Calcul élémentaire des probabilités

January 18, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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La loi exponentielle.

Calcul élémentaire des probabilités Myriam Maumy-Bertrand1 et Thomas Delzant1 1 IRMA,

Université Louis Pasteur Strasbourg, France

Licence 1ère Année 15 septembre 2006

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

Calcul élémentaire des probabilités

La loi exponentielle.

Définition. Théorème admis. Exemple radioactif. Propriété principale. Ampoules.

Sommaire

1

La loi exponentielle.

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

Calcul élémentaire des probabilités

La loi exponentielle.

Définition. Théorème admis. Exemple radioactif. Propriété principale. Ampoules.

La loi exponentielle.

Jusqu’à présent, on a étudié des variables aléatoires qui prennent des valeurs discrètes et en particulier entières. Mais une variable aléatoire peut très bien prendre des valeurs continues. Le premier exemple que nous allons voir est celui de la loi exponentielle E.

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

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La loi exponentielle.

Définition. Théorème admis. Exemple radioactif. Propriété principale. Ampoules.

Définition.

Définition On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0 si on a la formule : P [X > t] = e−λt où t est un nombre réel.

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

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La loi exponentielle.

Définition. Théorème admis. Exemple radioactif. Propriété principale. Ampoules.

Théorème admis.

Théorème Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0, alors : E [X ] = et Var [X ] =

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

1 λ 1 . λ2

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La loi exponentielle.

Définition. Théorème admis. Exemple radioactif. Propriété principale. Ampoules.

Remarques En pratique, une loi exponentielle mesure toujours un temps d’attente, une durée de vie, etc. En fait la variable aléatoire X s’exprime en unité de temps (la seconde, l’heure, le jour, l’année, etc) et λ est alors une fréquence , c’est-à-dire l’inverse d’un temps. Si le paramètre λ est mesuré en s−1 et t en s alors λt n’a pas d’unité.

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

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La loi exponentielle.

Définition. Théorème admis. Exemple radioactif. Propriété principale. Ampoules.

Exemple radioactif. La durée de vie d’un atome radioactif suit une loi exponentielle d’espérance inconnue. On observe que la demi-vie d’un atome de Césium est égale à 8 jours, c’est-à-dire sur un grand échantillon d’atomes de césium (disons par exemple 0, 001g, il reste 0, 0005g de césium au bout de 8 jours). Question Quelle est l’espérance mathématique de la durée de vie de l’atome de césium ?

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

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La loi exponentielle.

Définition. Théorème admis. Exemple radioactif. Propriété principale. Ampoules.

Comment reconnaître qu’on a à faire à une loi exponentielle ?

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

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La loi exponentielle.

Définition. Théorème admis. Exemple radioactif. Propriété principale. Ampoules.

Propriété principale.

Propriétés La loi exponentielle est une loi : 1

continue,

2

qui n’a pas de mémoire !

Expliquons ce que veut dire la seconde propriété.

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

Calcul élémentaire des probabilités

La loi exponentielle.

Définition. Théorème admis. Exemple radioactif. Propriété principale. Ampoules.

Théorème. Théorème Si la variable aléatoire X suit une loi exponentielle alors P [X > t + s|X > t] = P [X > s] , pour tous t et s réels. Autrement dit sachant qu’on a déjà attendu un temps t, la probabilité d’attendre encore durant un temps > s (jusqu’à l’instant t + s) est la même que celle d’attendre un temps > s en ne sachant rien du tout.

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

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La loi exponentielle.

Définition. Théorème admis. Exemple radioactif. Propriété principale. Ampoules.

Démonstration P [X > t + s|X > t] =

P [X > t + s] P [X > t]

e−(t+s) = e−s e−t = P [X > s] . =

Propriété Il n’est pas bien difficile (ni intéressant, donc je ne le fais pas) de démontrer la réciproque. Si jamais on sait qu’une variable aléatoire X est continue et que X n’a pas de mémoire, c’est une loi exponentielle. Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

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La loi exponentielle.

Définition. Théorème admis. Exemple radioactif. Propriété principale. Ampoules.

Ampoules.

Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle d’espérance 1 inconnue. λ Ce qui signifie encore que : P [X > t] = e−tλ . Ici, la variable aléatoire X représente la durée de vie d’une ampoule d’un certain stock, par exemple. Au bout de 190 jours, on constate que 95% des ampoules du stock fonctionnent, c’est-à-dire que : P [X > 190] = 0, 95.

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

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La loi exponentielle.

Définition. Théorème admis. Exemple radioactif. Propriété principale. Ampoules.

Questions 1

Quelle est l’espérance de X ?

2

Quelle est la probabilité qu’une ampoule marche pendant au moins 700 jours ?

3

On considère un lot de 30 ampoules. Quelle est la loi qui décrit le nombre d’ampoules mortes au bout de 200 jours ?

4

Je souhaite qu’au bout de 200 jours, j’ai au moins 100 ampoules qui fonctionnent encore. Combien dois-je en acheter au minimum pour que ce soit le cas avec une probabilité > 95% ?

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

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