Calcul des probabilités

Calcul des probabilités Exercice 1: Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants: 1 – Obtenir un nombre premier (divisible seulement par lui-même et par 1) en lançant un dé honnête. 2 – Obtenir au moins une fois face en lançant deux fois une pièce honnête. 3 – Obtenir, en tirant une seule carte dans un jeu de 52 cartes, l’une des cartes suivantes: un As, le 10 de ♦ ou le 2 de ♠. 4 – Obtenir, en tirant une seule carte dans un jeu de 52 cartes, une figure de ♠. 5 – Obtenir un total de 7 points en lançant deux dés honnêtes. Exercice 2 : On considère une urne qui contient 6 boules rouges, 4 boules blanches et 5 boules vertes. 1 – On tire une boule au hasard de cette urne et on observe sa couleur. Déterminer ∧, l’ensemble des réalisations élémentaires. Déterminer la probabilité de chacune de ces réalisations élémentaires. Déterminer la probabilité pour que la boule soit a) rouge ou blanche, b) blanche et vert c) pas rouge, d) ni verte ni rouge. 2 – On observe la couleur de deux boules tirées au hasard de cette urne en les replaçant dans l’urne après chaque tirage. Déterminer ∧, l’ensemble des réalisations élémentaires. Déterminer la probabilité de chacune de ces réalisations élémentaires. Déterminer la probabilité d’observer a) 2 boules rouges, b) 1 rouge et 1 blanche, c) la première verte et la seconde rouge, d) aucune boule rouge. 3 – On observe la couleur de deux boules tirées au hasard de cette urne sans les replaçer dans l’urne. Déterminer ∧, l’ensemble des réalisations élémentaires. Déterminer la probabilité de chacune de ces réalisations élémentaires. Déterminer la probabilité d’observer les mêmes événements qu’en 2). 4 – On tire au hasard 3 boules de cette urne. Déterminer la probabilité qu'elles soient tirées dans l'ordre: verte, rouge, blanche si a) elles sont replacées dans l'urne b) elles ne sont pas replacées dans l'urne. 5 – Même question qu’en 4) avec l’ordre suivant : verte, verte, blanche. 6 – On tire maintenant 5 boules de l’urne. Déterminer la probabilité d’observer 5 boules blanches si a) elles sont replacées dans l'urne b) elles ne sont pas replacées dans l'urne. Exercice 3: On considère deux populations d’individus ∧1 et ∧2 de taille respective N1 = 65 et N2 =85. Ces individus se répartissent selon deux caractères : le sexe (H ou F) et le fait de fumer ou pas (fumeur ou non fumeur), de la façon donnée par la table suivante :

1 de 3

∧1

H

F

fumeur

10

20

non-fumeur

30

5

∧2

H

F

fumeur

50

10

non-fumeur

10

15

1 – On choisit une personne au hasard de ∧1. L'événement A : “la personne est une femme” et l'événement B : “la personne est fumeuse” sont-ils indépendants ? 2 – Même question si la personne est tirée dans ∧2. 3 – Même question si la personne est tirée dans ∧ = ∧1 ∗ ∧2. Commenter. Exercice 4: (Formule de Poincaré) On choisit au hasard une personne dans la population européenne et l'on considère les deux événements suivants : E = “la personne est de nationalité française” et F = “la personne mesure plus de 1m80”. Calculer la probabilité que cette personne soit de nationalité française et mesurant plus de 1m80 si : 1– la probabilité qu’elle soit française est de 0,3. 2– la probabilité qu’elle mesure plus de 1m80 est de 0,2 3– la probabilité qu’elle soit française ou de taille supérieure à 1m80 est de 0,4. Exercice 5 : Les statistiques du ministère de la jeunesse et des sports ont permis d'établir qu'en période de compétition, pour un athlète pris au hasard, la probabilité d'être déclaré positif à un contrôle antidopage est égale à 0,02. La prise d'un médicament m peut entraîner un contrôle positif. En période de compétition, on estime que ce médicament m qui diminue fortement la fatigue musculaire est utilisé par 25% des athlètes. La probabilité d'être déclaré positif au contrôle si le médicament m a été utilisé est égale à 0,05. Un athlète est tiré au sort pour effectuer le contrôle anti-dopage. On note : M : l'événement “Utiliser le médicament m“, P : l'événement “Etre contrôlé positif “. 1– Traduire à l'aide des notations proposées, les données numériques de l'énoncé. 2– Calculer la probabilité que l'athlète ait réellement utilisé le médicament m si son contrôle se révèle positif. 3– Calculer la probabilité que le contrôle soit positif alors que l'athlète n'a pas utilisé le médicament m.

Exercice 6 : (Fiabilité d'un test) On suppose qu'un sujet venant consulter dans un service hospitalier donné, a la probabilité 0, 3 d'être atteint d'une maladie M difficile à diagnostiquer (cette probabilité résulte de l'information recueillie sur l'ensemble des dossiers du service). On sait aussi que si un sujet n'est pas atteint de M, 9 fois sur 10 le test est négatif et que s'il est atteint de M, 8 fois sur 10 le

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test est positif. Un sujet vient faire le test. Si le test est positif, quelle est la probabilité que le sujet soit malade ? Quelle est cette probabilité si le test est négatif ? Exercice 7 : (Fiabilité d'un composant) Trois machines fabriquent des ampoules électriques dans les proportions suivantes : 20 % pour la machine A, 50 % pour la machine B et 30 % pour la machine C. Les fiabilités respectives des machines A, B, C sont 0, 9 ; 0, 95 et 0,8 (c'est-à-dire la probabilité pour qu'une ampoule fabriquée par A soit bonne est de 0, 9, etc). On achète une ampoule; elle fonctionne. Quelle est la probabilité qu'elle ait été fabriquée par A ?

Exercice 8 : (Ski) Un skieur participe à une épreuve de slalom. La probabilité de réussir le slalom dépend du type de neige ce jour-là. Si la neige est poudreuse, la probabilité de réussir le slalom vaut 1/2. Si la neige est dure, la probabilité de réussir le slalom vaut 1/5. Si la neige est verglacée, la probabilité de réussir le slalom vaut 3/10. Les probabilités que la neige soit poudreuse, dure ou verglacée valent respectivement 1/2, 1/6 et 1/3. Quelle est la probabilité pour que : 1 – le slalom soit réussi ? 2 – la neige soit dure sachant que le slalom est réussi ? 3 – le skieur, en participant à trois passages distincts réussisse au moins un slalom ? On suppose que les résultats des trois passages sont indépendants. Exercice 9 : (Q.C.M.) Un Q.C.M. (questionnaire à choix multiple) comporte 10 questions offrant chacune 3 réponses possibles. On répond complètement au hasard. Quelle est la probabilité d'avoir la moyenne (au sens : 5 réponses exactes ou plus) ?

Exercice 10 : (Tir à la carabine) Un tireur atteint la cible avec une probabilité de 0,6. Combien fautil de tirs au minimum pour que la probabilité d'atteindre au moins 2 fois la cible dépasse 99%.

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