Calcul de la valeur théorique

Jeudi 3 juin 2010 Chloé BROUZES - Emeline BRUNET, groupe T6 binôme C Université de Technologie de Compiègne

TP n°=2 : Oscilloscope à mémoire, décharge d’un condensateur Objectif du TP : Nous allons étudier des signaux transitoires et plus particulièrement calculer les constantes de temps associées à chaque montage. Pour cela nous allons utiliser un oscilloscope numérique afin de visualiser les signaux Matériel utilisé - oscilloscope numérique à mémoire TDS1000 : Δt = 1/25*sec/div et ΔV=1/25*volt/div - bobine de 1H : ΔL/L = 1% - une résistance variable de valeur maximale 100kΩ : ΔR/R =1.0% - une résistance variable de valeur maximale 1kΩ : ΔR/R =0.5% - une résistance variable de valeur maximale 100Ω : ΔR/R =0.5% - un générateur de tension - condensateur utilisé à C=0,02 µF : ΔC/C = 1.0% Exercice de préparation : 𝑞(𝑡) 𝑞0 −𝑡 𝑢(𝑡) = = ∗𝑒 𝜏 𝐶 𝐶 => ln(𝑢(𝑡)) = ln(𝑈𝑜) −

𝑡 𝜏

1 1 => − ∗ (ln 𝑢(𝑡) − ln(𝑈𝑜)) = 𝜏 𝜏 ln(𝑈𝑎) − ln(𝑈𝑏) =

1 ∗ (𝑡𝐵 − 𝑡𝐴) 𝜏

Incertitude sur τ : 𝛥𝜏 𝛥(𝑡𝐵 − 𝑡𝐴) 𝛥𝑙𝑛(𝑈𝑎) + 𝛥𝑙𝑛 (𝑈𝑏) = + (𝑙𝑛 𝑈𝑎 − 𝑙𝑛 𝑈𝑏) 𝜏 𝑡𝐵 − 𝑡𝐴 𝛥𝑈𝑎 𝛥𝑈𝑏 + 𝛥𝜏 (𝛥𝑡𝐵 + 𝛥𝑡𝐴) 𝑈𝑏 = + 𝑈𝑎 (𝑙𝑛 𝑈𝑎 − 𝑙𝑛 𝑈𝑏) 𝜏 𝑡𝐵 − 𝑡𝐴

A.N :

𝜏=

1.38−0.00

= 1.99 𝑚𝑠 0.04 0.04 𝛥𝜏 0.02 + 0.02 (8.00) + (4.00) = + = 5.06% => 𝛥𝜏 = ±0.10 𝑚𝑠 8.00 𝜏 1.38 ln (4.00) 𝑙𝑛8−𝑙𝑛4

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1. Prise en main de l’oscilloscope L’objectif de cette partie est de se familiariser avec le fonctionnement d’un oscilloscope, de manière à savoir réaliser des mesures en réglant les différents paramètres d’affichage de l’oscilloscope. a) Observation d’un signal périodique : On observe un signal fourni par l’oscilloscope lui-même. Ce signal est périodique, carré. -

On mesure la période : à l’aide des curseurs, on mesure l’intervalle de temps entre le début et la fin d’une période : T = 10.0 µs => f=1/T => f=100 kHz 1

Incertitude sur T : 𝛥𝑇 = 2 ∗ 𝛥𝑡 = 2 ∗ (25 ∗ 5) = ± 0.4 µ𝑠 Incertitude sur f : -

𝛥𝑓 𝑓

=

𝛥𝑇 𝑇

𝛥𝑇

=> 𝛥𝑓 =

𝑇

∗𝑓 =

0.4 10.0

∗ 100 => 𝛥𝑓 = ±4𝑘𝐻𝑧

On mesure l’amplitude du signal : On observe qu’un signal a une hauteur de 2,50 divisions, or l’oscilloscope est réglé de manière à ce que 1 div  2.00 V. Donc amplitude = 2.50 * 2.00 = 5.00 V. 1

Incertitude sur l’amplitude : 𝛥𝐴 = (

25

∗

𝑣𝑜𝑙𝑡 𝑑𝑖𝑣

)=

1 25

∗ 2.00 => 𝛥𝐴 = ±0.08 𝑉

b) Etude du temps de montée Lorsque qu’on passe à une vitesse de balayage de 1µs/div, on observe que le signal délivré par l’oscilloscope n’est en réalité pas carré, mais qu’il augmente progressivement. On cherche à connaître le temps de montée à 95 %, c'est-à-dire à connaitre le temps que met le signal à atteindre 4.75 V. A l’aide des curseurs de tension et des curseurs de temps, on trouve qu’il faut 0.920 µs à l’oscilloscope pour atteindre 95 % de sa valeur finale. 1 sec 1 Δt (95%) = 2 ∗ ( ∗ ) = 2 ∗ ( ∗ 0.250) = ±0.020µs 25 div 25

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2. Observation de la décharge d’un condensateur dans une résistance – Mesure de la constante de temps pour une décharge unique Le but de la manipulation est d’enregistrer une décharge afin de vérifier la loi exponentielle de décharge d’un condensateur et d’évaluer la constante de temps τ. On règle donc l’oscilloscope selon les paramètres suivants : Sensibilité = 1,00 V Vitesse de balayage = 1,00 ms Niveau de déclenchement = 4 V Pente descendante - Mode normal

Pour la manipulation, nous avons choisi E = 8,2 V ; R = 100kΩ et C = 0,02 µF. -

Nous allons calculer τ par une première méthode graphique : à l’aide des curseurs, nous avons relever sur l’oscilloscope la tension et le temps correspondant à 6 points de la courbe.

On a la relation suivante : 𝑢(𝑡) =

𝑞(𝑡) 𝑞0 −𝑡 = ∗𝑒 𝜏 𝐶 𝐶

=> ln(𝑢(𝑡)) = ln(𝑈𝑜) −

𝑡 𝜏

1 1 => − ∗ (ln 𝑢(𝑡) − ln(𝑈𝑜)) = 𝜏 𝜏 ln(𝑈𝑎) − ln(𝑈𝑏) =

1 ∗ (𝑡𝐵 − 𝑡𝐴) 𝜏

Donc on trace ln(U) en fonction de t afin d’obtenir une droite dont le coefficient directeur est proportionnel à τ. La droite est d’équation ln(𝑈) = 𝛼𝑡 + ln(𝑈𝑜), avec α=1/τ, le coefficient directeur. Nous avons les valeurs de tension et de temps suivantes pour tracer la courbe : Temps (ms) 0 1 2 3 4 5

Tension U (V) 8,16 4,8 2,84 1,64 0,84 0,52

Ln(U) (sans unité) 2,09 1,57 1,04 0,49 -0,17 -0,65

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Evolution de ln(U) en fonction du temps pour un circuit RC 2.5

2

y = -0.5563x + 2.119 R² = 0.9986

ln(U)

1.5

1 Series1 Linear (Series1)

0.5

0 0

1

2

3

4

5

6

-0.5

-1 Temps (ms) 1

1

On a 𝜏 = |𝛼| = |−0.5563| = 1.798 𝑚𝑠 On calcule l’incertitude sur τ : On utilise la formule d’incertitude calculée lors de l’exercice préparatoire, en remplaçant par 2 de nos valeurs : A.N : 1 1 ∗ 1.00 ∗ 1.00 1 25 25 2 ∗ ( ∗ 1.00) + 𝛥𝜏 25 4.8 1.64 = 7.0% = + (1.57 − 0.49) 𝜏 3−1 𝛥𝜏 = ±0.126 𝑚𝑠 Donc 𝜏 = 1,798 ± 0.126 𝑚𝑠

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-

5

Nous allons maintenant calculer τ avec la méthode rapide : 𝑇

On a 𝜏 = − 𝑙𝑛𝛼 avec T le temps correspondant à la moitié de la tension maximale (soit la 1

tension initiale) et 𝛼 = 2 On mesure alors T sur l’oscilloscope avec les deux curseurs et on trouve T = 1,280 ms 1

Incertitude sur T : 𝛥𝑇 = 2 ∗ 25 ∗ 1.00 = ± 0.08 𝑚𝑠 On a alors 𝜏 =

−1.280 1 2

𝑙 𝑛( )

= 1,847 𝑚𝑠. 𝛥𝜏

𝛥𝑇

𝛥𝑇

0.08

-

incertitude sur τ : 𝜏 = 𝜏 = 1,847 ± 0.115 𝑚𝑠

-

Nous allons également calculer la valeur théorique de τ :

𝑇

=> 𝛥𝜏 =

𝑇

∗ 𝜏 = 1.280 ∗ 1.847 = ±0.115 𝑚𝑠

On sait que 𝜏 = 𝑅𝐶 Donc 𝜏 = 100 ∗ 103 ∗ 0.02 ∗ 10−6 = 2,00 𝑚𝑠 ∆𝜏 ∆𝑅 ∆𝐶 = + = 1% + 1% = 2% 𝜏 𝑅 𝐶 Donc τ = 2,00 ± 0.04 ms

Commentaires : Nous trouvons des valeurs pour la constante de temps cohérentes puisqu’elles sont du même ordre de grandeur que la valeur théorique. De plus la méthode rapide semble plus précise que la méthode graphique. Il semble alors qu’il ne soit pas nécessaire de tenir compte de l’impédance de l’oscilloscope. La loi exponentielle est donc vérifiée.

3. Décharge d’une bobine dans une résistance Le but de cette partie est de déterminer la constante de temps de façon expérimentale et d’observer l’influence de la résistance sur la constante de temps. Nous n’utiliserons dans cette partie que la méthode rapide, comme précédemment, pour déterminer τ. On effectue les mesures pour trois valeurs de résistances, on obtient les résultats suivants :

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Valeur de la résistance variable (kΩ)

Vitesse de balayage (µs/div)

Sensibilité (mV/div)

1 2 4

500 500 500

500 500 500

Constante de temps τ expérimentale (ms) 1,212 ± 0.058 1,039 ± 0.058 1,010 ± 0.058

Constante de temps τ théorique (ms) 7,407 ± 0,111 4,255 ± 0,064 2,230 ± 0.033

Les calculs d’incertitudes pour les valeurs expérimentales sont identiques aux précédents. Nous nous contentons donc de mettre les résultats. Calcul de la valeur théorique : 𝐿

1

𝜏 = 𝑅+𝑟 = 𝑅+350

avec R = 1 - 2 ou 4 kΩ

∆𝜏 ∆𝐿 ∆𝑅 = + = 1% + 0,5% = 1,5% 𝜏 𝐿 𝑅

Commentaires : Nos valeurs expérimentales ne semblent pas cohérentes avec les valeurs théoriques. Nous supposons que ceci est dû aux signaux obtenus pour cette manipulation qui étaient peu lisibles : en effet, quelque soient les réglages effectués sur l’oscilloscope, nous observions un « blanc » au début de la décharge. Les valeurs que nous avons relevé pour nos calculs doivent donc être inexactes. D’autre part, nous pouvons remarquer que la constante de temps est d’autant plus faible que la résistance R est élevée, ce qui est conforme à la formule théorique.

4. Décharge oscillante

C =0.02µF R=0𝛺 L = 1H R = 350 𝛺

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Réglages pour l’oscilloscope : -Sensibilité : 5.00V/div -Vitesse de balayage : 5.00 ms/div -Niveau de déclenchement : 0.6 V -Pente descendante – mode normal

En position ON, on charge la capacité C et la bobine. En position OFF, on a une décharge de type oscillante, si la résistance n’est pas trop élevée. C’est pour cela qu’on réalise le montage avec une résistance R nulle, de manière à pouvoir observer la décharge oscillante. 1) Caractéristique du circuit : Observations : Lors de la décharge de la capacité et de la bobine, on observe une courbe sinusoïdale amortie. 

On mesure expérimentalement sa pseudo période : on trouve Texp = 0.920 ms grâce aux curseurs de temps. 1

ΔT = 2 ∗ 25 ∗ 5.00 = ± 0.04 𝑚𝑠 𝑇𝑒𝑥𝑝 = 0.920 ± 0.04 𝑚𝑠 

Valeur théorique de T : Tthéo = 2𝛱√𝐿 ∗ 𝐶 = 0.889 ms

𝛥𝑇 1 𝛥𝐿 𝛥𝐶 1 = ∗ ( + ) = ∗ (1% + 1%) 𝑇 2 𝐿 𝐶 2 𝛥𝑇 = 1% ∗ 0.889 = ±0.009 𝑚𝑠 𝑇𝑡ℎé𝑜 = 0.889 ± 0.009 𝑚𝑠 

Erreur =

|𝑇𝑒𝑥𝑝−𝑇𝑡ℎé𝑜| 𝑇𝑡ℎé𝑜

= 3.48 %  erreur de ± 0.032 ms

Les valeurs expérimentales et théoriques sont assez proches, par conséquent l’erreur est faible.

2) Coefficient d’amortissement : Pour mesurer le coefficient d’amortissement, on mesure la tension des différents maxima en fonction du temps, puis on trace la courbe ln(U) = f(t). Le coefficient d’amortissement γ correspond à l’inverse de la constante de temps.

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0,68

Max tension (V) 16,6

ln(U) (sans unité) 2,81

1,6

13,8

2,62

2,48

11,2

2,42

3,36

9,2

2,22

4,28

7,4

2

5,16 6,08

6,4 5,4

1,86 1,69

Temps (ms)

On obtient donc une droite d’équation 𝑙𝑛(𝑈) = −𝜏 ∗ 𝑡 + 𝑙𝑛 (𝑈𝑜) 𝑙𝑛(𝑈) = − 0.211𝑡 + 2.9439 => 𝛾 = 0.211 𝑚𝑠 −1 = 211 𝑠 −1 1 1 ∗ 5.00 ∗ 5.00 𝛥𝑈𝑎 𝛥𝑈𝑏 1 25 25 + 2 ∗ ( ∗ 5.00) + 𝛥𝛾 (𝛥𝑡𝐵 + 𝛥𝑡𝐴) 𝑈𝑏 25 5.4 = + 𝑈𝑎 = + 16.6 = 11.8% (𝑙𝑛 𝑈𝑎 − 𝑙𝑛 𝑈𝑏) (2.81 − 1.69) 𝛾 𝑡𝐵 − 𝑡𝐴 6.08 − 0.68 Donc ∆𝛾 = ± 25𝑠 −1 1

Donc 𝜏 = 𝛾 = 1.08 𝑚𝑠 et ∆𝜏 =

∆𝛾 𝛾

∗ 𝜏 = ± 0.13 𝑚𝑠

2.9 2.7

y = -0.211x + 2.9439 R² = 0.997

2.5

ln(U)

2.3

Series1

2.1 1.9 1.7 1.5 0

2

4 temps (ms)

6

8

décharge oscillante : ln (U)

Valeur théorique du coefficient d’amortissement et de la constante de temps : 𝛾=

𝑅+𝑟 2𝐿

=> 𝛾 =

0 + 350 2∗1

=> 𝛾 = 175 𝑠 −1

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𝛥𝛾 ∆𝑅 ∆𝑟 ∆𝐿 = + +2∗ = 0 + 0 + 2 ∗ 1.0% = 2% => 𝛥𝛾 = ± 3.5 𝑠 −1 𝛾 𝑅 𝑟 𝐿 τ = 1/γ => τ =5.7 ms ∆𝜏 ∆𝛾 ∆𝛾 3.5 = => ∆𝜏 = ∗𝜏 = ∗ 5.7 ∗ 10−3 = ± 0.11𝑚𝑠 𝜏 𝛾 𝛾 175

Récapitulatif 𝛾(𝑠 −1 ) 𝜏(𝑚𝑠)

Valeur théorique 175 ± 3.5 5.7 ± 0.11

Valeur expérimentale 211 ± 25 1.08 ± 0.13

Commentaires : Nos valeurs expérimentales, bien que du même ordre de grandeur que les valeurs théoriques, s’avèrent en être tout de même assez éloignées. On peut expliquer ces différences par un mauvais réglage de l’oscilloscope ou par une mauvaise utilisation des curseurs de tension.

Pseudo – pulsation : 𝜔(2)2 = 𝜔(0)2 − 𝛾 2 1

=> 𝜔(2) = √𝜔(0)2 − 𝛾 2 = √(

√𝐿𝐶

2

) − (𝛾)²

Calcul avec la valeur théorique de 𝜸 = 𝟏𝟕𝟓 𝒔−𝟏 2

1 => 𝜔(2) = √(√1∗0.02∗10−6 ) − (175)2 = 7068.90 𝑟𝑎𝑑. 𝑠 −1

Incertitude sur 𝜔(2): 𝛥𝜔(0) 1 ∆𝐿 ∆𝑅 1 = ∗ ( + ) = ∗ (1% + 1%) = 1% 𝜔(0) 2 𝐿 𝑅 2 => ∆𝜔(0) = 1% ∗ 7071 = ± 70.7 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝛥𝜔(2) 1 2∆𝜔(0) + 2∆𝛾 ∆𝜔(0) + ∆𝛾 70.5 + 3.5 = ∗ = = = 0.000148 % 2 2 2 2 𝜔(2) 2 𝜔(0) − 𝛾 𝜔(0) − 𝛾 70712 − 1752 ∆𝜔(2) = ± 0.01𝑟𝑎𝑑. 𝑠 −1

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Calcul avec la valeur expérimentale de 𝜸 = 𝟐𝟏𝟏 𝒔−𝟏 2

1 => 𝜔(2) = √(√1∗0.02∗10−6 ) − (211)2 = 7067.92 𝑟𝑎𝑑. 𝑠 −1

Incertitude sur 𝜔(2): 𝛥𝜔(0) 1 ∆𝐿 ∆𝑅 1 = ∗ ( + ) = ∗ (1% + 1%) = 1% 𝜔(0) 2 𝐿 𝑅 2 => ∆𝜔(0) = 1% ∗ 7071 = ± 70.7 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝛥𝜔(2) 1 2∆𝜔(0) + 2∆𝛾 ∆𝜔(0) + ∆𝛾 70.5 + 25 = ∗ = = = 0.000191 % 𝜔(2) 2 𝜔(0)2 − 𝛾 2 𝜔(0)2 − 𝛾 2 70712 − 2112 ∆𝜔(2) = ± 0.01𝑟𝑎𝑑. 𝑠 −1 Valeurs théoriques 7068.90 ± 0.01𝑟𝑎𝑑. 𝑠 −1

𝜔(2)

Valeurs expérimentales 7067.92 ± 0.01 𝑟𝑎𝑑. 𝑠 −1

Commentaire : Ces valeurs sont très proches car γ est très petit devant 𝜔(0), or c’est la seule valeur qui varie entre nos calculs théoriques et expérimentaux.

3) Calcul de la résistance critique : On modifie la valeur de R afin d’augmenter l’amortissement. Lorsque les oscillations disparaissent totalement, c’est qu’on a atteint la valeur de la résistance critique. On réalise ce montage et on trouve R = 13 000 𝛺 Incertitude sur R :

∆𝑅 𝑅

= 2 ∗ 0.5% = 1% => ∆𝑅 = ± 130 𝛺

𝑅 = 13 000 ± 130 𝛺 Valeur théorique : 𝐿 𝑅𝑐 = 2 ∗ √( ) 𝐶 A.N : Rc = 14142 𝛺 Incertitude sur Rc :

𝛥𝑅𝑐 𝑅𝑐

1

∆𝐿

= 2∗2∗(𝐿 +

∆𝑅𝑐 = ± 282 𝛺 𝑅𝑐 = 14142 ± 282 𝛺

∆𝐶 𝐶

) = 2%

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𝐸𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 =

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|𝑅𝑐 − 𝑅| = 8.08 % => 𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 ± 1050 𝛺 𝑅𝑐

Commentaires : Les valeurs théoriques et expérimentales sont du même ordre de grandeur cependant on trouve quand même une erreur de l’ordre de 1 kΩ. On peut supposer que ceci est dû au manque de précision lors de la mesure de la résistance critique : en effet nous avons effectué le montage avec deux résistances de l’ordre du kΩ.

CONCLUSION : Lors de ce TP, nous avons déterminé les constantes de temps de la décharge de différents montages : RC, RL, et RLC. Pour les circuits RC et RL, l’évolution de la tension aux bornes du condensateur et respectivement de la bobine sont des exponentielles décroissantes. Pour un circuit RLC, l’évolution de la tension aux bornes de la bobine et du condensateur en série s’apparente à une courbe sinusoïdale amortie. Cependant, nous avons constaté qu’il était difficile de régler correctement toutes les fonctions de l’oscilloscope, ce qui a été la cause principale de nos incertitudes et de nos erreurs.