque ces deux angles interceptent le b. Quelle relation semble-t-il y avoir entre les mesures de  même arc de cercle ? 3. Démonstration de la conjecture n° 2 )

AMB et  AOB interceptent l'arc A, B et M sont trois points du cercle de centre O de telle sorte que les angles    AB AMB. AOB de cercle . Montrons que =2× M

a. Premier cas : [AM] est un diamètre du cercle. •

Quelle est la nature du triangle OMB ? Justifie ta réponse.

•

Exprime les mesures des angles du triangle OMB en fonction la mesure AMB. en degré x de l'angle 

•

AOB . Déduis-en la mesure de l'angle 

O

M

A

B

AMB. b. Deuxième cas : Le point O appartient au secteur angulaire  On appelle N le point du cercle de sorte que [MN] soit un diamètre. AMN et  AON ? • Que dire des angles  •

NMB et  NOB ? Que dire des angles 

•

Montre alors que, dans ce cas, la propriété est vérifiée.

O

A

B N

AMB. c. Troisième cas : Le point O n'appartient pas au secteur angulaire  En considérant le diamètre [MN], compare, comme au deuxième cas,  AMN et  AON , puis  BMN et  BON . Compare à l'aide d'un calcul  AMB et  AOB .

M

A

4. Démonstration de la conjecture n° 1

N

O B

)

ANB interceptent AMB et  A, B,M et N sont trois points du cercle de centre O de telle sorte que les angles  AMB =  ANB . le même petit arc de cercle AB . Montrons que  M

N O

A

Compare chaque angle inscrit avec l'angle au Activités 1/2

B ( ) centre qui intercepte le même arc puis conclus. c3t16_activites.odt

C3T16 – Angles inscrits, angles au centre - Polygones réguliers Activité 2 Polygones réguliers A 1. Les triangles a. Parmi les triangles, lesquels sont des polygones réguliers ?

C

b. Construis un tel triangle CAR de côté 5 cm. On appelle O le centre de son cercle circonscrit. c. Que représentent les droites (AO), (RO) et (CO) pour ce triangle ? R ROC. COA ,  AOR et  d. Détermine la mesure des angles  e. Construis un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 6 cm. 2. Les quadrilatères a. Parmi les quadrilatères, lesquels sont des polygones réguliers ? b. Construis un carré DIME de côté 5 cm. On appelle O le centre de son cercle circonscrit. EOD. DOI ,  IOM ,  MOE et  c. Détermine la mesure des angles  d. Construis un carré inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 4 cm. 3. Une rosace a. Construis un cercle de centre O et de rayon 4 cm et la rosace inscrite dans ce cercle dont les sommets s'appellent A, B, C, D, E et F.

B C

b. Quelle est la nature du polygone ABCDEF ?

A O

c. Quelle est la nature des triangles AOB, BOC, COD, DOE, EOF et AOF ? Justifie ta réponse.

D

d. Montre que les angles de ce polygone ont la même mesure.

F

AOB ,  BOC ,  COD ,  DOE ,  EOF et e. Quelles sont les mesures des angles au centre   FOA ?

E

f. Propose une méthode de construction de ce polygone en utilisant le rapporteur. 4. Polygone régulier à

n côtés

a. Recherche le nom des polygones qui ont entre 5 et 12 côtés. b. En t'aidant des réponses aux questions précédentes, détermine la mesure d'un angle au centre déterminé par deux sommets consécutifs d'un polygone régulier à n côtés. c. Propose une méthode de construction d'un polygone régulier à

n côtés.

d. Construis un polygone régulier à huit côtés inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 5 cm. e. Calcule la mesure de l'angle formé par deux côtés consécutifs de cet octogone.

Activités 2/2

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